Examen-Janvier-2011

Université Pierre et Marie Curie Année Universitaire 2010-2011
M2- Equations elliptiques linéaires
et non-linéaires
EXAMEN du 4 JANVIER 2011
Durée : 3 heures.
Notes de cours autorisées.
Les questions délicates sont signalées par le symbole *.
PROBLEME
Les parties B et C sont indépendantes, ainsi que les parties E et F.
Soit Ωun domaine connexe, borné et régulier de R2. Soit Vune fonction supposée de classe
C∞sur ¯ Ω. On considère la forme bilinéaire adéfinie sur H1
0(Ω) par
a(u, v) = ZΩ [∇u∇v+V(x)uv]dx, pour u, v dans H1
0(Ω),
la forme quadratique Q0associée
Q0(v)≡a(v, v) = kvk2
H1
0(Ω) +ZΩ
V(x)v2dx, pour v∈H1
0(Ω),(1)
ainsi que la fonction Fdéfinie par
F(v) = 1
2Q0(v) + 1 4ZΩ
|v|4,pour v∈H1
0(Ω).(2)
Partie A
On pose
α= inf{a(v, v), v ∈H1
0(Ω),kvkL2(Ω) = 1}.
A1) Montrer que Vest bornée sur ¯ Ω.
A2) Montrer que αest atteint par un élément v0de H1
0(Ω) tel que kv0kL2(Ω) = 1.
A3) Montrer que la fonction Fest bien définie sur H1
0(Ω) et s.c.i pour la convergence faible.
A4) Montrer que Fest de classe C1. Ecrire l’équation des points critiques de F.
A5) Montrer que la fonction Fest coercive. [on pourra comparer RV(x)u2et Ru4.]
A6) On pose
β= inf{F(v), v ∈H1
0(Ω)}.(3)
Montrer que β > −∞.
A7) Montrer que βest atteint par une fonction u0∈H1
0(Ω). Montrer que u0est solution du
problème elliptique
−∆u+V(x)u+u3= 0 dans Ω et u= 0 sur ∂Ω.(4)
A8) Montrer que toutes les solutions u∈H1
0(Ω) de (4) sont des fonctions de classe C∞sur ¯
Ω.
A9) Montrer que pour toute solution non nulle u∈H1
0(Ω) de (4) on a Q0(u) = −kuk4
L4(Ω) <0.
A10) En déduire que si V≥0alors toute solution de (4) est nulle.
A11) Montrer que si uest une solution non nulle de (4), alors −uest également solution et
sup{|u(x)|, x ∈Ω} ≤ p−inf{V(x), x ∈Ω}.

Partie B
On suppose dans cette partie et uniquement dans celle-ci que
a(v, v)>0,∀v∈H1
0(Ω) \ {0}.(5)
B1) Montrer qu’alors α > 0et que
a(v, v)≥αkuk2
L2(Ω),∀v∈H1
0(Ω).
B2*) Montrer que si avérifie (5), alors aest elliptique.
B3) Montrer, sous la même hypothèse (5), que la fonction Q0définie par (1) est strictement
convexe sur H1
0(Ω).
B4) Montrer que sous l’hypothèse (5), la fonction Fest strictement convexe. En déduire la
valeur de βet déterminer u0défini à la question A7.
Partie C
On suppose dans toute la suite du problème qu’il existe un élément v1de H1
0(Ω) tel que
a(v1, v1)<0.(6)
C1) Montrer qu’alors nécessairement Vprend des valeurs négatives, que −∞ < α < 0et que
la fonction Q0définie par (1) n’est pas convexe.
C2) Montrer que β < 0, où βest défini par (3).[indication : on pourra considérer comme fonc-
tion test v=tv1, où v1vérifie (6) et où test petit].
C3) Montrer que Fn’est pas convexe.
C4) montrer que la fonction u0construite à la question A7 est non identiquement nulle.
C5) on pose u1=|u0|.Montrer que u1∈H1
0(Ω) ,u1≥0et est une solution non nulle de (4).
Partie D
Soit M≥0un nombre positif donné : on admettra sans démonstration que l’opérateur −∆ +
MId vérifie le principe du maximum fort, c’est à dire que si wune fonction non identiquement
nulle de C2(Ω) ∩C1(¯ Ω) telle que
−∆w+Mw ≥0,dans Ω et w= 0 sur ∂Ω,(7)
alors
w > 0 dans Ω.(8)
D1) Soit u∈H1
0(Ω) une solution non nulle de (4), telle que u(x)≥0∀x∈Ω. Montrer que l’on
peut trouver un nombre M > 0tel que −∆u+Mu ≥0dans Ω. En déduire que u > 0 dans Ω.
D2) Soit u1la solution de (4) construite à la question C5 . Montrer que u1(x)>0,∀x∈Ω.
D3) Montrer que u0est de signe constant dans Ω, et que ou bien u0=u1, ou bien u0=−u1.
D4) Montrer que la fonction Fse développe, près de u0, pour v∈H1
0(Ω) fixé et t∈Rcomme
F(u0+tv) = F(u0) + tdF (u0)v+t2Q2(u0, v) + t3Q3(u0, v) + t4Q4(u0, v),(9)
où Q2(u0, v) = 1
2ZΩ|∇v|2+V(x)v2+ 3u2
0v2dx, où Q3(u0, v) = ZΩ
u3
0vdx, et où on explicitera
la fonction Q4.

D4) En déduire que ∀v∈H1
0(Ω),Q2(u0, v)≥0.
D5) Montrer que Q2(u0,|v|) = Q2(u0, v),∀v∈H1
0(Ω) et Q3(u0,|v|)6= 0, si v6= 0.
D6*) en déduire que
Q2(u0, v)>0,∀v∈H1
0(Ω) \ {0}.(10)
D7) Montrer que u0est un minimum local strict, c’est à dire qu’il existe η0>0tel que si
0<ku−wkH1
0(Ω) < η0, alors F(w)> F (u0)[On pourra utiliser la question B2 ].
D8) Montrer que v= 0 est la seule solution dans H1
0(Ω) de l’équation −∆v+V(x)v+ 3u2 0v= 0.
Partie E
On considère dans cette partie un paramètre ε∈R, l’espace H=H2(Ω)∩H1
0(Ω) et l’application
Lεdéfinie pour v∈Hpar
Lε(u) = −∆u+εd
dx1
u+V(x)u+u3.(11)
E1) Montrer que pour tout ε∈Rdonné , Lεdéfinit une application de Hvers L2(Ω), de classe
C1. Calculer dLε(v)w, pour v, w dans H.
E2) Montrer que dLε(u0)est une application inversible de Hvers L2(Ω), pour tout ε∈R(ici,
u0désigne l’application construite à la question A7).
E3) On définit l’application Lde R×Hvers R×L2(Ω) par L(ε, v)=(ε, Lε(v)). Montrer que
Lest de classe C1. Calculer dL(ε, v)(η, w)pour tous ε, η dans R, et v, w dans H.
E4) Montrer que dL(0, u0)est une application inversible de de R×Hvers R×L2(Ω).
E5*) En appliquant le théorème d’inversion locale à l’application Len (0, u0), montrer qu’il
existe une constante ε0>0tel que si |ε| ≤ ε0alors, l’équation Lε(u) = 0 possède une solution
non nulle uε.
Partie F
F1) Montrer que la fonction Fdéfinie sur H1
0(Ω) par (2) satisfait la condition de Palais-Smale.
F2) On considère l’ensemble Pdes chemins continus joignant u0et −u0, c’est à dire
P={p∈C0[0,1], H1
0(Ω), p(0) = u0, p(1) = −u0},
et l’on pose
c= inf
p∈P Max
s∈[0,1]F(p(s)).
Vérifier que c>β.
F3) Montrer que c≤0[Indication : on pourra considérer la restriction de Fà la droite de
vecteur directeur u0, et utiliser la question A9.].
F4) montrer que cest une valeur critique de F.
F5) Soit {λn}n∈N∗les valeurs propres de l’opérateur Ldéfini par L(v) = −∆v+V(x)vpour
v∈H1
0(Ω), rangées par ordre croissant. Montrer que l’hypothèse (6) est équivalente à λ1<0.
F6*) on suppose ici de plus que
λ2<0.(12)
Montrer que (12) entraîne c < 0.
F7) En déduire que si (12) est vérifiée, alors il existe une solution non nulle u2de (4), différente
de u1et −u1.