DIFFRACTION DES ONDES LUMINEUSES

Diffraction à l’infini (optique 2 spé) 1
I. Mise en évidence expérimentale
Un faisceau laser (assimilable à une onde plane monochromatique de longueur d’onde notée λ) est intercepté par un écran
opaque muni d’une fente de largeur variable « a ». Sur un écran de projection situé à un ou deux mètres, on constate que :
• la tache quasi ponctuelle formée par le faisceau en l’absence d’obstacle, s’élargit perpendiculairement à la fente
lorsque celle-ci se rétrécit.
• l’éclairement n’est plus uniforme : on observe une tache centrale et des taches secondaires, deux fois moins larges et
beaucoup moins lumineuses que la tache centrale.
• la largeur de la tache centrale est L=2λD/a où D est la distance entre la fente et le plan d’observation, ce qui
correspond à une tache de demi-largeur angulaire α=λ/a
• Dans la direction de la grande dimension de la fente (Oy
P
) , on n’observe aucun élargissement.
Diffraction par une fente fine de largeur « a »
L’optique géométrique ne permet pas de prévoir ces phénomènes. En effet, dans le cadre de l’optique géométrique :
 les rayons lumineux qui arrivent à côté de la fente seraient définitivement éliminés
 ceux qui passent par l’ouverture ne seraient pas affectés par la présence de l’écran opaque et resteraient rectilignes.
DIFFRACTION DES ONDES LUMINEUSES
I(x)
x
P
x
laser
z
y
y
P
L
a
x
P
x
α=λ/a

Diffraction à l’infini (optique 2 spé) 2
Prévisions de l’optique géométrique
Le phénomène observé quand la largeur de la fente est faible, est lié, comme les interférences, au caractère ondulatoire de
la lumière. Dans le domaine optique, les longueurs d’onde sont très petites (≈0,5µm) et ce n’est qu’avec des diaphragmes
très petits qu’on met en évidence la diffraction.
La « diffraction de la lumière » se traduit par des écarts aux lois de propagation géométriques de la lumière; elle se
manifeste en présence d’obstacles dont les dimensions ne sont pas «très grandes» devant la longueur d’onde utilisée.
(ou plus généralement lors de variations brutales des propriétés optiques des milieux traversés, variation sur des distances qui ne sont pas très grandes
devant la longueur d’onde).
Il n’est pas possible de développer à notre niveau une théorie électromagnétique de la diffraction (très complexe, faite
seulement en 1922 par Köttler, en résolvant les équations de Maxwell). On se contentera d’une description
phénoménologique de la diffraction, dans l’esprit de la première théorie, développée au XVIII
ème
par Huyghens puis au
début du XIX
ème
par Fresnel.
II. Principe d’Huyghens-Fresnel
rappel :
 les rayons lumineux de l’optique géométrique sont, en tout point, tangents à la direction de propagation de l’onde.
 une surface d’onde d’une source ponctuelle est un ensemble de points séparés de la source par le même chemin
optique.
 théorème de Malus : les surfaces d’ondes sont normales aux rayons lumineux. Le chemin optique entre deux points
conjugués (i.e. entre un point objet et son image géométrique) par un système optique stigmatique est indépendant du
rayon considéré.
1. Idée d’Huyghens
Soit une onde lumineuse sphérique émise par un point source S (on l’appellera source primaire). A un instant t
0
, elle atteint
les points P
i
de la surface d’onde
0
t
σ (surface sphérique de centre S si le milieu est homogène) et se propage ensuite vers
les points M d’une surface d’onde ultérieure σ.
S’inspirant de l’étude de la propagation d’ondes mécaniques dans les milieux matériels, Huyghens supposa que l’onde se
propage depuis la sphère
0
t
σ vers la sphère ultérieure comme si chacun des points P
i
excités par l’onde arrivant de S, était
lui-même une source (qu’on appellera secondaire). Les ondelettes ainsi émises depuis les différents points P
i
de la sphère
0
t
σ , points sources secondaires, se propagent alors vers la droite sous forme d’ondes sphériques cohérentes entre elles et
le résultat de leur interférence (i.e. de leur superposition) au niveau de la surface ultérieure σ forme la nouvelle onde.
x
P
z
lumière
ombre
x

Diffraction à l’infini (optique 2 spé) 3
« Soit une onde lumineuse sphérique émise par un point source S (on l’appellera source primaire). Chaque point
d’une surface d’onde primaire, atteinte par la lumière à l’instant t
0
peut être considéré comme une source
secondaire ponctuelle. La surface d’onde de l’onde primaire à un instant t postérieur à t
0
se confond avec
l’enveloppe des surfaces d’onde provenant de ces différentes sources secondaires fictives équivalentes ».
Idée d’Huyghens
Remarque : cette équivalence est indépendante de la présence ou non d’un obstacle.
En l’absence d’obstacle, l’enveloppe des surfaces d’onde des ondes secondaires est identique à la surface d’onde de l’onde
primaire (cas d’une onde sphérique ou cas particulier d’une onde plane).
En revanche, la présence d’un obstacle (qualifié dans la suite de pupille diffractante), modifie le nombre de sources
secondaires et par conséquent, modifie la forme de l’onde recomposée au niveau des points atteints ultérieurement : c’est
le phénomène de diffraction.
Si l’obstacle est un écran plan opaque percé d’un trou P quasi ponctuel, on a une ondelette secondaire unique émise par le
trou quasi ponctuel. Les surfaces d’onde à t>t
0
sont des sphères de centre P : un trou quasi-ponctuel atteint par une onde
lumineuse est équivalent à une source lumineuse ponctuelle sphérique.
Si l’obstacle est un écran plan opaque percé d’une ouverture non ponctuelle, les différentes sources secondaires étant
parfaitement cohérentes, elles vont interférer : le calcul de la vibration lumineuse résultante puis de l’éclairement en un
point M quelconque de la zone d’observation va être un calcul d’interférence, non pas de deux ondes seulement comme
dans le chapitre précédent, mais d’une infinité d’ondes cohérentes émises par les différents points de la pupille
diffractante. L’objet de ce chapitre est le calcul de l’éclairement dans le cas simple d’une ouverture rectangulaire.
2. Principe d’Huyghens Fresnel
σ
Surface
σ
t
0
P
élément de surface dS(P) : source secondaire
ponctuelle émettant une onde sphérique
ouverture Σ
(pupille diffractante)
M
S

Diffraction à l’infini (optique 2 spé) 4
Pour interpréter les phénomènes de diffraction, Fresnel précise l’idée d’Huyghens sous la forme suivante, appelée
« principe d’Huyghens Fresnel » (Fresnel, au 19
ème
, disposait de la théorie ondulatoire de la lumière, contrairement à
Huyghens) :
Soit Σ
ΣΣ
Σ une ouverture plane pratiquée dans un écran opaque π
ππ
π (Σ
ΣΣ
Σ sera appelée pupille diffractante), éclairée par une
source ponctuelle S (dite primaire), monochromatique, de longueur d’onde dans le vide λ
λλ
λ
0
.
• Chaque élément de surface de centre P, dS(P), de la surface Σ,
Σ,Σ,
Σ, atteint par la vibration lumineuse émise par S,
peut être considéré comme une source secondaire ponctuelle émettant une onde sphérique :
 de même fréquence que l’onde primaire
 d’amplitude proportionnelle à :
o l’aire dS de l’élément de surface considéré
o l’amplitude de l’onde primaire en P
• Les ondes issues des différentes sources secondaires étant cohérentes entre elles, elles interférent : la vibration
lumineuse résultante en un point M est la somme des vibrations lumineuses associées à chaque source
secondaire.
3. Formulation mathématique dans le cas de la diffraction à l’infini (seul cas
au programme)
Définition : On nomme diffraction à l’infini, ou diffraction de Fraunhofer, le phénomène de diffraction observé quand la
source S et le point d’observation M sont « très éloignés » de l’ouverture diffractante Σ.
C’est le seul cas au programme, même si, bien sûr, le phénomène de diffraction existe en dehors de ce cas particulier : on parle alors de diffraction de
Fresnel; les calculs sont plus compliqués. Par exemple, lorsqu’un faisceau de lumière parallèle éclaire le bord d’un objet opaque (comme une lame de
rasoir), on observe la structure suivante : dans la zone de l’ombre géométrique, on a de la lumière et dans la zone complémentaire, on a un éclairement
non uniforme : on observe des franges parallèles au bord de la lame.
Formulons mathématiquement le principe d’Huyghens Fresnel dans ce cas.
Au niveau de la pupille, la source étant « à l’infini », l’onde est quasi plane. La vibration lumineuse reçue en un point P de
la pupille à un instant t est donc :
)
)SP(2
t(j
0
)
c)SP(
t(j
0
inc
0
eDeD)t,P(a
λ
π
−ω
−ω
== résultat de la propagation depuis la source S, jusqu’à P
D’après le principe d’Huyghens Fresnel, la contribution à la vibration lumineuse en un point M, de l’élément de surface
dS(P) de centre P est, l’onde secondaire sphérique se propageant de P à M :
[ ]
)t(j
0
)PM()SP(
2
tj
0
)PM(
2
j
inc
SPM
0
0
e)P(dSKDe)P(dSKDe)P(dS).t,P(aK)t,P,M(ad
ϕ−ω
+
λπ
−ω
λπ
−
===
où K est une constante
et )]PM()SP[(
2
0
SPM
+
λ
π
=ϕ est le retard de phase dû à la propagation jusqu’à M de l’onde émise par S, puis P.
Les sources secondaires étant cohérentes entre elles, la vibration lumineuse en M est la somme des contributions
da(P,M,t), de toutes les surfaces élémentaires constituant Σ :
vibration lumineuse en M
tj
)]PM()SP[(
2
j
tj
)])PM()SP[(
2
t(j
)t(j
P
e)M(AdSeBedSeBdSeB)t,P,M(ad)t,M(a
00SPM
ω
Σ
+
λπ
−
ω
Σ
+
λπ
−ω
Σ
ϕ−ω
Σ∈
=====
∫∫∫∫

Diffraction à l’infini (optique 2 spé) 5
avec
∫∫
Σ∈
+
λπ
−
Σ∈
ϕ−
==
P
)]PM()SP[(
2
j
P
j
dSeBdSeB)M(A
0SPM
amplitude complexe de la vibration lumineuse en M
Le retard de phase dû à la propagation jusqu’à M de l’onde émise par S, puis P, ϕ
SPM
est la somme du retard de phase ϕ
SP
dû à la propagation de l’onde primaire de S à P et du retard de phase ϕ
PM
dû à la propagation de l’onde secondaire de P à
M.
Pour une onde quasi plane émise par S de vecteur d’onde
k
r
S
=
S
u
2r
λ
π
, le retard de phase dû à la propagation jusqu’en P
est : SP.k
SSP
r
=ϕ
De même pour une onde quasi plane reçue par le point M, émise par P (ondelette) de vecteur d’onde
k
r
M
=
M
u
2r
λ
π
, le retard
de phase dû à la propagation jusqu’en M est : PM.k
MPM
r
=ϕ
On a donc PM.kSP.k
MSPMSPSPM
r
r
+=ϕ+ϕ=ϕ
Soit O un point de l’ouverture Σ , qui va nous servir de référence. Le résultat précédent appliqué au point O s’écrit :
OM.kSO.k
MSOMSOSOM
r
r
+=ϕ+ϕ=ϕ
Faisons la différence ϕ
SPM
- ϕ
SOM
: )uu.(OP
2
PO.kOP.k
MSMSSOMSPM
rr
r
r
−
λ
π
=+=ϕ−ϕ
Finalement, on peut exprimer le retard de phase dû à la propagation jusqu’en M par l’intermédiaire de la source secondaire
P, en fonction du retard de phase dû à la propagation jusqu’en M par l’intermédiaire de la source secondaire particulière
« O », point de l’ouverture diffractante que nous utilisons comme référence, de la façon suivante :
)uu.(OP
2
MSSOMSPM
rr −
λ
π
+ϕ=ϕ
où
SOM
ϕ est le retard de phase pour le trajet SO puis OM( )]OM()SO[(
2
0
SOM
+
λ
π
=ϕ )
Remarque : avec les notations de la figure ci-dessus, on retrouve ce résultat en utilisant les chemins optiques :
(SP)=(SH
P
)+(H
P
P)=(SO)+n
S
u.OP
r
et (PM)=(PK
P
)+(K
P
M)=n
M
u.PO
r
+(OM) donc (SP)+(PM)=(SO)+(OM)+
n(
S
u.OP
r
+
M
u.PO
r
) et )uu.(OP
2
)uu.(OP
2
)]OM()SO[(
2
)]PM()SP[(
2
MSSOMMS
00
SPM
rrrr −
λ
π
+ϕ=−
λ
π
++
λ
π
=+
λ
π
=ϕ
P
élément de surface dS(P)
pupille diffractante
M à l’infini
S à l’infini O
u
S
u
M
K
P
H
P