resumé

Dans ce travail, nous considérons le potentiel Coulombien avec un terme linéaire radial dans
le cadre général de la Mécanique Quantique Non Relativiste. Ce type de potentiel trouve son
application dans différents domaines de la physique. En physique atomique, il correspond à
l'effet Stark sphérique pour les atomes hydrogénoïdes. En physique des particules, il
correspond à la description de l'interaction quark antiquark, ingrédient nécessaire pour la
spectroscopie des hadrons.
Dans le cas d'états liés, ce potentiel n'admet pas de solution analytique connue. L'objectif de
ce travail est, donc, de trouver des expressions analytiques approximatives d'énergies
propres d'états liés dans le cas du potentiel considéré.
La méthodologie suivie consiste à se placer dans le cadre de la théorie des perturbations de
Rayleigh Schr?dinger. Les coefficients perturbatifs des énergies propres sont calculés à l'aide
des théorèmes de Hellman -Feynman et de l'Hyperviriel. Ce formalisme permet de calculer
récursivement les coefficients perturbatifs des énergies propres sans avoir à calculer les
fonctions d'onde. Cette méthode permet également de calculer les coefficients perturbatifs
jusqu'à un ordre très élevé.
Les séries des énergies propres ainsi calculées sont des séries divergentes à cause de la
nature singulière de la perturbation considérée. En fait, différentes méthodes
mathématiques permettant de sommer des séries divergentes ont été utilisées avec un
certain succès dans différents domaines de la physique. La seconde étape de ce travail,
consiste à sommer les séries divergentes des énergies propres en utilisant l'approximation
de Padé. Un des inconvénients majeurs de l'approximation de Padé, qui s'exprime sous la
forme d'un ratio de deux polynômes, est l'éventuelle introduction de singularités artificielles
dans les expressions obtenues.
L'étude systématique des différents types d'approximants de Padé et la mise en évidence
numérique du comportement de Stieltjes des séries perturbatives nous ont permis de
trouver analytiquement des bornes inférieures et supérieures aux énergies propres, ce
résultat étant valable indépendamment des nombres quantiques considérés. Nous en avons
déduit des expressions analytiques approximatives des énergies propres. En comparant ces
expressions analytiques approximatives aux valeurs théoriques exactes (calculées
numériquement), nous avons discuté du domaine de validité de nos résultats analytiques.