1 L`ensemble K[X]

Les polynˆomes
Kd´esigne le corps Rou C.
1 L’ensemble K[X]
1.1 Terminologie, notation
1.1.1 Polynˆomes `a une ind´etermin´ee sur le corps K
Un polynˆome `a une ind´etermin´ee est une expression X
k∈N
akXko`u (ak)k∈Nest une famille presque nulle d’´el´ements
de K.
“Presque nulle ” signifie que seul un nombre fini d’entre eux est non nul.
Le polynˆome nul d´esigne celui dont tous les coefficients sont nuls.
L’objet math´ematique Xs’appelle l’ind´etermin´ee ; sa d´efinition pr´ecise est hors programme. Il importe de savoir
que Xn’est pas un nombre.
L’ensemble des polynˆomes `a une ind´etermin´ee est not´e K[X].
On observe que, pour tout polynˆome P=X
k∈N
akXk, l’´ecriture sous cette forme est unique. Autrement dit, si
P=X
k∈N
akXk=X
k∈N
a0
kXkalors ∀k∈N, ak=a0
k.
1.1.2 Degr´e, coefficient dominant, terme du plus haut degr´e
Le polynˆome nul est not´e 0.
Si P=X
k∈N
akXkest un polynˆome non nul, l’ensemble des entiers ktels que ak6= 0 admet un plus grand ´el´ement.
Cet ´el´ement est appel´e degr´e du polynˆome Pet not´e d◦(P).
On ´etend cette d´efinition au cas du polynˆome nul en posant d◦(0) = −∞ ; cela permettra d´etendre certaines
propri´et´es `a tous les polynˆomes.
Pour Pnon nul, on peut alors noter P=
d◦(P)
X
k=0
akXk.
Pour tout n>d◦(P), on peut ´ecrire de mˆeme P=
n
X
k=0
akPk.
Pour Pnon nul de degr´e d,P=X
k∈N
akXk, le terme adXds’appelle le terme de plus haut degr´e et adest le
coefficient dominant de P.
Lorsque celui-ci est ´egal `a 1, on dit que le polynˆome est unitaire .
Exercice 1
Trouver le degr´e et le coefficient dominant de P= (X+ 1)n−(X−1)n.
1.2 Op´erations
1.2.1 Combinaisons lin´eaires
Si P=X
k∈N
akXket B=Pk∈NbkXksont des polynˆomes et λun ´el´ement de Kalors on pose λP =X
k∈N
λakXket
P+Q=X
k∈N
(ak+bk)Xk.
En effet, on v´erifie facilement que (λak)k∈Net (ak+bk)k∈Nsont presque nulles.
On a les propri´et´es suivantes :
1

•Muni de l’addition, K[X] est un groupe commutatif.
• ∀P, Q ∈K[X],∀λ∈K, λ(P+Q) = λP +λQ
• ∀P∈K[X],∀λ, µ ∈K,(λ+µ)P=λP +µP
• ∀P∈K[X],∀λ, µ ∈K, λ.(µP )=(λµ).P .
• ∀P∈K[X],1.P =P.
1.2.2 Produit
Le produit est d´efini de sorte qu’il soit commutatif, bilin´eaire i.e. :
∀A, B, C ∈K[X],∀λ, µ ∈K,(λA +µB)C=λ.AC +µ.BC
et v´erifie ∀p, q ∈N, XpXq=Xp+q.
Quand on d´eveloppe 
X
p∈N
apXp
X
q∈N
bqXq
, on regroupe alors les termes apbqXpXqtels que p+q=n, pour
chaque entier n, ce qui donne, comme coefficient de Xn:X
p+q=n
apbq.
Exercice 2
On prend (ap)p∈Net (bq)q∈Ndeux suites presque nulles et on pose, pour tout entier naturel k:ck=X
p+q=k
apbq.
1. V´erifier que cette somme comporte bien un nombre fini de termes.
2. On suppose que (ap)p∈Net (bq)q∈Nne sont pas nulles et on pose m= max{p, ap6= 0}et n= max{q, bq6= 0}.
met nsont respectivement le degr´e de A=X
k∈N
apXpet B=X
q∈N
bqXq.
Soit k > m +n. Montrer, en distinguant les cas, que tous les termes de X
p+q=k
apbqsont nuls.
En d´eduire que (ck)k∈Nest presque nulle.
3. On pose ici k=m+n. Montrer qu’un seul terme de la somme X
p+q=k
apbqest non nul.
D´efinition
Avec les notations de l’exercice ci-dessus, on pose AB =X
k∈N
ckXk.
On a les propri´et´es suivantes (admises) :
•Le produit est bilin´eaire.
•Il est commutatif.
•Il est associatif.
On peut v´erifier que, pour A=X
p∈N
apXp, B =X
q∈N
bqXqet C=X
r∈N
crXr, on a ABC =X
n∈N
dnXn
avec ∀n∈N, dn=X
p+q+r=n
apbqcr.
•Le polynˆome 1 = X
n∈N
δ0,nXn= 1 + 0X+ 0X2+· · · est ´el´ement neutre.
•Lorsque Aet Bsont non nuls, AB est non nul et son coefficient dominant est le produit de ceux
de Aet B. Cela r´esulte de l’exercice pr´ec´edent.
En particulier, un produit de deux polynˆomes est nul si et seulement si l’un des deux est nul. Cette
propri´et´e s’appelle l’int´egrit´e.
1.2.3 Structure d’alg`ebre
Muni de l’addition et du produit par les scalaires, K[X] est un K-espace vectoriel.
Muni de l’addition et du produit interne, K[X] est un anneau et enfin,
muni des trois, on dit K[X] est une K-alg`ebre.
2

1.2.4 Composition
Pour tout polynˆome Bet tout entier naturel k, on d´efinit, par r´ecurrence, Bkpar B0= 1 et ∀k>1, Bk=B×Bk−1.
On a alors imm´ediatement :
• ∀A, B ∈K[X],∀k∈N(AB)k=AkBk(cela r´esulte du fait que le produit est commutatif)
• ∀B∈K[X],∀h, k ∈N, BhBk=Bh+k,(Bh)k=Bhk.
D´efinition
Si A∈K[X], A =X
k∈N
akXket B∈K[X], on pose A◦B=X
k∈N
akBk.
Propri´et´es
• ∀A, B, P ∈K[X],∀λ, µ ∈K,(λA +µB)◦P=λA ◦P+µB ◦P
• ∀A, B, P ∈K[X],(AB)◦P= (A◦P)×(B◦P)
D´emonstration
La premi`ere est ´evidente.
Pour la seconde, on proc`ede par bilin´earit´e en observant que si A=Xh, B =Xkalors A◦P=Ph, B ◦P=Pk
et (AB)◦P=Ph+k= (Ph)×(Pk) = (A◦P)×(B◦P).
Remarque Pour plus de simplicit´e, on note P(X−a) le polynˆome P◦(X−a). En particulier P(X) = P.
1.2.5 Parit´e
D´efinition
Un polynˆome P∈K[X] est dit pair lorsque P(−X) = P(X) et impair lorsque P(−X) = −P(X)
On a la caract´erisation suivante :
Soit P=
+∞
X
k=0
akXk.
•Pest pair si et seulement si ∀p∈N, a2p+1 = 0.
•Pest impair si et seulement si ∀p∈N, a2p= 0.
Exercice 3
1. Montrer que les ensembles des polynˆomes pairs et des polynˆomes impairs sont stables pour la somme et le
produit par les scalaires.
2. Sont-ils stables pour le produit?
3. Montrer que tout polynˆome s’´ecrit, de fa¸con unique comme somme d’un polynˆome pair et d’un polynˆome
impair.
3

1.3 Propri´et´es du degr´e
1.3.1 Somme et produit
• ∀P, Q ∈K[X],d◦(P+Q)6max{d◦(P),d◦(Q)}
Si de plus d◦(P)6= d◦(Q) alors d◦(P+Q) = max{d◦(P),d◦(Q)}.
En effet, en posant P=X
k∈N
akXk, Q =X
k∈N
bkXk, pour tout k > max{d◦(P),d◦(Q)}, ak=bk= 0 d’o`u
la premi`ere propri´et´e.
Pour la seconde, si d◦(P)6= d◦(Q) alors, pour k= max{d◦(P),d◦(Q)}, l’un des deux nombres ak, bkest
nul et l’autre non donc la somme est non nulle.
• ∀P, Q ∈K[X],d◦(P Q) = d◦(P)+d◦(Q).
Cela r´esulte de l’exercice 2.
•Corollaire 1: ∀P∈K[X],∀λ∈K∗,d◦(λP ) = d◦(P).
En effet λest de degr´e 0 en tant que polynˆome.
•Corollaire 2 : Un produit de polynˆomes est nul si et seulement si l’un d’eux est nul. En effet (contrapos´ee)
si Aet Bsont non nuls c’est-`a-dire de degr´e sup´erieur ou ´egal `a 0, alors d◦(AB)=d◦(A) + d◦(B)>0
donc AB 6= 0.
La propri´et´e “un produit est nul si et seulement si l’un des facteurs est nul ” s’appelle l’int´egrit´e. On dit
que K[X] est un anneau (ou une alg`ebre) int`egre.
•Degr´e d’une combinaison lin´eaire.
Si A1, . . . ,Ansont des polynˆomes et λ1, . . . ,λnsont des scalaires, alors :
d◦ n
X
k=1
λkAk!6max{d◦(A1),...,d◦(An)}.
Lorsque les d◦(Ai),16i6nsont deux `a deux distincts, il y a ´egalit´e.
Cela r´esulte de la premi`ere ´egalit´e.
Exercice 4
Soient n∈Net (Pi)06i6nune famille de polynˆomes telle que ∀i, d◦(Pi) = i.
1. Soient λ0, λ1, . . . ,λndes scalaires non tous nuls. On pose p= max{k, ak6= 0}.
Montrer que
n
X
k=0
akPkest de degr´e p.
2. En d´eduire que si λ0, λ1, . . . ,λnsont des scalaires tels que
n
X
i=0
λiPi= 0 alors tous les λisont nuls.
1.3.2 L’ensemble Kn[X]
D´efinition
Pour tout n∈N, on note Kn[X] l’ensemble des polynˆomes de degr´e inf´erieur ou ´egal `a n.
On a la propri´et´e suivante qui r´esulte imm´ediatement de ce qui pr´ec`ede :
∀n∈N,∀P, Q ∈Kn[X],∀λ, µ ∈K, λP +µQ ∈Kn[X].
Autrement dit Kn[X] est stable par combinaison lin´eaire.
On dit que Kn[X] est un sous-espace vectoriel de K[X].
4

1.4 Fonctions polynˆomes
1.4.1 Substitution d’un ´el´ement de K`a l’ind´etermin´ee
Pour tout P∈K[X], P =X
k∈N
akXket tout x∈K, on pose ˜ P(x) = X
k∈N
akxk. Il s’agit en fait d’une somme finie.
Pour P∈K[X], l’application x7→ ˜ P(x) est la fonction polynomiale associ´ee `a P.
Remarque
On peut adopter un point de vue diff´erent en fixant xet en consid´erant l’application ϕ:K[X]→Kd´efinie par
∀P∈K[X], ϕ(P) = ˜ P(x). Cette application s’appelle la substitution de x`a l’ind´etermin´ee.
On voit facilement que ∀P, Q ∈K[X],∀λ, µ ∈K, ϕ(λP +µQ) = λϕ(P) + µϕ(Q) et ϕ(P Q) = ϕ(P)ϕ(Q).
Cela ´equivaut `a dire que, pour xfix´e, pour tous Pet Q∈K[X] et pour tous λ, µ ∈K, on a :
(λP +µQ)(x) = λP (x) + µQ(x)
1.4.2 Morphisme de K[X]dans F(K,K)
On d´efinit l’application P7→ ˜ Pde K[X] dans F(K,K). D’apr`es la remarque pr´ec´edente, on a :
∀P, Q ∈K[X],∀λ, µ ∈K,
^
λP +µQ =λ˜ P+µ˜ Qet g P Q =˜ P˜ Q.
L’application θ:P→˜ Pde K[X] dans F(K,K) v´erifie :
• ∀P, Q ∈K[X],∀λ, µ ∈K, θ(λP +µQ) = λθ(P) + µθ(Q) (Lin´earit´e)
• ∀P, Q ∈K[X], θ(P Q) = θ(P)θ(Q) (multiplicativit´e)
•θ(1) = 1.
On dit que θest un morphisme d’alg`ebre.
Pour aller plus loin, on observe que ∀P∈K[X],∀k∈N,f Pk=˜ Pkpuis, par lin´earit´e, pour tous P, Q dans
K[X],
^
Q◦P=˜ Q◦˜ P.
2 L’anneau K[X]
2.1 Divisibilit´e
2.1.1 Diviseurs et multiples
D´efinition
´
Etant donn´es deux polynˆomes Aet B, on dit que Bdivise Aou que Aest multiple de Blorsqu’il existe Q∈K[X]
tel que A=BQ.
On note alors B|A.
On observe que tout polynˆome divise 0 (0 est multiple de tout polynˆome) et que 1 divise tout polynˆome.
2.1.2 Propri´et´es
La divisibilit´e v´erifie les propri´et´es suivantes :
• ∀A, B, C ∈K[X],(C|Bet B|A)⇒C|A.
• ∀A, B, C ∈K,∀α, β ∈K,(C|Aet C|B)⇒C|(αA +βB).
Exercice 5
Montrer ces propri´et´es.
5