Sujets de Thermodynamique

On considère un récipient de volume fixe contenant un gaz parfait dans les conditions initiales
Po, To, Vo. (cf fig. 6)
La transformation conSiste à mettre une des parois' du récipient én contact avec une source
thermique de température fixée T,. Les autres parois restent calorifugées.
6.1 Comment qualifier la transformation?
6.2 Détenniner l'état final à l'équilibre, c'est à dire Pr, Tr, V r
6.3 Calculer les variations des fonction d'état tl.U, tl.H et AS pour la transformation.
6.4 Calculer le travail W et la chaleur (transfert thermique) Q, échangés au cours de la
transformation, ainsi que l'entropie échangée Sc .
.
.
.
6.5 En déduire l'entropie crée Sc et conclure sur la réversibilité ou non de la transformation.
Ce résultat était-il pré;"isible ? Pourquoi?
Application numérique: Po = 1 bar, To= 300 K, V o = 10 litres, Tl = 350 K
R, constante des gaz parfaits: R = 8,32 J K" mo!,1
'~g
fo'-O
Figure 6
Dans une machine frigorifique dont le fluide caloporteur est assimilable à un gaz parfait, une mole de fluide
parcourant le cycle reçoit une quantité de chaleur Q2 d'une source froide de température T 2 et une quantité de
chaleur Q, d'une source chaude de température T,. Dans le même temps, le fluide reçoit, via le compresseur,
le travail W. On donne T, = 293 K et T 2 = 268 K.
On suppose dans'un premier temps que le cycle comprend les transformations réversibles suivantes: compression adiabatique de T 2 à T" compression isotherme à TI, détente adiabatique de Tl à T 2 et détente isotherme
à T2•
1
D.II Tracer l'allure du cycle dans un diagramme cP.V).
D.21 Justifier rapidement que l'on a Q, < 0 et Q2 > O.
D.31 Définir et calculer l'efficacité 1] du cycle.
1
1
En réalité, le cycle comprend les transformations suivantes : compression adiabatique réversible de T 2 à
= 330 K, refroidissement isobare de T~ à Tl, détente adiabatique réversible de Tl à T; et échauffemen~
isobare de Tî à T 2.
T~
1
DAI Exprimer l'efficacité r( du cycle, d'abord en fonction de Tb Tî, T 2 et T~ puis seulement en fonction de
T 2 et T~. La comparer à celle obtenue avec le premier cycle.
D.sl Calculer la variation d'entropie de l'ensemble fluide-sources au cours du cycle pour une mole de fluide.
1
®
?
AD
\.JJI ftM.L
'2..;)0
~
1-1 Gaz parfait
1- Rappeler la ou les définitions d'un gaz parfait.
2- Donner un exemple de système assimilable à un gaz parfait puis à un gaz réel.
1-2 Etude d'un cycle moteur
On étudie n moles de gaz parfait auxquelles on fait décrire le cycle ABC suivant:
AB est une isotherme à la température TI = TA = TB .
BC est une isochore qui fait passer le système de TB à Tc = T, .
CA est une adiabatique.
Les trois transformations sont réversibles.
C
Données.' R = 8,32 J.KI.mot'; y = ~ = 1,4
1- Etude du cycle
1-1 Compléter le tableau suivant:
P
IPA=2'5b~
I-_B
...::T.:>,A=....;:.,37:...;:5-=K"-
.
::::::::::::::::::::::::~V~::::::::::::::::::::::::.~V:A::::=~l~L~;~::::::::::::::::::::::::-.!V.!!B_=~2,-"L==--
L -_ _......::.T
_ - + - - _ C_ _
-+
_
--'-
_
1-2 Dessiner le cycle dans un diagramme (P,V). Justifier que le cycle est moteur.
2- Etude énergétique
2-1 Déterminer et calculer pour chaque transformation le travail W et la chaleur Q (transfert
thermique) échangés avec l'extérieur.
2-2- En déduire le travail total W,,,, et la quantité de chaleur totale Qu>, échangés au cours du
cycle. Ces résultats sont-il en accord avec la nature « motrice» du cycle?
3- Rendement
3-1 Proposer une définition pour le rendement r m du moteur. Le calculer.
3-2 Comparer la valeur obtenue pour le rendement de ce cycle avec celle d'un cycle de Carnot
T
dont le rendement r, vaudrait dans les mêmes conditions de températl!re : r, = 1- T'
1
T.
0
1- ---C. .
TA
Comparer les performances des deux cycles et conclure.
1-3 Etude de transformations adiabatiques
On étudie les transformations adiabatiques des n moles précédentes du même gaz parfait. Le
gaz est contenu dans un récipient calorifugé et on lui fait subir trois détentes adiabatiques: la
première transformation est quasi-statique, la deuxième est monobare, et la troisième se fait
dans le vide.
On cherche à comparer le travail fourni au milieu extérieur par la détente ainsi que l'entropie
créée selon les modalités de la transformation.
L'état initial est défini par Pl, VI, et TI donnés.
Les trois transformations conduisent à la même pression finale P F = P, = y, PI.
On note V, et T, le volume et la température de l'état final qui peuvent être différents après
chaque transformation.
Données numériques:
PI = 2 bar,' VI = 1 L,' TI = 300 K,' Pl =
Cp
.
R = 8,32 J,K 1.mot1 ; y = Cv = 1,4
~
PI
Etat injtial
Parois et piston
alorifugés
4-
1- Généralités
1-1 Rappeler le second principe de la thermodynamique.
1-2 Etablir l'expression ilS de la variation de la fonction entropie S de n moles d'un gaz parfait.
1-3 Pour une transformation adiabatique d'un gaz parfait, exprimer l'entropie échangée par le
système avec l'extérieur, S" et l'entropie créée, Si, au cours de la transformation.
2- Détente quasi-statique.
La première transformation se fait de façon quasi-statique.
2-1 Définir ce terme. Proposer un mode opératoire.
I.III
.I_P.F
V
.,
V.'-.V.'
=.p.'=
Etat final
Y2 P,
2-2 Déterminer et calculer V, et T,lorsque la pression du gaz à l'état final, P" est diminuée de
moitié par rapport à l'état initial (P, = Y2 Pl).
2-3 Déterminer et calculer la variation d'énergie interne IlU et le travail échangé W au cours
de la transformation.
2-4 Déterminer et calculer ilS, ainsi que S,.
Cette valeur est-elle conforme à l'énoncé du second principe?
3- Détente monobare
La deuxième détente se fait en débloquant une paroi afm d'équilibrer le 'système avec la
pression extérieure constante PE = Y2 P ,= P,. Le tout restant calorifugé.
Etat final
1
.
'''~,'
."... .
.;
:: . .'
3-1 Définir le terme « monobare ».
3-2 Exprimer le travail W reçu par le gaz et la variation d'énergie interne IlU pour la détente.
3.3 Montrer que les modalités de la transformation imposent:
li..
~ .1. ['it (r -Il']
1; r
P,
3-4 Calculer numériquement V" T" et le travail W .
3-5 Déterminer et calculer ilS et S, .
3-6 Montrer que la transformation est irréversible. Justifier par des arguments physiques liés
aux modalités de la transformation.
3-7 L'état final est-il le même que pour la transformation quasi-statique? Justifier par des
arguments physiques.
3-8 Justifier qualitativement que l'on peut « réduire» l'entropie créée en « fractionnant» la
transformation étudiée en N étapes intermédiaires pour lesquelles la pression du gaz passe de
Pk à Pk+! = Pk + dP , avec dP « Pk.
3-9 En effectuant un développement limité adéquat à partir de l'expression de S, établie à la
question 3-5, montrer que pour une transformation élémentaire, effectuée entre les états
intermédiaires définis par Pk et Pk+' , l'entropie créée So" tend vers O.
Confirmer ainsi la justification qualitative donnée en 3-8.
Rappel: Pour e« 1 : In(1+ e) - e;
(1 + Eja - 1+ae
4- Détente de Joule-Gay-Lussac
La détente de Joule Gay-Lussac est une détente adiabatique dans le vide. On la réalise ici en
doublant le volume initial CV, = V 2 = 2 VI).
~Vid'1
Etat initial
I!!!!!!!v'
1
V,
1
V,
Etat final
4-1 Montrer que pour un gaz parfait cette transformation est isotherme. Que vaut alors P2?
Quelle loi thermodynamique a été déduite de l'étude expérimentale de cette transformation?
4-2 Déterminer et calculer LlS et S,.
On passe de l'état V, à l'état V 2 par une succession de N détentes adiabatiques élémentaires
dans le vide, chacune faisant passer le volume du système de V k à Vk+' = Vk+dV CdV« Vk).
4-3 Calculer S,.., entropie créée pour une transformation intermédiaire faisant passer le
volume du système deV k à Vk
4-4 Peut-on réduire' S, calculée
4-2 en « fractionnant» les étapes de la transformation?
Justifier et interpréter.
+,.·
en
5- Comparaison
5-1 Comparer les trois états fmaux définis par (P2,V2,T,).
5-2 Pour quelle transformation l'entropie créée est-elle la plus élevée?
5-3 Quelle détente fournit le plus d'énergie au milieu extérieur?
5-4 Justifier les différences observées par des arguments physiques.
L'atmosphère est essentiellement constituée d'un mélange gazeux, l'air. Ce mélange est constitué
d'environ 78% de diazote, de 21% de dloxygène, moins de 1% de d'argon, de 0,03% de dioxyde de carbone
et d'une multitude de traces d'autres gaz (néon, krypton, hélium, ozone, dlhydrogène, xénon).
On considère que l'air suit la loi des gaz parfaifs : PV" RT pour une mole. On notera p la masse volumique
de "air. Le problème est paramétré par un axe vertical Oz orienté vers le haut
1- Montrer que la valeur de R est 8,32 5.1. Préciser son unité.
2- Déterminer, compte tenu de la composition de l'air, que la masse molaire de l'air vaut:
M ,,29 g.mor' . On donne (en g.mor' ); M(Ar) " 40; M(O) = 16·et M(N) = 14.
3- Montrer que l'équilibre hydrostatique peut s'écrire: dP = -pgdz et définir g.
On suppose que pour des altitudes allant de 11 km à 20 km, la température T de "atmosphère est
constante. On supposera que g garde une valeur constante.
Mg.
4- Etablir l'expression de la pression à une altitude z; P(z) = Ke-liT. On précisera la dimensIon et
la signification de la constante K.
5- On note n(z) la densité volumique de molécules à l'altitude z.
5-1 Montrer que l'équation d'état des gaz parfaits s'écrit: P = nkT où k =.!... est la constante de
NA
Boltzmann et NA la constante d'Avogadro.
5-2 Etablir l'expression de n(z).
5-3 Montrer qu'à partir de l'expression de n(z) et de la connaissance de R et m (masse des
particules), on peut déterminer la constante d'Avogadro.
5-4 Application numérique; En 1827, Brown, a pour la première fois observé le mouvement
d'agitation moléculaire. La répartitIon dans une colonne verticale à température constante
de grains, de masse moyenne m, plongés dans la glycérine suit la loi n(z} établie
précédemment.
_,
.1'
On donne g = 9,81 ms , m =10
{N1 = 560 à l'altitude ~ = 2mm
= 5 à l'altitude Z2 = 2,2 mm où NI
g, T=300K et N
2
est le nombre de particules observé.
Le but de cet exercice est d'étudier le fonctiormement du cycle d'une turbine. Le gaz décrivant le cycle.
thermi'j.ue sera supposé parfait. Le gaz initialement à la température T, et pression P, est 'comprimé de
manièie adiabatique et réversible jusqu'à l'état 2 (température T" pression P2). Il se trouve alors au contact
de la source chaude ot) il se réchauffe de manière isobare jusqu'à la température T, , il est alors dans l'état 3.
Le gaz se détend ensuite de manière adiabatique réversible jusqU'à la pression P,. En fin de détente, sa
température est T., il est dans l'état 4. Il achève le cycle au contact de la source froide où il se refroidit de
maniére isobare pour se re!rouver dans l'état!.
On note y =
t,
les capacités thermiques sont exprimées en ].K·'.mol·' .
1- Etablir pour un gaz parfait la relation: S2 - S,
= Cp ln (~:) -
nRln~:).
= nR. En déduire les expressions de Cp et Cv en fonction
de n, Rety.
En déduire la relation de Laplace (en fonction de P et T) obtenue lors d'une transformation
adiabatique réversible d'un gaz parfait
Tracer l'allure du cycle dans le diagramme (P,V) en indiquant le sens de parcours.
Déterminer les expressions des températures T2 etT. en fonction de P" P" T" T, ety.
Etablir les expressions des travaux (en fonction des températures) pour chacune des
transformations.
Etablir les expressions des !ransferts thermiques pour chacune des transformations.
Dormer la définition du rendement f] du cycle. Exprimer ce rendement en fonction wùquement des
transferts thermiques avec les sources chaude et froide.
2- On rappelle la relation de Mayer Cp - Cv
3456-
78-
==r
9- Montrer que le rendement se met sous la forme ry = 1 - a y où a =' p'.
P,
10- Avec lequel des trois gaz suivants obtiendra-t-on le meilleur rendement?
Gaz
Ar on
Air
Dio de de carbone
Valeur de
1,67
1,40
1,31
11- Dormer les valeurs de T2, T. et f] pour y=1,67, a = 4,0, P, -1 bar, T, = 300K et T, - 900K.
12- Comparer la valeur du rendement obtenu à la question 11- avec le rendement que l'on obtiendrait
pour un cycle de Carnot évoluant entre une source froide à T, et une source chaude à T,. Conclure.
Diagramme (P,T) de l'·eau
On donne ci-dess9us le diagramme (P,T) de l'eau, Reproduire ce diagramme sur votre copie;
1-
p
B
T
1"
234-
Que représente chacune des 3 courbes tracées?
Préciser la forme stable de l'eau dans les trois zones du plan.
Donner les noms des points A et B.
la lyophilisation d'un aliment consiste en la subiimation de l'eau contenue dans l'aliment.
Préciser si l'on doit travailler à haute ou basse pression. Dans le cas d'une lyophilisation
isobare, représenter la transformation dans le diagramme (P,T).
11- """. Détermination de grandeurs thermodvnamigues de l'eau
Pour déterminer l'enthalpie massique de fusion de la glace, on utilise une méthode calorimétrique. On
néglige
transferts thermiques entre le calorimètre et l'extérieur.
e;,';. c-Un..calorimètre contient,une'massemF = 100·g.d'.eau-irt'=·lS,3 o.C.. On.y·.verse une.masse
me = SO,O g d'eau à le = 60,0 oC. la température d'équilibre est de 4. = 35,9 oc. En
déduire la capacité thermique du calorimètre et de ses accessoires. On donne la capacité
'thermlque massique de l'eau: c. = 4,18 kJ.kg·'.I(',
2- On considere ce calorimètre contenant une masse d'eau m. = 315 g d'eau à t F= 18,3 oc.
• On y introduit un glaçon de masse m~ = 42,0 g à t'G = - 25,5 oC. Il y a fusion totale
de la glace et la température d'équilibre est t~q = 5,60 oc.
f.ts
•
On recommence l'expé~ience (même calorimètre, même quantité d'eau initiale,
même température), mais.on introduit celte fois.un glaçon de masse m~ = 35,0 g
à la température de 0,00 oc. la nouvelle température d'équilibre est
=8,80 -c.
t;q
Déduire des deux expériences:
~ l'enthalpie massique de fusion notée L,de la glace.
~ la capacité thermique massique c. de la glace.
Thennodynamique
Dans ce problème on envisage différentes transformations, réversibles ou non, d'un gaz, parfait ou
réel.
1/ comporte plusieurs parties largement indépendantes.
Tout résultat fourni par l'énoncé 'devra être établi de façon rigoureuse pour que les points
concernant sa démonstration soient attribués. ,Par contre, même non démontré, il pourra être
utilisé, si besoin, dans les questions suivantes.
Partie A : Ecoulements stationnaires
Une machine (pompe, turbine, détendeur...) est traversée par un fluide (liquide ou gaz) en
écoulement stationnaire. 'On note Dm le débit massique de l'écoulement
(h,
P ,
u,' ,VI, RT.)
(u
v .J;, T2 )
2 ) ~) 2 •
,Machine
L,L"
L,L',
-
On note respectivement u"
h" v, l'énergie interne massique, l'enthalpie massique, le volume
massique'ifu fluide, 1; sa température, p, sa pression, J'indice i étant égal à 1 en amont et à 2 en
aval de la machine.
:~
On note respectivement w, le travail utile massique et q le transfert thermique massique reçus
par le fluide dans la machine, par unité de masse.
(S) constitué par le fluide compris entre les sections L,
L', et L', à la date t + dt.
On considère le système fermé
date t et entre les sections
1. On note dm, la masse de fluide comprise à la date t entre les plans L, et L', et
et
L,
à la
dm, la masse
• de fluide comprise à la date t+dt entre les plans L2, et L',. Montrer, par un bilan de matière
'que ces deux masses sont égales. Par la suite on notera dm leur valeur commune.
2. Montrer que le travail des forces de pression s'exerçant entre t et t + dt sur le système fermé
"(8)
s'écrit: ôWp=(p'v,-~v,)dm.
3. En appliquant le premier principe au système
(8)
entre t et t + dt établir la relation:
Il, -h, = w,+q
On négligera les variations d'énergie cinétique et potentielle du fluide.
Partie B : Cycle de Rankine avec surchauffe
On fait décrire à de j'eau le cycle composé des transformations réversibles suivantes:
?
?
Compression isentropique 1-2 dans·une pompe.
Succession de transformations isobares 2-3, 3-4 et 4-5 dans T
une chaudière.
? Détente isentropique 5-6 dans une turbine à vapeur.
? Cond.ensation Isotherme 6-1 dans un condenseur.
2
;"On donne: p. = 0,2 bar , 'P, 40 bar ,r, 540°C
.-j
=
=
Des valeurs thermodynamiques de· l'eau, relevées ·flans les tables
sont fournies en annexe.
.v"peur
P. .
...:.'.--, 6
: ,. ...
liquide + vapeur
,
.
p.-:.~_-,.:~t
S
1. Le liquide pouvant être considéré incompressible au niveau de la pompe, montrer que le travail
massique utile fourni par celle-ci s'écrit: w. = (~-p')v. Calculer numériquement ce travail en
prenant v=I,OI72 10" m' . kg" .
2. On définit le titre en vapeur
Xv
d'un mélange diphasé constitué d'une masse m, de vapeur et
d'une masse m, de liquide· par x
littérale de
Xv
mv
mll+m,
•
Etablir en fonction des données l'expression
dans l'état 6 puis calculer sa valeur numérique.
3. Définir puis calculer le rendement du cycle.
Annexes
- Valeursthermodvnamiauesde saturation
Enthalpies massiaues
.Entropies massiaues
T
p
oC
bars
P
h"
kl.kg- I
kl.kg-
SI
SV
-.
I
., .
kl.kg-1X- 1
60,6
251,4
2608,9
0,8320
7,9072
~=40
250,4
t087,5
2800,8
2,7968
6,0696
T(OC)
540
Valeurs thermodvnamiques de j'eau vapeur
Entropie massique
Enthalpie massique h
3537,5 kl.kg- I
.
kl.kg- 1X- 1
Fi =0,2
(bars)
40
hl
s
7,2075·kl. kg -1 .K-
1
Partie C : Détentes de Joule
1. Détente de Joule-Gay Lussac
1.1. Décrire un dispositif expérimental permettant de réaliser la détente de Joule-Gay Lussac
d'un gaz.
1.2. Montrer que' la détente de Joule-Gay Lussac est à énergie interne constante.
1.3. Déterminer le signe de la variation d'entropie du gaz au cours de la détente et conclure.
2. Détente de Joule-Thomson
2.1. Décrire un dispositif expérimental permettant de réaliser la détente de Joule-Thomson d'un
gaz.
2.2. Montrer que la d~tente de Joule-Thomson est isenthalpique.
2.3. Déterminer le signe de la variation d'entropie du gaz au cours de la détente et conclure.
3. Détente de Joule d'un gaz parfait
3.1. Qu'est-ce qui caractérise les détentes de Joule-Gay Lussac et de Joule-Thomson d'un gaz
parfait?
3.2. Que peut-on en déduire concernant le gaz parfait?
3.3. Rappeler les définitions de la capacité calorifique à volume constant C, et de la capacité
calorifique à pression constante Cp d'un système quelconque.
3.4. Comment se traduisent ces définitions dans le cas d'un gaz parfait?
3.5. En déduire la relation de Mayer pour un gaz parfait.
4. Détente de Joule d'un gai: réel
On considére maintenant un gaz réel dont l'équation d'état peut-être mise sous la forme
T=f(P,V) .
On ra~lIe que si la différentielle d'une fonction f(x,y) de deux variables x et y s'écrit
df = ~,y)dx+B(x,y)dy où A(x,y) et B(x,y) sont deux fonctions de x et y, alors:
A(X,y)=(~)y ; B(x,y)=(~l ;(~l =(~~)y
4.1. On considére l'énergie interne U(T,V) et l'entropie S(T,V) du gaz comme fonctions des
paramétres d'état
4.1.1. Etablir
(T,V).
le~.·..expressions de leurs différentielles en fonction de
C" T, P,
(~~l,
dT et dV.····
4.1.2. Montrer que dUpeut'se mettre sous la forme; dU =
c,dT+(T(~~l-p )dV
4.2. On considére l'~nthalpie H(T,P) et l'entropie S(T,P) du gaz comme fonctions des
paramètres d'état
(T,P).
4.2.1. Etablir le;;xpressions de leurs différentielles en fonction de Cp' T, V et
dT et dP.
(~~)r'
4.2.2.. On définit le coefficient de dilatation isobare du gaz par:
que dH se met sous la forme: dH
_~(dV)p
a-V dT
.
Montrer
=CpdT +V(l-ar)dP.
4.3. On fait subir une détente de Joule Gay-Lussaè à une mole de gaz de Van der Waals, dont
I:é~.uation d'état ~'écrit : (P+ ;2 )CV -b) . R~ où a = 0,14 Pa· m~ e~ ~ 3,~ 1.0.-s m
Au' ~o~~s d~ cette détente le g~i pa~s'e d~ ~olu~ne· V; , 1,00 L a~ v6IU~~· V ='Ù>;OL'~ On
3
•
.•
••
·...·l .
~
.
2
admettra que la capacité calorifique molaire à volume constant du gaz reste constante et
égale à celle d'un gaz parfait diatomique.
4.3.1. Détenniner la variation de température du gaz au cours de la détente.
4.3.2. QUelle remarque peut-on faire lorsqu'on fait tendre a vers 0 ?
4.4. On fait subir une détente de Joule Thomson à un gaz de Clausius, dont l'équation d'état
ramenée à une mole de gaz s'écrit: p(V -b) RT où b 3,210-5 m 3 • Au cours de cette
=
=
=
=
détente le gaz passe de la pression ~ 2,00 bar à la pression .fi 1,00 bar. On
admettra que la capacité calorifique molaire à pression constante du gaz reste constante
et égale à celle d'un gaz parfait diatomique.
4.4.1. Déterminer la variation de température du gaz au cours de la détente.
4.4.2. Quelle remarque peut-on faire lorsqu'on fait tendre b vers 0 ?
. Thermodynamique du moteur Diesel
1) Questions préliminaires
On considère un système matériel quelconque, pouvant échanger avec l'extérieur du travail Wet
de la chaleur Q.
a) Rappeler la relation générale qui découle du premier principe de la thermodynamique,
reliant Wet Q.
b) Quelle inégalité déduit-on du deuxième principe de la thermodynamique pour la
variation L1S' de l'entropie d'un système mis en contact successif avec différents
thermostats de températures différentes TI avec lesquels il échange des chaleurs Qi? Que
devient-elle si le système effectue un cycle?
c) Soit = Cpm IC,m le rapport des capacités thermiques molaires d'un gaz parfait de
pression P, de volume Vet de température T. Ecrire la relation entre P et V lors d'une
transformation adiabatique quasistatique ou réversible d'un gaz parfait, puis celle reliant
T et V, et enfin entre P et T.
d) Quelle est la variation d'entropie du gaz lors de cette transformation?
r
2) Cycle moteur ditherme théorique
On considère un système thermodynamique (par exemple une masse donnée de fluide) subissant
un cycle moteur constitué de transformations successives quelconques au cours duquel il
n'échange de la chaleur qu'avec deux thermostats (chaleur Qr avec le thermostat froid à la
température Tf; chaleur Qc avec le thermostat chaud à la température Tc), et du travail Wavec le
milieu extérieur (fig.2). Conventionnellement, la chaleur et le travail échangés sont positifs s'ils
sont absorbés par le système, et négatifs s'ils sont fournis par lui.
thermostat
froid
thermostat
chaud
milieu
extérieur
~
Préciser les signes de Qr. Qc et W du cycle moteur, et définir son rendement énergétique Tl.
b) Exprimer Tl comme une fonction exclusive de Qfet de Q...
c) Montrer que Tl est toujours inférieur à une valeur limite que l'on déterminera en fonction des
températures Tf et Tc.
a)
3) .Modélisation du cycle moteur réel
On considère dans cette question un diagramme représentant la température T (ordonnée) en
fonction de l'entropie S (abscisse). Le moteur Diesel est construit d'après les contraintes
mécaniques suivantes:
• volume minimum de la chambre de combustion VH
• volume maximum de la chambre de combustion VB
• pression maximale tolérée PM
• température maximale tolérée TM.
Le système thermodynamique subissant le cycle moteur est constitué du mélange {air - essence produits de combustion} considéré comme un gaz parfait dont on supposera la quantité de
matière n et les caractéristiques moyennes (Cvm; Cpm• 11 constants par souci de simplicité. De
même, on néglige l'influence des phases {aspiration de l'air frais - refoulement des gaz
d'échappement} .
a) Sur un diagramme {T, S} (voir lajigure 3), tracer qualitativement les deux courbes isochores
V= VH et V= Va (on justifiera brièvement leur allure).
b) Tracer de même la courbe isobare P = PM en supposant que la température T3 (VH , PM) est
inférieure à TM Gustifier son allure).
c) Compléter le cycle sur le diagramme {T, S} par deux isentropiques, 1 ... 2 et 4 ... 5, en
identifiant les cinq phases du cycle à celles du cycle Diesel représenté ci-dessous sur le
diagramme de Watt de la figA.
P
T
3i--->..........
2
1
1
1
liaa'd'!:!,m~is!.!:sio~n~2::::==-.:t
Di ~échappemen(
s
s,
[&JI
VH
w.g;]
5
Il
V
VB
d) Expliquer pourquoi le diagramme {T, S} permet de visualiser directement le rendement Tl du
cycle dans le cas d'un fonctionnement réversible du moteur.
4) Paramétrage du cycle
Soient a = VB/VH le rapport volumétrique d'un cylindre; b = P3 /P2 la surpression et r = V4 /VH
le rapport de surchauffe.
a) Exprimer les chaleurs Q23 et Q34 fournies par la combustion du carburant en fonction de n, R,
y,Tz.fJ,h
b) Exprimer le rendement 17 en fonction uniquement des chaleurs des phases utiles du cycle.
c) En déduire l'expression de Tl en fonction de ret des cinq températures TI à T5 exclusivement.
d) Exprimer T2 et P2 en fonction de TI et PI respectivement, et de a et Ye) Exprimer T3 et T4 en fonction de TI, a, b. r et Yf) Exprimer T5 en fonction de TI, b, r et Yg) En déduire l'expression du rendement: Tl = 1-
1
br' -1
a'- (rbr+b-rb-1)
h) La pression PM devant rester inférieure à la pression d'autoinflammation, on se fixe P3=aPl.
D'autre part, la température maximale atteinte est T4=/3 TI et on obtient la valeur p pour r. En
déduire les expressions de a et de b en fonction de a, f3, ret p.
i) Application numérique: a=54 /3=9,0 r=1,4 p=1,5. Calculer a, b et 17 (on arrondira les
calculs à deux chiffres significatifs).
j) Calculer la température T4 si TI=27°C. Quelle est la valeur du rendement maximal possible?
Conclure.