Physique des ondes

$1(& 14*  & 4"6%3"*4
1IZTJRVF EFT POEFT ***  0OEFT ÏMFDUSPNBHOÏUJRVFT EBOT MF WJEF
 ²RVBUJPOT EF QSPQBHBUJPO EFT DIBNQT #» &FU #» #
Dans le vide (ρ=0 et #» =
#»
0 ), les équations de Maxwell s’écrivent :
div #» B(M,t)=0 div #» E(M,t)=0
# »
rot #» B(M,t)=µ0ε0∂
#»
E(M,t)
∂t
# »
rot #» E(M,t)=−∂
#»
B(M,t)
∂t
Les champs #» Eet #» Bobéissent à la même équation de d’Alembert :
∆
#»
E(M,t)−1
c2
∂2#» E(M,t)
∂t2=
#»
0 et ∆
#»
B(M,t)−1
c2
∂2#» B(M,t)
∂t2=
#»
0
la célérité étant donnée par
c=1
"ε0µ0
!Les champs électrique et magnétique obéissent à deux équations de propagation découplées ;
ils restent cependant couplés via les équations de Maxwell, et ne peuvent ainsi pas être indépen-
dants dans une onde électromagnétique progressive.
!On a exactement c =299792458 m ·s−1par définition du mètre.
!La perméabilité magnétique du vide vaut exactement µ=4π·10−7H·m−1. La permittivité diélec-
trique du vide vaut ε0≈8,85·10−12 F·m−1.
 4USVDUVSF EFT POEFT QMBOFT QSPHSFTTJWFT IBSNPOJRVFT
Une onde électromagnétique est dite plane,progressive et harmonique (OPPH) si chaque compo-
sante des champs #» Eet #» Best de la forme
ai(M,T)=aI0cos(ωt−
#»
k·
# »
OM +ϕi)
Le vecteur d’onde est donné par #» k=k#» u, où #» uest le vecteur unitaire dans la direction de propagation
de l’onde.
!La linéarité des équations en jeu permet d’utiliser la notation complexe ai(M,t)=ai0ei(ωt−
#»
k·
# »
OM).
On retrouve ai(M,t)=Re!ai(M,t)".
 ²RVBUJPO EF .BYXFMM FO OPUBUJPO DPNQMFYF
On utilise les équivalences ∂
∂t↔×iωet #»
∇ ↔×(−i#» k).
#»
k·
#»
B(M,t)=0#»
k·
#»
E(M,t)=0
#»
k∧
#»
B(M,t)=−ω
c2
#»
E(M,t)#» k∧
#»
E(M,t)=ω
#»
B(M,t)
2) Structure de l’OPPH 2. STRUCTURE DES ONDES PLANES PROGRESSIVES HARMONIQUES
 4USVDUVSF EF M011)
Les champs varient sinusoïdalement dans le temps et dans l’espace, les pulsations temporelle ωet
spatiale kétant liées par la relation de dispersion :
k=ω
c.
La relation de structure de l’onde est
#»
B(M,t)=
#»
k∧
#»
E(M,t)
ω=
#»
u∧
#»
E(M,t)
c
où #» k=k#» u. On en déduit les propriétés suivantes :
!Les champs #» E(M,t) et #» B(M,t) sont transverses : #» k·
#»
E(M,t)=0 et #» k·
#»
B(M,t)=0.
!Les champs #» E(M,t) et #» B(M,t) sont en phase.
!Les modules des champs #» E(M,t) et #» B(M,t) vérifient :
(
#»
B(M,t)(=(
#»
E(M,t)(
c.
!Les champs #» E(M,t) et #» B(M,t) sont perpendiculaires entre eux, et le trièdre
(#» k,#» E(M,t), #» B(M,t)) est direct.
z
x
y
#»
k
#»
B
#»
E
 (ÏOÏSBMJTBUJPO BVY POEFT QMBOFT QSPHSFTTJWFT EF GPSNF RVFMDPORVF
La relation de structure d’une onde plane progressive selon la direction de vecteur unitaire #» us’écrit
#»
B(M,t)=
#»
u∧
#»
E(M,t)
c
!Les champs #» E(M,t) et #» B(M,t) sont transverses.
!Le trièdre (#» u,#» E(M,t), #» B(M,t)) est direct.
!On a (
#»
B(M,t)(=(
#»
E(M,t)(
c.
14* +BDBN  & 4BVESBJT
2

3. ÉTATS DE POLARISATION DES OPPH
 ²UBUT EF QPMBSJTBUJPO EFT 011)
La direction du champ électrique d’une onde plane progressive harmonique dans le plan d’onde
définit la direction de polarisation de cette onde.
L’évolution de cette direction au cours du temps en un point donné définit l’état de polarisation
de l’onde.
On définit l’état de polarisation à partir de la courbe décrite au cours du temps par l’extrémité du
champ #» E, le vecteur #» kétant dirigé vers l’observateur.
1PMBSJTBUJPO FMMJQUJRVF
Dans le cas le plus général, une onde plane progressive monochromatique est polarisée elliptique-
ment : l’extrémité du champ électrique décrit une ellipse.
Si l’ellipse est parcourue dans le sens trigonométrique, la polarisation de l’onde est dite elliptique
gauche (cf. figure). Dans le cas contraire, elle est dite elliptique droite.
1PMBSJTBUJPO SFDUJMJHOF
Le champ #» E(M,t) garde une direction constante au cours du temps.
!Les deux composantes du champ #» Edans le plan de polarisation sont en phase ou en opposition
de phase.
1PMBSJTBUJPO DJSDVMBJSF
La polarisation est dite circulaire gauche ou circulaire droite si l’extrémité du #» Edécrit un cercle dans
le sens trigonométrique ou dans le sens horaire.
!Les deux composantes du champ #» Edans le plan de polarisation sont en quadrature.
²UBUT EF CBTF EF QPMBSJTBUJPO
!Toute onde plane progressive monochromatique peut se décomposer en deux ondes polari-
sées rectilignement, de directions de polarisation perpendiculaires entre elles.
!Toute onde plane progressive monochromatique peut se décomposer en deux ondes polari-
sées circulairement, l’une droite et l’autre gauche.
14* +BDBN  & 4BVESBJT
3
5. RÉFLEXION SOUS INCIDENCE NORMALE D’UNE OPPH SUR UN PLAN CONDUCTEUR PARFAIT
 ²UVEF ÏOFSHÏUJRVF EFT 011)
 %FOTJUÏ WPMVNJRVF EÏOFSHJF ÏMFDUSPNBHOÏUJRVF
La densité volumique d’énergie électromagnétique d’une OPPH s’écrit
wem(M,t)=ε0
#»
E2(M,t)=
#»
B2(M,t)
µ0
!Il y a équi-répartition de l’énergie sous les formes électrique et magnétique.
!En moyenne temporelle : 〈wem(M)〉=ε0E2
0
2=B2
0
2µ0où E0et B0sont les amplitudes des champs
#»
E(M,t) et #» B(M,t).
 7FDUFVS EF 1PZOUJOH
Le vecteur de Poynting associé à une OPPH se propageant selon #» us’écrit
#»
Π(M,t)=cε0
#»
E2(M,t)#» u=cwem(M,t)#» u
!L’énergie se propage dans le sens de propagation de l’onde, à la vitesse c, égale à la célérité de
l’onde.
 3ÏýFYJPO TPVT JODJEFODF OPSNBMF EVOF 011) TVS VO QMBO DPOEVDUFVS QBSGBJU
Dans un conducteur parfait : #» E=
#»
0, #» B=
#»
0, #» =
#»
0 et ρ=0. Les charges et les courants ne peuvent
être que surfaciques.
Un conducteur parfait occupe le demi-espace x>0 ; une OPPH polarisée rectilignement selon ve y se
propage dans le demi-espace x<0 selon #» ex.
L’onde incidente#» Ei(M,t)=E0i cos(ωt−kx)#» eyne peut vérifier la condition de passage #» E(x=0,t)=
#»
0.
Il existe une onde réfléchie, se propageant selon −#» exdans le demi-espace x<0.
La superposition de l’onde incidente et de l’onde réfléchie conduit à une onde stationnaire :
#»
E(M,t)=2E0i sin(ωt)sin(kx)#» ey
#»
B(M,t)=2E0i
ccos(ωt)cos(kx)#»
ez
#»
B
#»
E
nœud de #» E
ventre de #» B
zx
y
!Les champs électrique et magnétique sont en quadrature spatiale et temporelle.
!L’onde incidente donne naissance à des courants surfaciques sur la plan conducteur ; ces cou-
rants sont sources de l’onde réfléchie dans le demi-espace x<0, et d’une onde qui s’oppose à
l’onde incidente dans le demi-espace x>0.
14* +BDBN  & 4BVESBJT
4