DIFFRACTION DES ONDES LUMINEUSES

DIFFRACTION DES ONDES LUMINEUSES
I.
Mise en évidence expérimentale
Un faisceau laser (assimilable à une onde plane monochromatique de longueur d’onde notée λ) est intercepté par un écran
opaque muni d’une fente de largeur variable « a ». Sur un écran de projection situé à un ou deux mètres, on constate que :
•
la tache quasi ponctuelle formée par le faisceau en l’absence d’obstacle, s’élargit perpendiculairement à la fente
lorsque celle-ci se rétrécit.
•
l’éclairement n’est plus uniforme : on observe une tache centrale et des taches secondaires, deux fois moins larges et
beaucoup moins lumineuses que la tache centrale.
•
la largeur de la tache centrale est L=2λD/a où D est la distance entre la fente et le plan d’observation, ce qui
correspond à une tache de demi-largeur angulaire α=λ/a
•
Dans la direction de la grande dimension de la fente (OyP) , on n’observe aucun élargissement.
yP
y
xP
x
z
laser
xP
x
L
α=λ/a
a
I(x)
Diffraction par une fente fine de largeur « a »
L’optique géométrique ne permet pas de prévoir ces phénomènes. En effet, dans le cadre de l’optique géométrique :
les rayons lumineux qui arrivent à côté de la fente seraient définitivement éliminés
ceux qui passent par l’ouverture ne seraient pas affectés par la présence de l’écran opaque et resteraient rectilignes.
Diffraction à l’infini (optique 2 spé)
1
xP
x
ombre
z
lumière
Prévisions de l’optique géométrique
Le phénomène observé quand la largeur de la fente est faible, est lié, comme les interférences, au caractère ondulatoire de
la lumière. Dans le domaine optique, les longueurs d’onde sont très petites (≈0,5µm) et ce n’est qu’avec des diaphragmes
très petits qu’on met en évidence la diffraction.
La « diffraction de la lumière » se traduit par des écarts aux lois de propagation géométriques de la lumière; elle se
manifeste en présence d’obstacles dont les dimensions ne sont pas «très grandes» devant la longueur d’onde utilisée.
(ou plus généralement lors de variations brutales des propriétés optiques des milieux traversés, variation sur des distances qui ne sont pas très grandes
devant la longueur d’onde).
Il n’est pas possible de développer à notre niveau une théorie électromagnétique de la diffraction (très complexe, faite
seulement en 1922 par Köttler, en résolvant les équations de Maxwell). On se contentera d’une description
phénoménologique de la diffraction, dans l’esprit de la première théorie, développée au XVIIIème par Huyghens puis au
début du XIXème par Fresnel.
II.
Principe d’Huyghens-Fresnel
rappel :
les rayons lumineux de l’optique géométrique sont, en tout point, tangents à la direction de propagation de l’onde.
une surface d’onde d’une source ponctuelle est un ensemble de points séparés de la source par le même chemin
optique.
théorème de Malus : les surfaces d’ondes sont normales aux rayons lumineux. Le chemin optique entre deux points
conjugués (i.e. entre un point objet et son image géométrique) par un système optique stigmatique est indépendant du
rayon considéré.
1.
Idée d’Huyghens
Soit une onde lumineuse sphérique émise par un point source S (on l’appellera source primaire). A un instant t0, elle atteint
les points Pi de la surface d’onde σ t 0 (surface sphérique de centre S si le milieu est homogène) et se propage ensuite vers
les points M d’une surface d’onde ultérieure σ.
S’inspirant de l’étude de la propagation d’ondes mécaniques dans les milieux matériels, Huyghens supposa que l’onde se
propage depuis la sphère σ t 0 vers la sphère ultérieure comme si chacun des points Pi excités par l’onde arrivant de S, était
lui-même une source (qu’on appellera secondaire). Les ondelettes ainsi émises depuis les différents points Pi de la sphère
σ t 0 , points sources secondaires, se propagent alors vers la droite sous forme d’ondes sphériques cohérentes entre elles et
le résultat de leur interférence (i.e. de leur superposition) au niveau de la surface ultérieure σ forme la nouvelle onde.
Diffraction à l’infini (optique 2 spé)
2
« Soit une onde lumineuse sphérique émise par un point source S (on l’appellera source primaire). Chaque point
d’une surface d’onde primaire, atteinte par la lumière à l’instant t0 peut être considéré comme une source
secondaire ponctuelle. La surface d’onde de l’onde primaire à un instant t postérieur à t0 se confond avec
l’enveloppe des surfaces d’onde provenant de ces différentes sources secondaires fictives équivalentes ».
σ
Surface σt0
Idée d’Huyghens
Remarque : cette équivalence est indépendante de la présence ou non d’un obstacle.
En l’absence d’obstacle, l’enveloppe des surfaces d’onde des ondes secondaires est identique à la surface d’onde de l’onde
primaire (cas d’une onde sphérique ou cas particulier d’une onde plane).
En revanche, la présence d’un obstacle (qualifié dans la suite de pupille diffractante), modifie le nombre de sources
secondaires et par conséquent, modifie la forme de l’onde recomposée au niveau des points atteints ultérieurement : c’est
le phénomène de diffraction.
Si l’obstacle est un écran plan opaque percé d’un trou P quasi ponctuel, on a une ondelette secondaire unique émise par le
trou quasi ponctuel. Les surfaces d’onde à t>t0 sont des sphères de centre P : un trou quasi-ponctuel atteint par une onde
lumineuse est équivalent à une source lumineuse ponctuelle sphérique.
Si l’obstacle est un écran plan opaque percé d’une ouverture non ponctuelle, les différentes sources secondaires étant
parfaitement cohérentes, elles vont interférer : le calcul de la vibration lumineuse résultante puis de l’éclairement en un
point M quelconque de la zone d’observation va être un calcul d’interférence, non pas de deux ondes seulement comme
dans le chapitre précédent, mais d’une infinité d’ondes cohérentes émises par les différents points de la pupille
diffractante. L’objet de ce chapitre est le calcul de l’éclairement dans le cas simple d’une ouverture rectangulaire.
2.
Principe d’Huyghens Fresnel
ouverture Σ
(pupille diffractante)
M
S
P
élément de surface dS(P) : source secondaire
ponctuelle émettant une onde sphérique
Diffraction à l’infini (optique 2 spé)
3
Pour interpréter les phénomènes de diffraction, Fresnel précise l’idée d’Huyghens sous la forme suivante, appelée
« principe d’Huyghens Fresnel » (Fresnel, au 19ème, disposait de la théorie ondulatoire de la lumière, contrairement à
Huyghens) :
Soit Σ une ouverture plane pratiquée dans un écran opaque π (Σ
Σ sera appelée pupille diffractante), éclairée par une
source ponctuelle S (dite primaire), monochromatique, de longueur d’onde dans le vide λ0.
•
Chaque élément de surface de centre P, dS(P), de la surface Σ, atteint par la vibration lumineuse émise par S,
peut être considéré comme une source secondaire ponctuelle émettant une onde sphérique :
de même fréquence que l’onde primaire
d’amplitude proportionnelle à :
•
o
l’aire dS de l’élément de surface considéré
o
l’amplitude de l’onde primaire en P
Les ondes issues des différentes sources secondaires étant cohérentes entre elles, elles interférent : la vibration
lumineuse résultante en un point M est la somme des vibrations lumineuses associées à chaque source
secondaire.
3.
Formulation mathématique dans le cas de la diffraction à l’infini (seul cas
au programme)
Définition : On nomme diffraction à l’infini, ou diffraction de Fraunhofer, le phénomène de diffraction observé quand la
source S et le point d’observation M sont « très éloignés » de l’ouverture diffractante Σ.
C’est le seul cas au programme, même si, bien sûr, le phénomène de diffraction existe en dehors de ce cas particulier : on parle alors de diffraction de
Fresnel; les calculs sont plus compliqués. Par exemple, lorsqu’un faisceau de lumière parallèle éclaire le bord d’un objet opaque (comme une lame de
rasoir), on observe la structure suivante : dans la zone de l’ombre géométrique, on a de la lumière et dans la zone complémentaire, on a un éclairement
non uniforme : on observe des franges parallèles au bord de la lame.
Formulons mathématiquement le principe d’Huyghens Fresnel dans ce cas.
Au niveau de la pupille, la source étant « à l’infini », l’onde est quasi plane. La vibration lumineuse reçue en un point P de
la pupille à un instant t est donc :
a inc (P, t ) = D 0 e
jω( t −
(SP )
)
c
= D0e
j( ωt −
2 π (SP )
)
λ0
résultat de la propagation depuis la source S, jusqu’à P
D’après le principe d’Huyghens Fresnel, la contribution à la vibration lumineuse en un point M, de l’élément de surface
dS(P) de centre P est, l’onde secondaire sphérique se propageant de P à M :
da (M, P, t ) = K a inc (P, t ).dS(P)e
−j
2π
( PM )
λ0
= KD 0


2π
j ωt − [(SP ) + ( PM ) ]
λ0


dS(P)e
= KD 0 dS(P)e j( ωt −ϕSPM )
où K est une constante
et ϕ SPM =
2π
[(SP ) + (PM)] est le retard de phase dû à la propagation jusqu’à M de l’onde émise par S, puis P.
λ0
Les sources secondaires étant cohérentes entre elles, la vibration lumineuse en M est la somme des contributions
da(P,M,t), de toutes les surfaces élémentaires constituant Σ :
vibration lumineuse en M
a ( M, t ) =
∫
∫
∫
da (M, P, t ) = B e j( ωt −ϕSPM ) dS = B e
P∈Σ
Σ
Diffraction à l’infini (optique 2 spé)
j( ωt −
Σ
2π
[(SP ) + ( PM )])
λ0
∫
dS = Be jωt e
Σ
4
−j
2π
[(SP ) + ( PM )]
λ0
dS = A(M )e jωt
avec A (M) = B
∫e
− jϕSPM
dS = B
P∈Σ
∫e
−j
2π
[(SP ) + ( PM )]
λ0
dS amplitude complexe de la vibration lumineuse en M
P∈Σ
pupille diffractante
uS
M à l’infini
S à l’infini
uM
O
HP
KP
P
élément de surface dS(P)
Le retard de phase dû à la propagation jusqu’à M de l’onde émise par S, puis P, ϕSPM est la somme du retard de phase ϕSP
dû à la propagation de l’onde primaire de S à P et du retard de phase ϕPM dû à la propagation de l’onde secondaire de P à
M.
r 2π r
u S , le retard de phase dû à la propagation jusqu’en P
Pour une onde quasi plane émise par S de vecteur d’onde k S=
λ
r
est : ϕ SP = k S .SP
r
2π r
De même pour une onde quasi plane reçue par le point M, émise par P (ondelette) de vecteur d’onde k M=
u M , le retard
λ
r
de phase dû à la propagation jusqu’en M est : ϕ PM = k M .PM
r
r
On a donc ϕ SPM = ϕ SP + ϕ PM = k S .SP + k M .PM
Soit O un point de l’ouverture Σ, qui va nous servir de référence. Le résultat précédent appliqué au point O s’écrit :
r
r
ϕ SOM = ϕ SO + ϕ OM = k S .SO + k M .OM
r
r
r
r
2π
Faisons la différence ϕSPM-ϕSOM : ϕ SPM − ϕ SOM = k S .OP + k M .PO =
OP.(u S − u M )
λ
Finalement, on peut exprimer le retard de phase dû à la propagation jusqu’en M par l’intermédiaire de la source secondaire
P, en fonction du retard de phase dû à la propagation jusqu’en M par l’intermédiaire de la source secondaire particulière
« O », point de l’ouverture diffractante que nous utilisons comme référence, de la façon suivante :
ϕ SPM = ϕ SOM +
r
r
2π
OP.(u S − u M )
λ
où ϕ SOM est le retard de phase pour le trajet SO puis OM( ϕ SOM =
2π
[(SO) + (OM)] )
λ0
Remarque : avec les notations de la figure ci-dessus, on retrouve ce résultat en utilisant les chemins optiques :
r
r
(SP)=(SHP)+(HPP)=(SO)+n OP.u S
et (PM)=(PKP)+(KPM)=n PO.u M +(OM) donc (SP)+(PM)=(SO)+(OM)+
r
r
r
r
r
r
2π
2π
2π
2π
n( OP.u S + PO.u M ) et ϕ SPM =
[(SP) + (PM)] =
[(SO) + (OM)] +
OP.(u S − u M ) = ϕ SOM +
OP.(u S − u M )
λ0
λ0
λ
λ
Diffraction à l’infini (optique 2 spé)
5
Finalement, l’amplitude complexe de la vibration lumineuse en M, due à toutes les sources secondaires P de l’ouverture Σ
s’écrit :
r
amplitude complexe de la vibration lumineuse en M (dans la direction u M)
A (M) = Be − jϕS0 M
∫
j
e
r
r
2π
OP.( u M − u S )
λ
dS
où ϕ SOM est le retard de phase pour le trajet SO plus OM
P∈Σ
Pour alléger les notations, on notera dans la suite ϕ0 le retard de phase ϕSOM dû au trajet SO plus OM.
r
On déduit l’éclairement en M (dans la direction u M) par :
I(M)=A(M).A*(M)
Cas de l’incidence normale
r
Si la pupille est éclairée en incidence normale, OP.u S = 0 (ϕSP=ϕSO pour tout P) et l’amplitude complexe s’écrit alors :
A (M) = Be − jϕSOM
∫
j
e
r
2π
OP.u M
λ
dS
P∈Σ
4.
Observation sur un écran « très éloigné »
Notons (xP,yP,0) les coordonnées du point courant P de la pupille dans le repère Oxyz (Oz est la normale à la pupille en O).
xP
Les composantes du vecteur OP sont donc : OP y P
0
Observons l’éclairement sur un écran plan O’xy parallèle au plan de la pupille Σ, O’ étant sur Oz.
Soit D la distance de la pupille au plan d’observation et (xM,yM,D) les coordonnées dans le repère Oxyz du point M de
l’écran où l’on cherche l’éclairement (D doit être très grande devant xM, yM et devant les dimensions de la pupille).
r
OM
OM
uM =
≈
D
OM
αM ≈ xM / D
βM ≈ yM / D
γM ≈1
La source peut être obtenue à l’aide d’un laser. Celui-ci fournit un faisceau cylindrique.
Si ce n’est pas le cas, mais que S est une source ponctuelle « à l’infini », notons d la distance de la source à la pupille et
(xS,yS,-d) les coordonnées de la source S dans le repère Oxyz (d doit être très grande devant xS, yS et devant les dimensions
r
de la pupille). Alors les composantes de u S (notées αS, βS et γS) sont :
r
SO SO
uS =
≈
d
SO
α S ≈ −x S / d
βS ≈ −y S / d
γS ≈ 1
Diffraction à l’infini (optique 2 spé)
6
5.
Observation dans le plan focal d’une lentille L2 avec source dans le plan
focal d’une lentille L1.
Dans la pratique, si on ne dispose pas de laser, plutôt que de mettre la source ponctuelle « à l’infini » (encombrant), on
réalise un faisceau incident de lumière parallèle en plaçant une source ponctuelle S dans le plan focal objet d’une lentille
mince convergente (L1) d’axe normal à la pupille.
α S = − x S / f1 '
SO 1 SO 1
r
Alors u S =
≈
β S = − y S / f1 '
SO 1
f1 '
γS = 1
Plutôt que de faire l’observation sur un écran « très éloigné » (encombrant), on observe dans le plan focal d’une lentille
(L2).
Soit (xM,yM,zM) les coordonnées de M dans le repère Oxyz.
Les rayons qui convergent en M sont ceux émis par les sources secondaires dans la direction de vecteur unitaire
O M
r
uM = 2
où O2 est le centre optique de la lentille (L2).
O2M
αM = xM / f2 '
O2M
r
βM = yM / f 2 '
Soit : u M ≈
f2 '
γM =1
y
y
y
uS
uM
x
F1
x
x
S
M
O
O1
O2
F2
z
P
L1
L2
Remarque :
r
r
L’image géométrique S’ de S par l’ensemble des 2 lentilles est dans le plan F2xy; elle est telle que u S’= u S; elle a pour
coordonnées :

f'
f'
 x S' = f ' 2 α S' = f ' 2 α S = − 2 x S ; y S' = f ' 2 β S' = f ' 2 β S = − 2 y S ; z S' = z F
2
f '1
f '1

III.



Diffraction par une pupille rectangulaire
y
y
x
uS
S
x
F1
y
x
uM
M
O
O1
O2
P
L1
Diffraction à l’infini (optique 2 spé)
L2
7
F2
z
Le calcul de l’éclairement en un point M, n’est simple que pour quelques formes d’ouverture. Au programme, nous avons
uniquement le cas des ouvertures rectangulaires.
Choisissons pour point de référence le centre O du rectangle. Notons h sa hauteur (selon Oy) et b sa largeur (selon Ox).
Remarque : Si les dimensions de la pupille sont importantes, elle ne limite pas le faisceau incident, on se retrouve dans les
conditions d’application des lois de l’optique géométrique. On prévoit dans ce cas que l’amplitude de la vibration
r
r
lumineuse n’est non nulle qu’au point S’ image géométrique de S, c’est-à-dire dans la direction u M= u S.
S' ( x S' = − x S
f2 '
f '
, y S' = − y S 2 , z S ' ) .
f1 '
f1 '
Si la source S est en F1 (incidence normale, xS=yS=0), alors S’ est confondu avec F2 : S’(0,0,zS’) :
1.
Amplitude diffractée
r
Notons (xp,yP,0) les coordonnées du point courant P de la pupille. Calculons l’amplitude diffractée dans la direction u M :
A (M) = Be − jϕ0
∫
j
e
r
r
2π
OP.( u M − u S )
λ0
dS(P) = Be − jϕ0
P∈Σ
∫ dx
Σ
P dy P
 2π

exp j [x P (α M − α S ) + y P (β M − β S )]
λ
 0

 b / 2
 h / 2

 2π
A (M ) = Be − jϕ0 
dx P exp j
[x P (α M − α S )] dy P exp j 2π [y P (β M − β S )]
 λ
− h / 2
 λ

− b / 2
1444444
424444444
31
444444
424444444
3
∫
∫
Jb
Jh
Les deux intégrales ont même forme (chacune est homogène à une longueur). Calculons par exemple la seconde.
h/2




1
2
π

Jh = 
exp j
[y P (β M − β S )]
 λ

 j 2π [β − β ]
M
S
 λ
 − h / 2
1
Jh =
j
2π
[β M
λ
  2π  h
 2π  h
1
2π  h

 

(β M − β S )  − exp j
− (β M − β S )  =
2 j sin
(β M − β S )
exp j



λ 2
λ 2

  j 2π [β − β ]

 λ  2
− β S ]  
M
S
λ
λ
πh
Jh =
sin
(β M − β S ) = h
π(β M − β S )
λ
On trouve de même :
πh
(β M − β S )
 h

λ
= h sin c π (β M − β S )
πh
 λ

(β M − β S )
λ
sin
 b

J b = b sin c π (α M − α S )
 λ

αM
r
Finalement, l’amplitude complexe de la vibration lumineuse dans la direction u M β M s’écrit, en posant A0=Bbh :
1
αM
r
dans la direction u M β M
1
:
 b

 h

A (M ) = A 0 e − jϕ0 sin c π (α M − α S ). sin c π (β M − β S )
 λ

 λ

Cas usuel (1): incidence normale et observation dans le plan focal de L2 à des distances de l’axe optique petites devant f’2 :
αS=βS=0 et αM≈xM/f’2 , βM≈yM/f’2
Diffraction à l’infini (optique 2 spé)
8
 b xM 
 h yM 
A (M ) = A 0 e − jϕ0 sin c π
. sin c π

 λ f2' 
 λ f2 ' 
Cas usuel (2): incidence normale et observation « à l’infini », i.e. sur un écran très éloigné de la pupille (distance notée
D) :
αS=βS=0 et αM≈xM/D, βM≈yM/D
 b xM 
 h yM 
A (M ) = A 0 e − jϕ0 sin c π
. sin c π


 λ D 
 λ D 
L’amplitude est fonction des coordonnées xM et yM du point M de l’écran considéré.
2.
Eclairement
r
L’éclairement dans la direction u M
est
I(M)=A(M).A*(M).
αM
r
 b

 h

Éclairement dans la direction u M β M I(M ) = I 0 sin c 2  π (α M − α S ) . sin c 2  π (β M − β S ) 
 λ

 λ

1
Rappelons l’allure du graphe de la fonction sinus cardinal (sinc) et celui de son carré (sinc)2 :
sinu/u
u/2π
La fonction sinc² est paire
Sa valeur maximum est 1,
obtenue pour u=0
Elle s’annule pour u =pπ
où p est un entier non nul
Entre deux zéros, elle
présente des extrema
secondaires de moins en
moins intenses : le mième
maximum est obtenu
environ pour :
1
u m ≈ (m + )π m ∈ N *
2
Diffraction à l’infini (optique 2 spé)
sinc²u
u/2π
9
3.
Figure de diffraction
C’est la figure observée sur un écran placé « à l’infini » ou dans le plan focal d’une lentille.
Examinons le cas d’une pupille rectangulaire de dimensions bxh. Exploitons les propriétés de la fonction (sinc)2 pour
prévoir la nature de la figure de diffraction.
a)
Incidence normale

 b

I(M ) = I 0  sin c π α M  
λ



2

 h

. sin c π β M  
λ



2
xM
yM

α M = D et β M = D pour un écran éloigné OO' = D

avec 
α M = x M et β M = y M pour un écran dans le plan focal de L 2

f2 '
f2'
Considérons par exemple le cas où l’écran est dans le plan focal d’une lentille L2 de focale f2’. (Si l’écran est « à l’infini »,
à une distance D du plan de la pupille, il suffira de remplacer f2’ par D.)
L’éclairement présente un maximum absolu I0 quand les arguments des sinus cardinaux sont tous les deux nuls.
I(M) maximum absolu ⇔ I=I0 ⇔ αM=0 et βM=0 ⇔ M=F2’ ⇔ xM=0 et yM=0 ⇔ M est en S’ image géométrique de S
par l’ensemble des deux lentilles.
L’éclairement est nul quand l’argument d’un des deux sinus cardinaux est un multiple entier non nul de π.
I(M)=0 ⇔ ∃ p ∈ Z* / π
⇔ ∃ p ∈ Z* / x M = p
b
h
λ
λ
α M = pπ ou π β M = pπ ⇔ ∃ p ∈ Z* / α M = p ou β M = p
λ
λ
b
h
λ
λ
f 2 ' ou y M = p f 2 '
b
h
Donc sur les droites d’équation x M = p
λ
λ
f 2 ' ou y M = p f 2 ' avec p∈ Z*, l’éclairement est strictement nul.
b
h
Sur l’écran, ces droites délimitent des rectangles, de côtés parallèles aux côtés de la fente diffractante.
attention : les droites xM=0 et yM=0 ne sont pas des droites d’éclairement nul car sinc(0)=1 et non 0.
L’éclairement présente des maxima secondaires aux points où les deux sinc2 présentent un maximum (l’un relatif,
l’autre absolu ou les deux relatifs). Ce sont sensiblement les centres des rectangles définis ci-dessus.
•
Maxima secondaires sur la droite S’x (i.e. droite βM=0 ie yM=0) : le second sinc2 vaut 1.
Pour que l’éclairement soit un maximum secondaire, il faut que l’autre sinc2 soit un maximum relatif, c’est-àdire :
b
1
1 λ
1 λ
α M = (m + )π ⇔ ∃m ∈ Z − {0,−1} / α M = (m + ) ⇔ ∃m ∈ Z − {0,−1} / x M = (m + ) f 2 '
λ
2
2 b
2 b
L’éclairement correspondant est
∃m ∈ Z − {0,−1} / π
I axe S'x , m
I axe S'x ,1 ≈ 0,047I 0

I axe S'x , 2 ≈ 0,017I 0
I0

≈
I
≈ 0,008I 0
2 2  axe S'x ,3
( m + 1 / 2) π 
I axe S'x , 4 ≈ 0,005I 0
I
 axe S'x ,5 ≈ 0,003I 0
Diffraction à l’infini (optique 2 spé)
10
•
Maxima secondaires d’éclairement sur la droite S’y (αM=0 ie xM=0) : c’est le premier sinc2 qui vaut 1.
On trouve de même que pour que l’éclairement soit un maximum secondaire, il faut que l’autre sinc2 soit un
maximum relatif, c’est-à-dire :
h
1
1 λ
1 λ
β M = (m + )π ⇔ ∃m ∈ Z − {0,−1} / β M = (m + ) ⇔ ∃m ∈ Z − {0,−1} / y M = (m + ) f 2 '
λ
2
2 h
2 h
On a bien sûr les mêmes valeurs numériques successives des éclairements IaxeS’y,m.
∃m ∈ Z − {0,−1} / π
•
Maxima secondaires d’éclairement hors des droites S’y et S’x. Les deux sinc2 doivent correspondre à un
maximum relatif.
∃m ∈ Z − {0,−1} /
b
1
h
1
α M = (m + )π et
∃n ∈ Z − {0,−1} /
π β M = (n + )π
λ
2
λ
2
1 λ
1 λ
⇔ ∃m ∈ Z − {0,−1} / α M = (m + )
et
∃n ∈ Z − {0,−1} /
β M = (n + )
2 b
2 h
1 λ
1 λ
⇔ ∃m ∈ Z − {0,−1} /
x M = (m + ) f 2 ' et
∃n ∈ Z − {0,−1} /
y M = (n + ) f 2 '
2 b
2 h
π
L’éclairement correspondant est : I m ,n ≈
On calcule I1,1 ≈
16
81π 2
I0
(m + 1 / 2) π .(n + 1 / 2) 2 π 2
2
2
I 0 ≈ 0,002I 0 < I axeS'x ,5
L’éclairement maximum relatif le plus important en dehors des axes S’x et S’y, I1,1, est plus faible que le
cinquième maximum relatif situé sur les axes : en pratique, les maxima secondaires situés en dehors des droites
S’y et S’x ne sont pas observables : en dehors de S’y et S’x, l’éclairement est pratiquement nul.
Conclusion :
On observe une croix lumineuse coïncidant avec les axes S’x et S’y (éclairement nul en dehors), avec
une tache dite centrale dont le centre est l’image S’ de S et correspond au maximum absolu de l’éclairement
des taches secondaires beaucoup moins lumineuses que la tache centrale, dont les centres sont sur les axes S’x et
S’y et correspondent aux maxima relatifs d’un des deux sinc2 sur ces axes :
1 λ
1 λ
x M = (m + ) f 2 ' ou y M = (m + ) f 2 ' où m ∈ Z − {0,−1} .
2 b
2 h
des minima strictement nuls pour x M = p
λ
λ
f 2 ' ou y M = p f 2 ' où p ∈ Z*.
b
h
Sur S’x, les minima nuls encadrant le maximum absolu S’ sont distants de B = 2.
λ
λ
f 2 ' et sur S’y de H = 2. f 2 ' .
h
b
λ
f 2 ' est appelée largeur de la tache centrale. Elle est inversement proportionnelle à la largeur de la fente.
b
λ
H = 2. f 2 ' est appelée hauteur de la tache centrale. Elle est inversement proportionnelle à la hauteur de la fente.
h
B = 2.
Deux minima nuls consécutifs n’encadrant pas le maximum absolu S’ sont distants de
λ
B
f 2 ' = sur S’x et de
b
2
λ
H
f2 '=
sur S’y. B/2 est la largeur des taches secondaires de S’x, H/2 la largeur des taches secondaires de S’y.
h
2
Diffraction à l’infini (optique 2 spé)
11
Le schéma ci-dessous donne les valeurs de I/I0 au centre des principales taches, les différents segments représentés étant
des portions de droite d’éclairement strictement nul.
yM
0,017
0,047
H=2f’2λ/h
0,017
1
0,047
f’2λ/h
0,047
0,017
xM
0,047
0,017
B=2f’2λ/b
f’2λ/b
La figure ci-dessus donne l’éclairement relatif I/I0 en fonction des coordonnées des points de l’écran.
b)
Incidence quelconque

 b

I(M ) = I 0  sin c π (α M − α S  
 λ


2

 h

. sin c π (β M − β S  
 λ


2
xM
yM

α M = D et β M = D pour un écran éloigné OO' = D

où 
α M = x M et β M = y M pour un écran dans le plan focal de L 2

f2 '
f2'
r
où (αS, βS,1) sont les composantes du vecteur unitaire de la direction incidente u S.
Considérons par exemple que l’écran est dans le plan focal d’une lentille L2 de focale f2’.
L’éclairement présente un maximum absolu I0 quand les arguments des sinus cardinaux sont tous les deux nuls.
Diffraction à l’infini (optique 2 spé)
12
r
r
I(M) maximum ⇔ I=I0 ⇔ αM-αS=0 et βM-βS=0 ⇔ αM=αS et βM=βS ⇔ u M= u S ⇔ M=S’
⇔ x M = f2 ' α M = f2 ' αS = −
f2 '
f '
x S = x S' et y M = f 2 ' β M = f 2 ' β S = − 2 y S = y S' ⇔ M=S’
f1 '
f1 '
L’éclairement est maximum en S’ image géométrique de S par l’ensemble des deux lentilles. (Maintenant S’≠F2’)
L’éclairement est nul quand l’argument d’un des deux sinus cardinaux est un multiple entier non nul de π.
I(M)=0 ⇔ ∃ p ∈ Z* / π
⇔ ∃ p ∈ Z* / α M = p
b
h
(α M − α S ) = pπ ou π (β M − β S ) = pπ
λ
λ
λ
λ
+ α S ou β M = p + β S
b
h
⇔ ∃ p ∈ Z* / x M = x S' + p
λ
λ
f 2 ' ou y M = y S' + p f 2 '
b
h
Sur les droites d’équation x M = x S' + p
λ
λ
f 2 ' ou y M = y S' + p f 2 ' avec p∈ Z*, l’éclairement est strictement nul.
b
h
attention : les droites xM=xS’ et yM=yS’ ne sont pas des droites d’éclairement nul.
L’éclairement présente des maxima secondaires aux points où un des deux sinc2 admet un maximum relatif. Ce sont
sensiblement les centres des rectangles définis ci-dessus. On vérifie comme au a) que les maxima secondaires situés
hors des droites S’y et S’x ne sont pas observables : en pratique, en dehors de S’y et S’x, l’éclairement est nul.
Conclusion : on observe la même figure que dans le cas d’une incidence normale, centrée sur S’, image géométrique de
S (mais cette fois, S’ n’est pas confondu avec F2’).
On observe une croix lumineuse coïncidant avec les axes S’x et S’y, avec une tache dite centrale dont le centre S’
λ
λ
correspond au maximum absolu de l’éclairement, de largeur B = 2. f 2 ' et de hauteur H = 2. f 2 ' .
h
b
4.
Cas particulier : fente fine
On parle de fente fine si une des dimensions de la pupille rectangulaire est « grande » (devant la longueur d’onde).
Supposons que h soit la grande dimension de la pupille h>>λ.

 b

On rappelle : I(M ) = I 0  sin c π (α M − α S  
λ



2

 h

. sin c π (β M − β S  
λ



2
Le deuxième sinus cardinal vaut 0 sauf pour βM-βS=0. L’éclairement est donc nul sauf pour βM=βS, c’est-à-dire pour
yM=yS’ : l’éclairement est donc nul sauf sur la droite S’x.
Ceci est confirmé par l’application des résultats de l’étude générale du 3) : dans la limite h»λ, la hauteur H des taches tend
vers zéro : la croix lumineuse du 3) est compressée selon S’y et se réduit alors à une ligne lumineuse S’x.
L’éclairement est nul en dehors de la droite βM=βS, c’est-à-dire en dehors de la ligne S’x perpendiculaire à la fente et
portant l’image géométrique S’ de S.
en un point M de S’x
Diffraction à l’infini (optique 2 spé)
 b

A (M ) = A 0 e − jϕ0 sinc π (α M − α S )
 λ

13
 b

et I(M) = I 0 sinc 2 π (α M − α S )
 λ

Cas usuel de l’incidence normale avec observation dans le plan focal de L2 : αS=0, βS=0. S’ est confondu avec F2’.
La composante αM s’écrit α M ≈
xM
x
. Posons θ=(O2z,O2M). En pratique α M ≈ M ≈ sin θ ≈ θ
f '2
f '2
x
x
uM
uS
S
x
θ
b
θ
O
O2
F2’=S’
2λf2’/b
λf2’/b
L1
L2
x
 b

I(M) = I 0 sinc 2 π α M  avec α M = M ≈ sinθ ≈ θ
λ
f2 '


Conclusion :
On observe une ligne lumineuse coïncidant avec l’axe S’x, avec
une tache centrale de centre S’, image géométrique de S, correspondant au maximum absolu de l’éclairement.
des taches secondaires beaucoup moins lumineuses que la tache centrale, dont les centres sont sur l’axe S’x et
1 λ
correspondent aux maxima relatifs sur ces axes : x M = x S' + (m + ) f 2 ' où m ∈ Z − {0,−1} .
2 b
des minima strictement nuls pour x M = x S' + p
λ
f 2 ' où p ∈ Z*.
b
La distance séparant les minima encadrant le maximum absolu S’ est B = 2.
B = 2.
λ
f2 '.
b
λ
f 2 ' est appelée largeur de la tache centrale.
b
La tache centrale est d’autant plus large que la fente diffractante est étroite (puisque B est en 1/b).
La largeur angulaire de la tache centrale est 2θ1 ≈
B
2λ
, soit 2θ1 =
f2 '
b
 b 
θ1 est la valeur de θ correspondant à la première annulation de sin c π θ  ; c’est la demi largeur angulaire de la
 λ 
tache centrale.
5.
Cas limites

 b

On rappelle : I(M ) = I 0  sin c π (α M − α S  
 λ


Diffraction à l’infini (optique 2 spé)
2

 h

. sin c π (β M − β S  
 λ


14
2
a)
Pupille de grandes dimensions : b»λ
λ et h»λ
λ
r
r
Les sinus cardinaux valent alors 0 sauf pour αM-αS=0 et βM-βS=0 i.e. pour αM=αS et βM=βS, i.e. pour u M= u S, i.e. pour
M=S’. L’éclairement est donc nul partout sauf sur l’image géométrique S’ de S.
Ceci est confirmé par l’application des résultats de l’étude générale du 3) : dans la limite b»λ et h»λ, la largeur et la
hauteur des taches précédentes tendent vers zéro : les dimensions de la tache centrale sont très petites : sur l’écran, la
lumière est concentrée en un point unique, le centre de cette tache quasi ponctuelle, S’, image géométrique de S.
On retrouve les lois de l’optique géométrique : lorsque le diaphragme (l’ouverture, la pupille…) n’est pas de petites
dimensions, on peut négliger le phénomène de diffraction. On retiendra :
optique géométrique ↔ diffraction négligeable ↔ dimensions de la pupille grandes devant la longueur d’onde
b)
Pupille quasi-ponctuelle : cas d’un trou extrêmement fin : b«λ
λet h«λ
λ
D’après l’expression de l’éclairement, on voit que pour une direction d’observation pas trop écartée de la direction
incidente (i.e. pour αM-αS et βM-βS pas trop grands, i.e. si l’observation se fait dans une zone au voisinage de l’image
géométrique de la source), les sinus cardinaux sont voisins de 1 et l’éclairement est quasi uniforme et égal à I0.
Ceci est confirmé par l’application des résultats de l’étude générale du 3) : dans la limite b<<λ et h<<λ, (dans la pratique,
il suffit que b et h soient du même ordre de grandeur que λ), la largeur et la hauteur de la tache centrale tendent vers
« l’infini ».
Cela correspond à l’approximation dite « de la diffraction isotrope ». Ce fut l’approximation faite dans l’étude des trous
d’Young : on a supposé que chaque trou était une source ponctuelle (émettant donc de façon isotrope). On retiendra :
Pupille équivalente à une source sphérique ponctuelle ↔ diffraction isotrope ↔ dimensions de la pupille faibles devant λ
IV.
Généralisation
1.
Diffraction par une ouverture circulaire
L’amplitude se calcule toujours par : A (M ) = Be − jϕ0
∫
j
e
2π
r
r
OP.( u M − u S )
λ
dS
P∈Σ
Mais le calcul est hors programme car il pose des difficultés d’ordre mathématique (il faut faire appel aux fonctions de
Bessel).
Les résultats essentiels sont les suivants :
Dans le plan focal image de L2, on obtient une figure admettant la symétrie de révolution autour de S’ image
géométrique de S, appelée tache d’Airy. Elle est constituée essentiellement d’un disque central brillant entouré
d’anneaux alternativement sombres et brillants (les brillants étant beaucoup moins lumineux que le disque central).
L’angle θ1 correspondant au premier anneau sombre (celui qui borde la tache centrale) est donné par :
sin θ1 = 1,22
λ
2R
C’est dans le cône de demi angle au sommet θ1 qu’est concentré l’essentiel de l’énergie lumineuse.
La différence avec le cas d’une ouverture rectangulaire est la forme géométrique des franges, qui respecte l’invariance
par rotation autour de la direction incidente.
Diffraction à l’infini (optique 2 spé)
15
yP
y
uS
x
xP
θ1
F2’
R
L2
Si on observe dans le plan focal d’une lentille L2, le diamètre du disque central est D A ≈ 2f 2 ' sin θ1

f ' 
D A = 1,22.2.λ 2 
( 2R ) 

Au facteur multiplicatif « 1,22 » près, on trouve pour le disque central de la tache d’Airy correspondant à la
diffraction par une pupille circulaire de diamètre (2R), la même taille que pour la tache centrale correspondant à la
diffraction par une pupille carrée de côté 2R
Si la source S n’est pas sur l’axe optique des lentilles, la figure reste centrée sur S’, image géométrique de S (mais S’
n’est plus en F2’).
2.
Rôle de la diffraction dans la formation des images
L’éclairement calculé par le principe de Huygens Fresnel, dans le plan de l’image géométrique S’ de S, est indépendant de
la position relative des deux lentilles et de la pupille : on observe la même figure de diffraction quand on accole les deux
lentilles et la pupille. Dans le cas où le rayon de la pupille est égal au rayon d’ouverture supposé commun des deux
lentilles, on peut supprimer la pupille, c’est la monture des lentilles qui limitent les faisceaux et provoque la diffraction.
Les deux lentilles minces accolées sont équivalentes à une lentille mince unique (L) et S’ est alors l’image de S par (L).
Inversement, le montage de la deuxième figure ci-dessous (montage ordinaire pour observer l’image d’un objet ponctuel
par une lentille convergente) est équivalent à un montage de Fraunhofer avec f1’=SO et f2’=OS’.
Ainsi, l’éclairement dans le plan de l’image S’ de S par une lentille mince L de rayon d’ouverture R est le même que
l’éclairement en montage de Fraunhofer par une pupille circulaire de rayon R : d’après les résultats du 1. :
On obtient non pas un unique point lumineux S’ image géométrique de S, mais une tache d’Airy autour de ce point
théorique. L’énergie lumineuse est essentiellement concentrée dans un disque de rayon angulaire θ1 donc de rayon
RA ≈ f 2 ' sin θ1 = 1,22
λOS '
2R
Plus généralement, on retiendra :
Du fait de la diffraction due à la limitation par les montures, l’image d’un point S à travers un instrument d’optique n’est
pas un point, mais une « tache image », centrée sur l’image géométrique S’ de S. Le rayon de cette tache est d’autant plus
grand que le rayon des montures est petit.
Pour limiter le phénomène de diffraction, et obtenir d’objets ponctuels des images quasi ponctuelles, on a donc intérêt à
utiliser des montures les plus grandes possibles (très important en astronomie).
Diffraction à l’infini (optique 2 spé)
16
Σ
S
S’
L1
S
L2
S’
O
L
S2
S1
S’1
O
S’2
L
Conséquences : à cause du phénomène de diffraction, puisque l’image physique d’un point n’est pas un point, mais une
tache, les images de deux points sources proches l’un de l’autre ne sont pas toujours distinctes ; si les points sources sont
trop proches, leurs taches d’Airy se chevauchent de façon telle qu’on ne peut pas conclure quant à l’existence d’un seul
point source ou de deux points sources : on dit alors que les points sources ne sont pas séparables.
La diffraction limite le pouvoir séparateur des instruments d’optique
On utilise habituellement le critère suivant, appelé critère de Rayleigh :
Un instrument d’optique peut séparer deux objets ponctuels si leurs images géométriques (points théoriques calculés par
les lois de l’optique géométriques) sont séparées d’une distance supérieure ou égale au rayon des disques centraux des
taches d’Airy.
S1 et S2 séparables ⇔ S1 ' S 2 ' ≥ 1,22.λ
3.
OS1 '
2R
Diffraction par un diaphragme de phase ou d’amplitude
Si la pupille Σ n’est pas un trou percé dans un écran opaque, mais est un plan (π) plus ou moins absorbant ou déphasant,
l’amplitude complexe donnée au II 4) doit être pondérée par une fonction t(P) appelée fonction de transmission (ou de
transparence) de la pupille. L’amplitude de la vibration lumineuse s’exprime alors sous la forme plus générale :
r
Amplitude diffractée dans la direction u M par un plan π quelconque :
A (M ) = Be − jϕ0
∫
j
t ( P )e
2π
r
r
OP.( u M − u S )
λ
dS
P
P∈π
Le cas particulier d’un trou Σ percé dans un écran opaque de plan π étudié au II et III correspond à la fonction de
transmission particulière suivante :
Diffraction à l’infini (optique 2 spé)
17
t(P)=1 si P ∈ Σ,
t(P)=0 sinon
La formule précédente redonne bien dans ce cas particulier A (M ) = Be − jϕ0
j
∫
e
2π
r
r
OP.( u M − u S )
λ
dS
P
P∈Σ
Pour un diaphragme de phase, t est un complexe de module 1. Pour un diaphragme d’amplitude, c’est un réel positif.
La diffraction par un diaphragme de phase ou d’amplitude est théoriquement hors programme mais a d’importantes
applications pratiques : elle est utilisée pour améliorer le pouvoir séparateur d’une lunette astronomique.
Remarque : en se limitant à un problème unidimensionnel, (diaphragme long selon yP) et dont la transparence complexe ne dépend que de xP, et en
supposant le diaphragme éclairé sous incidence normale, on obtient :
A (M) = Ce − jϕ0
+∞
∫
t ( x P )e
j
2π
αMx P
λ
dx
P
−∞
Avec l’analogie xPt et 2π/λω, on obtient la transformée de Fourier de la transparence complexe du diaphragme. A(M) est proportionnelle à la
transformée de Fourier de la fonction t(xP); k=2παM/λ est la pulsation spatiale; A(k) représente la distribution des pulsations spatiales de t(xP).
4.
Théorème de Babinet
définition : on appelle écrans complémentaires F1 et F2, deux écrans tels que les parties opaques de l’un correspondent aux
parties transparentes de l’autre, c’est-à-dire deux diaphragmes tels que la somme de leurs transparences soit égale à 1 :
t1(P)+t2(P)=1
Exemples : un fil et une fente, ou encore une ouverture circulaire et un disque.
Théorème de Babinet :
Les figures de diffraction de Fraunhofer de deux écrans complémentaires sont identiques, sauf au point S’ image
géométrique de la source S.
Démonstration :
Soit deux diaphragmes complémentaires (F1) et (F2) de plan π, utilisés dans les conditions de Fraunhofer avec la même
source ponctuelle monochromatique. Soient A1(M) et A2(M) les amplitudes complexes diffractées en M respectivement
par (F1) seul et par (F2) seul (les fonctions de transparence peuvent être prolongées sur tout le plan π) :
A 1 (M ) = Be − jϕ0
∫
j
t 1 ( P )e
r
r
2π
OP.( u M − u S )
λ
dS
P∈π
A 2 (M ) = Be
− jϕ0
∫t
j
2 ( P )e
r
r
2π
OP.( u M − u S )
λ
dS
P∈π
Puisque t1(P)+t2(P)=1, on a A 1 (M ) + A 2 (M ) = Be
− jϕ 0
∫e
j
r
r
2π
OP.( u M − u S )
λ
dS
P∈π
La dernière intégrale représente l’amplitude complexe diffractée par un plan infini transparent, c’est-à-dire en l’absence de
tout obstacle (ou encore avec une pupille de dimensions infinies) : dans ce cas, l’approximation de l’optique géométrique
est valable : toute l’énergie lumineuse est concentrée sur l’image géométrique S’ de la source.
Donc en tout point M≠S’
A 1 ( M ) + A 2 ( M ) = 0 : A 1 (M ) = − A 2 ( M )
:
I1 (M) = I 2 (M)
L’égalité entre les éclairements étant obtenue en passant au module puis au carré des modules.
Diffraction à l’infini (optique 2 spé)
18
5.
Universalité de la diffraction des ondes
La diffraction est un phénomène commun à toutes les ondes scalaires solutions d’une équation de D’Alembert. Elle est
perceptible dès que les dimensions caractéristiques des obstacles ne sont pas très grandes devant la longueur d’onde λ=cT.
Diffraction par un obstacle de dimension caractéristique L
approximation géométrique (propagation en ligne droite)
↔
↔
on n’a pas L>>λ
on a
L>>λ
ondes sonores. Dans l’air, λ va de 2cm pour les aigus à 20m pour les basses (λ=c/f avec f ∈[15Hz;15000Hz] et
c≈300m/s) : les ondes sonores sont diffractées par les objets usuels : l’approximation de l’acoustique géométrique
n’est pas valable dans notre environnement. Cela nous permet d’entendre une conversation par une porte entrouverte.
On comprend que les basses sont les ondes sonores les plus difficiles à arrêter (les grandes longueurs d’onde sont
diffractées par toutes sortes d’obstacles et peuvent tout contourner). En revanche, l’approximation de l’acoustique
géométrique est valable pour la propagation des ultrasons dans les océans, utilisés par les sonars des sous marins pour
localiser une cible ou un obstacle.
OEM . Les grandes ondes (ondes radios kilométriques) sont fortement diffractées par les collines, ce qui permet leur
réception sans vision directe de l’émetteur. Pour les ondes métriques (utilisées sur la bande FM), la diffraction est
beaucoup moins sensible.
rayons X (cas particulier d’OEM de λ≈0,1nm) : ils sont diffractés par les « détails » atomiques de la matière : la
diffraction des rayons X est un moyen d’investigation de la matière à l’échelle atomique. L’étude de la figure de
diffraction donne des renseignements sur le réseau diffractant.
On utilise aussi la diffraction d’électrons ou de neutrons pour étudier la structure atomique des surfaces (à un flux de
particules homocinétiques est associée une onde de De Broglie telle que λ=h/p).
6.
Influence d’une translation de la pupille diffractante dans son propre plan
On suppose que la translation laisse l’ouverture localisée entre L1 et L2 et que la totalité de la surface de l’ouverture reste
éclairée par le faisceau en provenance de la source.
Soit Σ la position de la pupille avant translation, A(M) l’amplitude complexe de la vibration lumineuse dans la direction
r
u M avant translation, I(M) l’éclairement correspondant, O le point de référence pour exprimer A(M).
r
Soit Σ’ la position de la pupille après une translation de vecteur T , O’ le translaté de O, A’(M) l’amplitude complexe de la
r
vibration lumineuse dans la direction u M après translation, I’(M) l’éclairement correspondant
A (M ) = Be − jϕ0
∫
j
e
2π
r
r
OP.( u M − u S )
λ
dx
P dy P
P
∈Σ444424444
1
3
J
r
Prenons comme point de référence pour exprimer A’(M), le point O’, translaté de O par le vecteur T .
A ' (M ) = Be
− jϕ 0 '
∫e
j
2π
r
r
O 'P.( u M − u S )
λ
dx
P dy P
= A (M )e − j( ϕ0 ' − ϕO )
P
∈Σ4
' 444244443
1
J
L’intégrale qui intervient est exactement la même que celle qui intervient dans A(M) (notée J).
On voit immédiatement que, les deux amplitudes ayant même module, les éclairements vont être les mêmes.
Par ailleurs, d’après le calcul de II3. fait pour P quelconque :
Diffraction à l’infini (optique 2 spé)
19
ϕ O' = ϕ O +
r
r
2π
OO'.(u S − u M ) :
λ
r
2π r r
T.(u M − u S )
λ
ϕ O − ϕ O' =
A ' ( M ) = A ( M )e
− j( ϕ 0 ' − ϕ O )
= A ( M )e
j
r
2π r r
T.( u M − u S )
λ
et
I’(M)=I(M)
Une translation de l’ouverture diffractante ne modifie pas la figure de diffraction
L’éclairement en un point M dépend de la forme de la pupille diffractante de plan π mais pas de sa position dans le plan π.
V.
Diffraction à l’infini par les fentes d’Young
Considérons le dispositif des fentes d’Young éclairées par une source ponctuelle à l’infini : l’ouverture diffractante est
constituée de deux fentes fines F1 et F2, identiques et parallèles, percées dans un écran opaque, de largeur b, de centres
respectifs O1 et O2, distants de O1O2 =a (avec bien sûr a > b).
Pour simplifier, supposons le faisceau incident parallèle à l’axe du montage (incidence normale sur le plan des fentes) :
αS=βS=0.
αM
r
L’amplitude diffractée dans la direction u M β M est la somme des amplitudes diffractées par chacune des fentes :
1
A(M)=A1(M)+A2(M) avec, les deux fentes étant identiques :
A i (M ) = Be
− jϕ 0 i
∫
j
e
2π
r
r
O i P.( u M − u S )
λ
dx
P dy P
= A0e
− jϕ 0 i
P∈Σ
 b

 h

sin c π α M . sin c π β M 
λ
λ




Comme il s’agit de fentes fines (h>>λ), l’amplitude n’est non nulle que pour βM=0. On a alors :
A1 (M) = A 0 e
− jϕ01
∆ϕ = ϕ O1 − ϕ O 2 =
− jϕ
j( ϕ − ϕ )
 b

 b

sin c π α M  et A 2 (M ) = A 0 e 02 sin c π α M  = A1 (M)e 01 O 2 = A1 (M)e j∆ϕ avec
 λ

 λ

r
2π
2π
O1 O 2 .u M =
aα M : déphasage en M entre les deux ondes provenant de S et passant par O1 et O2
λ
λ
Si l’on observe les phénomènes sur un écran très éloigné on a αM=xM/D, si on les observe dans le plan focal d’une lentille
αM=xM/f2’.
[
A(M)=A1(M)+A2(M)= A 1 (M ) 1 + e j∆ϕ
]
Chacune des deux fentes seule donnerait le même éclairement, mais en présence des deux fentes, il y a interférence.
L’éclairement se calcule par :
[
]
[
]
I(M ) = A (M).A * (M ) = A 1 (M ) 1 + e j∆ϕ .A1 * (M ) 1 + e − j∆ϕ = A1 (M).A1 * (M)[1 + 1 + e j∆ϕ + e − j∆ϕ ]
a


I(M ) = 2I1 (M ){1 + cos(∆ϕ)} = 2I1 (M)1 + cos(2π α M ) avec I1 (M ) = A 1 (M ).A1 * (M ) = A 2 (M ).A 2 * (M ) éclairement
λ


lorsque la pupille est constituée d’une seule des deux fentes.
Diffraction à l’infini (optique 2 spé)
20
ax 

I(M ) = 2I1 (M )1 + cos(2π M )
λD 

On reconnaît le facteur d’interférence (l’accolade). Mais le facteur devant, n’est pas une constante comme dans
l’hypothèse d’une diffraction isotrope faite dans le chapitre précédent. Du fait que chaque fente a une largeur finie, b,
l’éclairement produit par chacune seule n’est pas isotrope :
 b xM
 b

I1 (M) = I 0 sin c 2  π α M  = I 0 sin c 2  π
 λ

 λ D



ax 
ax 

 bx 
I(M ) = 2I1 (M )1 + cos(2π M ) = 2I 0 sin c 2  π M 1 + cos(2π M )
λD 
λD
λD 

144244314442444
3
s 'annule pour
x M = pλD / b , p∈N*
période i = λD / a
Dans le cas où la largeur des fentes est très faible (b<<λ), le sinc vaut 1, on retrouve les résultats du chapitre précédent :
ax 

I(M ) = 2I 0 1 + cos(2π M ) .
λD 

Dans le cas où la largeur des fentes n’est pas négligeable, on peut interpréter le résultat ci-dessus de la façon suivante :
l’éclairement sur l’écran correspond à un phénomène d’interférence (interfrange i=λD/a) modulé par une enveloppe de
diffraction I1(M), dû au fait que la diffraction par chacune des fentes n’est pas isotrope.
L’interfrange est i=λD/a. La largeur de la tache centrale de diffraction sur l’écran est B = 2
λD
b
Les franges brillantes n’ont donc pas toutes le même éclairement. On observera dans la tache centrale de diffraction un
nombres de franges brillantes dépendant du rapport B/i, donc de a/b.
La figure ci-dessous correspond à a/b=5, En abscisse, on a porté xM/i. On visualise 9 franges brillantes d’interférence dans
la tache centrale de diffraction.
Remarque : on a considéré ici une source (primaire) ponctuelle S, à l’infini, sur l’axe (incidence normale sur le plan des
fentes). Si au lieu d’une source primaire ponctuelle unique, on a une fente source primaire (infiniment fine), parfaitement
parallèle aux fentes F1 et F2, chaque élément quasi ponctuel S de cette fente source donne la figure de diffraction
précédente : une ligne lumineuse S’x, dont la tache centrale a pour centre l’image géométrique S’ de S, pour largeur B, et
pour hauteur H tendant vers zéro. Les différents éléments de la fente source primaire étant incohérents entre eux, les
éclairements correspondants s’ajoutent simplement sur l’écran : on a juxtaposition des lignes lumineuses précédentes, ce
qui forme un système de franges : des franges d’interférence, dont l’intensité est modulée par le phénomène de diffraction.
Diffraction à l’infini (optique 2 spé)
21
VI.
Réseaux plans
Un réseau plan est constitué par un grand nombre de fentes fines et parallèles, gravées sur un plan et régulièrement
espacées. La distance entre deux fentes consécutives est le pas du réseau (que nous noterons a).
On caractérise également souvent un réseau par son « nombre de traits par unité de longueur » : n=1/a
Soit un réseau plan constitué de N fentes, éclairé en incidence normale par une lumière monochromatique de longueur
d’onde λ.
Choisissons comme point O, le centre de la fente la plus à gauche du réseau lorsqu’on regarde la source. Notons F1 …,
Fk…, FN les différentes fentes, Ok leurs centres respectifs (O1=O).
a
yP
b
xP
uM
uS
O2
θ
O3
z
O
F1
1.
F2
F3
Cas du réseau parfait
a)
Définition
On parle de réseau parfait, lorsque les fentes peuvent être considérées comme infiniment fines : b<<λ. On a alors une
diffraction isotrope pour chaque fente.
b)
Observation
La figure ci-dessous donne l’allure de l’éclairement en fonction de asinθ/λ, dans le cas de 8 fentes, la suivante dans le cas
de 80 fentes.
I/I0
réseau parfait
N=8
Diffraction à l’infini (optique 2 spé)
22
asinθ/λ =δ/λ
I/I0
réseau parfait
N=80
asinθ/λ =δ/λ
On remarque que l’éclairement présente des maxima principaux de lumière très aigus, d’autant plus aigus que le nombre
de fentes est important (ce qui correspond à l’utilisation courante des réseaux). Ces maxima sont observés dans les
directions θk telles que :
sin θ k = k
λ
a
k entier relatif
Dans le cas d’un nombre de fentes faible, on peut distinguer des maxima secondaires. Leur intensité relative est d’autant
plus faible que le nombre de fentes est important.
Remarque : Ces maxima sont très aigus : les minima nuls de part et d’autre d’un maximum principal tel que δ/λ=k, sont
tels que δ/λ=k+1/N : la largeur d’un pic principal à sa base est donc 2/N (en unité δ/λ), sa largeur à mi-hauteur (en unité
δ/λ) est approximativement la moitié de sa largeur à la base soit 1/N : le réseau est d’autant plus sélectif que le nombre de
fentes est important.
c)
Recherche des directions correspondant aux maxima principaux
Diffraction à l’infini (optique 2 spé)
23
Un maximum principal de lumière correspond à une direction d’observation pour laquelle le déphasage φ entre deux ondes
émises par la source primaire puis les sources secondaires Oj et Oj+1 « centres de deux fentes consécutives », est un
multiple entier de 2π : toutes les ondes secondaires émises par les centres Oi dans une telle direction, sont alors en phase et
interfèrent constructivement; on peut également dire que la différence de marche dans cette direction, entre deux ondes
émises par la source primaire puis les sources secondaires Oj et Oj+1 « centres de deux fentes consécutives », est un
multiple entier de λ.
maxima principaux pour φ=2kπ soit δ=asinθ=kλ ou encore sin θ = k
λ
a
k entier relatif
avec φ déphasage entre deux ondes secondaires émises par les centres de deux fentes consécutives.
A chaque valeur de k correspond « un ordre d’interférence ».
La valeur θk de θ correspondant à un ordre d’interférence k donné du réseau dépend de la longueur d’onde λ : un
réseau est dispersif, c’est d’ailleurs son principal intérêt.
2.
Cas d’un réseau non parfait
Soit b la largeur de chaque fente.
L’éclairement est le produit d’un terme résultant des interférences entre les différentes fentes, par l’éclairement dû à une
seule fente, I1(M), en sinc2(πbsinθ/λ). Pour un réseau réel, l’intensité des maxima principaux de lumière est modulée par la
figure de diffraction d’une fente.
La figure d’interférence du réseau parfait est alors modulée par la diffraction d’une fente (en sinc2).
I/I0
I/I0
réseau réel
réseau réel
N=8; a=4b
N=80; a=4b
asinθ/λ
asinθ/λ
Les figures ci-dessus donnent l’éclairement dans les cas N=8 et a/b=4, puis N=80 et a/b=4.
Diffraction à l’infini (optique 2 spé)
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