examen SEPTEMBRE 2010

Examen d’électromagnétisme – septembre 2010 Problème Tous les documents écrits et les calculatrices sont autorisés. Les ordinateurs et les téléphones ne sont pas autorisés Rayonnement d’une antenne de télévision Le problème comporte quatre parties indépendantes I. Rayonnement d’une antenne demi-­‐onde On considère une antenne constituée d’un fil métallique de taille L reliée en son centre à un câble coaxial (voir Figure 1). Le câble coaxial est blindé et ne rayonne donc pas. Il impose un courant I = I0 exp( −iωt ) au centre du fil créant une onde de courant de ω 2π
vecteur d’onde k = =
qui se propage dans le fil. On considère que le courant total c
λ
est nul aux extrémités du fil (z = ±L/2). La longueur du fil est L = λ/2. €
€
Figure 1 : antenne de taille L constituée d’un fil métallique. Le courant est imposé par un câble coaxial en z = 0. 1. Montrer que le courant dans l’antenne est de la forme I(z,t) = I0 cos( kz) exp( −iωt ) . 2. Donner l’expression générale du potentiel vecteur A(r) en champ lointain au point r. On définira tous les termes et on précisera les approximations faites. 3. En utilisant la définition de l’intensité I ( z') = ∫ j( x', y',z') dx' dy'. e z calculer €
l’expression du potentiel vecteur A(r). On appelle θ l’angle entre les vecteurs ez ⎡
⎡
π ⎤
π ⎤
et r. On notera F (θ ) = sinc ⎢(1 − cos θ ) ⎥ + sinc ⎢(1+ cos θ ) ⎥ . Pour information, la ⎣
⎣
2 ⎦
2 ⎦
€
figure 2 présente les variations de F avec l’angle θ d’émission. €
Page 1 sur 4 Figure 2 : Variations de F avec l’angle θ d’émission 4. En déduire l’expression du champ électrique E(r) rayonné en champ lointain. 5. Calculer la valeur moyenne temporelle S du vecteur de Poynting. 6. Calculer la puissance rayonnée dans un angle solide dΩ. Dans quelle(s) direction(s) le rayonnement est-­‐il maximal ? Comparer au rayonnement d’un dipôle. €
II. Antenne Hertzienne de télévision (antenne Yagi-­‐Uda) Le but de cette partie est de discuter qualitativement le fonctionnement d’une antenne râteau utilisée en télévision hertzienne. Ces antennes sont constituées d’une antenne demi-­‐onde placée horizontalement et reliée au câble d’antenne (correspondant au câble coaxial de la partie I.). Par ailleurs, des fils conducteurs rigides – isolés électriquement de la structure – sont placés parallèlement à l’antenne demi-­‐onde en avant et en arrière de celle-­‐ci (voir figure 3 ci-­‐dessous) Figure 3 : antenne Yagi-­‐Uda Pour tout ce qui suit, on admettra le résultat suivant : les propriétés de directivité sont les mêmes en émission et en détection. En d’autres termes, lorsqu’une antenne donnée Page 2 sur 4 travaillant en émission présente un maximum (ou un minimum) de rayonnement dans la direction u pour la polarisation e, alors elle présente également un maximum (respectivement un minimum) dans cette même direction et pour la même polarisation lorsqu’elle travaille en détection. 1. Afin d’améliorer la réception et afin de choisir un émetteur particulier, il est utile de disposer d’une antenne directive. Expliquer pourquoi on doit placer l’antenne horizontalement et non pas verticalement. 2. La présence d’immeubles élevés au voisinage d’une antenne provoque des réflexions. On peut alors capter des signaux en provenance directe de l’émetteur et des signaux qui se sont réfléchis sur les immeubles. Cela peut provoquer des images doubles décalées qui gênent la vision. Expliquer pourquoi cet effet est moins marqué lorsque les antennes sont placées dans un plan horizontal par rapport au cas où les antennes sont placées verticalement. (les immeubles sont assimilables à des milieux d’indice 2). On considère le cas de figure suivant : le fil émetteur est assimilé à un dipôle p placé en x = d au-­‐dessus d’un plan parfaitement conducteur placé en x= 0. Le dipôle p est suivant la direction Oz, parallèle au plan x = 0. 3. La présence d’un plan réflecteur peut se traduire par la prise en compte d’un deuxième dipôle, image de p par le plan parfaitement conducteur. Où est placé ce dipôle image et quel est son moment dipolaire ? 4. On appelle E le champ électrique rayonné par le dipôle p. Quel est le champ total Etot rayonné en champ lointain ? 5. On souhaite que le rayonnement soit maximal dans la direction Ox. À quelle distance d le dipôle doit-­‐il se situer du plan réflecteur ? III. Brin réflecteur et brin directeur On considère maintenant une antenne constituée de deux fils parallèles à l’axe (Oz). Le premier fil, placé en x = 0, est relié au fil d’antenne (câble coaxial) et appelé émetteur ; le second fil est placé en x = -­d et électriquement isolé (voir figure 4). Il a pour rôle de simuler un plan réflecteur. Ces deux fils sont suffisamment courts pour que l’on considère que l’on peut les décrire par un moment dipolaire. Page 3 sur 4 Figure 4 : antenne constituée de deux fils métalliques. Le fil en x = 0 est alimenté en courant. Le fil en x = -­d est isolé électriquement. On se propose d’étudier la modification du diagramme de rayonnement de ce système lorsqu’il travaille en émission. On note p0 le moment dipolaire imposé par un générateur au premier fil. La composante suivant l’axe Oz du champ créé par un dipôle p = pez au p
niveau d’un autre dipôle peut se mettre sous la forme E = G( d ) . Le dipôle induit par ε0
un champ extérieur est donné par p = ε 0αE où α est la polarisabilité du fil. On notera p1 le moment dipolaire du dipôle émetteur et p2 le moment dipolaire du dipôle réflecteur. €
1. Établir l’expression du moment dipolaire total de chacun des deux fils en fonction de p0, α et G(d). €
2. Établir l’expression du champ rayonné par les deux dipôles en champ lointain. Expliquer qualitativement quelle est la condition à satisfaire par αG et d pour avoir un maximum d’émission dans la direction Ox et un minimum dans la direction opposée. On appellera ϕ l’argument de αG. Quelle est la distance d minimale qui peut satisfaire à cette condition ? 3. En reprenant le schéma de la figure 3, quel est le rôle des fils placés à l’avant ? Quelle condition doivent-­‐ils satisfaire ? On négligera les effets de diffusion multiple entre les fils. IV. Diffusion par un fil métallique parfaitement conducteur On considère un problème à deux dimensions dans cette partie. Une antenne filaire cylindrique de section circulaire de rayon a est placée en O. Sa direction est Oz. Elle est éclairée par une onde plane monochromatique dont le champ électrique Einc est polarisé rectilignement parallèlement à Oz. Ce champ induit un courant dans l’antenne dont le flux (intensité) est noté I. Lorsque le rayon a est très petit devant la longueur d’onde de l’onde incidente, le champ diffusé est de la forme : µω
E z,diffusé (r ) = −I H 0 ( kr) 0 4
1
où H0(kr) est une fonction de Hankel . 1. Expliquer pourquoi le champ diffusé ne dépend pas de la direction dans le plan €
Oxy. 2. Expliquer pourquoi le champ diffusé est proportionnel à I. 3. En utilisant les relations de continuité, calculer l’expression de l’intensité induite I en fonction de Einc (amplitude du champ électrique incident). 4. On admet que cette expression est valable pour un fil de longueur finie L. Calculer le moment dipolaire équivalent à un fil parfaitement conducteur de longueur L et de rayon a parcouru par une intensité I. En déduire la polarisabilité α du dipôle. On rappelle que la polarisabilité est définie par p = ε0αEinc. 1 Les fonctions de Hankel sont des combinaisons linéaires des fonctions de Bessel de première et deuxième espèce. Il est inutile de connaître la forme de ces fonctions pour résoudre l’exercice. Page 4 sur 4