Exercices d'électrostatique : Champs, Potentiels, Dipôles

MP*1- 2015/2016
Electrostatique
Champs et potentiels électrostatiques :
1) Etude de lignes de champ :
On considère la carte de lignes de champs suivante : on note  la valeur absolue de la
plus petite des charges. Les charges sont situées dans ce plan et elles sont tous multiples
entiers de q. Pour chaque charge, au moins une ligne de champ lui correspondant est tracée.
Dans le plan que l’on munit d’un repère, on note :
 où  est une unité arbitraire de longueur.
Donner
1) Les points du plan où sont situées les charges.
2) Le signe des charges et leurs valeurs.
2) Peut-on piéger une charge avec quatre charges ponctuelles :
Les pièges à ions sont des dispositifs permettant de stocker des particules chargées
pendant une longue durée, notamment dans le but de mesurer
leurs propriétés avec précision. On se propose de voir s’il est
possible de piéger une charge ponctuelle  avec quatre
charges ponctuelles  disposées aux sommets d’un carré
de côté . Les quatre charges identiques sont situées dans le
plan , aux sommets d'un carré, aux points 
 et  La charge  de masse  se déplace au voisinage de O.
1) Exprimer le potentiel électrostatique  au voisinage de O.
2) En déduire le champ électrostatique au voisinage de O.
3) Montrer qu’il n’existe pas de position d’équilibre si la charge  peut se mouvoir
dans tout l’espace.
4) Quelle est le mouvement de la charge q’ si elle est contrainte à se déplacer dans le
plan uniquement ?
Les pièges de Paul et de Penning sont les plus usités actuellement. Ils ont en commun
l'utilisation d'un champ électrique quadripolaire, à haute fréquence (de l'ordre de quelques
y
x
O
D
C
B
A

MHz) dans le piège de Paul, et constant dans le piège de Penning, où il est combiné à un
champ magnétique intense (de l'ordre de 5 teslas). La mise en œuvre des pièges à ions dans le
domaine de la spectroscopie atomique de précision a valu à Hans Dehmelt (avec le piège de
Penning) et à Wolfgang Paul (avec le piège portant son nom) le prix Nobel de physique en
1989.
3) Modèle de Thomson de l’atome d’hydrogène :
En 1904, le physicien anglais Sir Joseph John Thomson (1856-1940) propose le
modèle suivant pour l’atome d’hydrogène : il est constitué d’une sphère de centre O et de
rayon , la charge positive  de l’atome est répartie uniformément dans le volume intérieur de
cette sphère, l’électron, de charge , se déplace librement à l’intérieur de la sphère.
1) Quel est le champ électrostatique en un point M de la sphère ?
2) Quel est le mouvement de l’électron dans ce modèle ? Justifier l’appellation
« modèle de l’électron élastiquement lié ».
4) Poussière dans une galaxie :
On considère une galaxie comme l’espace compris entre les plans  et ,
de masse volumique .
Une poussière de masse m pénètre dans cette galaxie ; elle est en , au temps
, sans de vitesse initiale. Décrire son mouvement.
5) Oscillations de plasma :
On considère un volume de plasma compris entre deux plans perpendiculaire à  et
distants de h. On désigne par no la densité particulaire à l’équilibre des électrons et des ions.
On suppose les ions fixes et les électrons ne se déplaçant que selon . On perturbe la
distribution d’équilibre en déplaçant tous les électrons d’une distance x petite devant h.
1) La distribution de charge dans le plasma est assimilable quand  à deux plans
portant des densités surfaciques de charges uniformeset Déterminer et en déduire
l’expression de la force qui agit sur un électron par suite de cette perturbation.
2) Etablir l’équation différentielle du mouvement des électrons. Montrer qu’ils
effectuent des oscillations de pulsation Exprimer en fonction de et .
6) Couche de glissement :
On se propose d'étudier une répartition surfacique de charges
cos
o
avec
),( MOxO 
sur une sphère de rayon R.
1) Pour étudier une telle distribution, nous allons d'abord
montrer l'équivalence avec la distribution ci-dessus:
Deux boules de rayon R, de centres  et ,
uniformément chargés en volume, l'un avec la densité volumique
, l'autre avec la densité volumique , ont leurs centres suivant l’axe  et distants de a
Montrer que cette distribution est équivalente à une distribution surfacique de type
.
2) En déduire le champ électrostatique à l'intérieur et à l'extérieur de la boule chargée
.
7) La Terre pulvérisée :
La Terre   est attaquée par l’Empire avec une arme
x
M
O
𝑂
𝑂

de destruction massive (étoile de la mort) qui la brise en
huit petites sphères de même taille.
Quelle est l’ordre de grandeur de l’énergie
minimale E de l’arme employée ? Les Terriens possèdent-
ils une telle arme ? L’énergie délivrée par une bombe H est
de l’ordre de .
Dipôle électrostatique
8) Interaction de Keesom :
Une molécule, de moment dipolaire  est situé en O et est dirigé selon . Une
seconde molécule, de moment dipolaire  est situé en P. On note l’angle   et
l’angle  .
1) Dans cette question, la distance  entre les deux molécules est supposée
constante. Calculer l’énergie potentielle du dipôle  dans le champ créé par le dipôle :
.
2) Quelles sont les positions d’équilibre ? Lesquelles sont stables ?
Les interactions électrostatiques attractives ou répulsives entre deux multipôles
permanents selon leurs orientations (effets d'orientation) sont appelées les forces de Keesom.
Cette interaction fait partie des interactions de Van der Waals qui modélisent les
interactions des liquides et des gaz.
9) Interaction de Debye :
A l’origine  est placée une molécule d’eau  de moment dipolaire 
 et
au point M de coordonnées  une molécule non polaire par exemple de dioxygène .
Cette molécule a une polarisibilité  ce qui signifie qu’en présence d’un champ électrique 
elle acquiert un moment dipolaire induit :   .
Déterminer sans calcul le caractère attractif ou répulsif de la force qui s’exerce entre
les molécules ; calculer la force subie par la molécule polarisable.
Les forces de Debye sont les forces intermoléculaires résultants de l'interaction entre
un multipôle permanent et un multipôle induit. Elles font partie des forces de Van der Waals
où elles expriment l'effet d'induction. Deux cas peuvent être envisagés selon que le dipôle
induit est produit dans une molécule polaire ou apolaire.Il existe une troisième interaction de
Van der Waals, l’interaction de London entre deux multipôles induits (effets de dispersion).
Cette interaction est d’origine quantique.
10) Champ créé par quatre dipôles :
On place des dipôles identiques aux quatre sommets  d'un carré de
côté . Calculer le champ au centre  du carré.
11) Mouvement d’une charge ponctuelle dans le champ d’un dipôle :
On se propose d’étudier le mouvement d’une particule de masse m, de charge Q dans
le champ électrostatique d’un dipôle électrostatique de moment dipolaire
x
upp  .
, placé en
O. On donne les conditions initiales suivantes :
0)0().0(;0)0(;0)0(;)0( 
oo vrrrr 

1) Trouver une équation du mouvement ne contenant que r et ses dérivées. On notera
E l’énergie mécanique de la particule. Discuter des différents mouvements possibles selon le
signe de E.
2) On se place dans le cas particulier où la trajectoire est circulaire. Quelle est la valeur
de E ? Calculer la période du mouvement en fonction des différentes données et de
2
0cos
d
I
.
Indications
1) Etude de lignes de champ :
L’étude des lignes de champ montre que point  est un point de champ nul ; il n’y a que trois
charges : en  et en  une charge positive et en  une charge négative ; exploiter le champ
nul en .
2) Peut-on piéger une charge avec quatre charges ponctuelles :
1) Il faut remarquer que le champ électrostatique est nul en  ; plusieurs méthodes pour
calculer le potentiel, soit par un calcul direct puis des DL en considérant , soit en
faisant directement un DL de  et en exploitant les symétries du problème et
l’équation de Laplace ; 3) on ne peut pas avoir à la fois une position d’équilibre stable dans le
plan  et sur l’axe des  ; 4) montrer que si  est de même signe que  elle a un
mouvement elliptique.
3) Modèle de Thomson de l’atome d’hydrogène :
1) Calculer le champ créé par une boule de densité volumique de charge constante à
l’intérieur de la boule en utilisant le théorème de Gauss ; 2) Montrer que le mouvement de
l’électron est plan puis étudier son mouvement dans le plan perpendiculaire au moment
cinétique.
4) Poussière dans une galaxie :
Calculer le champ gravitationnel créé par la galaxie en appliquant le théorème de Gauss puis
distinguer deux cas : si , la particule va avoir un mouvement harmonique et si ,
elle a un mouvment uniformément accéléré à l’extérieur de la galaxie et harmonique à
l’intérieur.
5) Oscillations de plasma :
1) Faire un bilan des charges pour un élément de volume  quand les électrons se déplacent
de  ; en déduire que le champ est celui de deux nappes surfaciques et en déduire la force
exercée sur un électron ; 2) Les électrons vont osciller.
6) Couche de glissement :
1) Ecrire que  et calculer  en faisant des approximations ; 2)
Calculer le champ et le potentiel créé par une boule chargée en surface et appliquer la
modélisation ; pour le champ extérieur, il est plus simple de passer par le potentiel avec
.
7) La Terre pulvérisée :
Calculer le champ gravitationnel créé par une planète de masse M et de rayon R, puis calculer
son énergie ; calculer la masse et la rayon de chaque petite sphère.
8) Interaction de Keesom :
2) Les positions d’équilibre doivent vérifier : 
 .
9) Polarisation d’un atome d’hydrogène :
Exprimer le champ électrique créé par le dipôle permanent placé en O sur le dipôle induit
placé en M ; en déduire le moment dipolaire induit et l’énergie potentielle du dipôle induit.

10) Champ créé par quatre dipôles :
Introduire l’angle  entre les dipôles et l’axe des . Calculer les champ des dipôles en  en
regroupant deux à deux les dipôles symétriques par rapport à .
11) Mouvement d’une charge ponctuelle dans le champ d’un dipôle :
Appliquer le principe fondamental de la dynamique à la charge q et le théorème de l’énergie
cinétique ; se servir de ce dernier pour éliminer le terme
2
r
dans la composante radiale de
l’accélération. Intégrer l’équation différentielle et discuter selon le signe de E des différents
mouvements possibles. 2) D’après la question précédente, si E = 0, le mouvement est
circulaire. A l’aide d’une des expressions du 1), exprimer
2
en fonction de et intégrer
pour trouver la période.
Solutions
1) Etude de lignes de champ :
 et .
2) Peut-on piéger une charge avec quatre charges ponctuelles :
1) 
 ; 2) 
 ;
l’énergie potentielle de la charge q’ est : 
 ; on ne peut jamais
avoir 
 ;4) dans le plan  les équations du mouvements sont :     ;
 ; si  les solutions sont    et 
 ; la trajectoire est une ellipse dans le plan .
3) Modèle de Thomson de l’atome d’hydrogène :
1)  
 ; 
 ; 2) L’électron subit la force   ; il
s’agit d’une force centrale, le mouvement est donc plan ; on trouve en coordonnées
cartésiennes :   
 ;     soit comme solutions sont 
 et    ; la trajectoire est une ellipse
dans le plan  ; la force  est la même que si l’électron était attaché à un
ressort de constante de raideur  
 .
4) Poussière dans une galaxie :
1)Le champ gravitationnel de la galaxie est 
 ; 
 ;  ; si , dans la galaxie l’abscisse 
de la particule  vérifie :  ; 
 ; elle ne sortira
jamais du nuage ; si   son mouvement est d’abord 
, puis la
poussière pénètre dans la galaxie : 
, ce mouvement sera périodique, la poussière ressort de la galaxie pour  puis
atteint etc.