EM4. Exercices.

¤ PCSI ¤ EM4. Exercices.
Dipôle électrostatique.
EM4.1. Potentiel d'un quadrupôle.
Calculer le premier terme non nul du potentiel créé à grande distance par la distribution représentée sur le
schéma ci-dessous.
EM4.2. Exploitation du modèle de Thomson.
On donne
o = 9.109 SI, me = 9,1.10-31kg, N = 6.1023 mol-1, R = 8,31 S.I.
1. Une sphère S de rayon , de centre O fixe est remplie d'une charge électrique totale +e (positive et
égale en valeur absolue à celle de l'électron), uniformément répartie dans son volume. Quel potentiel
V et quel champ électrique
E
cette répartition de charges crée-t-elle en un point intérieur ou extérieur
à S à la distance r de son centre? Représenter graphiquement V et E en fonction de r.
2. Quelle est la position d'équilibre d'un point matériel M, de masse m, égale à celle de l'électron, de
charge - e, soumis à ce champ? Quelle énergie eVo faut-il fournir pour transporter M de O à l'infini?
Montrer que si on abandonne M sans vitesse initiale en un point intérieur à S, il prend un mouvement
oscillatoire dont on calculera la pulsation
o.
3. Application numérique : calculer et
o lorsque Vo = 16 volts.
4. La sphère S et le point M sont en outre soumis à un champ électrique Eext uniforme. Montrer qu'il
n'existe de position d'équilibre pour M que si Eext est inférieur à une limite Emax que l'on précisera.
Pour Eext < Emax et M étant supposé en équilibre stable, montrer que le champ électrique créé par S
et M en un point assez éloigné est le même que celui d'un dipôle de moment p =
oEext. Calculer
et préciser ses dimensions.
5. Application numérique : calculer Emax et si Vo = 16 volts.
6. Les molécules qui ne possèdent pas de moment dipolaire électrique permanent ont un comportement
comparable à celui du modèle que l'on vient d'étudier. Tout se passe comme si, dans chaque
molécule, un point matériel M de masse m et de charge -e (électron) était rappelé vers une position
d'équilibre O où se trouve une charge +e (centre de la molécule) par une force de rappel
proportionnelle à la distance, avec le coefficient de proportionnalité m
2
o
. Une telle molécule, placée
dans un champ extérieur Eext devient équivalente à un dipôle de moment p = Eext. La constante
est la polarisabilité de la molécule; on l’exprimera en fonction de , m et e.
7. Un certain gaz, à 300 K sous 10 bars, remplit l'intervalle d'épaisseur d = 1 cm entre les armatures d'un
condensateur plan chargé sous la différence de potentiel V = 50000 volts. On mesure alors le moment
dipolaire d'un centimètre cube du gaz : p = 2, 2.10-13 C.m. On suppose que les interactions des
molécules entre elles sont négligeables; calculer la polarisabilité des molécules de ce gaz. En
déduire la constante
o caractérisant la force de rappel. En supposant que le modèle de la sphère S
représente bien la molécule du gaz, quel serait le rayon de cette molécule?

EM4.3. Interaction d'une spire et d'un dipôle.
Le cerceau, de rayon R, porte la charge linéique uniforme.
1. Calculer le champ électrostatique créé par le cerceau sur son axe.
2. On se propose de calculer maintenant le champ au voisinage de l’axe du cerceau.
En utilisant une surface de Gauss ayant la forme d’un petit cylindre d’axe Oz, de rayon r et de
longueur dz et en posant que Ez(r,z)  Ez(axe) pour un point proche de l'axe, montrer que la
composante radiale du champ est liée à la valeur du champ sur l’axe par :
Z( axe )
r
dE
E (r,z ) dz
Error!
Déterminer
E
en un point proche de l’axe.
3. Déterminer l'expression de la force exercée par la spire sur le dipôle.
4. On prend désormais = 0. Le dipôle peut coulisser sans frottement sur l'axe horizontal. Déterminer
la ou les positions d'équilibre. Discuter leur stabilité et calculer éventuellement la période des petites
oscillations du dipôle de masse m le long de l'axe.
EM4.4. Calcul de la force instantanée d'interaction entre deux dipôles.
Soit un dipôle
1
p
au point O et un dipôle
2
p
au point M (
OM r
). Le dipôle
1
p
crée le champ
électrostatique
1
E
, et le dipôle
2
p
le champ électrostatique
2
E
.
1. Quelle est l'énergie potentielle d'interaction existant entre ces deux dipôles?
2. Quelle est la force subie par
2
p
de la part de
1
p
?