Feuille 3 : Espaces vectoriels et sous espaces vectoriels

Feuille 3 : Espaces vectoriels et sous espaces vectoriels
Exercice 1. (Sous-espace vectoriels de R2).
Les sous-ensembles suivants de R2sont ils des sous-espaces vectoriels ? Faire des dessins !
1. {(x,y)∈R2|2x+3y=0}.
2. {(x,y)∈R2|3x+y=4}.
3. {(x,y)∈R2|y=x2}.
4. {(x,y)∈R2|xy ≥0}.
Solution 1. 1. L’ensemble E={(x,y)∈R2|2x+3y=0}est un sous-espace vectoriel de R2. En effet :
(a) (0,0)appartient à E.
(b) Si (x1,y1)et (x2,y2)appartiennent à Eil en est de même de la somme (x1+x2,y1+y2)car
2(x1+x2) + 3(y1+y2) = 2x1+3y1+2x2+3y2=0+0=0.
(c) Si λappartient à Ret (x1,y1)appartient à Ealors λ.(x1,y1)égal à (λx1,λy1)appartient à Epar la relation
2.(λx1) + 3(λy1) = λ(2.x1+3.y1) = 0.
2. L’ensemble {(x,y)∈R2|3x+y=4}n’est pas un sous-espace vectoriel de R2car (0,0)n’appartient pas à cet
ensemble.
3. L’ensemble E={(x,y)∈R2|y=x2}n’est pas un sous-espace vectoriel de R2car il n’est stable ni par addition ni
par dilatation : Le vecteur (1,1)appartient à Ecar 1 =12mais 2.(1,1)n’appartient pas à Ecar 2 6=22.
4. L’ensemble E={(x,y)∈R2|xy ≥0}est stable par dilatation et contient 0 mais n’est pas stable par addition. Par
exemple les vecteurs (1,2)et (−2,−1)appartiennent à Eet pourtant la somme (−1,1)n’appartient pas à E.
Exercice 2. (Sous espace vectoriel engendré par deux vecteurs).
On note ~ule vecteur 
1
2
3
et ~vle vecteur 
1
0
1
.
1. On note
R~u={a.~u|a∈R}et R~v={b.~v|b∈R}.
Montrer que R~uet R~vsont deux sous espaces vectoriels de R3.
2. Montrer que R~uet R~vsont en somme directe dans R3. Sont ils supplémentaires ?
3. On considère l’ensemble des combinaisons linéaires de ~uet ~v
F={a~u+b~v|a,b∈R}.
Montrer que Fest un sous espace vectoriel de R3.
4. Montrer que R~uet R~vsont supplémentaires dans F.
5. On note ~wle vecteur 
0
2
2
. Montrer de deux manières différentes que le vecteur ~wse décompose de manière
unique comme somme d’un vecteur de R~uet un vecteur R~v.
1

Solution 2. On note ~ule vecteur 
1
2
3
et ~vle vecteur 
1
0
1
.
1. On note
R~u={a.~u|a∈R}et R~v={b.~v|b∈R}.
Montrons que R~uest un sous espace vectoriel de R3.
(a) Le vecteur nul appartient à R~ucar nous avons~ 0=0.~u.
(b) Soit ~vet ~wdeux vecteurs de R~u. Il existe donc deux réels αet βtels que ~v=α~uet ~w=β~u. Par conséquent
~v+~w=α~u+β~u= (α+β)~u∈R~u.
Ceci montre que l’ensemble R~uest stable par addition.
(c) Soit λun réel et ~vun élément de R~u. Il existe un réel αtel que ~v=α~u. Nous avons alors
λ~v=λ(α~u) = (λα)~u∈R~u.
Ceci montre que l’ensemble R~uest stable par multiplication externe.
Ainsi, l’ensemble R~uest un sous espace vectoriel de R3.
On montre de même que R~vest un sous espace vectoriel de R3.
2. Par définition les sous espaces vectoriels R~uet R~vsont en somme directe si et seulement si R~u∩R~v={0}. Soit ~w
un vecteur appartenant à cette intersection. Par définition, ~wappartient à R~uet à R~vdonc, il existe deux réels αet β
tels que ~w=α~u=β~v, c’est à dire
~w=α
1
2
3
=β
1
0
1
.
On en déduit que α=β=0. Ceci montre que ~west le vecteur nul. Ainsi, les sous espaces vectoriels R~uet R~vsont
en somme directe dans R3.
Ces deux sous espaces sont supplémentaires, si et seulement si R3est égal à la somme R~u+R~v. Cela signifie que
tout vecteur de R3sécrit comme la somme d’un vecteur de R~uet d’un vecteur de R~v. Notons ~wle vecteur 
0
0
1
.
Si ~wappartient à R~u+R~valors il existe αet βdeux réels tels que ~w=α~u+β~v, c’est à dire
0
0
1
=α
1
2
3
+β
1
0
1
=
α+β
2α
3α+β
.
Si αet βexiste alors α=−β,α=0 et 3α+β=0 ce qui est impossible. Le vecteur ~wn’appartient donc pas
à la somme R~u+R~v, donc R36=R~u+R~v, ce qui montre que les sous espaces vectoriels R~uet R~vne sont pas
supplémentaires.
3. On considère l’ensemble des combinaisons linéaires de ~uet ~v
F={a~u+b~v|a,b∈R}.
Montrons que Fest un sous espace vectoriel de R3. En effet soit ~w1et ~w2deux vecteurs de F. Il existe des réels a1,
a2,b1et b2tels que
~w1=a1~u+b1 ~v, ~w2=a2~u+b2 ~v.
Remarquons alors que
~w1+~w2= (a1~u+b1 ~v)+(a2~u+b2 ~v) = (a1+a2)~u+ (b1+b2)~v
est bien un vecteur qui appartient à F. Remarquons aussi que pour tout réel λ,λ~w1=λa1qui est un vecteur apparte-
nant à F. Ainsi, Fest un sous espace vectoriel de R3.
2

4. Montrons que R~uet R~vsont supplémentaires dans F. Par définition, la somme F=R~u+R~v. Il reste à montrer que
que l’intersection des sous espaces vectoriels R~uet R~vest réduite au vecteur nul. Soit ~wun vecteur appartenant à la
fois à R~uet R~v. Il existe deux réels aet btels que ~w=a~u=b~v:
~w=a
1
2
3
=b
1
0
1
.
Ceci conduit aux égalités
a=b,2a=0,3a=b
d’où l’on déduit a=b=0, c’est à dire ~w=~ 0.
5. On note ~wle vecteur 
0
2
2
. On remarque que le vecteur ~west égal à ~v−~u. Les sous espaces R~uet R~vétant en
somme directe, cette décomposition est unique. En effet si il existe aet btels que ~w=a~u+b~valors
~v−~u=a~u+b~vc’est à dire ~v−b~v=a~u+~u∈R~u∩R~v={0}
on en déduit donc que 1 −b=0 et a+1=0 soit a=−1 et b=1.
On peut aussi raisonner comme suit : soit aet btels que ~w=a~u+b~v. Ceci conduit à résoudre le système
a+b=0
2a=2
3a+b=2
qui a pour unique solution a=1 et b=−1.
Exercice 3. (Sous espaces vectoriels de R3).
On se place dans R3. On considère les sous-espaces vectoriels
F={(x,y,z)∈R3|x+y+z=0}et G={(x,y,z)∈R3|x=0}.
1. Ces sous-espaces sont ils en somme directe ?
2. Quelle est la somme F+G? Les espaces Fet Gsont ils supplémentaires ?
3. Donner toutes les décompositions du vecteur (1,1,1)sur Fet G.
Mêmes questions avec G={(x,y,z)∈R3|x=y=0}.
Faire des dessins pour illustrer les différents phénomènes observés dans cet exercice.
Solution 3. On se place dans R3. On considère les sous-espaces vectoriels
F={(x,y,z)∈R3|x+y+z=0}et G={(x,y,z)∈R3|x=0}.
1. Déterminons l’intersection des sous-espaces vectoriels Fet G. Un vecteur de Gest de la forme (0,y,z), ce vecteur
appartient à Fsi de plus y+z=0. Par conséquent ce vecteur est colinéaire au vecteur (0,1,−1). Par conséquent
F∩G=R(0,1,−1).
Les sous espaces Fet Gne sont donc pas en somme directe car leur intersection F∩Gn’est pas réduite à 0.
2. Afin de calculer la somme F+G, on peut par exemple écrire Fet Gsous forme paramétrée :
F={(x,y,−x−y)∈R3|(x,y)∈R2}=R(1,0,−1) + R(0,1,−1),
de même
G={(0,y,z)∈R3|(y,z)∈R2}=R(0,1,0) + R(0,0,1).
3

La somme F+Gest l’espace engendré par les vecteurs (1,0,−1),(0,1,−1),(0,1,0)et (0,0,1)c’est à dire R3.
Remarquons en effet, que l’on peut écrire
(1,0,0) = (1,0,−1)+(0,0,1)
par conséquent l’espace F+Gcontient les trois vecteurs (1,0,0),(0,1,0)et (0,0,1), il contient donc l’espace
engendré par ces trois vecteurs c’est à dire R3. Les espaces Fet Gne sont pas supplémentaires car ils ne sont pas en
somme directe.
3. Donnons toutes les décompositions du vecteur (1,1,1)sur Fet G. Il s’agit décrire
(1,1,1) = (x,y,−x−y)+(0,α,β)
avec x,y,α,βréels. Nécessairement on a
x=1,1=y+α,1=−x−y+β
c’est à dire x=1, y=1−α,β=1+x+y=3−α, par conséquent on a
(1,1,1) = (1,1−α,−2+α)+(0,α,3−α).
c’est à dire
(1,1,1) = [(1,1−2)+(0,−α,α)] + [(0,0,3)+(0,α,−α)]
On remarquera que la variable d’ajustement est le vecteur (0,−α,α)qui appartient à l’intersection de Fet G.
Reprenons les questions précédentes avec G={(x,y,z)∈R3|x=y=0}.
1. L’intersection de Fet Gest nulle, les sous-espaces Fet Gsont en somme directe.
2. Remarquons que le vecteur (0,0,1)appartient à G. Remarquons aussi que les vecteurs (1,0,0)et (0,1,0)appar-
tiennent à la somme F+G:
(1,0,0) = (1,0,−1)+(0,0,1)et (0,1,0) = (0,1,−1)+(0,0,1).
Par conséquent, la somme F+Gcontient l’espace engendré par (1,0,0),(0,1,0)et (0,0,1), c’est à dire R3, par
conséquent la somme obtenue est R3. Les sous-espaces Fet Gsont en somme directe.
3. La somme étant directe nous savons grâce au cours que le vecteur (1,1,1)se décompose de manière unique sur Fet
G. Trouvons cette décomposition. Par ce qui précède une décomposition est de la forme
(1,1,1) = (x,y,−x−y)+(0,0,λ) = (x,y,−x−y+λ),
ainsi x=1, y=1 et λ=3.
Cette fois-ci l’intersection de Fet Gest réduite à 0, il n’y a pas de variable d’ajustement.
Exercice 4. (Exercice type).
1. On considère les parties suivantes de R2
C= x
y∈R2;−|x|≤y≤|x|,D= x y∈R; 2y=3x
Ces parties sont elles des sous-espaces vectoriels de R2?
Quel est leur sous espace vectoriel engendré ? Faire un dessin.
2. Montrer que les ensembles
F=
x
y
z
∈R3;x−y+z=0
,G=
x
y
z
∈R3;x+z=0
et
H=
λ
λ
λ
∈R3;λ∈R
sont trois sous-espaces vectoriels de R3.
4

3. Montrer que Fet Gne sont pas en somme directe. Montrer que les vecteurs
~
i=
1
0
0
,~
j=
0
1
0
et~
k=
0
0
1
appartiennent à la somme F+G. Que vaut la somme F+G?
Donner toutes les décompositions du vecteur~ i=
1
0
0
comme somme~
iF+~ iGavec~ iF∈Fet~ iG∈G.
Faîtes un dessin.
4. Montrer que les sous-espaces vectoriels Fet Hsont en somme directe. Montrer que tout vecteur ~ude R3se décom-
pose comme somme ~uF+~uHavec ~uF∈Fet ~uH∈H. En déduire que Fet Hsont supplémentaires.
Faîtes un dessin.
Solution 4. 1. A partir d’un dessin on constate que la partie Cn’est pas un sous-espace vectoriel de R2, car elle n’est
pas stable par l’addition. Par exemple les vecteurs 1
1et −1 1appartiennent à Cmais leur somme 0 2
n’appartient pas à C.
L’espace engendré par Cnoté Vect(C)est R2. En effet, les vecteurs~ i=1
0et ~
j=0
1sont des combinaisons
linéaires de vecteurs de C:~ i∈Cet ~ j=1
21
1+1
2−1
1.
Par conséquent les combinaisons linéaires de~ iet ~ jappartiennent à l’espace engendré par C. En particulier pour tout
x∈R, pour tout y∈Rnous avons
x
y=x
~
i+y~ j∈Vect(C).
Ce qui montre que Vect(C) = R2.
L’ensemble D= x
y∈R; 2y=3xest un sous espace vectoriel de R2:
(a) 0
0∈Dcar 2.0=3.0=0.
(b) Soit ~u1=x1
y1et ~u2=x2 y2deux vecteurs de D. Soit λun élément de R.
Le vecteur λ~u1+~u2appartient à D:
λ~u1+~u2=λx1+x2
λy1+y2et 3(λx1+x2)−2(λy1+y2) = λ(3x1−2y1)+(3x2−2y2) = 0.
Le sous espace vectoriel engendré par Dest donc D.
2. Montrons que F=
x
y
z
∈R3;x−y+z=0
est un sous-espace vectoriel de R3.
(a) 
0
0
0
∈Fcar 0 −0+0=0.
(b) Soit λ∈Ret
~u1=
x1
y1
z1
∈F, ~u2=
x2
y2
z2
∈F.
5