Chapitre 21

21
Structure d’anneau
21.1 Anneaux
Définition 21.1 Soit Aun ensemble non vide muni de deux lois de composition interne notées
+(une addition) et ·(une multiplication). On dit que (A, +,·)est un anneau si :
–(A, +) est un groupe commutatif ;
–la loi ·est associative ;
–la loi ·est distributive par rapport à la loi +,ce qui signifie que :
∀(a, b, c)∈A3,½a·(b+c) = a·b+a·c
(b+c)·a=b·a+b·c
Si la loi ·est commutative, on dit alors que l’anneau Aest unitaire.
S’il existe un élément neutre pour la loi ·,on dira alors que Aest un anneau unitaire.
Si (A, +,·)est un anneau, on notera 0le neutre pour l’addition et s’il existe on notera 1le
neutre pour la multiplication. L’opposé d’un élément a(i. e. le symétrique pour +) sera noté
−aet on notera a−bpour a+ (−b).
On écrira souvent ab pour a·bdans un anneau.
Si nest un entier naturel et aun élément de A, l’élément na de Aest défini par :
na =½0si n= 0,
a+ (n−1) asi n≥1
et pour mentier relatif négatif, on pose ma =−((−m)a),ce qui permet de définir na pour
tout entier relatif n.
Si (A, +,·)est un anneau unitaire, pour tout entier naturel net tout élément ade A, l’élément
ande Aest défini par :
an=½1si n= 0,
a·an−1si n≥1
Dans un anneau unitaire, on supposera que 06= 1 (sans quoi l’anneau est réduit à {0}). Un
anneau unitaire a donc au moins deux éléments.
Si Aest un anneau unitaire et P(X) =
n
X
k=0
αkXkun polynôme à coefficients entiers relatifs,
l’élément P(a) =
n
X
k=0
αkakest aussi dans A.
Les anneaux considérés seront a priori supposé unitaires.
379

380 Structure d’anneau
Exemple 21.1 Les ensembles Z,Q,R,Cmuni des opérations usuelles sont des anneaux com-
mutatifs et unitaires.
Exemple 21.2 Soient Eun ensemble non vide et Aun anneau. On vérifie facilement que
l’ensemble AEdes applications de Edans Amuni des opérations d’addition et de multiplication
définies par :
∀(f, g)∈AE×AE,∀x∈E, ½(f+g) (x) = f(x) + g(x)
(f·g) (x) = f(x)·g(x)
est un anneau. Cet anneau est commutatif si Al’est et il est unitaire si Al’est avec comme
élément neutre pour le produit l’application constante égale à 1.
En particulier l’ensemble RNdes suites réelles est un anneau commutatif unitaire et pour toute
partie non vide Ide R, l’ensemble RIdes fonctions définies sur Iet à valeurs réelles est un
anneau commutatif unitaire.
Exemple 21.3 L’ensemble Mn(R)des matrices carrées réelles d’ordre n≥1muni des opé-
rations usuelles d’addition et de multiplication est un anneau unitaire non commutatif.
Exemple 21.4 Plus généralement si Aest un anneau commutatif unitaire, l’ensemble Mn(A)
des matrices carrées d’ordre nà coefficients dans Aest un anneau unitaire non commutatif
pour les opérations d’addition et multiplication définies par :
A+B= ((aij +bij ))1≤i,j≤n
AB =µµ n
P
k=1
aikbkj ¶¶1≤i,j≤n
où on note A= ((aij ))1≤i,j≤nla matrice ayant pour coefficient aij en ligne iet colonne jpour
i, j compris entre 1et n.
Exercice 21.1 Vérifier que dans un anneau (A, +,·)on a les règles de calcul suivantes :
–a·0 = 0 ·a= 0 ;
–(−a)·b=a·(−b) = −a·b;
–(−a)·(−b) = a·b;
–(a−b)·c=a·c−b·c;
–a·(b−c) = a·b−a·c;
–n(a·b) = (na)·b=a·(nb);
–a·Ãp
X
k=1
bk!=
p
X
k=1
a·bk;
–Ãp
X
k=1
bk!·a=
p
X
k=1
bk·a;
où a, b, c, a1,···, apsont des éléments de A, p un entier naturel non nul et nun entier relatif.
Solution 21.1 Laissée au lecteur.
Exercice 21.2 Soit (A, +,·)un anneau unitaire.
1. Montrer que si aet bcommutent dans A, on a alors pour tout entier naturel n:
(a+b)n=
n
X
k=0
Ck
nakbn−k
(formule du binôme de Newton).

Anneaux 381
2. Ce résultat est-il encore valable si aet bne commutent pas ?
Solution 21.2
1. On procède par récurrence sur n≥0.Pour n= 0 et n= 1,c’est évident. En supposant
le résultat acquis au rang n≥1,on a :
(a+b)n+1 = (a+b)n(a+b) = Ãn
X
k=0
Ck
nakbn−k!(a+b)
=
n
X
k=0
Ck
nak+1bn−k+
n
X
k=0
Ck
nakbn−(k−1)
=
n+1
X
k=1
Ck−1
nakbn−(k−1) +
n
X
k=0
Ck
nakbn−(k−1)
=bn+1 +
n
X
k=1 ¡Ck−1
n+Ck n¢akbn+1−k+an+1
et tenant compte de Ck−1
n+Ck n=Ck n+1 (triangle de Pascal), cela s’écrit :
(a+b)n+1 =
n−1
X
k=0
Ck
n+1akbn+1−k.
Le résultat est donc vrai pour tout n≥0.
2. Si aet bne commutent pas, ce résultat n’est plus nécessairement vrai. Par exemple dans
Mn(R)en considérant deux matrices Aet Btelles que AB 6=BA, on a :
(A+B)2=A2+AB +BA +B26=A2+ 2AB +B2.
Par exemple, les matrices A=µ1 1
0 1 ¶et B=µa b c d ¶donnent :
AB =µa+c b +d
c d ¶, BA =µa a +b c c +d¶
et pour c6= 0,on a AB 6=BA.
Exercice 21.3 Soit (A, +,·)un anneau unitaire.
1. Montrer que si aet bcommutent dans A, on a alors pour tout entier naturel n:
bn+1 −an+1 = (b−a)
n
X
k=0
akbn−k.
2. Ce résultat est-il encore valable si aet bne commutent pas ?
3. Montrer que si a∈Aest tel que an= 0 pour un entier n≥1(on dit alors que aest
nilpotent), alors 1−aest inversible d’inverse
n−1
X
k=0
ak.
Solution 21.3

382 Structure d’anneau
1. On procède par récurrence sur n≥0.Pour n= 0,c’est évident. En supposant le résultat
acquis au rang n≥0,on a :
bn+2 −an+2 =¡bn+1 −an+1¢b+ban+1 −an+2
= (b−a)
n
X
k=0
akbn+1−k+ (b−a)an+1
= (b−a)¡bn+1 +abn+··· +an−1b2+anb¢+ (b−a)an+1
= (b−a)
n+1
X
k=0
akbn+1−k.
Le résultat est donc vrai pour tout n≥0.
2. Si aet bne commutent pas, ce résultat n’est plus nécessairement vrai. Par exemple dans
Mn(R)en considérant deux matrices Aet Btelles que AB 6=BA, on a :
(B−A) (B+A) = B2−AB +BA −A26=B2−A2.
Par exemple, les matrices A=µ1 1
0 1 ¶et B=µa b c d ¶donnent :
AB =µa+c b +d
c d ¶, BA =µa a +b c c +d¶
et pour c6= 0,on a AB 6=BA.
3. Prenant b= 1 (qui commute à tout a∈A) dans la première question, on a :
1−an= (1 −a)
n−1
X
k=0
ak
pour n≥1et an= 0 donne (1 −a)
n−1
X
k=0
ak= 1,ce qui signifie que 1−aest inversible
d’inverse
n−1
X
k=0
ak.
Exercice 21.4 Soient A, B deux anneaux. Montrer que le produit direct A×Bmuni des lois :
½((a1, a2),(b1, b2)) 7→ (a1, a2) + (b1, b2) = (a1+a2, b1+b2)
((a1, a2),(b1, b2)) 7→ (a1, a2)·(b1, b2) = (a1·a2, b1·b2)
est un anneau.
Solution 21.4 Laissée au lecteur.
De manière plus générale, si A1,··· , Apsont des anneaux, on peut alors munir le produit
direct
p
Y
k=1
Ak=A1×···×Apd’une structure d’anneau comme dans le cas où p= 2.Si Ak=A
pour tout kcompris entre 1et p, on note alors Apcet anneau produit.

Anneaux 383
Exercice 21.5 Soit Eun ensemble non vide. Montrer que l’ensemble P(E)des parties de E
muni des opérations ∆de différence symétrique et ∩d’intersection est un anneau commutatif
et unitaire (c’est l’anneau de Boole).
Solution 21.5 On rappelle que pour A, B dans P(E),on a :
A∆B= (A∪B)\(A∩B) = (A\B)∪(B\A),
la réunion étant disjointe.
De la commutativité des opérateurs ∪et ∩,on déduit que ∆est commutative.
Pour A, B, C dans P(E),on a :
(x∈(A∆B) ∆C)⇔(x∈A∆Bet x /∈C)ou (x∈Cet x /∈A∆B)
⇔(x∈Aet x /∈Bet x /∈C)ou (x∈Bet x /∈Aet x /∈C)
ou (x∈Cet x /∈Aet x /∈B)ou (x∈Cet x∈A∩B)
⇔(x∈Aet x /∈Bet x /∈C)ou (x∈Bet x /∈Aet x /∈C)
ou (x∈Cet x /∈Aet x /∈B)ou (x∈A∩B∩C)
et :
(x∈A∆ (B∆C)) ⇔(x∈Aet x /∈B∆C)ou (x∈B∆Cet x /∈A)
⇔(x∈Aet x /∈Bet x /∈C)ou (x∈Aet x∈B∩C)
ou (x∈Bet x /∈Cet x /∈A)ou (x∈Cet x /∈Bet x /∈A)
⇔(x∈Aet x /∈Bet x /∈C)ou (x∈A∩B∩C)
ou (x∈Bet x /∈Cet x /∈A)ou (x∈Cet x /∈Bet x /∈A)
D’où l’égalité (A∆B) ∆C=A∆ (B∆C).
L’ensemble vide est le neutre pour ∆et pour tout A∈ P (E),on a :
A∆A= (A∪A)\(A∩A) = A\A=∅,
c’est-à-dire que Aest l’opposé de Apour la loi ∆.
En définitive, (P(E),∆) est un groupe commutatif.
On vérifie facilement que ∩est commutative et associative. L’ensemble Eest le neutre pour ∩.
Pour A, B, C dans P(E),on a :
(x∈A∩(B∆C)) ⇔(x∈Aet x∈B∆C)
⇔(x∈Aet x∈Bet x /∈C)ou (x∈Aet x∈Cet x /∈B)
⇔(x∈A∩Bet x /∈C)ou (x∈A∩Cet x /∈B)
⇔(x∈A∩Bet x /∈A∩C)ou (x∈A∩Cet x /∈A∩B)
⇔(x∈(A∩B)\(A∩C)) ou (x∈(A∩C)\(A∩B))
⇔x∈(A∩B) ∆ (A∩C)
c’est-à-dire que ∩est distributive par rapport à ∆.
En définitive, (P(E),∆,∩)est un anneau commutatif et unitaire.
Définition 21.2 Soit (A, +,·)un anneau. On dit qu’un élément a∈Aest un diviseur de 0si
a6= 0 et s’il existe b6= 0 dans Atel que a·b= 0.