Chapitre 21

21
Structure d’anneau
21.1
Anneaux
Définition 21.1 Soit A un ensemble non vide muni de deux lois de composition interne notées
+ (une addition) et · (une multiplication). On dit que (A, +, ·) est un anneau si :
– (A, +) est un groupe commutatif ;
– la loi · est associative ;
– la loi · est distributive par rapport à la loi +, ce qui signifie que :
½
a · (b + c) = a · b + a · c
3
∀ (a, b, c) ∈ A ,
(b + c) · a = b · a + b · c
Si la loi · est commutative, on dit alors que l’anneau A est unitaire.
S’il existe un élément neutre pour la loi ·, on dira alors que A est un anneau unitaire.
Si (A, +, ·) est un anneau, on notera 0 le neutre pour l’addition et s’il existe on notera 1 le
neutre pour la multiplication. L’opposé d’un élément a (i. e. le symétrique pour +) sera noté
−a et on notera a − b pour a + (−b) .
On écrira souvent ab pour a · b dans un anneau.
Si n est un entier naturel et a un élément de A, l’élément na de A est défini par :
½
0 si n = 0,
na =
a + (n − 1) a si n ≥ 1
et pour m entier relatif négatif, on pose ma = − ((−m) a) , ce qui permet de définir na pour
tout entier relatif n.
Si (A, +, ·) est un anneau unitaire, pour tout entier naturel n et tout élément a de A, l’élément
an de A est défini par :
½
1 si n = 0,
n
a =
a · an−1 si n ≥ 1
Dans un anneau unitaire, on supposera que 0 6= 1 (sans quoi l’anneau est réduit à {0}). Un
anneau unitaire a donc au moins deux éléments.
n
X
Si A est un anneau unitaire et P (X) =
αk X k un polynôme à coefficients entiers relatifs,
k=0
n
X
l’élément P (a) =
αk ak est aussi dans A.
k=0
Les anneaux considérés seront a priori supposé unitaires.
379
380
Structure d’anneau
Exemple 21.1 Les ensembles Z, Q, R, C muni des opérations usuelles sont des anneaux commutatifs et unitaires.
Exemple 21.2 Soient E un ensemble non vide et A un anneau. On vérifie facilement que
l’ensemble AE des applications de E dans A muni des opérations d’addition et de multiplication
définies par :
½
(f + g) (x) = f (x) + g (x)
E
E
∀ (f, g) ∈ A × A , ∀x ∈ E,
(f · g) (x) = f (x) · g (x)
est un anneau. Cet anneau est commutatif si A l’est et il est unitaire si A l’est avec comme
élément neutre pour le produit l’application constante égale à 1.
En particulier l’ensemble RN des suites réelles est un anneau commutatif unitaire et pour toute
partie non vide I de R, l’ensemble RI des fonctions définies sur I et à valeurs réelles est un
anneau commutatif unitaire.
Exemple 21.3 L’ensemble Mn (R) des matrices carrées réelles d’ordre n ≥ 1 muni des opérations usuelles d’addition et de multiplication est un anneau unitaire non commutatif.
Exemple 21.4 Plus généralement si A est un anneau commutatif unitaire, l’ensemble Mn (A)
des matrices carrées d’ordre n à coefficients dans A est un anneau unitaire non commutatif
pour les opérations d’addition et multiplication définies par :

= ((aij + bij ¶¶
))1≤i,j≤n
 A + B µµ
n
P
aik bkj
 AB =
k=1
1≤i,j≤n
où on note A = ((aij ))1≤i,j≤n la matrice ayant pour coefficient aij en ligne i et colonne j pour
i, j compris entre 1 et n.
Exercice 21.1 Vérifier que dans un anneau (A, +, ·) on a les règles de calcul suivantes :
– a · 0 = 0 · a = 0;
– (−a) · b = a · (−b) = −a · b ;
– (−a) · (−b) = a · b ;
– (a − b) · c = a · c − b · c ;
– a · (b − c) = a · b − a · c ;
– n (a÷ b) = !
(na) · b = a · (nb) ;
p
p
X
X
a · bk ;
– a·
bk =
k=1
à p k=1!
p
X
X
–
bk · a =
bk · a ;
k=1
k=1
où a, b, c, a1 , · · · , ap sont des éléments de A, p un entier naturel non nul et n un entier relatif.
Solution 21.1 Laissée au lecteur.
Exercice 21.2 Soit (A, +, ·) un anneau unitaire.
1. Montrer que si a et b commutent dans A, on a alors pour tout entier naturel n :
(a + b)n =
n
X
k=0
(formule du binôme de Newton).
Cnk ak bn−k
Anneaux
381
2. Ce résultat est-il encore valable si a et b ne commutent pas ?
Solution 21.2
1. On procède par récurrence sur n ≥ 0. Pour n = 0 et n = 1, c’est évident. En supposant
le résultat acquis au rang n ≥ 1, on a :
à n
!
X
(a + b)n+1 = (a + b)n (a + b) =
Cnk ak bn−k (a + b)
k=0
=
n
X
Cnk ak+1 bn−k
+
k=0
=
n+1
X
Cnk ak bn−(k−1)
k=0
Cnk−1 ak bn−(k−1) +
k=1
= bn+1 +
n
X
n
X
Cnk ak bn−(k−1)
k=0
n
X
¡
¢
k
Cnk−1 + Cn ak bn+1−k + an+1
k=1
k
et tenant compte de Cnk−1 + Cnk = Cn+1
(triangle de Pascal), cela s’écrit :
n+1
(a + b)
=
n−1
X
k
Cn+1
ak bn+1−k .
k=0
Le résultat est donc vrai pour tout n ≥ 0.
2. Si a et b ne commutent pas, ce résultat n’est plus nécessairement vrai. Par exemple dans
Mn (R) en considérant deux matrices A et B telles que AB 6= BA, on a :
(A + B)2 = A2 + AB + BA + B 2 6= A2 + 2AB + B 2 .
µ
¶
µ
¶
1 1
a b
Par exemple, les matrices A =
et B =
donnent :
0 1
c d
µ
¶
µ
¶
a a+b
a+c b+d
AB =
, BA =
c
d
c c+d
et pour c 6= 0, on a AB 6= BA.
Exercice 21.3 Soit (A, +, ·) un anneau unitaire.
1. Montrer que si a et b commutent dans A, on a alors pour tout entier naturel n :
b
n+1
n+1
−a
= (b − a)
n
X
ak bn−k .
k=0
2. Ce résultat est-il encore valable si a et b ne commutent pas ?
3. Montrer que si a ∈ A est tel que an = 0 pour un entier n ≥ 1 (on dit alors que a est
n−1
X
nilpotent), alors 1 − a est inversible d’inverse
ak .
k=0
Solution 21.3
382
Structure d’anneau
1. On procède par récurrence sur n ≥ 0. Pour n = 0, c’est évident. En supposant le résultat
acquis au rang n ≥ 0, on a :
¡
¢
bn+2 − an+2 = bn+1 − an+1 b + ban+1 − an+2
n
X
= (b − a)
ak bn+1−k + (b − a) an+1
¡
n+1
= (b − a) b
n
+ ab + · · · + a
k=0
n−1 2
¢
b + an b + (b − a) an+1
= (b − a)
n+1
X
ak bn+1−k .
k=0
Le résultat est donc vrai pour tout n ≥ 0.
2. Si a et b ne commutent pas, ce résultat n’est plus nécessairement vrai. Par exemple dans
Mn (R) en considérant deux matrices A et B telles que AB 6= BA, on a :
(B − A) (B + A) = B 2 − AB + BA − A2 6= B 2 − A2 .
µ
¶
µ
¶
1 1
a b
Par exemple, les matrices A =
et B =
donnent :
0 1
c d
µ
¶
µ
¶
a+c b+d
a a+b
AB =
, BA =
c
d
c c+d
et pour c 6= 0, on a AB 6= BA.
3. Prenant b = 1 (qui commute à tout a ∈ A) dans la première question, on a :
n
1 − a = (1 − a)
n−1
X
ak
k=0
n−1
X
ak = 1, ce qui signifie que 1 − a est inversible
pour n ≥ 1 et a = 0 donne (1 − a)
n
k=0
d’inverse
n−1
X
ak .
k=0
Exercice 21.4 Soient A, B deux anneaux. Montrer que le produit direct A × B muni des lois :
½
((a1 , a2 ) , (b1 , b2 )) 7→ (a1 , a2 ) + (b1 , b2 ) = (a1 + a2 , b1 + b2 )
((a1 , a2 ) , (b1 , b2 )) 7→ (a1 , a2 ) · (b1 , b2 ) = (a1 · a2 , b1 · b2 )
est un anneau.
Solution 21.4 Laissée au lecteur.
De manière plus générale, si A1 , · · · , Ap sont des anneaux, on peut alors munir le produit
p
Y
direct
Ak = A1 × · · · × Ap d’une structure d’anneau comme dans le cas où p = 2. Si Ak = A
k=1
pour tout k compris entre 1 et p, on note alors Ap cet anneau produit.
Anneaux
383
Exercice 21.5 Soit E un ensemble non vide. Montrer que l’ensemble P (E) des parties de E
muni des opérations ∆ de différence symétrique et ∩ d’intersection est un anneau commutatif
et unitaire (c’est l’anneau de Boole).
Solution 21.5 On rappelle que pour A, B dans P (E) , on a :
A∆B = (A ∪ B) \ (A ∩ B) = (A \ B) ∪ (B \ A) ,
la réunion étant disjointe.
De la commutativité des opérateurs ∪ et ∩, on déduit que ∆ est commutative.
Pour A, B, C dans P (E) , on a :
(x ∈ (A∆B) ∆C) ⇔ (x ∈ A∆B et x ∈
/ C) ou (x ∈ C et x ∈
/ A∆B)
⇔ (x ∈ A et x ∈
/ B et x ∈
/ C) ou (x ∈ B et x ∈
/ A et x ∈
/ C)
ou (x ∈ C et x ∈
/ A et x ∈
/ B) ou (x ∈ C et x ∈ A ∩ B)
⇔ (x ∈ A et x ∈
/ B et x ∈
/ C) ou (x ∈ B et x ∈
/ A et x ∈
/ C)
ou (x ∈ C et x ∈
/ A et x ∈
/ B) ou (x ∈ A ∩ B ∩ C)
et :
(x ∈ A∆ (B∆C)) ⇔ (x ∈ A et x ∈
/ B∆C) ou (x ∈ B∆C et x ∈
/ A)
⇔ (x ∈ A et x ∈
/ B et x ∈
/ C) ou (x ∈ A et x ∈ B ∩ C)
ou (x ∈ B et x ∈
/ C et x ∈
/ A) ou (x ∈ C et x ∈
/ B et x ∈
/ A)
⇔ (x ∈ A et x ∈
/ B et x ∈
/ C) ou (x ∈ A ∩ B ∩ C)
ou (x ∈ B et x ∈
/ C et x ∈
/ A) ou (x ∈ C et x ∈
/ B et x ∈
/ A)
D’où l’égalité (A∆B) ∆C = A∆ (B∆C) .
L’ensemble vide est le neutre pour ∆ et pour tout A ∈ P (E) , on a :
A∆A = (A ∪ A) \ (A ∩ A) = A \ A = ∅,
c’est-à-dire que A est l’opposé de A pour la loi ∆.
En définitive, (P (E) , ∆) est un groupe commutatif.
On vérifie facilement que ∩ est commutative et associative. L’ensemble E est le neutre pour ∩.
Pour A, B, C dans P (E) , on a :
(x ∈ A ∩ (B∆C)) ⇔ (x ∈ A et x ∈ B∆C)
⇔ (x ∈ A et x ∈ B et x ∈
/ C) ou (x ∈ A et x ∈ C et x ∈
/ B)
⇔ (x ∈ A ∩ B et x ∈
/ C) ou (x ∈ A ∩ C et x ∈
/ B)
⇔ (x ∈ A ∩ B et x ∈
/ A ∩ C) ou (x ∈ A ∩ C et x ∈
/ A ∩ B)
⇔ (x ∈ (A ∩ B) \ (A ∩ C)) ou (x ∈ (A ∩ C) \ (A ∩ B))
⇔ x ∈ (A ∩ B) ∆ (A ∩ C)
c’est-à-dire que ∩ est distributive par rapport à ∆.
En définitive, (P (E) , ∆, ∩) est un anneau commutatif et unitaire.
Définition 21.2 Soit (A, +, ·) un anneau. On dit qu’un élément a ∈ A est un diviseur de 0 si
a 6= 0 et s’il existe b 6= 0 dans A tel que a · b = 0.
384
Structure d’anneau
Remarque 21.1 Un diviseur de 0 dans un anneau unitaire n’est jamais inversible (pour la
multiplication) et, par contraposée, un élément inversible ne peut être un diviseur de 0.
Remarque 21.2 Si a est un diviseur de 0, une égalité de la forme a · b = a · c ne peut être
simplifiée a priori. Un élément simplifiable pour le produit ne peut donc être un diviseur de 0.
Définition 21.3 Un anneau est dit intègre s’il est commutatif et n’admet pas de diviseur de 0.
Dans un anneau intègre, on a :
a · b = 0 ⇔ a = 0 ou b = 0.
Exemple 21.5 Dans un anneau de Boole (P (E) , ∆, ∩) , on a pour toute partie A de E :
A ∩ (E \ A) = ∅
et donc tout A 6= ∅ est un diviseur de ∅ (le 0 pour la loi ∆).
Exemple 21.6 Les ensembles Z, Q, R, C muni des opérations usuelles sont des anneaux intègres.
Exemple 21.7 L’ensemble R [X] des polynômes à une indéterminée est un anneau intègre et
unitaire.
Exemple 21.8 Soient A, B deux anneaux. Dans l’anneau produit A × B, on a (a, 0) · (0, b) =
(0, 0) , c’est-à-dire que pour a 6= 0 et b 6= 0, (a, 0) et (0, b) sont des diviseurs de 0. Donc, pour
A et B non réduits à {0} , A × B n’est jamais intègre.
Dans un anneau unitaire (A, +, ·) , on note A× l’ensemble de ses éléments inversibles pour
la multiplication, c’est-à-dire l’ensemble des éléments a ∈ A pour lesquels il existe un élément
a0 ∈ A tel que a · a0 = a0 · a = 1. Quand il existe un tel inverse est unique et on le note a−1 .
On dit aussi que les éléments de A× sont les unités de A.
Comme 1 6= 0 dans A, on a A× ⊂ A \ {0} et cette inclusion peut être stricte.
Par exemple, Z× = {−1, 1} et R [X]× = R∗ (ensemble des polynômes constants non nuls).
Théorème 21.1 Soit (A, +, ·) un anneau unitaire. L’ensemble A× des éléments inversibles de
A est un groupe pour le produit.
Démonstration. A× est non vide puisqu’il contient 1.
Si a, b sont dans A× , on a alors :
b−1 a−1 ab = b−1 b = 1, abb−1 a−1 = aa−1 = 1,
c’est-à-dire que ab est inversible d’inverse b−1 a−1 . La multiplication définit donc une loi interne
sur A× . On sait déjà que cette loi est associative, que 1 en est le neutre et tout a ∈ A× est
−1
inversible par construction d’inverse a−1 ∈ A× (on (a−1 ) = a). (A× , ·) est donc un groupe.
On dit que A× est le groupe des unités de A.
Définition 21.4 Soit (A, +, ·) un anneau. Un sous-anneau de A est une partie non vide B de
A telle que (B, +) est un sous-groupe de A et B est stable pour la multiplication, c’est-à-dire
que pour tous a, b dans B, a · b est aussi dans B.
Si l’anneau A est unitaire, B doit contenir 1.
Anneaux
385
Il est facile de vérifier qu’un sous-anneau d’un anneau et lui même un anneau.
Théorème 21.2 Soit (A, +, ·) un anneau et B une partie non vide de A. B est un sous-anneau
de A si, et seulement si :
½
a−b∈B
2
∀ (a, b) ∈ B ,
a·b∈B
(pour A unitaire, il faut ajouter 1 ∈ B).
Démonstration. Laissée au lecteur.
Exemple 21.9 Les ensembles Z, Q, R muni des opérations usuelles sont des sous-anneaux de
C.
a
Exercice 21.6 On appelle nombre décimal tout nombre rationnel de la forme m où a est un
10
entier relatif et m un entier naturel.
1. Montrer que l’ensemble D des nombres décimaux est un anneau unitaire, commutatif et
intègre.
2. Montrer que l’ensemble des nombres décimaux inversibles est :
©
ª
D× = r = ±2α 5β | (α, β) ∈ Z2 .
Solution 21.6
1. Facile.
a
est inversible dans D si, et seulement si, il existe un entier relatif
10m
a b
b et un entier naturel n tels que m n = 1, ce qui revient à dire que ab = 10n+m ou
10 10
encore que 2 et 5 sont les seuls diviseurs premiers possibles de a et b.
2. Un rationnel r =
Exercice 21.7 Soit p un entier sans facteurs carrés dans sa décomposition en produit de
r
Q
nombres premiers (c’est-à-dire que p =
pk où les pk sont premiers deux à deux distincts).
Montrer que l’ensemble :
k=1
©
ª
√
√
Z [ p] = n + m p | (n, m) ∈ Z2
est un sous anneau de R.
£√ ¤
√
√
0
0√
Solution
21.7
On
a
1
=
1
+
0
p
∈
Z
p
.
Pour
a
=
n
+
m
p
et
b
=
n
+
m
p dans
£√ ¤
Z p , on a :
£√ ¤
½
√
a − b = (n − n0 ) + (m − m0 ) p ∈ Z p £ ¤
√
√
ab = (nn0 + pmm0 ) + (nm0 + mn0 ) p ∈ Z p
£√ ¤
Donc Z p est un sous anneau de R.
£√ ¤
Exercice 21.8 On désigne par p un entier naturel non nul et par Z i p l’ensemble des
nombres complexes défini par :
©
ª
√
√
Z [i p] = a + ib p | (a, b) ∈ Z2 .
£√ ¤
1. Montrer que Z i p est un anneau unitaire commutatif et intègre (pour p = 1, Z [i] est
l’anneau des entiers de Gauss).
386
Structure d’anneau
£√ ¤
√
2. Montrer que£Z i ¤ p est contenu dans tout sous anneau (unitaire) de C qui contient i p.
√
L’anneau Z i p est donc le plus petit sous anneau de C (pour l’ordre de l’inclusion) qui
√
√
contient i p, on dit que c’est le sous anneau de C engendré par i p.
£√ ¤
3. Montrer que Z i p est égal à l’intersection de tous les sous anneaux de C qui contiennent
i.
£ √ ¤×
£√ ¤
4. Déterminer l’ensemble Z i p des éléments inversibles de Z i p .
Solution 21.8
£√ ¤
1. Il suffit de montrer que Z £i p ¤ est un sous anneau de C.
√
√
√
√
On a 1 = 1 + i · 0 · p ∈ Z i p . Pour z = a + ib p et z 0 = a0 + ib0 p, où a, a0 , b, b0 sont
des entiers relatifs, on a :
£√ ¤
½
√
z − z 0 = (a − a0 ) + (b − b0 ) i p ∈ Z i £p
√
√ ¤
zz 0 = (aa0 − pbb0 ) + (ab0 + ba0 ) i p ∈ Z i p
£√ ¤
Donc Z i p est un sous anneau de C et comme C, il est unitaire commutatif et intègre.
√
2. Si un anneau A contient i p, il contient également 1 (il s’agit d’anneaux unitaires) et en
√
conséquence
il contient tout élément de la forme a + ib p avec (a, b) ∈ Z2 . On a donc
£√ ¤
Z i p ⊂ A.
√
3. En désignant par (Ai )i∈I la famille de tous les sous anneaux de C qui contiennent i p,
\
£√ ¤
£√ ¤
£√ ¤
on a A = Ai ⊂ Z i p puisque Z i p est l’un de ces sous-anneaux et Z i p ⊂ A
i∈I
£√ ¤
puisque A est un anneau. On a donc bien Z i p = A.
£√ ¤
£√ ¤
√
4. Si z = a + ib p est inversible dans Z i p , il existe alors z 0 ∈ Z i p tel que zz 0 = 1
et |z|2 |z 0 |2 = 1 avec |z|2 = a2 + b2 p2 ∈ N et |z 0 |2 ∈ N, ce qui impose |z|2 = |z 0 |2 = 1.
On a donc a2 + b2 p2 = 1 avec (a2 , b2 p2 ) ∈ N2 , ce qui équivaut à (a2 , b2 p2 ) = (1, 0) ou
(a2 , b2 p2 ) = (0, 1) ou encore à a = ±1 et b = 0 ou a = 0 et b2 p2 = 1. Pour p = 1, la
condition b2 p2 = 1 équivaut à b = ±1 et pour p ≥ 2, elle n’est jamais
£ √ ¤× réalisée puisque,
2 2
2 2
2
pour tout b ∈ Z, on a b p = 0 ou b p ≥ p ≥ 4 On a donc Z i p ⊂ {−1, 1, −i, i}
£ √ ¤×
et Z i p ⊂ {−1, 1} pour p ≥ 2. Les inclusions réciproques se vérifiant facilement. En
définitive, on a :
½
√ ×
{−1, 1, −i, i} si p = 1,
Z [i p] =
{−1, 1} si p ≥ 2.
Exercice 21.9 Soit A un anneau commutatif unitaire et Mn (A) l’anneau des matrices carrées
d’ordre n à coefficients dans A.
1. Montrer que l’ensemble GLn (A) des matrices carrées d’ordre n à coefficients dans A telles
que :
X
det (A) =
ε (σ) ai,σ(i) ∈ A×
σ∈Sn
où Sn désigne l’ensemble de toutes les permutations de {1, · · · , n} et, pour σ ∈ Sn , ε (σ)
la signature de σ, est un groupe multiplicatif.
2. Montrer que GLn (A) est le groupe des unités de Mn (A) (pour A = R ou A = C, on
retrouve un résultat classique).
Solution 21.9 Laissée au lecteur.
Anneaux
387
Exercice 21.10 On dit qu’un nombre réel α est algébrique s’il existe un polynôme non nul P
dans Q [X] tel que P (α) = 0.
Un nombre réel qui n’est pas algébrique est dit transcendant.
On note A l’ensemble des nombres réels algébriques.
r
√
√
1+ 5
1. Montrer que les réels α = 2 et β =
sont algébriques.
2
√
√
2. Montrer que le réel β = 3 2 + 3 4 est algébrique.
n
m
P
P
3. Soient α, β deux nombres algébriques et P (X) =
ak X k , Q (X) =
bk X k deux pok=0
k=0
lynômes non nuls dans Q [X] tels que P (α) = 0 et Q (β) = 0, avec an = bm = 1. On
note :
© i j
ª
α β | 0 ≤ i ≤ n − 1, 0 ≤ j ≤ m − 1 = {γk | 1 ≤ k ≤ p}
où p = nm et γ1 = α0 β 0 = 1. On désigne par V le vecteur de Rp de composantes
γ1 , · · · , γ p .
(a) Montrer qu’il existe deux matrices carrées d’ordre p à coefficients rationnels A et B
telles que αV = AV et βV = BV.
(b) Montrer que A est un anneau commutatif unitaire.
Solution 21.10
√
1. α = 2 est annulé
par X 2 − 2 ∈ Q [X] \ {0} .
√
2
On a 2β 2 = 1 + 5 et (2β 2 − 1) = 5. Le réel β est donc annulé par le polynôme P (X) =
X 4 − X 2 − 1 ∈ Q [X] et en conséquence il est algébrique.
√
2. On a β = α + α2 , où α = 3 2 est algébrique annulé par X 3 − 2. De α3 = 2, on déduit
que :
¡
¢
β 2 = α2 + 2α + 4, β 3 = 6 α2 + α + 1 = 6β + 6
β est donc algébrique annulé par P (X) = X 3 − 6X − 6.
3.
(a) Pour tout entier k compris entre 1 et p il existe deux indices i, j tels que γk = αi β j et
αγk = αi+1 β j . Pour i compris entre 0 et n − 2, αγk est l’un des γr et pour i = n − 1,
on a :
n−1
X
n j
αγk = α β = −
ar α r β j
r=0
qui est une combinaison linéaire à coefficients rationnels des γ1 , · · · , γp . Il existe donc
une matrice A dans Mp (Q) telle que αV = AV.
De manière analogue, on voit qu’il existe une matrice B dans Mp (Q) telle que
βV = BV.
(b) On a 1 ∈ A, de manière évidente.
Pour α, β dans A, on a avec les notations précédentes, (A − B) V = (α − β) V avec
V non nul dans Rp , ce qui signifie que α − β est une valeur propre de la matrice
A − B, c’est donc une racine du polynôme caractéristique χA−B qui est dans Q [X]
puisque A − B est une matrice à coefficients rationnels. Il en résulte que α − β est
algébrique. De même avec (AB) V = (αβ) V on déduit que αβ est algébrique.
En conclusion A est un sous-anneau de R.
388
21.2
Structure d’anneau
Morphismes d’anneaux
Les anneaux considérés sont supposés unitaires.
On désigne par (A, +, ·) et (B, +, ·) deux anneaux unitaires. On note respectivement 0 et 1
les éléments neutres de ces anneaux pour l’addition et la multiplication (en cas d’ambiguïté,
on les notera 0A , 0B , 1A et 1B ).
Définition 21.5 On dit que ϕ est un morphisme d’anneaux de A dans B si ϕ est une application de A dans B telle que :
– ϕ (1) = 1 ;
– ∀ (a, b) ∈ A2 , ϕ (a + b) = ϕ (a) + ϕ (b) ;
– ∀ (a, b) ∈ A2 , ϕ (a · b) = ϕ (a) · ϕ (b)
Dans le cas où ϕ est de plus bijective, on dit que ϕ est un isomorphisme d’anneaux A sur B.
Dans le cas où A = B, on dit que ϕ est un endomorphisme de l’anneau A et que c’est un
automorphisme de l’anneau A si ϕ est de plus bijective.
On peut remarquer qu’un morphisme d’anneaux de A dans B est en particulier un morphisme
de groupes de (A, +) dans (B, +) . On a donc ϕ (0) = 0 et ϕ (−a) = −ϕ (a) pour tout a ∈ A.
Définition 21.6 Soit ϕ un morphisme d’anneaux de A dans B
1. Le noyau de ϕ est l’ensemble :
ker (ϕ) = {x ∈ A | ϕ (x) = 0} .
2. L’image de ϕ est l’ensemble :
Im (ϕ) = {ϕ (x) | x ∈ A} .
Il est facile de vérifier que ker (ϕ) est un sous-anneau de A et Im (ϕ) un sous-anneau de B.
En fait pour tout x ∈ ker (ϕ) et tout y ∈ A, on a ϕ (xy) = ϕ (x) ϕ (y) = 0 · ϕ (y) = 0,
c’est-à-dire que xy ∈ ker (ϕ) . Cette propriété se traduit en disant que ker (ϕ) est un idéal de
l’anneau A.
Un tel morphisme est injectif [resp. surjectif] si, et seulement si, ker (ϕ) = {0} [resp. Im (ϕ) =
B].