Electrostatique - MP*1

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MP*1- 2015/2016
Electrostatique
1) Peut-on piéger une charge avec quatre charges ponctuelles :
Les pièges à ions sont des dispositifs permettant de stocker des particules chargées
pendant une longue durée, notamment dans le but de mesurer
leurs propriétés avec précision. On se propose de voir s’il est
possible de piéger une charge ponctuelle  avec quatre
charges ponctuelles   disposées aux sommets d’un carré
de côté . Les quatre charges identiques sont situées dans le
plan , aux sommets d'un carré, aux points 
 et  La charge  de masse  se déplace au voisinage de O.
1) Exprimer le potentiel électrostatique  au voisinage de O.
2) En déduire le champ électrostatique au voisinage de O.
3) Montrer qu’il n’existe pas de position d’équilibre si la charge  peut se mouvoir
dans tout l’espace.
4) Quelle est le mouvement de la charge  si elle est contrainte à se déplacer dans le
plan uniquement ?
Pour piéger une particule chargée il faut donc modifier le dispositif soit en ajoutant un
champ magnétique (piège de Penning) soit en mettant un champ électrique variable (piège de
Paul )
2) Distribution de charges à symétrie sphérique :
Soit la distribution de charge de densité volumique :
 pour  ;
 pour  .
Déterminer le champ et le potentiel dans tout l’espace.
3) Sources du champ :
On considère un champ électrostatique qui a pour expression en coordonnées cylindriques :
 pour  ;
 pour  .
Déterminer la répartition de charges et le potentiel associé à ce champ.
4) Poussière dans une galaxie :
On considère une galaxie comme l’espace compris entre les plans  et ,
de masse volumique .
Une poussière de masse m pénètre dans cette galaxie ; elle est en  , au temps
, sans de vitesse initiale. Décrire son mouvement.
5) Oscillations de plasma :
On considère un volume de plasma compris entre deux plans perpendiculaire à  et
distants de h. On désigne par no la densité particulaire à l’équilibre des électrons et des ions.
y
x
O
D
C
B
A

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On suppose les ions fixes et les électrons ne se déplaçant que selon . On perturbe la
distribution d’équilibre en déplaçant tous les électrons d’une distance x petite devant h.
1) La distribution de charge dans le plasma est assimilable quand  à deux plans
portant des densités surfaciques de charges uniformeset Déterminer et en déduire
l’expression de la force qui agit sur un électron par suite de cette perturbation.
2) Etablir l’équation différentielle du mouvement des électrons. Montrer qu’ils
effectuent des oscillations de pulsation Exprimer en fonction de et .
6) La Terre pulvérisée :
La Terre   est attaquée par l’Empire avec une arme
de destruction massive (étoile noire) qui la brise en huit
petites boules de même taille.
Quelle est l’ordre de grandeur de l’énergie
minimale  de l’arme employée ? Les Terriens possèdent-
ils une telle arme ? L’énergie délivrée par une bombe H est
de l’ordre de .
7) Potentiel dans une cuve d'électrolyse :
Entre les plaques d'un condensateur plan, on introduit un électrolyte contenant par
unité de volume  ions de charge  et  ions de charges . On impose à la plaque
inférieure du condensateur  un potentiel  et à la plaque supérieure 
un potentiel . La répartition de charge dans l’électrolyte n’est plus homogène mais
dépend de la température de l’électrolyte et de la valeur du potentiel au point considéré . On
donne la répartition des charges positives est 
 et celle des charges
négatives est 
.
Déterminer, en fonction de la température T, le potentiel  entre les armatures. On
négligera les effets de bord et on supposera que .
8) Interaction de Keesom :
Une molécule, de moment dipolaire  est situé en O et est dirigé selon . Une
seconde molécule, de moment dipolaire  est situé en P. On note l’angle   et
l’angle  .
1) Dans cette question, la distance   entre les deux molécules est supposée
constante. Calculer l’énergie potentielle du dipôle  dans le champ créé par le dipôle :
.
2) Quelles sont les positions d’équilibre ? Lesquelles sont stables ?
9) Interaction de Debye :
A l’origine  est placée une molécule d’eau  de moment dipolaire 
 et
au point M de coordonnées  une molécule non polaire par exemple de dioxygène .
Cette molécule a une polarisibilité  ce qui signifie qu’en présence d’un champ électrique 
elle acquiert un moment dipolaire induit :   .
Déterminer sans calcul le caractère attractif ou répulsif de la force qui s’exerce entre
les molécules ; calculer la force subie par la molécule polarisable.
10) Champ créé par quatre dipôles :

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On place des dipôles identiques aux quatre sommets  d'un carré de
côté . Calculer le champ au centre  du carré.
11) Mouvement d’une charge ponctuelle dans le champ d’un dipôle :
On se propose d’étudier le mouvement d’une particule de masse m, de charge  dans
le champ électrostatique d’un dipôle électrostatique de moment dipolaire
x
upp  .
, placé en
O. On donne les conditions initiales suivantes :
0)0().0(;0)0(;0)0(;)0( 
oo vrrrr 
et 
1) Trouver une équation du mouvement ne contenant que r et ses dérivées. On notera
E l’énergie mécanique de la particule. Discuter des différents mouvements possibles selon le
signe de E.
2) On se place dans le cas particulier où la trajectoire est circulaire. Quelle est la valeur
de E ? Calculer la période du mouvement en fonction des différentes données et de
2
0cos
d
I
.
12) Etude de la molécule de CO2 :
On considère la molécule de  :  , modélisée par la distribution de charges
suivantes :
1) Sans calcul, dessinez l’allure des équipotentielles et des
lignes de champ pour l’ensemble de la molécule.
Les équipotentielles peuvent-elles se couper ?
2) Sans calcul quels sont les expressions possibles pour le potentiel ?
a)
 ; b)   ; c)   ; d)   ; e)   ; f)
 ; g)   ; h)   .
Par le calcul déterminer A.
Indications
1) Peut-on piéger une charge avec quatre charges ponctuelles :
1) Il faut remarquer que le champ électrostatique est nul en  ; plusieurs méthodes pour
calculer le potentiel, soit par un calcul direct puis des DL en considérant , soit en
faisant directement un DL de  et en exploitant les symétries du problème et
l’équation de Laplace ; 3) on ne peut pas avoir à la fois une position d’équilibre stable dans le
plan  et sur l’axe des  ; 4) montrer que si  est de même signe que  elle a un
mouvement elliptique.
2) Distribution de charges à symétrie sphérique :
Par symétrie 
 ; appliquer le théorème de Gauss ; puis pour le potentiel  faire
circuler le champ de r à l’infini. On pose  car il n’y a pas de charges à l’infini.
3) Sources du champ :
Appliquer le théorème de Gauss à un cylindre, puis différencier pour obtenir la charge
contenue dans un manchon cylindrique ; pour le potentiel, on ne peut pas poser 
 car il y a des charges à l’infini. Poser 
4) Poussière dans une galaxie :
a
a
2q
-q
-q

4
Calculer le champ gravitationnel créé par la galaxie en appliquant le théorème de Gauss puis
distinguer deux cas : si , la particule va avoir un mouvement harmonique et si ,
elle a un mouvment uniformément accéléré à l’extérieur de la galaxie et harmonique à
l’intérieur.
5) Oscillations de plasma :
1) Faire un bilan des charges pour un élément de volume  quand les électrons se déplacent
de  ; en déduire que le champ est celui de deux nappes surfaciques et en déduire la force
exercée sur un électron ; 2) Les électrons vont osciller.
6) La Terre pulvérisée :
Calculer le champ gravitationnel créé par une planète de masse M et de rayon R, puis calculer
son énergie ; calculer la masse et la rayon de chaque petite sphère.
7) Potentiel dans une cuve d'électrolyse :
Introduire la densité de charge . L'équation de Poisson fournit une relation entre  et
. Faire un DL pour pouvoir l’intégrer.
8) Interaction de Keesom :
2) Les positions d’équilibre doivent vérifier : 
 .
9) Polarisation d’un atome d’hydrogène :
Exprimer le champ électrique créé par le dipôle permanent placé en O sur le dipôle induit
placé en M ; en déduire le moment dipolaire induit et l’énergie potentielle du dipôle induit.
10) Champ créé par quatre dipôles :
Introduire l’angle  entre les dipôles et l’axe des . Calculer les champ des dipôles en  en
regroupant deux à deux les dipôles symétriques par rapport à .
11) Mouvement d’une charge ponctuelle dans le champ d’un dipôle :
Appliquer le principe fondamental de la dynamique à la charge q et le théorème de l’énergie
cinétique ; se servir de ce dernier pour éliminer le terme
2
r
dans la composante radiale de
l’accélération. Intégrer l’équation différentielle et discuter selon le signe de E des différents
mouvements possibles. 2) D’après la question précédente, si E = 0, le mouvement est
circulaire. A l’aide d’une des expressions du 1), exprimer
2
en fonction de et intégrer
pour trouver la période.
12) Etude de la molécule de CO2 :
1) Les lignes de champs sont dirigées vers les charges négatives et s’éloignent de la charge
positive ; 2) il ne faut faire aucun calcul mais s’aider du tracé des équipotentielles de la
question précédentes ; comme le champ du dipôle est en , on peut prévoir que le champ
du quadripôle sera en  ; 3) appliquer le théorème de Gauss à une sphère centrée en , de
rayon .
Solutions
1) Peut-on piéger une charge avec quatre charges ponctuelles :
1) 
 ; 2) 
 ;
l’énergie potentielle de la charge q’ est : 
 ; on ne peut jamais
avoir 
 ;4) dans le plan  les équations du mouvements sont :     ;

5
 ; si  les solutions sont    et 
 ; la trajectoire est une ellipse dans le plan .
2) Distribution de charges à symétrie sphérique :
Pour  
 et 
Pour  
 et 
3) Sources du champ :
Pour ;  ,  ; pour , , 
4) Poussière dans une galaxie :
1)Le champ gravitationnel de la galaxie est 
 ; 
 ;  ; si  , dans la galaxie l’abscisse
 de la particule  vérifie :  ;  ; elle ne
sortira jamais du nuage ; si   son mouvement est d’abord , puis
la poussière pénètre dans la galaxie : 
, ce mouvement sera périodique, la poussière ressort de la galaxie pour  puis
atteint etc.
5) Oscillations de plasma :
1)  ; 
; 2) 
6) La Terre pulvérisée :
  ; l’énergie d’une bombe H a une énergie de l’ordre de  ; une
hypothèse émise par les physiciens fans de star wars est d’utiliser l’énergie d’un trou noir.
7) Potentiel dans une cuve d'électrolyse :
8) Interaction de Keesom :
1)  
 ; 2) les positions d’équilibres stables sont :
 ; les positions d’équilibres instables sont  ;
on remarque que dans les positions stables, le dipôle 2 est aligné sur les lignes de champs du
dipôle 1 et réciproquement ; 3) Pour la position stable ,  
.
9) Interaction de Debye :
La force est attractive ; 
.
10) Champ créé par quatre dipôles :
11) Mouvement d’une charge ponctuelle dans le champ d’un dipôle 
1)
m
E
rrr 2 .2 
;
m
Et
rr o
2
22 2
; si E > 0, r est une fonction croissante de t, si E < 0, r est
une fonction décroissante de r et si E = 0, r est une constante donc le mouvement est
circulaire. 2)
12) Etude de la molécule de  :