$1(& 14* & 4"6%3"*4 1IZTJRVF EFT POEFT 4USVDUVSF EF M011) Les champs varient sinusoïdalement dans le temps et dans l’espace, les pulsations temporelle ω et spatiale k étant liées par la relation de dispersion : *** 0OEFT ÏMFDUSPNBHOÏUJRVFT EBOT MF WJEF k= #» #» ²RVBUJPOT EF QSPQBHBUJPO EFT DIBNQT & FU # La relation de structure de l’onde est #» Dans le vide (ρ = 0 et #» = 0 ), les équations de Maxwell s’écrivent : #» #» #» k ∧ E (M , t ) #» u ∧ E (M , t ) = ω c #» #» div B (M , t ) = 0 div E (M , t ) = 0 #» ∂ E (M , t ) rot B (M , t ) = µ0 ε0 ∂t #» B (M , t ) = #» # » #» # » #» rot E (M , t ) = − #» #» ∂ B (M , t ) ∂t où k = k #» u . On en déduit les propriétés suivantes : #» #» #» #» #» #» ! Les champs E (M , t ) et B (M , t ) sont transverses : k · E (M , t ) = 0 et k · B (M , t ) = 0. #» #» ! Les champs E (M , t ) et B (M , t ) sont en phase. #» #» ! Les modules des champs E (M , t ) et B (M , t ) vérifient : #» Les champs E et B obéissent à la même équation de d’Alembert : #» #» ∆ E (M , t ) − #» #» 1 ∂2 E (M , t ) #» 1 ∂2 B (M , t ) #» #» = 0 et ∆ B (M , t ) − 2 =0 2 2 c ∂t c ∂t 2 la célérité étant donnée par ω . c #» ( B (M , t )( = ( E (M , t )( . c #» #» ! Les champs E (M , t ) et B (M , t ) sont perpendiculaires entre eux, et le trièdre #» #» #» 1 c= " ε0 µ0 ( k , E (M , t ), B (M , t )) est direct. y #» ! Les champs électrique et magnétique obéissent à deux équations de propagation découplées ; E ils restent cependant couplés via les équations de Maxwell, et ne peuvent ainsi pas être indépendants dans une onde électromagnétique progressive. ! On a exactement c = 299 792 458 m · s−1 par définition du mètre. ! La perméabilité magnétique du vide vaut exactement µ = 4π·10−7 H·m−1 . La permittivité diélec- z #» #» B trique du vide vaut ε0 ≈ 8,85 · 10−12 F · m−1 . k 4USVDUVSF EFT POEFT QMBOFT QSPHSFTTJWFT IBSNPOJRVFT x Une onde électromagnétique est dite plane, progressive et harmonique (OPPH) si chaque compo#» #» sante des champs E et B est de la forme #» # » a i (M , T ) = a I 0 cos(ωt − k · OM + ϕi ) (ÏOÏSBMJTBUJPO BVY POEFT QMBOFT QSPHSFTTJWFT EF GPSNF RVFMDPORVF #» Le vecteur d’onde est donné par k = k #» u , où #» u est le vecteur unitaire dans la direction de propagation de l’onde. La relation de structure d’une onde plane progressive selon la direction de vecteur unitaire #» u s’écrit #» # » ! La linéarité des équations !en jeu permet d’utiliser la notation complexe a i (M , t ) = a i 0 ei(ωt − k ·OM ) . " #» B (M , t ) = On retrouve a i (M , t ) = Re a i (M , t ) . On utilise les équivalences ∂ #» #» ↔ ×iω et ∇ ↔ ×(−i k ). ∂t #» #» k · B (M , t ) = 0 ω #» k ∧ B (M , t ) = − 2 E (M , t ) c #» #» #» #» k · E (M , t ) = 0 #» #» #» k ∧ E (M , t ) = ω B (M , t ) 14* +BDBN & 4BVESBJT ²RVBUJPO EF .BYXFMM FO OPUBUJPO DPNQMFYF #» #» u ∧ E (M , t ) c #» #» ! Les champs E (M , t ) et B (M , t ) sont transverses. #» #» ! Le trièdre ( #» u , E (M , t ), B (M , t )) est direct. #» ( E (M , t )( #» ! On a ( B (M , t )( = . c 2 ²UBUT EF QPMBSJTBUJPO EFT 011) ²UVEF ÏOFSHÏUJRVF EFT 011) %FOTJUÏ WPMVNJRVF EÏOFSHJF ÏMFDUSPNBHOÏUJRVF La direction du champ électrique d’une onde plane progressive harmonique dans le plan d’onde définit la direction de polarisation de cette onde. L’évolution de cette direction au cours du temps en un point donné définit l’état de polarisation de l’onde. La densité volumique d’énergie électromagnétique d’une OPPH s’écrit #» #» w em (M , t ) = ε0 E 2 (M , t ) = On définit l’état de polarisation à partir de la courbe décrite au cours du temps par l’extrémité du #» #» champ E , le vecteur k étant dirigé vers l’observateur. B 2 (M , t ) µ0 ! Il y a équi-répartition de l’énergie sous les formes électrique et magnétique. ε0 E 02 ! En moyenne temporelle : 〈w em (M )〉 = #» #» 1PMBSJTBUJPO FMMJQUJRVF 2 = B 02 2µ0 où E 0 et B 0 sont les amplitudes des champs E (M , t ) et B (M , t ). Dans le cas le plus général, une onde plane progressive monochromatique est polarisée elliptiquement : l’extrémité du champ électrique décrit une ellipse. Si l’ellipse est parcourue dans le sens trigonométrique, la polarisation de l’onde est dite elliptique gauche (cf. figure). Dans le cas contraire, elle est dite elliptique droite. 7FDUFVS EF 1PZOUJOH Le vecteur de Poynting associé à une OPPH se propageant selon #» u s’écrit #» #» Π(M , t ) = cε0 E 2 (M , t ) #» u = cw em (M , t ) #» u ! L’énergie se propage dans le sens de propagation de l’onde, à la vitesse c, égale à la célérité de l’onde. 3ÏýFYJPO TPVT JODJEFODF OPSNBMF EVOF 011) TVS VO QMBO DPOEVDUFVS QBSGBJU #» #» #» #» #» Dans un conducteur parfait : E = 0 , B = 0 , #» = 0 et ρ = 0. Les charges et les courants ne peuvent être que surfaciques. Un conducteur parfait occupe le demi-espace x > 0 ; une OPPH polarisée rectilignement selon ve y se propage dans le demi-espace x < 0 selon #» e x. #» #» #» L’onde incidente E i (M , t ) = E 0i cos(ωt − kx) #» e y ne peut vérifier la condition de passage E (x = 0, t ) = 0 . #» Il existe une onde réfléchie, se propageant selon − e x dans le demi-espace x < 0. La superposition de l’onde incidente et de l’onde réfléchie conduit à une onde stationnaire : 1PMBSJTBUJPO SFDUJMJHOF #» #» #» E (M , t ) = 2E 0i sin(ωt ) sin(kx) #» ey Le champ E (M , t ) garde une direction constante au cours du temps. B (M , t ) = 2E 0i cos(ωt ) cos(kx) #» ez c #» ! Les deux composantes du champ E dans le plan de polarisation sont en phase ou en opposition de phase. #» 1PMBSJTBUJPO DJSDVMBJSF E #» La polarisation est dite circulaire gauche ou circulaire droite si l’extrémité du E décrit un cercle dans le sens trigonométrique ou dans le sens horaire. y #» ! Les deux composantes du champ E dans le plan de polarisation sont en quadrature. #» B #» nœud de E #» ventre de B ²UBUT EF CBTF EF QPMBSJTBUJPO z sées rectilignement, de directions de polarisation perpendiculaires entre elles. ! Toute onde plane progressive monochromatique peut se décomposer en deux ondes polarisées circulairement, l’une droite et l’autre gauche. 3 14* +BDBN & 4BVESBJT 14* +BDBN & 4BVESBJT ! Toute onde plane progressive monochromatique peut se décomposer en deux ondes polari- x ! Les champs électrique et magnétique sont en quadrature spatiale et temporelle. ! L’onde incidente donne naissance à des courants surfaciques sur la plan conducteur ; ces courants sont sources de l’onde réfléchie dans le demi-espace x < 0, et d’une onde qui s’oppose à l’onde incidente dans le demi-espace x > 0. 4