Electrostatique - MP*1
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1 MP*1- 2015/2016 Electrostatique 1) Peut-on piéger une charge avec quatre charges ponctuelles : Les pièges à ions sont des dispositifs permettant de stocker des particules chargées pendant une longue durée, notamment dans le but de mesurer y A leurs propriétés avec précision. On se propose de voir s’il est D B possible de piéger une charge ponctuelle 𝑞’ avec quatre O x charges ponctuelles 𝑞 > 0 disposées aux sommets d’un carré C de côté 𝑎. Les quatre charges identiques sont situées dans le plan 𝑧 = 0, aux sommets d'un carré, aux points ( 𝑎, 0, 0 ), ( −𝑎, 0, 0 ), ( 0, 𝑎, 0 ) et (0, −𝑎 , 0 ). La charge 𝑞’ de masse 𝑚 se déplace au voisinage de O. 1) Exprimer le potentiel électrostatique 𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧) au voisinage de O. 2) En déduire le champ électrostatique au voisinage de O. 3) Montrer qu’il n’existe pas de position d’équilibre si la charge 𝑞’ peut se mouvoir dans tout l’espace. 4) Quelle est le mouvement de la charge 𝑞’ si elle est contrainte à se déplacer dans le plan 𝑥𝑂𝑦 uniquement ? Pour piéger une particule chargée il faut donc modifier le dispositif soit en ajoutant un champ magnétique (piège de Penning) soit en mettant un champ électrique variable (piège de Paul ) 2) Distribution de charges à symétrie sphérique : Soit la distribution de charge de densité volumique : 𝑟2 𝜌(𝑟) = 𝜌𝑜 (1 − 𝑎2 ) pour 𝑟 ≤ 𝑎 ; 𝜌(𝑟) = 0 pour 𝑟 > 𝑎 . Déterminer le champ et le potentiel dans tout l’espace. 3) Sources du champ : On considère un champ électrostatique qui a pour expression en coordonnées cylindriques : 𝐸⃗ = 𝐴𝑟𝑢 ⃗ 𝑟 pour 𝑟 ≤ 𝑎 ; 𝐵 𝐸⃗ = 𝑟 𝑢 ⃗ 𝑟 pour 𝑟 > 𝑎 . Déterminer la répartition de charges et le potentiel associé à ce champ. 4) Poussière dans une galaxie : On considère une galaxie comme l’espace compris entre les plans 𝑧 = −𝑎 et 𝑧 = +𝑎, de masse volumique 𝜇. Une poussière de masse m pénètre dans cette galaxie ; elle est en 𝑧 = 𝑑 > 𝑎, au temps 𝑡 = 0, sans de vitesse initiale. Décrire son mouvement. 5) Oscillations de plasma : On considère un volume de plasma compris entre deux plans perpendiculaire à 𝑂𝑥 et distants de h. On désigne par no la densité particulaire à l’équilibre des électrons et des ions. 2 On suppose les ions fixes et les électrons ne se déplaçant que selon 𝑂𝑥. On perturbe la distribution d’équilibre en déplaçant tous les électrons d’une distance x petite devant h. 1) La distribution de charge dans le plasma est assimilable quand 𝑥 ≠ 0 à deux plans portant des densités surfaciques de charges uniformes 𝜎 et −𝜎. Déterminer 𝜎et en déduire l’expression de la force qui agit sur un électron par suite de cette perturbation. 2) Etablir l’équation différentielle du mouvement des électrons. Montrer qu’ils effectuent des oscillations de pulsation 𝜔𝑝 . Exprimer 𝜔𝑝 en fonction de 𝑛𝑜 , 𝑒, 𝑚 et 𝜀𝑜 . 6) La Terre pulvérisée : La Terre (𝑀 = 6.1024 𝑘𝑔, 𝑅 = 6400 𝑘𝑚) est attaquée par l’Empire avec une arme de destruction massive (étoile noire) qui la brise en huit petites boules de même taille. Quelle est l’ordre de grandeur de l’énergie minimale 𝐸 de l’arme employée ? Les Terriens possèdentils une telle arme ? L’énergie délivrée par une bombe H est de l’ordre de 1019 𝐽. 7) Potentiel dans une cuve d'électrolyse : Entre les plaques d'un condensateur plan, on introduit un électrolyte contenant par unité de volume 𝑛𝑜 ions de charge +𝑞 et 𝑛𝑜 ions de charges −𝑞. On impose à la plaque inférieure du condensateur (𝑥 = −𝑒/2) un potentiel −𝑉𝑜 et à la plaque supérieure (𝑥 = +𝑒/2) un potentiel +𝑉𝑜 . La répartition de charge dans l’électrolyte n’est plus homogène mais dépend de la température de l’électrolyte et de la valeur du potentiel au point considéré . On donne la répartition des charges positives est 𝜌+ = 𝑞𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑝 (− négatives est 𝜌− = −𝑞𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑝 (+ 𝑞𝑉(𝑥) 𝑘𝐵 𝑇 𝑞𝑉(𝑥) 𝑘𝐵 𝑇 ) et celle des charges ). Déterminer, en fonction de la température T, le potentiel 𝑉(𝑥) entre les armatures. On négligera les effets de bord et on supposera que |𝑞𝑉𝑜 | << 𝑘𝐵 𝑇. 8) Interaction de Keesom : Une molécule, de moment dipolaire 𝑝1, est situé en O et est dirigé selon 𝑂𝑥. Une ⃗⃗⃗⃗⃗ ) et seconde molécule, de moment dipolaire 𝑝2, est situé en P. On note l’angle (𝑂𝑥, 𝑂𝑃 ⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝑝2 ). l’angle (𝑂𝑃 1) Dans cette question, la distance 𝑟 = 𝑂𝑃 entre les deux molécules est supposée constante. Calculer l’énergie potentielle du dipôle 𝑝2 dans le champ créé par le dipôle 𝑝1: 𝐸𝑝 = −𝑝2 . 𝐸⃗1 . 2) Quelles sont les positions d’équilibre ? Lesquelles sont stables ? 9) Interaction de Debye : A l’origine 𝑂 est placée une molécule d’eau 𝐻2 𝑂 de moment dipolaire 𝑝𝑜 = 𝑝𝑜 𝑢 ⃗ 𝑥 et au point M de coordonnées (𝑟, 0,0) une molécule non polaire par exemple de dioxygène 𝑂2. Cette molécule a une polarisibilité 𝛼 ce qui signifie qu’en présence d’un champ électrique 𝐸⃗ elle acquiert un moment dipolaire induit : 𝑝𝑖𝑛𝑑 = 𝜀𝑜 𝛼𝐸⃗ . Déterminer sans calcul le caractère attractif ou répulsif de la force qui s’exerce entre les molécules ; calculer la force subie par la molécule polarisable. 10) Champ créé par quatre dipôles : 3 On place des dipôles identiques 𝑝 = 𝑝𝑜𝑢 ⃗ aux quatre sommets 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 d'un carré de côté 𝑎. Calculer le champ au centre 𝑂 du carré. 11) Mouvement d’une charge ponctuelle dans le champ d’un dipôle : On se propose d’étudier le mouvement d’une particule de masse m, de charge 𝑄 dans le champ électrostatique d’un dipôle électrostatique de moment dipolaire p p.u x , placé en O. On donne les conditions initiales suivantes : r (0) ro ; (0) 0; r(0) 0; r (0).(0) vo 0 et 𝜑(0) = 0; 𝜑̇ (0) = 0 1) Trouver une équation du mouvement ne contenant que r et ses dérivées. On notera E l’énergie mécanique de la particule. Discuter des différents mouvements possibles selon le signe de E. 2) On se place dans le cas particulier où la trajectoire est circulaire. Quelle est la valeur de E ? Calculer la période du mouvement en fonction des différentes données et de d I 2 . 0 cos 12) Etude de la molécule de CO2 : On considère la molécule de 𝐶𝑂2 : 𝑂 = 𝐶 = 𝑂, modélisée par la distribution de charges suivantes : -q -q 2q 1) Sans calcul, dessinez l’allure des équipotentielles et des a a lignes de champ pour l’ensemble de la molécule. Les équipotentielles peuvent-elles se couper ? 2) Sans calcul quels sont les expressions possibles pour le potentiel ? 2𝐴 2𝐴 2𝐴 2𝐴 𝐴 a)− 𝑟 3 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 ; b) + 𝑟 3 (1 − 3𝑐𝑜𝑠𝜃) ; c) − 𝑟 3 𝑐𝑜𝑠𝜃 ; d) + 𝑟 3 (1 − 3𝑐𝑜𝑠 2 𝜃) ; e) − 𝑟 2 𝑐𝑜𝑠𝜃 ; f) 𝐴 𝐴 𝐴 + 𝑟 2 (1 − 3𝑐𝑜𝑠𝜃) ; g) + 𝑟 2 (1 − 3𝑐𝑜𝑠 2 𝜃) ; h) − 𝑟 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 . Par le calcul déterminer A. Indications 1) Peut-on piéger une charge avec quatre charges ponctuelles : 1) Il faut remarquer que le champ électrostatique est nul en 𝑂 ; plusieurs méthodes pour calculer le potentiel, soit par un calcul direct puis des DL en considérant 𝑥, 𝑦, 𝑧 ≪ 𝑎, soit en faisant directement un DL de 𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧) et en exploitant les symétries du problème et l’équation de Laplace ; 3) on ne peut pas avoir à la fois une position d’équilibre stable dans le plan 𝑥𝑂𝑦 et sur l’axe des 𝑧 ; 4) montrer que si 𝑞’ est de même signe que 𝑞 elle a un mouvement elliptique. 2) Distribution de charges à symétrie sphérique : Par symétrie 𝐸⃗ = 𝐸(𝑟)𝑢 ⃗ 𝑟 ; appliquer le théorème de Gauss ; puis pour le potentiel 𝑉(𝑟), faire circuler le champ de r à l’infini. On pose 𝑉(𝑟 → ∞) = 0 car il n’y a pas de charges à l’infini. 3) Sources du champ : Appliquer le théorème de Gauss à un cylindre, puis différencier pour obtenir la charge contenue dans un manchon cylindrique ; pour le potentiel, on ne peut pas poser 𝑉(𝑟 → ∞) = 0 car il y a des charges à l’infini. Poser 𝑉(𝑟 = 𝑎) = 0. 4) Poussière dans une galaxie : 4 Calculer le champ gravitationnel créé par la galaxie en appliquant le théorème de Gauss puis distinguer deux cas : si 𝑑 < 𝑎, la particule va avoir un mouvement harmonique et si 𝑑 > 𝑎, elle a un mouvment uniformément accéléré à l’extérieur de la galaxie et harmonique à l’intérieur. 5) Oscillations de plasma : 1) Faire un bilan des charges pour un élément de volume 𝑑𝜏 quand les électrons se déplacent de 𝑥 ; en déduire que le champ est celui de deux nappes surfaciques et en déduire la force exercée sur un électron ; 2) Les électrons vont osciller. 6) La Terre pulvérisée : Calculer le champ gravitationnel créé par une planète de masse M et de rayon R, puis calculer son énergie ; calculer la masse et la rayon de chaque petite sphère. 7) Potentiel dans une cuve d'électrolyse : Introduire la densité de charge 𝜌(𝑥). L'équation de Poisson fournit une relation entre 𝑉(𝑥) et 𝜌(𝑥). Faire un DL pour pouvoir l’intégrer. 8) Interaction de Keesom : 2) Les positions d’équilibre doivent vérifier : 𝑑𝐸𝑝 𝑑𝜃 = 0; 𝑑𝐸𝑝 𝑑𝜑 = 0; 𝑑2 𝐸𝑝 𝑑𝜃2 > 0; 𝑑2 𝐸𝑝 𝑑𝜑 2 𝑑2 𝐸𝑝 > 0; 𝑑𝜃𝑑𝜑 > 0. 9) Polarisation d’un atome d’hydrogène : Exprimer le champ électrique créé par le dipôle permanent placé en O sur le dipôle induit placé en M ; en déduire le moment dipolaire induit et l’énergie potentielle du dipôle induit. 10) Champ créé par quatre dipôles : Introduire l’angle 𝜃 entre les dipôles et l’axe des 𝑥. Calculer les champ des dipôles en 𝑂 en regroupant deux à deux les dipôles symétriques par rapport à 𝑂. 11) Mouvement d’une charge ponctuelle dans le champ d’un dipôle : Appliquer le principe fondamental de la dynamique à la charge q et le théorème de l’énergie cinétique ; se servir de ce dernier pour éliminer le terme r 2 dans la composante radiale de l’accélération. Intégrer l’équation différentielle et discuter selon le signe de E des différents mouvements possibles. 2) D’après la question précédente, si E = 0, le mouvement est circulaire. A l’aide d’une des expressions du 1), exprimer 2 en fonction de et intégrer pour trouver la période. 12) Etude de la molécule de CO2 : 1) Les lignes de champs sont dirigées vers les charges négatives et s’éloignent de la charge positive ; 2) il ne faut faire aucun calcul mais s’aider du tracé des équipotentielles de la question précédentes ; comme le champ du dipôle est en 1/𝑟 2 , on peut prévoir que le champ du quadripôle sera en 1/𝑟 3 ; 3) appliquer le théorème de Gauss à une sphère centrée en 𝑂, de rayon 𝑅. Solutions 1) Peut-on piéger une charge avec quatre charges ponctuelles : 𝑞 𝑥2 𝑦2 2𝑧 2 𝑞 𝑥 1) 𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1 + 2 + 2 − 2 ) ; 2) 𝐸⃗ = (−2 2 𝑢 ⃗𝑥−2 4𝜋𝜀𝑜 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑞𝑞 ′ l’énergie potentielle de la charge q’ est : 𝐸𝑝 = 4𝜋𝜀 avoir 𝜕𝐸𝑝 𝜕𝑥𝑖 𝑜 4𝜋𝜀𝑜 𝑎 𝑥2 𝑦2 𝑎 (1 + 𝑎2 + 𝑎2 − 𝑎 2𝑧 2 𝑎2 𝑦 𝑎2 𝑧 𝑢 ⃗ 𝑦 + 4 𝑎2 𝑢 ⃗ 𝑧) ; ) ; on ne peut jamais 𝑞𝑞 ′ > 0 ∀𝑥𝑖 ;4) dans le plan 𝑥𝑂𝑦 les équations du mouvements sont : 𝑚𝑥̈ = − 2𝜋𝜀 𝑜𝑎 3 𝑥; 5 𝑞𝑞 ′ 𝑚𝑦̈ = − 2𝜋𝜀 𝑜 𝑞𝑞 ′ 𝑎3 𝑦 ; si 𝑞𝑞’ > 0 les solutions sont 𝑥(𝑡) = 𝐴𝑥 𝑐𝑜𝑠 (√2𝜋𝜀 𝑞𝑞 ′ 𝐴𝑦 𝑐𝑜𝑠 (√2𝜋𝜀 𝑜 𝑚𝑎 3 𝑜 𝑚𝑎 3 𝑡 + 𝜑𝑥 ) et 𝑦(𝑡) = 𝑡 + 𝜑𝑦 ) ; la trajectoire est une ellipse dans le plan 𝑥𝑂𝑦. 2) Distribution de charges à symétrie sphérique : 2𝜌 𝑎3 2𝜌 𝑎3 Pour 𝑟 > 𝑎 𝐸⃗ = 𝑜 2 𝑢 ⃗ 𝑟 et 𝑉(𝑟) = 𝑜 Pour 𝑟 ≤ 𝑎 𝐸⃗ = 15𝜀𝑜 𝑟 𝜌𝑜 𝑟 𝜀𝑜 15𝜀𝑜 𝑟 𝑟3 (3 − 5𝑎2 ) 𝑢 ⃗ 𝑟 et 𝑉(𝑟) = 𝜌𝑜 𝑎2 1 𝜀𝑜 𝑟2 𝑟4 (4 − 6𝑎2 + 20𝑎4 ) 3) Sources du champ : 𝑟 Pour 𝑟 ≤ 𝑎; 𝜌 = 2𝜀𝑜 𝐴 , 𝑉 = 𝐴(𝑎2 − 𝑟 2 ) ; pour 𝑟 > 𝑎, 𝜌 = 0, 𝑉 = −𝐵𝐿𝑛 (𝑎) 4) Poussière dans une galaxie : 1)Le champ gravitationnel de la galaxie est 𝑧 < −𝑎: 𝐺 (𝑧) = +4𝜋𝐺𝜇𝑎𝑢 ⃗ 𝑧 ; +𝑎 > 𝑧 > (𝑧) (𝑧) −𝑎: 𝐺 = −4𝜋𝐺𝜇𝑧𝑢 ⃗ 𝑧 ; 𝑧 > +𝑎: 𝐺 = −4𝜋𝐺𝜇𝑎𝑢 ⃗ 𝑧 ; si 𝑑 < 𝑎, dans la galaxie l’abscisse 𝑧(𝑡) de la particule 𝛽 vérifie : 𝑚𝑧̈ + 4𝜋𝑚𝐺𝑧(𝑡) = 0 ; 𝑧(𝑡) = −𝑎𝑐𝑜𝑠(√4𝜋𝐺𝜇𝑡) ; elle ne sortira jamais du nuage ; si 𝑑 > 𝑎 son mouvement est d’abord 𝑧(𝑡) = −4𝜋𝜇𝐺𝑎𝑡 2 + 𝑑, puis (𝑑−𝑎)𝑎 la poussière pénètre dans la galaxie : 𝑧(𝑡) = 𝑎𝑐𝑜𝑠(√4𝜋𝐺(𝑡 − 𝑡1 ) − √ 4𝜋 𝑠𝑖𝑛(√𝜇4𝜋𝐺(𝑡 − 𝑡1 ), ce mouvement sera périodique, la poussière ressort de la galaxie pour 𝑧 = −𝑎, puis atteint 𝑧 = −𝑑 etc. 5) Oscillations de plasma : 𝑛 𝑒2𝑥 𝑛 𝑒2 1) 𝜎 = 𝑛𝑜 𝑒𝑥 ; 𝐹 = −𝑒𝐸⃗ = 𝑜 𝑢 ⃗ 𝑥 ; 2) 𝜔𝑝2 = 𝑜 𝜀𝑜 𝑚𝑝 𝜀𝑜 6) La Terre pulvérisée : 9𝐺𝑀2 ∆𝐸 = 5𝑅 𝑇 = 17. 1031 𝐽 ; l’énergie d’une bombe H a une énergie de l’ordre de 1012 𝐽 ; une hypothèse émise par les physiciens fans de star wars est d’utiliser l’énergie d’un trou noir. 7) Potentiel dans une cuve d'électrolyse : 𝑠𝑖𝑛ℎ√(𝜀𝑜 𝑘𝐵 𝑇/2𝑛𝑜 𝑞 2 )𝑥 𝑉(𝑥) = 𝑉𝑜 𝑠𝑖𝑛ℎ√(𝜀𝑜 𝑘𝐵 𝑇/2𝑛𝑜 𝑞 2 )𝑒/2 8) Interaction de Keesom : 𝑝 𝑝 1) 𝐸𝑝 = − 4𝜋𝜀1 2𝑟 3 (2𝑐𝑜𝑠𝜃𝑐𝑜𝑠𝜑 − 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑠𝑖𝑛𝜑) ; 2) les positions d’équilibres stables sont : 𝑜 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 (0,0), (𝜋, 𝜋), (− , + ) , (+ , − ) ; les positions d’équilibres instables sont (0, 𝜋), (𝜋, 0) ; 2 2 2 2 on remarque que dans les positions stables, le dipôle 2 est aligné sur les lignes de champs du 𝑝 𝑝 dipôle 1 et réciproquement ; 3) Pour la position stable (0,0), 𝐸𝑝 = − 2𝜋𝜀1 2𝑟 3. 𝑜 9) Interaction de Debye : 3𝛼𝑝𝑜2 La force est attractive ; 𝐹 = − 2𝜋𝜀 𝑜𝑟 7 𝑢 ⃗ 𝑥. 10) Champ créé par quatre dipôles : 𝑝 𝐸⃗ (𝑂) = 𝜋𝜀 𝑎√2 ((2𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑠𝑖𝑛𝜃)𝑢 ⃗ 𝑥 + (2𝑠𝑖𝑛𝜃 + 𝑐𝑜𝑠𝜃)𝑢 ⃗ 𝑦) 𝑜 11) Mouvement d’une charge ponctuelle dans le champ d’un dipôle 2E 2 Et 2 1) r.r r 2 ; r 2 ro2 ; si E > 0, r est une fonction croissante de t, si E < 0, r est m m une fonction décroissante de r et si E = 0, r est une constante donc le mouvement est 4𝐼𝑟 circulaire. 2)𝑇 = 𝑣 𝑜 𝑜 12) Etude de la molécule de 𝑪𝑶𝟐 : 6 2) par déduction le potentiel est du type : 𝑉(𝑟, 𝜃) = 3𝑞𝑎2 8𝜋𝜀𝑜 𝑟 4 ((1 − 3𝑐𝑜𝑠 𝜃)𝑢 ⃗ 𝑟 − 2𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃𝑢 ⃗ 𝜃 ) ; ∯ 𝐸⃗ 𝑛⃗𝑑𝑆 = 2 2𝐴(1−3𝑐𝑜𝑠2 𝜃) 𝑟3 𝜋 3𝑞𝑎2 ∫0 8𝜋𝜀 𝑅2 (1 𝑜 2 𝑞𝑎 ; 𝐴 = 8𝜋𝜀 ; 3) 𝐸⃗ = 𝑜 2 − 3𝑐𝑜𝑠 𝜃)𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝜃 = 0.
