Sujets de Thermodynamique

On considère un récipient de volume fixe contenant un gaz parfait dans les conditions initiales
Po, To, Vo. (cf fig. 6)
La transformation conSiste àmettre une des parois' du récipient én contact avec une source
thermique
de température fixée T,. Les autres parois restent calorifugées.
6.1 Comment qualifier la transformation?
6.2 Détenniner l'état final àl'équilibre, c'est à dire Pr, Tr, Vr
6.3 Calculer les variations des fonction d'état tl.U, tl.H et AS pour la transformation.
6.4 Calculer le travail W et la chaleur (transfert thermique) Q, échangés au cours de la
transformation, ainsi que l'entropie échangée Sc . . . .
6.5 En déduire l'entropie crée Sc et conclure sur la réversibilité ou non de la transformation.
Ce résultat était-il pré;"isible ?
Pourquoi?
Application numérique: Po =1bar, To= 300 K, Vo= 10 litres, Tl =350 K
R, constante des gaz parfaits: R= 8,32 J K" mo!,1
'~g fo'-O
Figure 6
Dans une machine frigorifique dont le fluide caloporteur
est assimilable à un gazparfait, une mole de fluide
parcourant le cycle reçoit une quantité de chaleur
Q2 d'une source froide de température T2 et une quantité de
chaleur Q,
d'une source chaude de température T,. Dans le même temps, le fluide reçoit, via le compresseur,
le travail W. On donne
T, = 293 Ket T2= 268 K.
On suppose dans'un premier temps que le cycle comprend les transformations réversibles suivantes: com-
pression adiabatique de T2à
T" compression isotherme à TI, détente adiabatique de Tl àT2et détente isotherme
àT2•
1D.II Tracer l'allure du cycle dans un diagramme cP.V).
1 D.21 Justifier rapidement que l'on aQ, <0et Q2 > O.
1 D.31 Définir et calculer l'efficacité 1] du cycle.
En réalité, le cycle comprend les transformations suivantes :compression adiabatique réversible de T2à
T~ = 330 K, refroidissement isobare de T~ à Tl, détente adiabatique réversible de Tl àT; et échauffemen~
isobare de Tî à T 2.
1 DAI Exprimer l'efficacité r( du cycle, d'abord en fonction de Tb Tî, T2 et T~ puis seulement en fonction de
T2et
T~. La comparer àcelle obtenue avec le premier cycle.
1 D.sl Calculer la variation d'entropie de l'ensemble fluide-sources au cours du cycle pour une mole de fluide.

®? AD \.JJI ftM.L '2..;)0 ~
1-1 Gaz parfait
1- Rappeler la ou les définitions d'un gaz parfait.
2- Donner un exemple
de système assimilable à un gaz parfait puis àun gaz réel.
1-2
Etude d'un cycle moteur
On étudie nmoles de gaz parfait auxquelles on fait décrire le cycle ABC suivant:
AB est une isotherme àla température TI = TA = TB .
BC est une isochore qui fait passer le système de TB à Tc = T, .
CA est une adiabatique.
Les trois transformations sont réversibles.
C
Données.' R=8,32 J.KI.mot'; y= ~ = 1,4
1- Etude du cycle
1-1 Compléter le tableau suivant:
P IPA=2'5b~ I-_B _-+--_C __
::::::::::::::::::::::::~V~::::::::::::::::::::::::.~V:A::::=~l~L~;~:::::::::::::::::::::::: -.!V.!!B_=~2,-"L==-- -+ _
L- __ ......::.T ...::T.:>,A=....;:.,37:...;:5-=K"- .. --'- _
1-2 Dessiner le cycle dans un diagramme (P,V). Justifier que le cycle
est moteur.
2- Etude énergétique
2-1 Déterminer et calculer pour chaque transformation le travail Wet la chaleur Q(transfert
thermique) échangés avec l'extérieur.
2-2- En déduire le travail total
W,,,, et la quantité de chaleur totale Qu>, échangés au cours du
cycle. Ces résultats sont-il
en accord avec la nature « motrice» du cycle?
3- Rendement
3-1 Proposer une définition pour le rendement rm du moteur. Le calculer.
3-2 Comparer la valeur obtenue
pour le rendement de ce cycle avec celle d'un cycle de Carnot
T T.
dont le rendement r, vaudrait dans les mêmes conditions de températl!re :r, = 1- T' 0 1- ---C. .
1 TA
Comparer les performances des deux cycles et conclure.
1-3 Etude de transformations adiabatiques
On étudie les transformations adiabatiques des nmoles précédentes du même gaz parfait. Le
gaz est contenu dans un récipient calorifugé
et on lui fait subir trois détentes adiabatiques: la
première transformation est quasi-statique, la deuxième est monobare, et la troisième se fait
dans le vide.
On cherche àcomparer le travail fourni au milieu extérieur par la détente ainsi que l'entropie
créée selon les modalités de la transformation.
L'état initial est défini par Pl, VI, et TI donnés.
Les trois transformations conduisent àla même pression finale PF=
P, = y, PI.
On note V, et
T, le volume et la température de l'état final qui peuvent être différents après
chaque transformation.
Données numériques:
PI = 2 bar,' VI = 1 L,' TI =300 K,' Pl = ~ PI
11
Cp .
R=8,32 J,K .mot ;y= Cv =1,4

Parois et piston
4- alorifugés Etat injtial
Etat final
1- Généralités
1-1 Rappeler le second principe de la thermodynamique.
1-2 Etablir l'expression ilS de la variation de la fonction entropie Sde nmoles
d'un gaz parfait.
1-3 Pour une transformation adiabatique d'un gaz parfait, exprimer l'entropie échangée par le
système avec l'extérieur, S" et l'entropie créée,
Si, au cours de la transformation.
2- Détente quasi-statique.
La première transformation se fait de façon quasi-statique.
2-1 Définir ce terme. Proposer un mode opératoire.
I.III
V
., V.' -.V.' .I_P.F =.p.' = Y2 P,
2-2 Déterminer et calculer V, et T,lorsque la pression du gaz àl'état final, P" est diminuée de
moitié par rapport àl'état initial (P, =
Y2 Pl).
2-3 Déterminer et calculer la variation d'énergie interne IlU et le travail échangé Wau cours
de la transformation.
2-4 Déterminer et calculer ilS, ainsi que S,.
Cette valeur est-elle conforme àl'énoncé du second principe?
3- Détente monobare
La deuxième détente se fait en débloquant une paroi afm d'équilibrer le 'système avec la
pression extérieure constante PE=
Y2 P ,= P,. Le tout restant calorifugé.
1
. '''~,' ."... . .; :: . .'
Etat final
3-1 Définir le terme «monobare ».
3-2 Exprimer
le travail Wreçu par le gaz et la variation d'énergie interne IlU pour la détente.
3.3 Montrer que les modalités de la transformation imposent:
li.. ~ .1. ['it (r -Il']
1; r P,
3-4 Calculer numériquement V" T" et le travail W .
3-5 Déterminer et calculer ilS et S, .
3-6 Montrer que la transformation est irréversible. Justifier par des arguments physiques liés
aux modalités de la transformation.
3-7 L'état final est-il
le même que pour la transformation quasi-statique? Justifier par des
arguments physiques.
3-8 Justifier qualitativement que l'on peut «réduire» l'entropie créée en «fractionnant» la
transformation étudiée en N étapes intermédiaires pour lesquelles la pression du gaz passe de
Pk à Pk+! = Pk +dP ,avec dP «Pk.
3-9 En effectuant un développement limité adéquat àpartir de l'expression de S, établie àla
question 3-5, montrer que pour une transformation élémentaire, effectuée entre les états
intermédiaires définis par
Pk et Pk+' ,l'entropie créée So" tend vers O.
Confirmer ainsi lajustification qualitative donnée en 3-8.
Rappel: Pour e« 1 : In(1+ e) - e; (1 + Eja -1+ae

4- Détente de Joule-Gay-Lussac
La détente de Joule Gay-Lussac est une détente adiabatique dans le vide. On la réalise ici en
doublant le volume initial CV, =V2=2VI).
I!!!!!!!v' ~Vid' 1
1 V, V, 1
Etat initial
Etat final
4-1 Montrer que pour un gaz parfait cette transformation est isotherme. Que vaut alors P2?
Quelle loi thermodynamique aété déduite de
l'étude expérimentale de cette transformation?
4-2 Déterminer
et calculer LlS et S,.
On passe de l'état V, à l'état V2par une succession de Ndétentes adiabatiques élémentaires
dans le vide, chacune faisant passer le volume du système de Vkà
Vk+' =Vk+dV CdV« Vk ).
4-3 Calculer S,..,entropie créée
pour une transformation intermédiaire faisant passer le
volume du système
deV
kàVk
+,.·
4-4 Peut-on réduire' S, calculée en 4-2 en « fractionnant» les étapes de la transformation?
Justifier
et interpréter.
5- Comparaison
5-1 Comparer les trois états fmaux définis par (P2,V2,T,).
5-2 Pour quelle transformation l'entropie créée est-elle la plus élevée?
5-3 Quelle détente fournit le plus d'énergie au milieu extérieur?
5-4 Justifier les différences observées par des arguments physiques.
L'atmosphère
est essentiellement constituée d'un mélange gazeux, l'air. Ce mélange est constitué
d'environ 78%
de diazote, de 21% de dloxygène, moins de 1% de d'argon, de 0,03% de dioxyde de carbone
et d'une multitude de traces d'autresgaz (néon, krypton, hélium, ozone, dlhydrogène, xénon).
On considère que l'air suit la loi des gaz parfaifs : PV" RT pour une mole. On notera pla massevolumique
de "air. Le problème est paramétré par un axe vertical Oz orienté vers le haut
1- Montrer que la valeur de R est 8,32 5.1. Préciser son unité.
2- Déterminer, compte
tenu de la composition de l'air, que la masse molaire de l'air vaut:
M ,,29 g.mor
'.
On donne (en g.mor' ); M(Ar) " 40; M(O) =16·et M(N) =14.
3- Montrer que l'équilibre hydrostatique peut
s'écrire: dP = -pgdz et définir g.
On suppose que pour des altitudes allant de 11 km à 20 km, la température Tde "atmosphère est
constante. On supposera que ggarde une valeur constante.
Mg.
4- Etablir l'expression de la pression àune altitude z; P(z) = Ke-liT. On précisera la dimensIon et
la signification de la constante K.
5- On note n(z) la densité volumique de molécules àl'altitude z.
5-1 Montrer que l'équation d'état des gaz parfaits s'écrit: P= nkT où k =.!... est la constante de
NA
Boltzmann et NA la constante d'Avogadro.
5-2 Etablir l'expression
de n(z).
5-3 Montrer qu'à partir de l'expression de n(z) et de la connaissance de R et m(masse des
particules), on peut déterminer
la constante d'Avogadro.

5-4 Application numérique; En 1827, Brown, apour la première fois observé le mouvement
d'agitation moléculaire.
La répartitIon dans une colonne verticale àtempérature constante
de grains, de masse moyenne
m, plongés dans la glycérine suit la loi n(z} établie
précédemment.
_, .1' {N1=560 àl'altitude ~ = 2mm
On donne g=9,81 ms ,m=10 g, T=300K et N2=5àl'altitude Z2 =2,2 mm où NI
est le nombre de particules observé.
Le but de cet exercice est d'étudier le fonctiormement du cycle d'une turbine. Le gaz décrivant le cycle.
thermi'j.ue sera supposé parfait. Le gaz initialement à la température T, et pression P, est'comprimé de
manièie adiabatique et réversible jusqu'à l'état 2(température T" pression P2). Il se trouve alors au contact
de la source chaude ot) il se réchauffe de manière isobare jusqu'à la température T, , il estalors dans l'état 3.
Le gaz se détend ensuite de manière adiabatique réversible jusqU'à la pression P,. En fin de détente, sa
température
est T., il est dans l'état 4. Il achève le cycle au contact de la source froide où il se refroidit de
maniére isobare
pour se re!rouver dans l'état!.
On note y= t, les capacités thermiques sont exprimées en ].K·'.mol·'.
1- Etablir
pour un gaz parfaitla relation: S2 -S, = Cp ln (~:) - nRln~:).
2- On rappelle la relation de Mayer Cp - Cv =nR. En déduire les expressions de Cp et Cv en fonction
de n, Rety.
3- En déduire la relation de Laplace (en fonction de P et T) obtenue lors d'une transformation
adiabatique réversible
d'un gaz parfait
4- Tracer l'allure du cycle dans le diagramme (P,V) en indiquant le sens de parcours.
5- Déterminerles expressions des températures T2 etT. en fonction de P" P" T" T, ety.
6- Etablir les expressions des travaux (en fonction des températures) pour chacune des
transformations.
7- Etablir les expressions des !ransferts thermiques pour chacune des transformations.
8- Dormer la définition
du rendement f] du cycle. Exprimer ce rendement en fonction wùquement des
transferts thermiques avec les sources chaude
et froide.
==r
9- Montrer que le rendementse met sous la forme ry =1 - a y où a =' p'.
P,
10- Avec lequel des trois gaz suivants obtiendra-t-on le meilleur rendement?
Gaz Ar on Air Dio de de carbone
Valeur de 1,67 1,40
1,31
11- Dormer les valeurs de T2, T. et f] pour y=1,67, a=4,0, P, -1 bar, T, =300K et T, - 900K.
12- Comparer la valeur du rendement obtenu à la question 11- avec le rendement que l'on obtiendrait
pour un cycle de Carnotévoluantentre une source froide à T, et une source chaude à T,. Conclure.