MP059 : Symétries en Physique

Master de Sciences et Technologies
Mention Physique et Applications
MP059 : Sym´etries en Physique
Jean-Bernard Zuber
J-B Z M1 : MP059 4 avril 2013

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Figure 1 –
Pierre Curie (1859-1906) qui donne `a notre Universit´e (la moiti´e de) son nom, est un grand
physicien. Il est en particulier `a l’origine de nombreuses id´ees sur le rˆole des sym´etries en
Physique, comme on verra dans ces pages . . .
4 avril 2013 J-B Z M1 : MP059

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J-B Z M1 : MP059 4 avril 2013

Table des mati`eres
1 Sym´etries g´eom´etriques. Des mol´ecules aux cristaux 1
1.1 G´en´eralit´es sur les sym´etries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Transformations de l’espace et sym´etries . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Un petit album d’images. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.3 Isom´etries et d´eplacements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 R´eflexion-miroir et inversion/parit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1 Isom´etries impropres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.2 R´eflexion-miroir................................ 9
1.3 Rotations et r´eflexions de R2et de R3........................ 10
1.3.1 Groupes O(d) et SO(d)............................ 10
1.3.2 Sous-groupes finis des groupes de rotation `a d= 2 et d=3........ 11
1.3.3 Groupes d’invariance des polygones et des poly`edres . . . . . . . . . . . 11
1.3.4 Groupesponctuels .............................. 13
1.4 Sym´etries des mol´ecules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5 Sym´etriesd’uncristal................................. 15
1.5.1 R´eseauxdeBravais.............................. 16
1.5.2 Cristallographie `a deux dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5.3 Cristallographie `a trois dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.5.4 Autres ordres translationnels ou orientationnels . . . . . . . . . . . . . . 29
1.6 Exercices........................................ 30
2 Transformations des grandeurs physiques 33
2.1 Rotations ....................................... 34
2.1.1 Vecteurs et scalaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.1.2 Tenseurs. Exemples physiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2 R´eflexions et Inversion/Parit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.2.1 Scalaires et pseudoscalaires, vecteurs et pseudovecteurs . . . . . . . . . . 38
2.2.2 Covariance des grandeurs et invariance des lois de la physique . . . . . . 40
2.3 PrincipedeCurie................................... 41
2.3.1 Applications physiques d’arguments de sym´etrie . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3.2 PrincipedeCurie............................... 43
2.3.3 Autres illustrations du principe de Curie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.4 Translations ..................................... 44
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iv TABLE DES MATI` ERES
2.4.1 Diffraction cristalline, loi de von Laue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.4.2 ZonesdeBrillouin .............................. 46
2.5 Modes propres de vibration d’une mol´ecule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.6 Exercice ........................................ 48
3 Brisure spontan´ee de sym´etrie 49
3.1 Brisure spontan´ee de sym´etrie discr`ete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.1.1 Un mod`ele m´ecanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.1.2 Ferromagn´etisme ............................... 50
3.1.3 Mod`eled’Ising ................................ 51
3.1.4 Unparadoxe?................................. 54
3.2 Brisure spontan´ee de sym´etrie continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.3 Autres exemples de sym´etries bris´ees spontan´ement . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.4 Exercice:Champmoyen .............................. 56
4 Groupes continus. G´en´erateurs infinit´esimaux. Lois de conservation 59
4.1 Transformations continues, g´en´erateurs infinit´esimaux . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.1.1 Groupes des translations R,Rd....................... 59
4.1.2 Groupe des phases U(1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.1.3 Groupe de rotation `a deux dimensions SO(2) . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.1.4 Groupe de rotation `a trois dimensions SO(3) . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.1.5 Groupe de Lie, alg`ebre de Lie, et leur dimension . . . . . . . . . . . . . . 63
4.2 Sym´etries continues et lois de conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.2.1 Formalisme lagrangien et formalisme hamiltonien . . . . . . . . . . . . . 66
4.2.2 Invariances et lois de conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.3 Invariance de jauge de l’´electrodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.4 Exercices........................................ 72
5 Repr´esentations des groupes 75
5.1 D´efinition et propri´et´es g´en´erales des repr´esentations . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.1.1 D´efinitionsdebase .............................. 75
5.1.2 Repr´esentations ´equivalentes. Caract`eres . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.1.3 Repr´esentations r´eductibles et irr´eductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.1.4 Repr´esentations unitaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.1.5 LemmedeSchur ............................... 81
5.2 Repr´esentations des groupes finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.2.1 Orthogonalit´e et compl´etude des repr´esentations . . . . . . . . . . . . . . 82
5.2.2 Cons´equences ................................. 85
5.2.3 Un groupe continu : U(1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.3 Produits directs de groupes ou de repr´esentations ; d´ecomposition de Clebsch-
Gordan......................................... 88
5.3.1 Produits directs de groupes et leurs repr´esentations . . . . . . . . . . . . 88
5.3.2 Produit tensoriel de repr´esentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
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