Examen-Janvier-2011

Université Pierre et Marie Curie
M2- Equations elliptiques linéaires
et non-linéaires
Année Universitaire 2010-2011
EXAMEN du 4 JANVIER 2011
Durée : 3 heures.
Notes de cours autorisées.
Les questions délicates sont signalées par le symbole *.
PROBLEME
Les parties B et C sont indépendantes, ainsi que les parties E et F.
Soit Ω un domaine connexe, borné et régulier de R2 . Soit V une fonction supposée de classe
C ∞ sur Ω̄. On considère la forme bilinéaire a définie sur H01 (Ω) par
Z
a(u, v) =
[∇u∇v + V (x)uv] dx, pour u, v dans H01 (Ω),
Ω
la forme quadratique Q0 associée
Q0 (v) ≡ a(v, v) =
kvk2H 1 (Ω)
0
Z
+
V (x)v 2 dx, pour v ∈ H01 (Ω),
(1)
Ω
ainsi que la fonction F définie par
Z
1
1
|v|4 , pour v ∈ H01 (Ω).
F (v) = Q0 (v) +
2
4 Ω
Partie A
(2)
On pose
α = inf{a(v, v), v ∈ H01 (Ω), kvkL2 (Ω) = 1}.
A1)
A2)
A3)
A4)
A5)
A6)
Montrer que
Montrer que
Montrer que
Montrer que
Montrer que
On pose
V est bornée sur Ω̄.
α est atteint par un élément v0 de H01 (Ω) tel que kv0 kL2 (Ω) = 1.
la fonction F est bien définie sur H01 (Ω) et s.c.i pour la convergence faible.
F est de classe C 1 . Ecrire l’équation des points Rcritiques de F
R. 4
2
la fonction F est coercive. [on pourra comparer V (x)u et u .]
β = inf{F (v), v ∈ H01 (Ω)}.
(3)
Montrer que β > −∞.
A7) Montrer que β est atteint par une fonction u0 ∈ H01 (Ω). Montrer que u0 est solution du
problème elliptique
−∆u + V (x)u + u3 = 0 dans Ω et u = 0 sur ∂Ω.
(4)
A8) Montrer que toutes les solutions u ∈ H01 (Ω) de (4) sont des fonctions de classe C ∞ sur Ω̄.
A9) Montrer que pour toute solution non nulle u ∈ H01 (Ω) de (4) on a Q0 (u) = −kuk4L4 (Ω) < 0.
A10) En déduire que si V ≥ 0 alors toute solution de (4) est nulle.
A11) Montrer que si u est une solution non nulle de (4), alors −u est également solution et
p
sup{|u(x)|, x ∈ Ω} ≤ − inf{V (x), x ∈ Ω}.
Partie B
On suppose dans cette partie et uniquement dans celle-ci que
a(v, v) > 0, ∀v ∈ H01 (Ω) \ {0}.
(5)
B1) Montrer qu’alors α > 0 et que
a(v, v) ≥ αkuk2L2 (Ω) , ∀v ∈ H01 (Ω).
B2*) Montrer que si a vérifie (5), alors a est elliptique.
B3) Montrer, sous la même hypothèse (5), que la fonction Q0 définie par (1) est strictement
convexe sur H01 (Ω).
B4) Montrer que sous l’hypothèse (5), la fonction F est strictement convexe. En déduire la
valeur de β et déterminer u0 défini à la question A7.
Partie C
On suppose dans toute la suite du problème qu’il existe un élément v1 de H01 (Ω) tel que
a(v1 , v1 ) < 0.
(6)
C1) Montrer qu’alors nécessairement V prend des valeurs négatives, que −∞ < α < 0 et que
la fonction Q0 définie par (1) n’est pas convexe.
C2) Montrer que β < 0, où β est défini par (3).[indication : on pourra considérer comme fonction test v = tv1 , où v1 vérifie (6) et où t est petit].
C3) Montrer que F n’est pas convexe.
C4) montrer que la fonction u0 construite à la question A7 est non identiquement nulle.
C5) on pose u1 = |u0 |. Montrer que u1 ∈ H01 (Ω) , u1 ≥ 0 et est une solution non nulle de (4).
Partie D
Soit M ≥ 0 un nombre positif donné : on admettra sans démonstration que l’opérateur −∆ +
M Id vérifie le principe du maximum fort, c’est à dire que si w une fonction non identiquement
nulle de C 2 (Ω) ∩ C 1 (Ω̄) telle que
−∆w + M w ≥ 0, dans Ω et w = 0 sur ∂Ω,
(7)
w > 0 dans Ω.
(8)
alors
D1) Soit u ∈ H01 (Ω) une solution non nulle de (4), telle que u(x) ≥ 0 ∀x ∈ Ω. Montrer que l’on
peut trouver un nombre M > 0 tel que −∆u + M u ≥ 0 dans Ω. En déduire que u > 0 dans Ω.
D2) Soit u1 la solution de (4) construite à la question C5 . Montrer que u1 (x) > 0, ∀x ∈ Ω.
D3) Montrer que u0 est de signe constant dans Ω, et que ou bien u0 = u1 , ou bien u0 = −u1 .
D4) Montrer que la fonction F se développe, près de u0 , pour v ∈ H01 (Ω) fixé et t ∈ R comme
F (u0 + tv) = F (u0 ) + tdF (u0 )v + t2 Q2 (u0 , v) + t3 Q3 (u0 , v) + t4 Q4 (u0 , v),
(9)
Z
Z
1
2
2
2 2
|∇v| + V (x)v + 3u0 v dx, où Q3 (u0 , v) =
u30 vdx, et où on explicitera
où Q2 (u0 , v) =
2 Ω
Ω
la fonction Q4 .
D4) En déduire que ∀v ∈ H01 (Ω), Q2 (u0 , v) ≥ 0.
D5) Montrer que Q2 (u0 , |v|) = Q2 (u0 , v), ∀v ∈ H01 (Ω) et Q3 (u0 , |v|) 6= 0, si v 6= 0.
D6*) en déduire que
Q2 (u0 , v) > 0, ∀v ∈ H01 (Ω) \ {0}.
(10)
D7) Montrer que u0 est un minimum local strict, c’est à dire qu’il existe η0 > 0 tel que si
0 < ku − wkH01 (Ω) < η0 , alors F (w) > F (u0 ) [On pourra utiliser la question B2 ].
D8) Montrer que v = 0 est la seule solution dans H01 (Ω) de l’équation −∆v + V (x)v + 3u20 v = 0.
Partie E
On considère dans cette partie un paramètre ε ∈ R , l’espace H = H 2 (Ω)∩H01 (Ω) et l’application
Lε définie pour v ∈ H par
Lε (u) = −∆u + ε
d
u + V (x)u + u3 .
dx1
(11)
E1) Montrer que pour tout ε ∈ R donné , Lε définit une application de H vers L2 (Ω), de classe
C 1 . Calculer dLε (v)w, pour v, w dans H.
E2) Montrer que dLε (u0 ) est une application inversible de H vers L2 (Ω), pour tout ε ∈ R (ici,
u0 désigne l’application construite à la question A7).
E3) On définit l’application L de R × H vers R × L2 (Ω) par L(ε, v) = (ε, Lε (v)). Montrer que
L est de classe C 1 . Calculer dL(ε, v)(η, w) pour tous ε, η dans R, et v, w dans H.
E4) Montrer que dL(0, u0 ) est une application inversible de de R × H vers R × L2 (Ω).
E5*) En appliquant le théorème d’inversion locale à l’application L en (0, u0 ), montrer qu’il
existe une constante ε0 > 0 tel que si |ε| ≤ ε0 alors, l’équation Lε (u) = 0 possède une solution
non nulle uε .
Partie F
F1) Montrer que la fonction F définie sur H01 (Ω) par (2) satisfait la condition de Palais-Smale.
F2) On considère l’ensemble P des chemins continus joignant u0 et −u0 , c’est à dire
P = {p ∈ C 0 [0, 1], H01 (Ω) , p(0) = u0 , p(1) = −u0 },
et l’on pose
c = inf
p∈P
Max F (p(s)) .
s∈[0,1]
Vérifier que c > β.
F3) Montrer que c ≤ 0 [Indication : on pourra considérer la restriction de F à la droite de
vecteur directeur u0 , et utiliser la question A9.].
F4) montrer que c est une valeur critique de F .
F5) Soit {λn }n∈N∗ les valeurs propres de l’opérateur L défini par L(v) = −∆v + V (x)v pour
v ∈ H01 (Ω), rangées par ordre croissant. Montrer que l’hypothèse (6) est équivalente à λ1 < 0.
F6*) on suppose ici de plus que
λ2 < 0.
(12)
Montrer que (12) entraîne c < 0.
F7) En déduire que si (12) est vérifiée, alors il existe une solution non nulle u2 de (4), différente
de u1 et −u1 .