1 L`ensemble K[X]

Les polynômes
K désigne le corps R ou C.
1
L’ensemble K[X]
1.1
Terminologie, notation
1.1.1
Polynômes à une indéterminée sur le corps K
X
Un polynôme à une indéterminée est une expression
ak X k où (ak )k∈N est une famille presque nulle d’éléments
k∈N
de K.
“Presque nulle ” signifie que seul un nombre fini d’entre eux est non nul.
Le polynôme nul désigne celui dont tous les coefficients sont nuls.
L’objet mathématique X s’appelle l’indéterminée ; sa définition précise est hors programme. Il importe de savoir
que X n’est pas un nombre.
L’ensemble des polynômes à une indéterminée est noté K[X].
On observe que, pour tout polynôme P =
X
ak X k , l’écriture sous cette forme est unique. Autrement dit, si
k∈N
P =
X
ak X k =
k∈N
1.1.2
X
a0k X k alors ∀k ∈ N, ak = a0k .
k∈N
Degré, coefficient dominant, terme du plus haut degré
Le polynôme
X nul est noté 0.
Si P =
ak X k est un polynôme non nul, l’ensemble des entiers k tels que ak 6= 0 admet un plus grand élément.
k∈N
Cet élément est appelé degré du polynôme P et noté d◦ (P ).
On étend cette définition au cas du polynôme nul en posant d◦ (0) = −∞ ; cela permettra détendre certaines
propriétés à tous les polynômes.
d◦ (P )
X
ak X k .
Pour P non nul, on peut alors noter P =
k=0
Pour tout n > d◦ (P ), on peut écrire de même P =
n
X
ak Pk .
k=0
Pour P non nul de degré d, P =
X
ak X k , le terme ad X d s’appelle le terme de plus haut degré et ad est le
k∈N
coefficient dominant de P .
Lorsque celui-ci est égal à 1, on dit que le polynôme est unitaire .
Exercice 1
Trouver le degré et le coefficient dominant de P = (X + 1)n − (X − 1)n .
1.2
Opérations
1.2.1
Combinaisons linéaires
X
X
P
Si P =
ak X k et B = k∈N bk X k sont des polynômes et λ un élément de K alors on pose λP =
λak X k et
k∈N
X
P +Q=
k∈N
k
(ak + bk )X .
k∈N
En effet, on vérifie facilement que (λak )k∈N et (ak + bk )k∈N sont presque nulles.
On a les propriétés suivantes :
1
•
•
•
•
•
1.2.2
Muni de l’addition, K[X] est un groupe commutatif.
∀P, Q ∈ K[X], ∀λ ∈ K, λ(P + Q) = λP + λQ
∀P ∈ K[X], ∀λ, µ ∈ K, (λ + µ)P = λP + µP
∀P ∈ K[X], ∀λ, µ ∈ K, λ.(µP ) = (λµ).P .
∀P ∈ K[X], 1.P = P .
Produit
Le produit est défini de sorte qu’il soit commutatif, bilinéaire i.e. :
∀A, B, C ∈ K[X], ∀λ, µ ∈ K, (λA + µB)C = λ.AC + µ.BC
p q
p+q .
et vérifie ∀p, q ∈ N, X
 X = X 

X
X
Quand on développe 
ap X p  
bq X q , on regroupe alors les termes ap bq X p X q tels que p + q = n, pour
p∈N
q∈N
X
chaque entier n, ce qui donne, comme coefficient de X n :
ap bq .
p+q=n
Exercice 2
X
On prend (ap )p∈N et (bq )q∈N deux suites presque nulles et on pose, pour tout entier naturel k : ck =
ap bq .
p+q=k
1. Vérifier que cette somme comporte bien un nombre fini de termes.
2. On suppose que (ap )p∈N et (bq )q∈N ne sont pas nulles et on pose m = max{p, ap 6= 0} et n = max{q, bq 6= 0}.
X
X
bq X q .
ap X p et B =
m et n sont respectivement le degré de A =
q∈N
k∈N
Soit k > m + n. Montrer, en distinguant les cas, que tous les termes de
X
ap bq sont nuls.
p+q=k
En déduire que (ck )k∈N est presque nulle.
3. On pose ici k = m + n. Montrer qu’un seul terme de la somme
X
ap bq est non nul.
p+q=k
Définition
X
Avec les notations de l’exercice ci-dessus, on pose AB =
ck X k .
k∈N
On a les propriétés suivantes (admises) :
• Le produit est bilinéaire.
• Il est commutatif.
• Il est associatif.
X
X
X
X
On peut vérifier que, pour A =
ap X p , B =
bq X q et C =
cr X r , on a ABC =
dn X n
p∈N
X
avec ∀n ∈ N, dn =
q∈N
r∈N
n∈N
ap bq cr .
p+q+r=n
• Le polynôme 1 =
X
δ0,n X n = 1 + 0X + 0X 2 + · · · est élément neutre.
n∈N
• Lorsque A et B sont non nuls, AB est non nul et son coefficient dominant est le produit de ceux
de A et B. Cela résulte de l’exercice précédent.
En particulier, un produit de deux polynômes est nul si et seulement si l’un des deux est nul. Cette
propriété s’appelle l’intégrité.
1.2.3
Structure d’algèbre
Muni de l’addition et du produit par les scalaires, K[X] est un K-espace vectoriel.
Muni de l’addition et du produit interne, K[X] est un anneau et enfin,
muni des trois, on dit K[X] est une K-algèbre.
2
1.2.4
Composition
Pour tout polynôme B et tout entier naturel k, on définit, par récurrence, B k par B 0 = 1 et ∀k > 1, B k = B×B k−1 .
On a alors immédiatement :
• ∀A, B ∈ K[X], ∀k ∈ N (AB)k = Ak B k (cela résulte du fait que le produit est commutatif)
• ∀B ∈ K[X], ∀h, k ∈ N, B h B k = B h+k , (B h )k = B hk .
Définition
Si A ∈ K[X], A =
X
ak X k et B ∈ K[X], on pose A ◦ B =
k∈N
X
ak B k .
k∈N
Propriétés
• ∀A, B, P ∈ K[X], ∀λ, µ ∈ K, (λA + µB) ◦ P = λA ◦ P + µB ◦ P
• ∀A, B, P ∈ K[X], (AB) ◦ P = (A ◦ P ) × (B ◦ P )
Démonstration
La première est évidente.
Pour la seconde, on procède par bilinéarité en observant que si A = X h , B = X k alors A ◦ P = P h , B ◦ P = P k
et (AB) ◦ P = P h+k = (P h ) × (P k ) = (A ◦ P ) × (B ◦ P ).
Remarque Pour plus de simplicité, on note P (X − a) le polynôme P ◦ (X − a). En particulier P (X) = P .
1.2.5
Parité
Définition
Un polynôme P ∈ K[X] est dit pair lorsque P (−X) = P (X) et impair lorsque P (−X) = −P (X)
On a la caractérisation suivante :
Soit P =
+∞
X
ak X k .
k=0
• P est pair si et seulement si ∀p ∈ N, a2p+1 = 0.
• P est impair si et seulement si ∀p ∈ N, a2p = 0.
Exercice 3
1. Montrer que les ensembles des polynômes pairs et des polynômes impairs sont stables pour la somme et le
produit par les scalaires.
2. Sont-ils stables pour le produit?
3. Montrer que tout polynôme s’écrit, de façon unique comme somme d’un polynôme pair et d’un polynôme
impair.
3
1.3
1.3.1
Propriétés du degré
Somme et produit
• ∀P, Q ∈ K[X], d◦ (P + Q) 6 max{d◦ (P ), d◦ (Q)}
Si de plus d◦ (P ) 6= d◦ (Q) alors d◦ (P + Q) = max{d◦ (P ), d◦ (Q)}.
En effet, en posant P =
X
ak X k , Q =
k∈N
X
bk X k , pour tout k > max{d◦ (P ), d◦ (Q)}, ak = bk = 0 d’où
k∈N
la première propriété.
Pour la seconde, si d◦ (P ) 6= d◦ (Q) alors, pour k = max{d◦ (P ), d◦ (Q)}, l’un des deux nombres ak , bk est
nul et l’autre non donc la somme est non nulle.
• ∀P, Q ∈ K[X], d◦ (P Q) = d◦ (P ) + d◦ (Q).
Cela résulte de l’exercice 2.
• Corollaire 1: ∀P ∈ K[X], ∀λ ∈ K∗ , d◦ (λP ) = d◦ (P ).
En effet λ est de degré 0 en tant que polynôme.
• Corollaire 2 : Un produit de polynômes est nul si et seulement si l’un d’eux est nul. En effet (contraposée)
si A et B sont non nuls c’est-à-dire de degré supérieur ou égal à 0, alors d◦ (AB) = d◦ (A) + d◦ (B) > 0
donc AB 6= 0.
La propriété “un produit est nul si et seulement si l’un des facteurs est nul ” s’appelle l’intégrité. On dit
que K[X] est un anneau (ou une algèbre) intègre.
• Degré d’une combinaison linéaire.
Si A1 , . . . ,An !
sont des polynômes et λ1 , . . . ,λn sont des scalaires, alors :
n
X
d◦
λk Ak 6 max{d◦ (A1 ), . . . ,d◦ (An )}.
k=1
Lorsque les d◦ (Ai ), 1 6 i 6 n sont deux à deux distincts, il y a égalité.
Cela résulte de la première égalité.
Exercice 4
Soient n ∈ N et (Pi )06i6n une famille de polynômes telle que ∀i, d◦ (Pi ) = i.
1. Soient λ0 , λ1 , . . . ,λn des scalaires non tous nuls. On pose p = max{k, ak 6= 0}.
n
X
Montrer que
ak Pk est de degré p.
k=0
2. En déduire que si λ0 , λ1 , . . . ,λn sont des scalaires tels que
n
X
λi Pi = 0 alors tous les λi sont nuls.
i=0
1.3.2
L’ensemble Kn [X]
Définition
Pour tout n ∈ N, on note Kn [X] l’ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à n.
On a la propriété suivante qui résulte immédiatement de ce qui précède :
∀n ∈ N, ∀P, Q ∈ Kn [X], ∀λ, µ ∈ K, λP + µQ ∈ Kn [X].
Autrement dit Kn [X] est stable par combinaison linéaire.
On dit que Kn [X] est un sous-espace vectoriel de K[X].
4
1.4
Fonctions polynômes
1.4.1
Substitution d’un élément de K à l’indéterminée
X
X
Pour tout P ∈ K[X], P =
ak X k et tout x ∈ K, on pose P̃ (x) =
ak xk . Il s’agit en fait d’une somme finie.
k∈N
k∈N
Pour P ∈ K[X], l’application x 7→ P̃ (x) est la fonction polynomiale associée à P .
Remarque
On peut adopter un point de vue différent en fixant x et en considérant l’application ϕ : K[X] → K définie par
∀P ∈ K[X], ϕ(P ) = P̃ (x). Cette application s’appelle la substitution de x à l’indéterminée.
On voit facilement que ∀P, Q ∈ K[X], ∀λ, µ ∈ K, ϕ(λP + µQ) = λϕ(P ) + µϕ(Q) et ϕ(P Q) = ϕ(P )ϕ(Q).
Cela équivaut à dire que, pour x fixé, pour tous P et Q ∈ K[X] et pour tous λ, µ ∈ K, on a :
(λP + µQ)(x) = λP (x) + µQ(x)
1.4.2
Morphisme de K[X] dans F (K,K)
On définit l’application P 7→ P̃ de K[X] dans F (K,K). D’après la remarque précédente, on a :
g
∀P, Q ∈ K[X], ∀λ, µ ∈ K, λP^
+ µQ = λP̃ + µQ̃ et P
Q = P̃ Q̃.
L’application θ : P → P̃ de K[X] dans F (K, K) vérifie :
• ∀P, Q ∈ K[X], ∀λ, µ ∈ K, θ(λP + µQ) = λθ(P ) + µθ(Q) (Linéarité)
• ∀P, Q ∈ K[X], θ(P Q) = θ(P )θ(Q) (multiplicativité)
• θ(1) = 1.
On dit que θ est un morphisme d’algèbre.
fk = P̃ k puis, par linéarité, pour tous P, Q dans
Pour aller plus loin, on observe que ∀P ∈ K[X], ∀k ∈ N, P
^
K[X], Q
◦ P = Q̃ ◦ P̃ .
2
L’anneau K[X]
2.1
Divisibilité
2.1.1
Diviseurs et multiples
Définition
Étant donnés deux polynômes A et B, on dit que B divise A ou que A est multiple de B lorsqu’il existe Q ∈ K[X]
tel que A = BQ.
On note alors B|A.
On observe que tout polynôme divise 0 (0 est multiple de tout polynôme) et que 1 divise tout polynôme.
2.1.2
Propriétés
La divisibilité vérifie les propriétés suivantes :
• ∀A, B, C ∈ K[X], (C|B et B|A) ⇒ C|A.
• ∀A, B, C ∈ K, ∀α, β ∈ K, (C|A et C|B) ⇒ C|(αA + βB).
Exercice 5
Montrer ces propriétés.
5
Exercice 6
Un lien entre la divisibilité dans N et celle dans K[X].
Montrer que, pour tous a, b ∈ N∗ , b|a ⇒ (X b − 1)|(X a − 1)
2.2
2.2.1
Division euclidienne
Le théorème
Théorème de la division euclidienne
Quels que soient A ∈ K[X] et B ∈ K[X]\{0}, il existe un unique couple (Q,R) ∈ (K[X])2 tels que
A = BQ + R et d◦ (R) < d◦ (B)
Démonstration
Unicité :
Soient Q1 , Q2 , R1 , R2 tels que A = BQ1 + R1 = BQ2 + R2 , d◦ (R1 ) < d◦ (B) et d◦ (R2 ) < d◦ (B).
Alors B(Q2 − Q1 ) = R2 − R1 d’où d◦ (B) + d◦ (Q2 − Q1 ) = d◦ (R2 − R1 ) 6 Max(d(R2 ), d◦ (R1 )} < d◦ (B) d’où
d◦ (Q2 − Q1 ) < 0 ce qui impose d◦ (Q2 − Q1 ) = −∞ c’est-à-dire Q2 − Q1 = 0. Il en résulte facilement R1 = R2 et
l’unicité est démontrée.
Existence :
Si B est constant non nul, alors la propriété est évidente. Sinon, on fait une récurrence sur d◦ (A).
m
X
Posons B =
bk X k avec m > 1 et bm 6= 0.
k=1
Si d◦ (A) < d◦ (B) , alors on écrit A = 0B + R avec R = A ce qui permet d’initialiser la récurrence.
Soit n > d◦ (B). Supposons l’existence établie pour tout polynôme A de degré inférieur ou égal à n − 1 et soit A
n
X
de degré n, A =
ak X k avec an 6= 0.
k=0
an
X n−m B. Alors d◦ (A1 ) 6 Max{d◦ (A), d◦ (Xn−m B)} = n et le coefficient de X n de A1 est nul
bm
(on l’a fait exprès !) donc on peut appliquer l’hypothèse de récurrence
Q1 ∈ K[X] et R ∈ K[X] tels
à A1 : il existe a
n
X n−m + Q1 B + R ce qui montre bien
que A1 = BQ1 + R et d◦ (R) < d◦ (B). On peut alors écrire : A =
bm
l’existence du couple (Q,R) au rang n.
Posons A1 = A −
Remarque
La démonstration de l’existence fournit l’algorithme de calcul.
Exercice 7
1. Soit P un polynôme et a un scalaire. Quel est le reste de la division euclidienne de P par X − a?
Indication : On écrira la division théorique et on évaluera en a.
2. De la même façon, pour a 6= b dans K, trouver le reste de la division euclidienne de P ∈ K[X] par
(X − a)(X − b).
2.2.2
Applications à l’analyse
P (x)
une fraction rationnelle telle que d◦ (P ) = d◦ (Q) + 1. On peut écrire P = (aX + b)Q + R avec
Q(x)
R(x)
R(x)
d◦ (R) < d◦ (Q). D’où, ∀x ∈ D(f ), f (x) = ax + b +
avec lim
= 0 et ainsi, la courbe admet la droite
x→±∞
Q(x)
Q(x)
d’équation y = ax + b pour asymptote.
Soit f : x 7→
P (x)
, on effectue la division euclidienne de P par X − a
x−a
P (x)
b
pour obtenir P = (X − a)Q + b et alors ∀x 6= a,
= Q(x) +
.
x−a
x−a
Pour trouver des primitives de fonctions de la forme x 7→
6
P (x)
en écrivant P = (X 2 + pX + q)Q + aX + b d’où:
+ px + q
P (x)
ax + b
∀x, 2
= Q(x) + 2
.
X + pX + q
x + px + q
On fait de même pour x 7→
3
x2
Dérivation, racines
3.1
3.1.1
Dérivation
Dérivation formelle
Définition
Soit A =
n
X
ak X k avec n > d◦ (A). On pose A0 =
k=0
n
X
kak X k−1
k=1
Remarques
On fait commencer la somme à 1 pour éviter d’écrire 0a0 X −1 .
Le résultat ne dépend pas de n > d◦ (A)
Si P est constant (de degré inférieur ou égal à 0) alors P 0 = 0.
3.1.2
Propriétés algébriques
La dérivation vérifie les deux propriétés suivantes :
• La dérivation est linéaire : ∀A, B ∈ K[X], ∀α, β ∈ K, (αA + βB)0 = αA0 + βB 0 .
• Dérivée d’un produit : ∀A, B ∈ K[X], (AB)0 = A0 B + AB 0 .
Démonstration
Linéarité : On prend A =
n
X
ak X k et B =
k=0
n
X
bk X k avec n > max{d◦ (A), d◦ (B)}.
k=0
n
X
Alors αA + βB =
(αak + βbk )X k et l’on a donc :
(αA + βB)0 =
n
X
k=0
k(αak + βbk )X k−1 = α
k=1
X
kak X k−1 + β
k=1
n
X
kbk X k−1 = αA0 + βB 0 .
k=1
Remarque : Cette propriété s’étend à une combinaison linéaire d’un nombre fini quelconque de polynômes.
Produit : On vérifie d’abord pour les monômes.
0
On a : X p0 = pX p−1 , X q0 = qX q−1 d’où X p+q = (p + q)X p+q−1 = pX p−1 X q + qX p X p−1 = X p0 X q + X p X q0 .
Remarque : À la différence de ce qui se passe pour les fonctions, l’expression X p0 a bien un sens car X p est un
polynôme tandis que xp n’est pas une fonction.
Soient alors A =
m
X
p
ap X et B =
p=0
(AB)0 =
X
n
X
q=0
0
ap bq X p+q =
06p6m
06q6n
X
X
bq X q . On a AB =
ap bq X p+q D’où :
06p6m
06q6n
ap bq (X p0 X q + X p X q0 ) =
06p6m
X
06p6m
ap bq X p0 X q +
X
06p6m
06q6n
06q6n
06q6n


 


m
n
m
n
X
X
X
X
=
ap X p0  
bq X q  + 
ap X p  
bq X q0  = A0 B + AB 0 .
p=0
q=0
p=0
q=0
7
ap bq X p X q0
3.1.3
Lien avec la dérivée des fonctions
On se place ici dans R[X].
f0 = P̃ 0 .
La propriété suivante est immédiate : ∀P ∈ R[X], P
La dérivée de la fonction polynomiale ne peut être définie (à notre niveau) que pour une fonction de variable réelle.
f0 = P̃ 0 .
On peut néanmoins envisager une fonction P̃ : R → C pour tout polynôme P ∈ C[X] et qu’on a encore P
3.2
3.2.1
Dérivées successives
Définition et linéarité
Définition
On définit par récurrence P (k) pour tout polynôme P ∈ K[X] et tout k ∈ N en posant
P (0) = P et ∀k > 1, P (k) = (P (k−1) )0 .
Par récurrence, la dérivation à l’ordre k est linéaire i.e. :
∀A, B ∈ K[X], ∀α, β ∈ K, ∀k ∈ N, (αA + βB)(k) = αA(k) + βB (k) .
Exercice 8
Que vaut (X n )(p) pour tout n et tout p entiers naturels?
3.2.2
Formule de Leibniz
De la même façon que pour les fonctions de variable réelle, on montre que :
∀n ∈ N, ∀A, B ∈ K[X],
(AB)(n)
=
n X
n
p=0
p
(p)
A
B
(n−p)
=
n X
n
p=0
p
A(n−p) B (p)
On pourra observer que, dans la démonstration par récurrence de la formule de Leibniz pour les fonctions, on
n’utilise que les propriétés algébriques de la dérivation.
3.2.3
Formule de Taylor
Dans le théorème qui suit, il n’y a aucune fonction de variable réelle ou complexe. La formule donnée est d’abord
algébrique. C’est une formule exacte, c’est-à-dire sans reste de la forme o((x − a)n ).
Théorème (Formule de Taylor).
Pour tout polynôme P ∈ K[X], pour tout entier naturel n > d◦ (P ) et tout élément a dans K , on a :
P =
n
X
P (k) (a)
k=0
k!
8
(X − a)k
Vérifions d’abord que si la formule est vraie pour deux polynômes P et Q, alors elle est vraie pour λP + µQ.
n
n
X
X
P (k) (a)
Q(k) (a)
En effet, si P =
(X − a)k et Q =
(X − a)k avec n > max{d◦ (P ), d◦ (Q)} alors, on a :
k!
k!
k=0
k=0
n
n
X P (k) (a)
X
X
Q(k) (a)
(λP + µQ)(k) (a)
k
k
λP + µQ = λ
(X − a) + µ
(X − a) =
(X − a)k .
k!
k!
k!
k=0
k=0
k=0
Cette propriété s’étend, par récurrence, à une combinaison linéaire d’un nombre fini quelconque de polynômes.
Il reste à prouver que cette formule est vraie pour les monômes X n , n ∈ N.
n n
X
X
n
n!an−k
Or on a X n = (X − a + a)n =
(X − a)k an−k =
(X − a)k .
k!(n − k)!
k
k=0
k=0
n!
n
(k)
Or on a vu en exercice que (X ) = n(n − 1) · · · (n − k + 1)X n−k =
X n−k . En évaluant en a, on obtient
(n − k)!
la formule de Taylor pour le polynôme X n .
3.3
Racines
Définition
Soit P ∈ K[X], un polynôme non constant et a ∈ K.
On dit que a est racine de P lorsque P (a) = 0.
3.3.1
Caractérisation par la divisibilité
On a la propriété suivante :
Propriété
Soit P un polynôme non constant et a ∈ K.
a est racine de P si et seulement si (X − a)|P
Démonstration
On a vu dans l’exercice 7 que le reste de la division de P par X −a est P (a). La propriété en résulte immédiatement.
3.3.2
Nombre de racines et degré
Proposition
Soient n ∈ N∗ , P ∈ K[X] et x1 , . . . ,xn , n éléments de K deux à deux distincts.
n
Y
Si les xi , 1 6 i 6 n sont des racines de P alors
(X − xi ) | P .
i=1
Démonstration
La propriété est vraie au rang 1.
On suppose qu’elle est vraie au rang n − 1 et on prend les hypothèses du rang n.
Comme xn est racine de P , il existe Q ∈ K[X] tel que P = (X − xn )Q.
Pour tout i de 1 à n − 1, xi est racine de Q car 0 = P (xi ) = (xi − xn )Q(xi ) et xi − xn 6= 0.
n−1
Y
Il résulte de l’hypothèse de récurrence qu’il existe B ∈ K[X] tel que Q = B
(X − xi ).
i=1
Alors P = (X − xn )Q = (X − xn ) × B
n−1
Y
n
Y
(X − xi ) = B (X − xi ) et la propriété est vraie au rang n.
i=1
i=1
9
Comme corollaire, on a la propriété suivante :
Théorème
Soit n ∈ N et P ∈ K[X] un polynôme de degré inférieur ou égal à n.
Si P admet n + 1 racines deux à deux distinctes, alors P est nul.
Démonstration
On pose, d’après la propriété précédente, P = Q
n+1
Y
(X − xi ) où les x1 , 1 6 i 6 n + 1, sont les racines deux à
i=1
deux distinctes dont l’existence est supposée.
On a d◦ (Q) + n + 1 = d◦ (P ) 6 n d’où d◦ (Q) < 0 ce qui n’est possible que si d◦ (Q) = −∞ d’où Q = 0 puis P = 0.
C.Q.F.D.
Autre exemple important
Soit P un polynôme unitaire de degré n. Si l’on a trouvé n racines de P : x1 , . . . ,xn deux à deux distinctes, alors
n
Y
on a toutes les racines et P =
(X − xi ).
i=1
Exercice 9
Établir l’identité suivante :
∀n ∈ N∗ , X n − 1 =
n−1
Y
X − e2ikπ/n
k=0
3.3.3
Multiplicité
Définitions
Soient P un polynôme, m un entier et a un élément de K.
∗ On dit que a est racine de P de multiplicité m lorsque (X − a)m |P et (X − a)m+1 6 |P
∗ On dit que a est racine de multiplicité au moins m lorsque (X − a)m |P .
∗ Par extension, on dit que a est racine de multiplicité 0 lorsqu’elle n’est pas racine de P .
∗ Une racine de multiplicité 1 est dite simple, si elle est de multiplicité 2, on dit qu’elle est double , etc.
Propriétés
• Soient P ∈ K[X], a ∈ K et m ∈ N.
a est racine de P de multiplicité m si et seulement s’il existe Q ∈ K[X], P = (X − a)m Q et Q(a) 6= 0.
• Si a est racine de P de multiplicité m > 1 alors a est racine de P 0 de multiplicité m − 1.
• L’ordre de multiplicité d’un élément a ∈ K en tant que racine d’un polynôme P 6= 0 est le premier entier
k > 0 tel que P (k) (a) 6= 0.
Démonstrations
10
• Soit a de multiplicité au moins m ; il existe Q tel que P = (X − a)m Q. Si Q(a) = 0 alors (X − a)|Q donc
(X − a)m+1 |P .
Inversement si (X − a)m+1 |P , on écrit (X − a)m Q = P = (X − a)m+1 Q1 ; il en résulte :
(X − a)m [Q − (X − a)Q1 ] = 0. Alors par intégrité, on a Q = (X − a)Q1 d’où Q(a) = 0.
• On pose P = (X − a)m Q avec Q(a) 6= 0. On alors P 0 = m(X − a)m−1 Q + (X − a)m Q0 = (X − a)m−1 Q1
avec Q1 = mQ + (X − a)Q0 d’où Q1 (a) 6= 0.
C.Q.F.D.
• D’après ce qui précède, si a est racine de P de multiplicité m alors, pour tout k 6 m, a est racine de
P (k) de multiplicité m − k. En particulier ∀k < m, P (k) (a) = 0 et P (m) (a) 6= 0.
Inversement, si m est le premier k tel que P (k) (a) 6= 0 alors, pour n > d◦ (P ), la formule de Taylor donne :
n
n
X
X
P (m) (a)
P (k) (a)
P (k) (a)
P =
(X − a)k = (X − a)m Q où Q =
(X − a)k−m d’où Q(a) =
6= 0.
k!
k!
m!
k=m
k=m
C.Q.F.D.
3.3.4
Somme des multiplicités
Propriété
Soient P ∈ K[X], x1 , . . . ,xp des racines de P deux à deux distinctes et de multiplicités respectives m1 , . . . ,mp .
p
Y
Alors
(X − xi )mi |P .
i=1
Démonstration par récurrence sur p.
Au rang 1 c’est déjà fait. On suppose la propriété vraie au rang p − 1 et on se met dans le cadre des hypothèses
du rang p.
p−1
Y
On peut déjà poser P = Q1
(X − xi )mi en utilisant l’hypothèse de récurrence.
i=1
Comme les xi sont deux à deux distincts, P (xp ) = 0 ⇒ Q1 (xp ) = 0.
Soit k > 1 la plus grande puissance de (X − xp ) divisant Q1 . On a k 6 mp car (X − xp )k |P .
On pose Q1 = (X − xp )k Q avec Q(xp ) 6= 0. Par ailleurs, il existe Q2 tel que P = (X − xp )mp Q2 avec Q2 (xp ) 6= 0.
p−1
Y
m
k
p
On a alors (X − xp ) Q2 = (X − xp ) Q
(X − xi )mi .
i=1
Si on avait k < mp , on aurait
(X −xp )mp −k Q2
=Q
p−1
Y
(X −xi )mi ce qui conduit à une absurdité en évaluant en xp .
i=1
On a donc k = mp d’où P = Q
p
Y
(X − xi )mi et la propriété est vraie au rang p.
i=1
Corollaire
Pour tout polynôme P ∈ K[X], la somme des multiplicités des racines de P est inférieure au degré de P .
3.3.5
Polynômes scindés
Définition
Un polynôme P ∈ K[X] est dit scindé dans K[X] lorsqu’il existe une famille (xi )16i6n d’éléments de K et un
scalaire λ non nul tel que
P =λ
n
Y
(X − xi )
i=1
11
Remarques
• Les xi ne sont pas deux à deux distincts. On peut regrouper ceux qui sont égaux. Si une valeur x apparaı̂t
m fois dans la liste (xi )16i6n , alors x est racine de P de multiplicité m.
p
Y
On peut alors écrire P = λ (X −x0i )mi où les x0i sont deux à deux distincts et de multiplicités respectives mi .
i=1
• Du fait que tous les facteurs non constants sont unitaires, λ est le coefficient dominant de P .
n
Y
• Quand on en reste à la première écriture P = λ (X − xi ), on dit que les xi , 1 6 i 6 n forment une liste
i=1
des racines de P comptées avec leur ordre de multiplicité.
• Avec la notation précédente, le degré d’un polynôme scindé est égal au nombre de ses racines comptées avec
leur ordre de multiplicité.
• La notion de polynôme scindé dépend du corps avec lequel on travaille. Ainsi, X 2 + 1 est scindé dans C[X]
mais pas dans R[X].
3.3.6
Somme et produits des racines d’un polynôme scindé
Exercice 10
Soient x1 , . . . ,xn ∈ K et P =
n
Y
(X − xi ).
i=1
1. Exprimer le terme constant de P au moyen des xi , 1 6 i 6 n.
2. Montrer par récurrence que le coefficient de
X n−1
dans le développement de P est : −
n
X
xi .
i=1
3. Soit A =
n
X
ak X k un polynôme scindé de degré n et de racines λ1 , . . . ,λn (comptées avec leur ordre de
k=0
multiplicité).
n
n
X
Y
Exprimer
λi et
λi au moyen de certains coefficients de A.
i=1
4
i=1
Décomposition en facteurs irréductibles
4.1
4.1.1
Généralités
Notion de polynômes irréductibles
Définition
Dans K[X], un polynôme P non constant est dit irréductible lorsque
∀A, B ∈ K[X], AB = P ⇔ (A est constant ou B est constant)
Exercice 11
1. Montrer que les polynômes de degré 1 sont toujours irréductibles autant dans C[X] que dans R[X].
2. Montrer que les polynômes de degré 2 et de discriminant strictement négatifs sont irréductibles dans R[X]
4.1.2
Décomposition en facteurs irréductibles
Le programme ne prévoit que l’étude des polynômes à coefficients dans R ou C. On admettra néanmoins que, quel
que soit le corps K, tout polynôme non constant de K[X] admet une factorisation unique en produit de polynômes
irréductibles unitaires et d’un polynôme constant (le coefficient dominant).
On peut toutefois montrer facilement que tout polynôme non constant admet un diviseur irréductible.
12
Exercice 12
Soit P un polynôme non constant.
1. Justifier que l’ensemble des degrés des diviseurs non constants de P est une partie non vide de N.
2. Montrer qu’il existe un diviseur D de P non constant de degré minimal.
3. Montrer que D est irréductible et conclure.
4.2
4.2.1
Dans C[X]
Le théorème de D’Alembert-Gauss
On admet le théorème suivant, dit de D’Alembert-Gauss :
Théorème:
Tout polynôme non constant à coefficients complexes admet au moins une racine.
(1)
Remarque
Ce théorème peut aussi s’énoncer sous les deux formes équivalentes :
Théorème : Les seuls polynômes irréductibles de C[X] sont les polynômes de degré 1.
(2)
Théorème : Tout polynôme non constant de C[X] est scindé.
(3)
Montrons l’équivalence de ces trois énoncés.
(1) ⇒ (2) Soit P de degré supérieur ou égal à 2. P admet une racine a donc est divisible par X − a et on peut
écrire P = (X − a)Q avec d◦ (Q) > 1 donc P n’est pas irréductible.
(2) ⇒ (1) Soit P non constant. On a vu en exercice que P admet un diviseur irréductible donc de degré 1 qui
peut s’écrire aX + b avec a 6= 0. Alors −b/a est une racine de P .
−b
◦
.
(1) ⇒ (3) Démonstration par récurrence sur d (P ). Au rang 1, on écrit aX + b = a X −
a
On suppose la propriété vraie au rang n − 1 et soit P de degré n. Comme P admet une racine a, il
existe un polynôme Q de degré n − 1 tel que P = (X − a)Q. On applique l’hypothèse de récurrence à
Q qui est donc scindé ce qui entraı̂ne immédiatement que P l’est aussi.
(3) ⇒ (1) Évident.
4.2.2
La décomposition en facteurs irréductibles dans C[X]
Propriétés
Pour tout P ∈ C[X] non constant, il existe un unique ensemble de couples {(xi ,mi ) ∈ C × N∗ , 1 6 i 6 p} avec les
p
Y
xi deux à deux distincts et un unique λ ∈ C∗ tels que P = λ (X − xi )mi .
i=1
Démonstration :
L’existence résulte du théorème de D’Alembert-Gauss et l’unicité du fait que les xi sont les racines de P et les
mi , leur multiplicité.
4.3
4.3.1
Dans R[X]
Les polynômes irréductibles de R[X]
On a vu en exercice que les polynômes de degré 1 et ceux de degré 2 et de discriminant strictement négatifs sont
irréductibles.
Nous allons voir que ce sont les seuls.
13
Exercice 13
Soit P ∈ R[X] et z une racine non réelle de P . Montrer que z̄ est racine de P avec la même multiplicité.
Proposition
Les polynômes irréductibles de R[X] sont les polynômes de degré 1 et ceux de degré 2 et de discriminant strictement négatif.
Démonstration
Soit P ∈ R[X] irréductible et de degré > 2. Soit z ∈ C une racine de P . z ∈
/ R sinon P est divisible par X − z.
z̄ est alors une racine distincte et, dans C[X], P est divisible par (X − z)(X − z̄). On peut donc poser, dans
C[X], P = (X − z)X − z̄)Q pour un polynôme Q ∈ C[X].
Or (X − z)(X − z̄) = X 2 − 2XRe(z) + |z|2 ∈ R[X]. Écrivons la division euclidienne de P par X 2 − 2XRe(z) + |z|2
sous la forme P = (X 2 −2XRe(z)+|z|2 )Q1 +R. Tous les polynômes de cette égalité peuvent être considérés comme
appartenant à C[X]. Alors, par unicité de la division euclidienne dans C[X], on a Q = Q1 ∈ R[X] et R = 0 donc
(X 2 −2XRe(X)+|z|2 )|P dans R[X]. Le quotient est donc constant et on peut écrire P = a(X 2 +2XRe(z)+|z|2 ).
Le discriminant de ce polynôme est ∆ = a2 (4(Re(z))2 − 4|z|2 ) = −4a2 (Im(z))2 < 0 car Im(z) 6= 0.
4.3.2
La décomposition en facteurs irréductibles dans R[X]
On se donne un polynôme P ∈ R[X] et on part de sa factorisation dans C[X]. On sépare les racines selon qu’elles
sont réelles ou non. Pour chaque racine non réelle, sa conjuguée est racine avec la même multiplicité de sorte qu’on
peut énoncer les racines de la façon suivante :
• x1 , . . . ,xp les racines réelles deux à deux distinctes et de multiplicités respectives m1 , . . . ,mp
• z1 , . . . ,zq les racines non réelles de partie imaginaire strictement positive, deux à deux distinctes et de
multiplicités respectives n1 , . . . ,nq .
• z1 , . . . ,zq les conjuguées des précédentes avec les mêmes multiplicités.
Remarque il se peut qu’il n’y ait aucune racine réelle ou, au contraire, aucune racine non réelle.
On pose enfin λ le coefficient dominant et on peut alors écrire : P = λ
p
Y
(X − xj )
mj
j=1
×
q
Y
(X − zk )nk (X − zk )nk .
k=1
Il en résulte
P =λ
p
Y
(X − xj )
j=1
mj
×
q
Y
(X 2 − 2XRe(zk ) + |zk |2 )nk
k=1
Exercice 14
1. En discutant selon que n est pair ou non, donner la décomposition primaire de X n − 1 dans R[X].
2. Trouver “à l’ancienne” la décomposition primaire de X 6 − 1, X 8 − 1 et X 12 − 1 dans R[X] et vérifier que
cela concorde avec le résultat précédent.
14