Devoir Electromagnétisme Durée 2H 2012/2013 Exercice 1 Soit un cylindre très long d’axe Oz et de rayon R qui porte une aimantation de la forme : M r e est une constante positive. 1. Déterminer l’expression des densités de courants d’aimantation. 2. Déterminer le champ magnétique crée par ces densités de courant en tout point. Exercice 2 On considère une onde électromagnétique se propageant dans le vide , et dont le champ électrique est donné par : E E0 e i (t kx ) ez . 1. Montrer que le champ électrique vérifie l’équation de Maxwell-Gauss. 2. Déterminer l’expression du vecteur d’onde en fonction de . 3. Déterminer l’expression du champ magnétique B associé à cette onde. 4. Déterminer la densité d’énergie électromagnétique associée à cette onde, ainsi que sa valeur moyenne en fonction de 0 et E0 . 5. Application, soit un laser de puissance 2mW. On suppose qu’il émet un faisceau cylindrique de rayon 0,5 mm. Calculer la valeur moyenne du vecteur de Poynting. Exercice 3 Soit un conducteur cylindrique d’axe Oz de rayon R de hauteur h et de conductivité placé dans un champ magnétique B B0 cos(t )e z . 1) 2) 3) 4) Déterminer l’expression du champ électromoteur induit à l’intérieur du conducteur. Donner l’expression de la densité de courant induite dans le conducteur. Evaluer le flux du vecteur de Poynting à traves la surface latérale du cylindre. Déterminer la puissance moyenne dégagée par effet Joule dans le cylindre. Exercice 4 Soit un cadre carré conducteur (côté a, masse m, résistance R), situé dans le plan xOy. En t=0, le côté inférieur du cadre se trouve en x=0 au bord d'une zone (zone hachurée) où existe un champ magnétique B Bez . Ce champ existe uniquement dans la zone x>0 (Ox axe vertical vers le bas). A l'instant initial, la vitesse du cadre est v0 e x dirigée vers le bas. A) Phase 1 : cadre est partiellement émergé dans la zone ou existe le champ magnétique. 1. Donner le sens du courant induit dans le cadre (justifier votre réponse). 2. Calculer la force électromotrice induite dans le cadre. 3. Déterminer la force de Laplace appliquée au cadre. 4. a) Montrer que la vitesse vérifie l’équation différentielle suivante : dv v g dt Donner l’expression de . b) Résoudre cette équation et donner l’expression de v en fonction du temps B) Phase 2 : le cadre est totalement émergé dans la zone ou existe le champ magnétique. 1. Calculer la force électromotrice induite dans le cadre. 2. Montrer que la résultante des forces de Laplace est nulle. 3. a) Déduire l’équation différentielle vérifiée par v(t). b) Résoudre cette équation. On notera t1 et v1 respectivement le temps et la vitesse à la fin de la première phase. C) Phase 3 : le cadre quitte partiellement la région où existe le champ. 1. Déterminer le sens du courant induit. 2. Déterminer la force électromotrice induite dans le cadre. 3. Tracer sur la même courbe l’évolution en fonction de t du courant induit et du flux à travers le cadre durant les 3 phases. On donne : Coordonnées cylindriques rot a ( a a 1 a z a 1 (ra ) 1 ar )e r ( r z )e ( )k r z z r r r r Exercice 1 - js Rk jv 2 k B int 0r e Bext 0 Exercice 1 Soit une bobine de longueur l de rayon r et soit N le nombre total de spires qui entourent La bobine. On suppose que le champ magnétique à l’intérieur de la bobine est : B=B(t) k a) Etablir le champ électrique induit. b) Evaluer le flux du vecteur de Poynting à travers la surface cylindrique constituée par Cette bobine . c) Appliquer le théorème de Poynting et en déduire l’expression de l’énergie emmagasinée Dans la bobine Solution de l’exercice 4: Le champ coercitif est le champ qu’il faut pour démagnétiser le barreau. Le courant qui parcourt le solénoïde doit être tel qu’il produise une intensité magnétique égale à cette valeur. Hcœrcitif = n I, n étant le nombre de spires du solénoïde par unité de longueur. On a alors : I= H coercitif H coercitif n N l N est le nombre de spires et l la longueur du solénoïde. A.N.: Hcoercitif = 4 x 103 Am-1; N = 60; l = 0,12m 4 x 10 3 x 0,12 I= 60 I=8A On cconsidère une une onde électromagnétique se propageant dans le vide , et dont le champ électrique est donné par : E E0 e i (t kz ) e z . 6. 7. 8. 9. Montrer que le champ électrique vérifie l’équation de Maxwell-Gauss. Déterminer l’expression du vecteur d’onde. Déterminer l’expression du champ magnétique B associé à cette onde. Calculer la densité d’énergie électromagnétique associée à cette onde, ainsi que sa valeur moyenne. Exercice Soit un cylindre d’axe Oz de rayon R de hauteur h de conductivité est placé dans un champ magnétique B B0 cos(t )e z . 1) 2) 3) 4) 5) Déterminer l’expression du champ électromoteur induit à l’intérieur du cylindre. Donner l’expression de la densité de courant induite dans le conducteur Evaluer le flux du vecteur de Poynting à traves la surface latéral du cylindre. Déterminer la puissance moyenne dégagée par effet Joule dans le cylindre. En appliquons le théorème de poynting, déterminer l’énergie enmmagazinée dans le cylindre.
