Electrostatique - MP*1

MP*1- 2015/2016
Electrostatique
Champs et potentiels électrostatiques :
1) Etude de lignes de champ :
On considère la carte de lignes de champs suivante : on note 𝑞 la valeur absolue de la
plus petite des charges. Les charges sont situées dans ce plan et elles sont tous multiples
entiers de q. Pour chaque charge, au moins une ligne de champ lui correspondant est tracée.
Dans le plan que l’on munit d’un repère, on note :
𝐴: (24𝑎, 75𝑎); 𝐵: (0,0); 𝐶: (24𝑎, −8𝑎); 𝐷: (75𝑎, 0) où 𝑎 est une unité arbitraire de longueur.
Donner
1) Les points du plan où sont situées les charges.
2) Le signe des charges et leurs valeurs.
2) Peut-on piéger une charge avec quatre charges ponctuelles :
Les pièges à ions sont des dispositifs permettant de stocker des particules chargées
pendant une longue durée, notamment dans le but de mesurer
y
A
leurs propriétés avec précision. On se propose de voir s’il est
D
B
possible de piéger une charge ponctuelle 𝑞’ avec quatre
O
x
charges ponctuelles 𝑞 > 0 disposées aux sommets d’un carré
C
de côté 𝑎. Les quatre charges identiques sont situées dans le
plan 𝑧 = 0, aux sommets d'un carré, aux points ( 𝑎, 0, 0 ),
( −𝑎, 0, 0 ), ( 0, 𝑎, 0 ) et (0, −𝑎 , 0 ). La charge 𝑞’ de masse 𝑚 se déplace au voisinage de O.
1) Exprimer le potentiel électrostatique 𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧) au voisinage de O.
2) En déduire le champ électrostatique au voisinage de O.
3) Montrer qu’il n’existe pas de position d’équilibre si la charge 𝑞’ peut se mouvoir
dans tout l’espace.
4) Quelle est le mouvement de la charge q’ si elle est contrainte à se déplacer dans le
plan 𝑥𝑂𝑦 uniquement ?
Les pièges de Paul et de Penning sont les plus usités actuellement. Ils ont en commun
l'utilisation d'un champ électrique quadripolaire, à haute fréquence (de l'ordre de quelques
MHz) dans le piège de Paul, et constant dans le piège de Penning, où il est combiné à un
champ magnétique intense (de l'ordre de 5 teslas). La mise en œuvre des pièges à ions dans le
domaine de la spectroscopie atomique de précision a valu à Hans Dehmelt (avec le piège de
Penning) et à Wolfgang Paul (avec le piège portant son nom) le prix Nobel de physique en
1989.
3) Modèle de Thomson de l’atome d’hydrogène :
En 1904, le physicien anglais Sir Joseph John Thomson (1856-1940) propose le
modèle suivant pour l’atome d’hydrogène : il est constitué d’une sphère de centre O et de
rayon 𝑎, la charge positive 𝑒 de l’atome est répartie uniformément dans le volume intérieur de
cette sphère, l’électron, de charge – 𝑒, se déplace librement à l’intérieur de la sphère.
1) Quel est le champ électrostatique en un point M de la sphère ?
2) Quel est le mouvement de l’électron dans ce modèle ? Justifier l’appellation
« modèle de l’électron élastiquement lié ».
4) Poussière dans une galaxie :
On considère une galaxie comme l’espace compris entre les plans 𝑧 = −𝑎 et 𝑧 = +𝑎,
de masse volumique 𝜇.
Une poussière de masse m pénètre dans cette galaxie ; elle est en 𝑧 = 𝑑, au temps
𝑡 = 0, sans de vitesse initiale. Décrire son mouvement.
5) Oscillations de plasma :
On considère un volume de plasma compris entre deux plans perpendiculaire à 𝑂𝑥 et
distants de h. On désigne par no la densité particulaire à l’équilibre des électrons et des ions.
On suppose les ions fixes et les électrons ne se déplaçant que selon 𝑂𝑥. On perturbe la
distribution d’équilibre en déplaçant tous les électrons d’une distance x petite devant h.
1) La distribution de charge dans le plasma est assimilable quand 𝑥 ≠ 0 à deux plans
portant des densités surfaciques de charges uniformes 𝜎 et −𝜎. Déterminer 𝜎et en déduire
l’expression de la force qui agit sur un électron par suite de cette perturbation.
2) Etablir l’équation différentielle du mouvement des électrons. Montrer qu’ils
effectuent des oscillations de pulsation 𝜔𝑝 . Exprimer 𝜔𝑝 en fonction de 𝑛𝑜 , 𝑒, 𝑚 et 𝜀𝑜 .
6) Couche de glissement :
On se propose d'étudier une répartition surfacique de charges    o cos  avec
 
M
  (Ox, OM ) sur une sphère de rayon R.
1) Pour étudier une telle distribution, nous allons d'abord
O
montrer l'équivalence avec la distribution ci-dessus:
x
𝑂1 𝑂2
Deux boules de rayon R, de centres 𝑂1 et 𝑂2,
uniformément chargés en volume, l'un avec la densité volumique
−𝜇, l'autre avec la densité volumique +𝜇, ont leurs centres suivant l’axe 𝑂𝑥 et distants de a
(𝑎 << 𝑅).Montrer que cette distribution est équivalente à une distribution surfacique de type
𝜎 = 𝜎𝑜 𝑐𝑜𝑠𝜃.
2) En déduire le champ électrostatique à l'intérieur et à l'extérieur de la boule chargée
𝜎 = 𝜎𝑜 𝑐𝑜𝑠𝜃.
7) La Terre pulvérisée :
La Terre (𝑀 = 6.1024 𝑘𝑔, 𝑅 = 6400 𝑘𝑚) est attaquée par l’Empire avec une arme
de destruction massive (étoile de la mort) qui la brise en
huit petites sphères de même taille.
Quelle est l’ordre de grandeur de l’énergie
minimale E de l’arme employée ? Les Terriens possèdentils une telle arme ? L’énergie délivrée par une bombe H est
de l’ordre de 1019 𝐽.
Dipôle électrostatique
8) Interaction de Keesom :
Une molécule, de moment dipolaire 𝑝⃗1, est situé en O et est dirigé selon 𝑂𝑥. Une
⃗⃗⃗⃗⃗⃗) et 
seconde molécule, de moment dipolaire 𝑝⃗2, est situé en P. On note  l’angle (𝑂𝑥, 𝑂𝑃
⃗⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑝⃗2 ).
l’angle (𝑂𝑃
1) Dans cette question, la distance 𝑟 = 𝑂𝑃 entre les deux molécules est supposée
constante. Calculer l’énergie potentielle du dipôle 𝑝⃗2 dans le champ créé par le dipôle 𝑝⃗1:
𝐸𝑝 = −𝑝⃗2 . 𝐸⃗⃗1 .
2) Quelles sont les positions d’équilibre ? Lesquelles sont stables ?
Les interactions électrostatiques attractives ou répulsives entre deux multipôles
permanents selon leurs orientations (effets d'orientation) sont appelées les forces de Keesom.
Cette interaction fait partie des interactions de Van der Waals qui modélisent les
interactions des liquides et des gaz.
9) Interaction de Debye :
A l’origine 𝑂 est placée une molécule d’eau 𝐻2 𝑂 de moment dipolaire 𝑝⃗𝑜 = 𝑝𝑜 𝑢
⃗⃗𝑥 et
au point M de coordonnées (𝑟, 0,0) une molécule non polaire par exemple de dioxygène 𝑂2.
Cette molécule a une polarisibilité 𝛼 ce qui signifie qu’en présence d’un champ électrique 𝐸⃗⃗
elle acquiert un moment dipolaire induit : 𝑝⃗𝑖𝑛𝑑 = 𝜀𝑜 𝛼𝐸⃗⃗ .
Déterminer sans calcul le caractère attractif ou répulsif de la force qui s’exerce entre
les molécules ; calculer la force subie par la molécule polarisable.
Les forces de Debye sont les forces intermoléculaires résultants de l'interaction entre
un multipôle permanent et un multipôle induit. Elles font partie des forces de Van der Waals
où elles expriment l'effet d'induction. Deux cas peuvent être envisagés selon que le dipôle
induit est produit dans une molécule polaire ou apolaire.Il existe une troisième interaction de
Van der Waals, l’interaction de London entre deux multipôles induits (effets de dispersion).
Cette interaction est d’origine quantique.
10) Champ créé par quatre dipôles :
On place des dipôles identiques 𝑝⃗ = 𝑝𝑜𝑢
⃗⃗ aux quatre sommets 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 d'un carré de
côté 𝑎. Calculer le champ au centre 𝑂 du carré.
11) Mouvement d’une charge ponctuelle dans le champ d’un dipôle :
On se propose d’étudier le mouvement d’une particule de masse m, de charge Q dans


le champ électrostatique d’un dipôle électrostatique de moment dipolaire p  p.u x , placé en
O. On donne les conditions initiales suivantes :
r (0)  ro ; (0)  0; r(0)  0; r (0).(0)  vo  0
1) Trouver une équation du mouvement ne contenant que r et ses dérivées. On notera
E l’énergie mécanique de la particule. Discuter des différents mouvements possibles selon le
signe de E.
2) On se place dans le cas particulier où la trajectoire est circulaire. Quelle est la valeur
de E ? Calculer la période du mouvement en fonction des différentes données et de

d
I  2
.
0
cos 
Indications
1) Etude de lignes de champ :
L’étude des lignes de champ montre que point 𝐶 est un point de champ nul ; il n’y a que trois
charges : en 𝐵 et en 𝐷 une charge positive et en 𝐴 une charge négative ; exploiter le champ
nul en 𝐶.
2) Peut-on piéger une charge avec quatre charges ponctuelles :
1) Il faut remarquer que le champ électrostatique est nul en 𝑂 ; plusieurs méthodes pour
calculer le potentiel, soit par un calcul direct puis des DL en considérant 𝑥, 𝑦, 𝑧 ≪ 𝑎, soit en
faisant directement un DL de 𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧) et en exploitant les symétries du problème et
l’équation de Laplace ; 3) on ne peut pas avoir à la fois une position d’équilibre stable dans le
plan 𝑥𝑂𝑦 et sur l’axe des 𝑧 ; 4) montrer que si 𝑞’ est de même signe que 𝑞 elle a un
mouvement elliptique.
3) Modèle de Thomson de l’atome d’hydrogène :
1) Calculer le champ créé par une boule de densité volumique de charge constante à
l’intérieur de la boule en utilisant le théorème de Gauss ; 2) Montrer que le mouvement de
l’électron est plan puis étudier son mouvement dans le plan perpendiculaire au moment
cinétique.
4) Poussière dans une galaxie :
Calculer le champ gravitationnel créé par la galaxie en appliquant le théorème de Gauss puis
distinguer deux cas : si 𝑑 < 𝑎, la particule va avoir un mouvement harmonique et si 𝑑 > 𝑎,
elle a un mouvment uniformément accéléré à l’extérieur de la galaxie et harmonique à
l’intérieur.
5) Oscillations de plasma :
1) Faire un bilan des charges pour un élément de volume 𝑑𝜏 quand les électrons se déplacent
de 𝑥 ; en déduire que le champ est celui de deux nappes surfaciques et en déduire la force
exercée sur un électron ; 2) Les électrons vont osciller.
6) Couche de glissement :
1) Ecrire que 𝑑𝑞 = µ𝑑𝜏 = µ𝑀1 𝑀2 𝑑𝑆 et calculer 𝑀1 𝑀2 en faisant des approximations ; 2)
Calculer le champ et le potentiel créé par une boule chargée en surface et appliquer la
modélisation ; pour le champ extérieur, il est plus simple de passer par le potentiel avec
𝑎 << 𝑟.
7) La Terre pulvérisée :
Calculer le champ gravitationnel créé par une planète de masse M et de rayon R, puis calculer
son énergie ; calculer la masse et la rayon de chaque petite sphère.
8) Interaction de Keesom :
2) Les positions d’équilibre doivent vérifier :
𝑑𝐸𝑝
𝑑𝜃
= 0;
𝑑𝐸𝑝
𝑑𝜑
= 0;
𝑑2 𝐸𝑝
𝑑𝜃2
> 0;
𝑑2 𝐸𝑝
𝑑𝜑 2
𝑑2 𝐸𝑝
> 0; 𝑑𝜃𝑑𝜑 > 0.
9) Polarisation d’un atome d’hydrogène :
Exprimer le champ électrique créé par le dipôle permanent placé en O sur le dipôle induit
placé en M ; en déduire le moment dipolaire induit et l’énergie potentielle du dipôle induit.
10) Champ créé par quatre dipôles :
Introduire l’angle 𝜃 entre les dipôles et l’axe des 𝑥. Calculer les champ des dipôles en 𝑂 en
regroupant deux à deux les dipôles symétriques par rapport à 𝑂.
11) Mouvement d’une charge ponctuelle dans le champ d’un dipôle :
Appliquer le principe fondamental de la dynamique à la charge q et le théorème de l’énergie
cinétique ; se servir de ce dernier pour éliminer le terme r 2 dans la composante radiale de
l’accélération. Intégrer l’équation différentielle et discuter selon le signe de E des différents
mouvements possibles. 2) D’après la question précédente, si E = 0, le mouvement est
circulaire. A l’aide d’une des expressions du 1), exprimer  2 en fonction de  et intégrer
pour trouver la période.
Solutions
1) Etude de lignes de champ :
𝑞(𝐴) = 5𝑞(𝐵) et 𝑞(𝐷) = 4𝑞(𝐵).
2) Peut-on piéger une charge avec quatre charges ponctuelles :
𝑞
𝑥2
𝑦2
2𝑧 2
𝑞
𝑥
1) 𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
(1 + 2 + 2 − 2 ) ; 2) 𝐸⃗⃗ =
(−2 2 𝑢
⃗⃗𝑥 − 2
4𝜋𝜀𝑜 𝑎
𝑎
𝑎
𝑎
l’énergie potentielle de la charge q’ est : 𝐸𝑝 =
avoir
𝜕𝐸𝑝
𝜕𝑥𝑖
𝑞𝑞 ′
4𝜋𝜀𝑜 𝑎
4𝜋𝜀𝑜 𝑎
𝑥2
(1 +
𝑎
+
2
𝑦2
𝑎
𝑎
−
2
2𝑧 2
𝑎2
𝑦
𝑧
𝑢
⃗⃗𝑦 + 4 𝑎2 𝑢
⃗⃗𝑧 ) ;
𝑎2
) ; on ne peut jamais
𝑞𝑞 ′
> 0 ∀𝑥𝑖 ;4) dans le plan 𝑥𝑂𝑦 les équations du mouvements sont : 𝑚𝑥̈ = − 2𝜋𝜀
𝑞𝑞 ′
𝑚𝑦̈ = − 2𝜋𝜀
𝑞𝑞 ′
3
𝑜𝑎
𝑦 ; si 𝑞𝑞’ > 0 les solutions sont 𝑥(𝑡) = 𝐴𝑥 𝑐𝑜𝑠 (√2𝜋𝜀
𝑞𝑞 ′
𝐴𝑦 𝑐𝑜𝑠 (√2𝜋𝜀
𝑜 𝑚𝑎
3
𝑜 𝑚𝑎
3
𝑜𝑎
3
𝑥;
𝑡 + 𝜑𝑥 ) et 𝑦(𝑡) =
𝑡 + 𝜑𝑦 ) ; la trajectoire est une ellipse dans le plan 𝑥𝑂𝑦.
3) Modèle de Thomson de l’atome d’hydrogène :
3𝑒
𝜌𝑟
𝑒𝑟
𝑒2𝑟
1) 𝜌 = 4𝜋𝑎3 ; 𝐸⃗⃗ (𝑀) = 3𝜀 𝑢
⃗⃗𝑟 = 4𝜋𝜀 𝑎3 𝑢
⃗⃗𝑟 ; 2) L’électron subit la force 𝐹⃗ = − 4𝜋𝜀 𝑎3 𝑢
⃗⃗𝑟 ; il
𝑜
𝑜
𝑜
s’agit d’une force centrale, le mouvement est donc plan ; on trouve en coordonnées
𝑒2
cartésiennes : 𝑚𝑥̈ = − 4𝜋𝜀
𝑒2
𝐴𝑥 𝑐𝑜𝑠 (√4𝜋𝜀
𝑜
𝑚𝑎3
𝑜
𝑒2
𝑥 ; 𝑚𝑦̈ = − 4𝜋𝜀
𝑎3
𝑜𝑎
3
𝑦 soit comme solutions sont 𝑥(𝑡) =
𝑒2
𝑡 + 𝜑𝑥 ) et 𝑦(𝑡) = 𝐴𝑦 𝑐𝑜𝑠 (√4𝜋𝜀
𝑒
dans le plan 𝑥𝑂𝑦 ; la force 𝐹⃗ = − 4𝜋𝜀
2
𝑜𝑎
𝑒2
ressort de constante de raideur 𝑘 = 4𝜋𝜀
3
𝑜𝑎
3
𝑜 𝑚𝑎
3
𝑡 + 𝜑𝑦 ) ; la trajectoire est une ellipse
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀 est la même que si l’électron était attaché à un
.
4) Poussière dans une galaxie :
1)Le champ gravitationnel de la galaxie est 𝑧 < −𝑎: 𝐺⃗ (𝑧) = +4𝜋𝐺𝑎𝑢
⃗⃗𝑧 ; +𝑎 > 𝑧 >
⃗
⃗
−𝑎: 𝐺 (𝑧) = −4𝜋𝐺𝑧𝑢
⃗⃗𝑧 ; 𝑧 > +𝑎: 𝐺 (𝑧) = −4𝜋𝐺𝑎𝑢
⃗⃗𝑧 ; si 𝑑 < 𝑎, dans la galaxie l’abscisse 𝑧(𝑡)
4𝜋𝐺
de la particule 𝛽 vérifie : 𝑚𝑧̈ + 4𝜋𝐺𝑧(𝑡) = 0 ; 𝑧(𝑡) = −𝑎𝑐𝑜𝑠 (√
𝑚
jamais du nuage ; si 𝑑 > 𝑎 son mouvement est d’abord 𝑧(𝑡) = −
4𝜋𝐺
poussière pénètre dans la galaxie : 𝑧(𝑡) = 𝑎𝑐𝑜𝑠 (√
𝑚
𝑡) ; elle ne sortira
4𝜋𝐺𝑎 2
𝑡
𝑚
(𝑑−𝑎)𝑎
(𝑡 − 𝑡1 ) − √
4𝜋
+ 𝑑,
puis la
4𝜋𝐺
𝑠𝑖𝑛 (√
𝑚
(𝑡 −
𝑡1 ), ce mouvement sera périodique, la poussière ressort de la galaxie pour 𝑧 = −𝑎, puis
atteint 𝑧 = −𝑑 etc.
5) Oscillations de plasma :
𝑛 𝑒2𝑥
𝑛 𝑒2
1) 𝜎 = 𝑛𝑜 𝑒𝑥 ; 𝐹⃗ = −𝑒𝐸⃗⃗ = 𝑜𝜀 𝑢
⃗⃗𝑥 ; 2) 𝜔𝑝2 = 𝑚𝑜 𝜀
𝑜
𝑝 𝑜
6) Couche de glissement :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝜇𝑂
𝑂
1)  o  a ; 2) 𝐸⃗⃗𝑖𝑛𝑡 = 1 2 =
3𝜀𝑜
𝜎𝑜
3𝜀𝑜
3
𝜎 𝑅
; 𝐸⃗⃗𝑒𝑥𝑡 (𝑟, 𝜃) = 3𝜀𝑜 𝑟 3 (2𝑐𝑜𝑠𝜃𝑢
⃗⃗𝑟 + 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑢
⃗⃗𝜃 ) ; on trouve le
𝑜
champ d’une distribution dipolaire.
7) La Terre pulvérisée :
9𝐺𝑀2
∆𝐸 = 5𝑅 𝑇 = 17. 1031 𝐽 ; l’énergie d’une bombe H a une énergie de l’ordre de 1012 𝐽 ; une
hypothèse émise par les physiciens fans de star wars est d’utiliser l’énergie d’un trou noir.
8) Interaction de Keesom :
𝑝 𝑝
1) 𝐸𝑝 = − 1 2 3 (2𝑐𝑜𝑠𝜃𝑐𝑜𝑠𝜑 − 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑠𝑖𝑛𝜑) ; 2) les positions d’équilibres stables sont :
4𝜋𝜀𝑜 𝑟
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
(0,0), (𝜋, 𝜋), (− , + ) , (+ , − ) ; les positions d’équilibres instables sont (0, 𝜋), (𝜋, 0) ;
2
2
2
2
on remarque que dans les positions stables, le dipôle 2 est aligné sur les lignes de champs du
𝑝 𝑝
dipôle 1 et réciproquement ; 3) Pour la position stable (0,0), 𝐸𝑝 = − 2𝜋𝜀1 2𝑟 3.
𝑜
9) Interaction de Debye :
La force est attractive ; 𝐹⃗ = −
3𝛼𝑝𝑜2
2𝜋𝜀𝑜 𝑟 7
𝑢
⃗⃗𝑥 .
10) Champ créé par quatre dipôles :
𝑝
𝐸⃗⃗ (𝑂) = 𝜋𝜀 𝑎√2 ((2𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑠𝑖𝑛𝜃)𝑢
⃗⃗𝑥 + (2𝑠𝑖𝑛𝜃 + 𝑐𝑜𝑠𝜃)𝑢
⃗⃗𝑦 )
𝑜
11) Mouvement d’une charge ponctuelle dans le champ d’un dipôle 
2E
2 Et 2
1) r.r  r 2 
; r 2  ro2 
; si E > 0, r est une fonction croissante de t, si E < 0, r est
m
m
une fonction décroissante de r et si E = 0, r est une constante donc le mouvement est
2𝐼𝑟
circulaire. 2)𝑇 = 𝑣 𝑜
𝑜