Effet Hall

Effet Hall
Matthieu Schaller et Xavier Buffat
matthieu.schaller@epfl.ch
xavier.buffat@epfl.ch
7 d´ecembre 2007
Table des mati`eres
1 Introduction 2
2 Partie th´eorique 2
2.1 Densit´e de courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.2 EffetHall ............................. 3
3 M´ethode 4
3.1 Etalonnage ............................ 4
3.2 Mesure............................... 5
4 R´esultats 6
4.1 Etalonnage du champ magn´etique . . . . . . . . . . . . . . . 6
4.2 Semiconducteur InP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4.2.1 Les 8 configurations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4.2.2 Tension r´esiduelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4.2.3 Mesures avec champ magn´etique . . . . . . . . . . . . 8
4.3 Plaquette de Bismuth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.4 Plaquette d’argent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5 Discussion 10
6 Conclusion 11
1

1 INTRODUCTION 2
1 Introduction
Lorsqu’une charge se d´eplace dans un champ magn´etique, elle subit une
force appel´ee force de Lorentz. Si on applique un champ magn´etique sur
un conducteur dans lequel circule un courant ´electrique, chaqu’une des par-
ticules de courant subit cette force et est donc d´evi´ee. Cette effet `a pour
cons´equence l’apparition d’une tension entre les bords parall`eles au courant
appel´ee tension de Hall. Les applications qui font appel `a cet effet son nom-
breux, on note par exemple la mesure du champ magn´etique et les capteurs
de position `a distance `a effet Hall. L’effet ´etant particuli`erement marqu´e
dans les semi-conducteurs, on s’interesse particuli`erement `a la mesure du
coefficients de Hall de l’inidium phosphide dop´e au silicium. On s’interes-
sera aussi aux m´etaux tel que le bismuth et l’argent.
2 Partie th´eorique
2.1 Densit´e de courant
Fig. 1: Sch´ema de l’´echantillon ´etudi´e
On consid`ere un conducteur qui contient Nparticules libres de masse
met portent une charge qpar unit´e de volume. Sa conductivit´e est donn´ee
par σ=qNµ, ou µ=qτ/m est la mobilit´e des charges. Lorsqu’on le soumet
`a un champ ´electrique −→ E, les charges se d´eplacent et subissent une force
de frottement due aux autres particules dans le mat´eriaux. On place se
conducteur dans un champ magn´etique −→ B, les particules subissent alors force
de Lorentz. La loi de Newton appliqu´ee `a une particule permet d’´ecrire :
md
dt
−→
v=q−→ E+q−→ v×−→ B−m
τ
−→
v(1)

2 PARTIE TH ´ EORIQUE 3
Ou τcorrespond au temps de relaxation, si les contraites sont supprim´ees
brusquement. Ce coefficient varie en fonction du mat´eriaux et de la temp´erature,
`a temp´erature ambiante il est de l’ordre de 10−14, 10−15. Lorsqu’un r´egime
stationnaire est ´etablit, la vitesse est fix´ee `a −→ vd, on a donc :
d
dt
−→
v= 0 ⇒−→ vd=qτ
m
−→
E+qτ
m(−→
vd×−→ B) (2)
On consid´erent un champ magn´etique selon l’axe z, on a alors :
v1
v2
v3
=qτ
m
Ex
Ey
Ez
+qτ
m
v1
v2
v3
×
0
0
B
(3)
On a imm´ediatement v3=qτEz/m. En consid´erant les ´equations sur les
axes xet y, on obtient un syst`eme d’´equations, dont la solution est donn´ee
par : 
v1=qτ
m
Ex+qτ
mEy
1+(qτ
m)2
v2=qτ
m
Ey −
qτ
mEx
1+(qτ
m)2
(4)
On en d´eduit alors la densit´e de courant −→ j=qN−→ vd. On pose σ=q2Nτ/m
la conductivit´e ´electrique et ω=qBz/m la fr´equence cyclotron, on obtient
alors :
jx=σEx+ωτEy
1 + ω2τ2jy=σEy−ωτEx 1 + ω2τ2jz=σEz(5)
On observe que la densit´e de courant n’est pas n´ecessairement parall`ele au
champ ´electrique. Supposons que l’´echantillon est un semiconducteurs, le
courant est souvent compos´e de deux particules ayant chacunes leur charge
et leur densit´e volumique. On pose alors :
σ=σ1+σ2=q1N1µ1+q2N2µ2
−→
j=−→ j1+−→ j2
(6)
Afin de calculer la densit´e du courant dans un semiconducteur, on peut
ins´erer ses ´equations dans l’´equation 5. On peut simplifier le calcul en
n´egligeant le terme (ωτ)2devant 1. En effet, τest d’ordre 10−15 et la
fr´equence cyclotron de l’ordre de 10−3. On obtient alors :
jx=σEx+σωτ Ey=σEx+ (σ1µ1+σ2µ2)BEy
jy=σEy+σωτ Ex=σEy−(σ1µ1+σ2µ2)BEx
(7)
2.2 Effet Hall
Ainsi, les charges sont d´evi´ees vers une des surfaces lat´erales. Cela cr´e un
d´esequilibre des charges dans l’´echantillon, qui fait apparaitre une tension
qui s’oppose `a la d´eviation des charges, cette tension est la tension de Hall.

3 M ´ ETHODE 4
`
A l’´equilibre, cette tension s’´egalise avec Ey, de fa¸con `a ´eliminer la d´eviation
sur y, on peut donc ´ecrire jy= 0. La deuxi`eme ´equation 7 devient alors :
Ey=σ1µ1+σ2µ2
σBEx(8)
En rempla¸cant cette valeure dans la premi`ere ´equation 7, on obtient :
jx= 1 + σ1µ1+σ2µ2
σB2!σEx(9)
Le terme mis au carr´e peut ˆetre n´eglig´e devant 1, car, en r`egle g´en´erale, les
coefficients σsont de mˆeme ordre, la fraction est donc de l’ordre des µ. Or on
a vu que les µsont tr`es petits, car il d´ependent de τ, le champ magn´etique
´etant faible devant cela, ce terme est petit. L’´equation 9 s’´ecrit alors :
jx=σEx(10)
Le courant qui passe `a travers l’´echantillon n’est donc presque pas perturb´e
par la pr´esence du champ magn´etique. Puisque la champ de Hall, EH, est
´egal `a Ey, on obtient sa valeur en utilisant la relation 10.
EH=σ1µ1+σ2µ2
σ1+σ2
Ex·B=σ1µ1+σ2µ2
(σ1+σ2)2jx·B(11)
On peut mener le mˆeme raisonement en consid´erant un conducteur ne com-
portant qu’un seul porteur de charge, un m´etal par exemple, `a partir de
l’´equation 5. On obtient alors :
EH=1
qN jx·B(12)
3 M´ethode
3.1 Etalonnage
Le champ magn´etique dans le laboratoire n’est en g´en´eral pas nul, il est
donc n´ecessaire d’en tenir compte, on utilise un teslam`etre pour mesurer sa
valeur proche de la manipulation.
L’utilisation de l’´electroaimant n´ecessite la prise de quelques pr´ecautions,
notamment en se qui concerne son domain d’utilisation. L’effet magn´etique
du noyau est du `a ces dipoles magn´etiques, le champ des bobines force les
dipoles `a s’aligner avec le champ et par consc´equent le champ magn´etique
dans l’entrefer d´epend du champ magn´etique dans le bobine, qui est un
fonction du courant. On peut donc mesurer le champ magn´etique dans l’en-
trefer en fonction du courant dans les bobines. Il existe un domaine dans
lequel cette fonction est lin´eaire, on peut donc mesurer le facteur de propor-
tionnalit´e entre le courant est le champ dans se domaine. Lorsque le champ

3 M ´ ETHODE 5
Fig. 2: Sch´ema du montage d’un echantillon conducteur
magn´etique dans les bobines est tr`es intense, la totalit´e des dipole du noyau
sont align´es avec le champ, le champ dans l’entrefer atteint donc le maxi-
mum de son intensit´e. On ne peut donc pas utiliser le montage en dehors
des limites d´etermin´ees.
L’´etalonnage permet de tenir compte d’un autre facteur important qu’est
l’hyst´er`ese magn´etique. Lorsque le noyau est soumis `a un champ, les di-
poles s’orientent en fonction du champ, cette orientation est partiellement
conserv´ee lorsque le champ est retir´e. Par conc´equent, pour un mˆeme cou-
rant, l’intensit´e du champ magn´etique est diff´erente selon que lon y arrive
par une valeure sup´erieure ou inf´erieure.
3.2 Mesure
On place un ´electroaimant compos´e de deux bobines parall`ele avec un
noyau magn´etique dont l’entrefer ´etant disops´e selon la figure 1, de fa¸con
`a cr´eer un champ −→ B`a travers un ´echantillon. On consid`ere deux types
d’´echantillon, conducteur et semiconducteur. Les semiconducteurs r´eagissent
de fa¸con tr`es prononc´ee au champ magn´etique, on effectue un simple mon-
tage `a quatre fils, deux fils prennent la tension sur l’axe y, les deux autres
am`enent un courant `a travers l’´echantillon(fig. 4). Dans le cas des conduc-
teurs, il faut prendre des pr´ecautions car les effets ohmiques dans le m´etal
sont du m`eme ordre de grandeur que l’effet de Hall. On effectue alors le
montage de la figure 2. Ce montage permet de r`egler la la r´esistance sans
avoir `a se pr´eoccuper de l’allignement des soudures. En effet, avec un mon-
tage tel que r´ealis´e pour le semiconducteur, lorsque les deux soudures ne
sont pas align´ee, on observe une diff´erence de tension UOhm qui parasite la
mesure. En r´eglant la r´esistance correctement, on peut mesurer pr´ecisement
la diff´erence entre deux points oppos´e, qui correspond `a la tension de Hall.
Pour se faire, on r`egle la r´esistance afin que la tension mesur´ee soit nulle avec
un courant d´efinit, lorsque le champ magn´etique est nul. Ainsi, les mesures