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Ondes électromagnétiques dans le vide
1. On considère une O.P.P.M. qui se propage suivant l’axe Ox. Le champ électrique est
polarisé suivant u
y
.
a. Établir l’équation de propagation et en déduire la relation de dispersion.
b. Déterminer le vecteur de Poynting. En déduire la puissance moyenne transportée par
l’onde à travers une surface S perpendiculaire à la direction de propagation.
c. Exprimer la densité volumique u
em
d’énergie électromagnétique de l’onde.
Que dire des termes électrique et magnétique ? Moyenner u
em
dans le temps.
En déduire la vitesse v
e
de propagation de l’énergie.
d. Déterminer le flux du champ magnétique à travers un cadre carré de coté a = 1 m, formé
par N spires et situé dans un plan perpendiculaire à u
z
pour une fréquence f = 100 MHz.
e. Que se passe-t-il si la fréquence vaut f = 160 kHz ?
2. Un laser émet en continu, avec une puissance de 10 W, une onde plane d’étendue
transversale de 1 mm
2
. Calculer les amplitudes des champs électrique et magnétique.
3. Deux ondes planes progressives monochromatiques polarisées rectilignement se propagent,
dans le vide, dans le même sens (vecteur unitaire u). A l’endroit où on se trouve le champ
électrique de la première s’écrit E
1
.cosω
1
t, et celui de la seconde E
2
.cos(ω
2
t + θ).
a. Calculer les valeurs moyennes Π
1
et Π
2
des vecteurs de Poynting de chaque onde.
b. Calculer la valeur moyenne Π du vecteur de Poynting de l’onde résultante.
Quand a-t-on : Π ≠ Π
1
+ Π
2
? De quel phénomène s’agit – il ?
4. Une O.P.P.H. polarisée circulairement se propage dans le vide.
E = E
0
.cos(ωt – kx).u
y
+ E
0
.sin(ωt – kx).u
z
.
a. Expliciter le champ magnétique B. b. Calculer le vecteur de Poynting.
5. En représentation complexe, le champ électrique d’une onde électromagnétique dans le vide
s’écrit, en coordonnées cartésiennes : E = E
0
.expi(ωt – k
0
z)[cos
y
a
π
u
y
+ αsin
y
a
π
u
z
] où
α est complexe et k
0
positif.
a. Déterminer α et k
0
en fonction de E
0
, ω, a et c.

b. Déterminer le champ magnétique B de cette onde.
c. Cette onde est-elle plane ? progressive ? monochromatique ? transverse électrique ?
transverse magnétique ?
d. Calculer le vecteur de Poynting et sa valeur moyenne dans le temps.
6. Étude d’un faisceau laser
Un fin faisceau laser est mal représenté par une onde plane, nécessairement d’extension
transversale infinie dans l’espace libre. On se propose de chercher une approximation de
l’équation de propagation convenant mieux à l’étude particulière d’ondes lumineuses
conservant une direction proche de l’ax Oz, et d’extension transverse finie.
Comme l’onde est essentiellement dirigé selon l’axe Oz, on écrit le champ électrique sous la
forme : E(x,y,z) = u(x,y,z).expj(ωt – kz).e
y
où k est égal à
c
ω
.
a. En supposant que la variation de u selon z est très petite devant les variations selon x et y et
aussi qu’elle varie peu sur une longueur d’onde, montrer que u satisfait à l’équation :
2
2
u
x
∂
∂
+
2
2
u
y
∂
∂
– 2jk
u
z
∂
∂
= 0 (1)
b. Soit une onde sphérique émise du point de l’axe d’abscisse z = 0.
Donner l’expression exacte de l’amplitude complexe u
s
de l’onde en fonction de x, y et z.
Que devient cette expression dans l’approximation z >> x, y ?
On notera u
s0
cette amplitude approchée. Montrer que u
s0
est solution de l’équation (1) .
c. On cherche une solution plus générale de l’équation (1) sous une forme inspirée de celle de
l’onde sphérique : u(x,y,z) = A(z)
2 2
x y
exp jk
2q(z)
+
−
, où A et q sont deux fonctions, a priori
complexes, de z.
Montrer que l’équation (1) implique que q et A sont de la forme : q = q
0
+ z et A =
0
0
q
A
q(z)
.
On suppose qu’en z = 0, u est de la forme : u(x,y,z) = A
0
2 2
2
0
x y
exp a
+
− avec a
0
une
constante réelle donnée. Mettre l’amplitude sous la forme :
u(x,y,z) = u
0
2 2 2 2
2 2
1 2 x y x y
j exp jk exp
R(z) 2R(z)
ka (z) a (z)
  + +
− − − et exprimer les fonctions
réelles R(z) et a(z). Une telle solution est appelée un faisceau gaussien.
Que représente a(z) ? Que représente R(z) ?