Effet Hall
publicité
Effet Hall Matthieu Schaller et Xavier Buffat [email protected] [email protected] 7 décembre 2007 Table des matières 1 Introduction 2 2 Partie théorique 2.1 Densité de courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Effet Hall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 3 3 Méthode 3.1 Etalonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4 5 4 Résultats 4.1 Etalonnage du champ magnétique . . . 4.2 Semiconducteur InP . . . . . . . . . . . 4.2.1 Les 8 configurations . . . . . . . 4.2.2 Tension résiduelle . . . . . . . . . 4.2.3 Mesures avec champ magnétique 4.3 Plaquette de Bismuth . . . . . . . . . . 4.4 Plaquette d’argent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 6 7 7 8 8 9 10 5 Discussion 10 6 Conclusion 11 1 1 INTRODUCTION 1 2 Introduction Lorsqu’une charge se déplace dans un champ magnétique, elle subit une force appelée force de Lorentz. Si on applique un champ magnétique sur un conducteur dans lequel circule un courant électrique, chaqu’une des particules de courant subit cette force et est donc déviée. Cette effet à pour conséquence l’apparition d’une tension entre les bords parallèles au courant appelée tension de Hall. Les applications qui font appel à cet effet son nombreux, on note par exemple la mesure du champ magnétique et les capteurs de position à distance à effet Hall. L’effet étant particulièrement marqué dans les semi-conducteurs, on s’interesse particulièrement à la mesure du coefficients de Hall de l’inidium phosphide dopé au silicium. On s’interessera aussi aux métaux tel que le bismuth et l’argent. 2 2.1 Partie théorique Densité de courant Fig. 1: Schéma de l’échantillon étudié On considère un conducteur qui contient N particules libres de masse m et portent une charge q par unité de volume. Sa conductivité est donnée par σ = qN µ, ou µ = qτ /m est la mobilité des charges. Lorsqu’on le soumet → − à un champ électrique E , les charges se déplacent et subissent une force de frottement due aux autres particules dans le matériaux. On place se → − conducteur dans un champ magnétique B , les particules subissent alors force de Lorentz. La loi de Newton appliquée à une particule permet d’écrire : m → − → − m− d→ − − v = q E + q→ v ×B− → v dt τ (1) 2 PARTIE THÉORIQUE 3 Ou τ correspond au temps de relaxation, si les contraites sont supprimées brusquement. Ce coefficient varie en fonction du matériaux et de la température, à température ambiante il est de l’ordre de 10−14 , 10−15 . Lorsqu’un régime − stationnaire est établit, la vitesse est fixée à → vd , on a donc : − → − d→ qτ − qτ → − − v =0⇒→ vd= E + (→ v d × B) dt m m On considérent un champ magnétique selon l’axe z, on a alors : 0 v1 Ex v1 v2 = qτ Ey + qτ v2 × 0 m m B v3 Ez v3 (2) (3) On a immédiatement v3 = qτ Ez /m. En considérant les équations sur les axes x et y, on obtient un système d’équations, dont la solution est donnée par : Ex + qτ E m y v1 = qτ m 1+( qτ )2 m (4) E Ey − qτ m x v2 = qτ m 1+( qτ )2 m → − − On en déduit alors la densité de courant j = qN → v . On pose σ = q 2 N τ /m d la conductivité électrique et ω = qBz /m la fréquence cyclotron, on obtient alors : Ex + ωτ Ey Ey − ωτ Ex jx = σ jy = σ jz = σEz (5) 2 2 1+ω τ 1 + ω2τ 2 On observe que la densité de courant n’est pas nécessairement parallèle au champ électrique. Supposons que l’échantillon est un semiconducteurs, le courant est souvent composé de deux particules ayant chacunes leur charge et leur densité volumique. On pose alors : σ = σ1 + σ2 = q1 N1 µ1 + q2 N2 µ2 → − → − → − j = j1 + j2 (6) Afin de calculer la densité du courant dans un semiconducteur, on peut insérer ses équations dans l’équation 5. On peut simplifier le calcul en négligeant le terme (ωτ )2 devant 1. En effet, τ est d’ordre 10−15 et la fréquence cyclotron de l’ordre de 10−3 . On obtient alors : jx = σEx + σωτ Ey = σEx + (σ1 µ1 + σ2 µ2 )BEy jy = σEy + σωτ Ex = σEy − (σ1 µ1 + σ2 µ2 )BEx 2.2 (7) Effet Hall Ainsi, les charges sont déviées vers une des surfaces latérales. Cela cré un désequilibre des charges dans l’échantillon, qui fait apparaitre une tension qui s’oppose à la déviation des charges, cette tension est la tension de Hall. 3 MÉTHODE 4 À l’équilibre, cette tension s’égalise avec Ey , de façon à éliminer la déviation sur y, on peut donc écrire jy = 0. La deuxième équation 7 devient alors : Ey = σ1 µ1 + σ2 µ2 BEx σ En remplaçant cette valeure dans la première équation 7, on obtient : 2 ! σ1 µ1 + σ2 µ2 jx = 1 + B σEx σ (8) (9) Le terme mis au carré peut être négligé devant 1, car, en règle générale, les coefficients σ sont de même ordre, la fraction est donc de l’ordre des µ. Or on a vu que les µ sont très petits, car il dépendent de τ , le champ magnétique étant faible devant cela, ce terme est petit. L’équation 9 s’écrit alors : jx = σEx (10) Le courant qui passe à travers l’échantillon n’est donc presque pas perturbé par la présence du champ magnétique. Puisque la champ de Hall, EH , est égal à Ey , on obtient sa valeur en utilisant la relation 10. EH = σ1 µ1 + σ2 µ2 σ 1 µ 1 + σ 2 µ2 Ex · B = jx · B σ1 + σ2 (σ1 + σ2 )2 (11) On peut mener le même raisonement en considérant un conducteur ne comportant qu’un seul porteur de charge, un métal par exemple, à partir de l’équation 5. On obtient alors : EH = 3 3.1 1 jx · B qN (12) Méthode Etalonnage Le champ magnétique dans le laboratoire n’est en général pas nul, il est donc nécessaire d’en tenir compte, on utilise un teslamètre pour mesurer sa valeur proche de la manipulation. L’utilisation de l’électroaimant nécessite la prise de quelques précautions, notamment en se qui concerne son domain d’utilisation. L’effet magnétique du noyau est du à ces dipoles magnétiques, le champ des bobines force les dipoles à s’aligner avec le champ et par conscéquent le champ magnétique dans l’entrefer dépend du champ magnétique dans le bobine, qui est un fonction du courant. On peut donc mesurer le champ magnétique dans l’entrefer en fonction du courant dans les bobines. Il existe un domaine dans lequel cette fonction est linéaire, on peut donc mesurer le facteur de proportionnalité entre le courant est le champ dans se domaine. Lorsque le champ 3 MÉTHODE 5 Fig. 2: Schéma du montage d’un echantillon conducteur magnétique dans les bobines est très intense, la totalité des dipole du noyau sont alignés avec le champ, le champ dans l’entrefer atteint donc le maximum de son intensité. On ne peut donc pas utiliser le montage en dehors des limites déterminées. L’étalonnage permet de tenir compte d’un autre facteur important qu’est l’hystérèse magnétique. Lorsque le noyau est soumis à un champ, les dipoles s’orientent en fonction du champ, cette orientation est partiellement conservée lorsque le champ est retiré. Par concéquent, pour un même courant, l’intensité du champ magnétique est différente selon que lon y arrive par une valeure supérieure ou inférieure. 3.2 Mesure On place un électroaimant composé de deux bobines parallèle avec un noyau magnétique dont l’entrefer étant disopsé selon la figure 1, de façon → − à créer un champ B à travers un échantillon. On considère deux types d’échantillon, conducteur et semiconducteur. Les semiconducteurs réagissent de façon très prononcée au champ magnétique, on effectue un simple montage à quatre fils, deux fils prennent la tension sur l’axe y, les deux autres amènent un courant à travers l’échantillon(fig. 4). Dans le cas des conducteurs, il faut prendre des précautions car les effets ohmiques dans le métal sont du mème ordre de grandeur que l’effet de Hall. On effectue alors le montage de la figure 2. Ce montage permet de règler la la résistance sans avoir à se préoccuper de l’allignement des soudures. En effet, avec un montage tel que réalisé pour le semiconducteur, lorsque les deux soudures ne sont pas alignée, on observe une différence de tension UOhm qui parasite la mesure. En réglant la résistance correctement, on peut mesurer précisement la différence entre deux points opposé, qui correspond à la tension de Hall. Pour se faire, on règle la résistance afin que la tension mesurée soit nulle avec un courant définit, lorsque le champ magnétique est nul. Ainsi, les mesures 4 RÉSULTATS 6 effectuées avec le courant définit et la résistance règlée donne effectivement la tension de Hall. 4 4.1 Résultats Etalonnage du champ magnétique Afin d’obtenir des valeurs le plus coreectes possibles, nous avons commencé par étalonner le teslamètre. En maintenant l’appareil loin de toute source de courant ou de tout champ magnétique, nous observons une valeur d’environ 2 mT . Cette valeur est bien plus élevée que la valeur du champ magnétique terrestre (environ 50 µT ). Il y a donc des champs magnétiques parasites dans la pièce. Ceux-ci étant certainement dûs aux câbles électriques circulant dans les murs ainsi qu’aux installation générant des ondes (wi-fi, radio,...). Il faudra donc tenir compte de ce petit offset dans nos mesures. Pour observer la dépendance du champ magnétique à l’intensité du courant, nous avons décidé de parcourir une plage de courants allant de −5 A à +5 A. (Le signe négatif a été choisi de telle sorte que le champ magnétique mesuré par le teslamètre soit du même signe que le courant). Cependant, pour pouvoir observer les phénomènes d’hystérèse, il faut parcourir la plage de valeurs dans les 2 sens. Pour ce faire, nous sommes parti de 0, sommes descendu à −5 A puis monté à +5 A et enfin retourné à 0. Les valeurs obtenues sont représentées sur le graphique 3. Fig. 3: Champ magnétique en fonction du courant On voit nettement sur ce graphique que les courbes s’aplatissent aux environs de −5 A et 5 A. Ce sont les effets de saturation. Les dipôles élémentaires situés dans les barreaux de fer sont alors presque tous alignés 4 RÉSULTATS 7 sur le champ magnétique. Ce dernier ne peut alors plus augmenter et la valeur stagne aux environs de 300 mT (respectivement −300 mT ). On observe également que les 2 courbes sont légèrement décalées. Le champ magnétique ne revient pas exactement à 0 quand on coupe le courant dans les bobines. Ceci s’apelle le phénomène de rémanence. Certains dipôles sont encore alignés alors que le champ magnétique onduit par les bobines est coupé. Il en résulte un petit champ magnétique positif ou négatif selon le coté d’où l’on vient (i.e. si l’on vient d’un courant positif ou négatif). On a ainsi un petit phénomène d’hystérésis aux alentours du 0 dont il faudra tenir compte. La plage utile que nous allons utiliser se situe entre −2 et +2 A, puisque la courbe est presque droite dans cette zone. Si l’on essaye d’obtenir une valeur moyenne pour la pente de la courbe sur cette zone, on trouve une valeur approximative de : γ = 8.57 ± 0.77 · 10−2 T /A (13) L’incertitude sur la valeur est d’environ 9%, ce qui est encore acceptable au vu des conditions de mesure et de l’hystérèse qui crée une erreur sur chaque mesure proche de 0 A. C’est cette valeur qui sera utilisée dans la suite du travail pour déterminer le champ magnétique entre les deux fers. 4.2 Semiconducteur InP Le semiconducteur InP (Indium - Phosphore) dopé au Si (Silicium) est un semiconducteur de type n. C’est-à-dire, qu’il possède des charges négatives libres, des électrons, dans sa structure cristalline. 4.2.1 Les 8 configurations L’échantillon que nous avons utilisé était en forme de croix (figure 4), ce qui permet de tester plusieurs configurations selon que l’on passe le courant dans une branche ou dans l’autre. En faisant ensuite varier le sens du courant et du champ magnétique, on obtient ainsi 8 configurations différentes qui devraient théoriquement toutes mené à la même valeur de la constante de Hall de ce matériaux. Les 4 configurations sont représentées dans le tableau suivant : Bornes pour la mesure de tension 1 et 3 1 et 3 2 et 4 2 et 4 Sens du courant 2→4 4→2 1→3 3→1 Nom I24 V13 I42 V13 I13 V24 I31 V24 Fig. 5: Configurations différentes pour le semiconducteur InP 4 RÉSULTATS 8 Fig. 4: Echantillon de InP avec ses bornes numérotées (ici en configuration I13 V24 On obtient alors les 8 configurations en faisant varier le courant dans les bobines de −2 à +2 A. Le courant à travers l’échantillon est fixé à Ie = 1 mA et son épaisseur était de a = 2 µm. 4.2.2 Tension résiduelle Si l’on fait passer un courant de 1 mA à travers l’échanttillon en absence de tout champ magnétique (hormis l’offset), on observe une petite tension aux bornes. C’est une petite tension résiduelle qu’il faudra soustraire aux valeurs obtenues dans la suite. Les valeurs obtenues en fonction des configurations sont résumées dans le tableau suivant. Configuration I24 V13 I42 V13 I13 V24 I31 V24 Tension résiduelle 26.77 mV −26.78 mV 30.98 mV −30.98 mV Fig. 6: Tensions résiduelles pour le semiconducteur InP Il faudra donc soustraire ces valeurs à nos mesures pour obtenir la tension induite par l’effet Hall uniquement. 4.2.3 Mesures avec champ magnétique Nous avons effectué pour chacune des configurations des mesures avec une intensité de courant allant de −2 à +2 A par pas de 0.2. Nous avons 4 RÉSULTATS 9 ensuite utilisé la relation RH = VH a Ie γIb (14) où VH est la tensions mesurée, Ie le courant dans l’échantillon (1 mA), a son épaisseur, γ le coefficient calculé plus haut (équation 3) et Ib le courant dans les bobines. Nous avons ensuite pris la valeur moyenne pour chaque configuration. Les résultats sont présentés dans le tableau suivant. Configuration I24 V13 I42 V13 I13 V24 I31 V24 Constante de Hall 1.231 · 10−3 ± 0.12 · 10−3 1.258 · 10−3 ± 0.35 · 10−3 1.251 · 10−3 ± 0.20 · 10−3 1.244 · 10−3 ± 0.14 · 10−3 m3 C −1 m3 C −1 m3 C −1 m3 C −1 Fig. 7: Constante de Hall du InP pour chaque configuration On remarque que dans les 3 cas, on obtient une valeur quasiment identique. Ce qui correspond parfaitement à la théorie. De plus les valeurs varient peu dans une seule configuration puisque l’écart-type maximal est d’environ 28%. On peut donc raisonnablement pensé que la valeur obtenue dans ces 4 configurations est la même et prendre la moyenne de toutes les mesures comme valeur de la constante de Hall. Cette valeur est de : RH = 1.247 · 10−3 ± 0.22 · 10−3 m3 C −1 (15) Comme nous ne connaissons pas la valeur exacte de la cnstante pour ce matériaux, il nous est impossible d’estimer l’erreur faite. Ceci sera discuté plus en profondeur dans la partie discussion. 4.3 Plaquette de Bismuth Le deuxième échantillon que nous avons testé est une plaquette de Bismuth d’une épaisseur a = 3 mm. Il n’y a vait cette fois que 4 configurations à tester correspondant aux 2 sens du courant et aux deux directions du champ magnétique. Après avoir calibré coorectement le potentiomètre pour avoir une tension nulle si le champ magnétique est nul, nous avons effectué la même série de mesures que précédemment. Le courant qui traverse la plquette de Bismuth est de 1 A Les résultats repectifs de chaque série de mesures sont résumés dans le tableau suivant. Configuration Courant négatif Courant positif Constante de Hall −3.31 · 10−7 ± 0.33 · 10−7 m3 C −1 −3.36 · 10−7 ± 0.28 · 10−7 m3 C −1 Fig. 8: Constante de Hall du Bismuth pour chaque configuration 5 DISCUSSION 10 On remarque à nouveau quel ves valeurs sont semblables dans les 2 cas. Il est donc résonnable de prendre la moyenne de toutes les mesures comme valeur de la constante de Hall. La constante de Hall du Bismuth est ainsi de RH = −3.33 · 10−7 ± 0.29 · 10−7 m3 C −1 (16) La valeur généralement admise pour cette constante est de −5.4·10−7 m3 C −1 . Cette valeur se situe en-dehors de notre plage de valeur. L’ordre de grandeur est cependant correct. 4.4 Plaquette d’argent La dernière mesure que nous avons effectuée est celle de la constante de Hall de l’argent. Pour ce faire, nous avons utiliser une plaquette d’argent d’épaisseur 0.05 mm. Nous avons commencé par étalonner le potentiomètre pour éliminer la chute de tension dûe à la résistance du métal. Malheureusement, nous n’avons pas obtenu de résultats exploitables. Quelque soit le champ magnétique passant à travers l’échantillon, nous avons obtenu des valeurs de tension variant de −0.001 mV à −0.001 mV avec des fluctuations très importante même si tous les autres paramètres restaient constants. Il nous aurait fallu un voltmètre de plus grande précision pour avoir des résultats exploitables. En effet, la constante de Hall de l’argent est de −0.85 · 10−10 . Ce qui donne une valeur de la tension de Hall de 1.7µV si l’on prend un courant de 1 A et un champ magnétique de 0.15 T . Cette valeur est plus basse que le seuil minimal de notre voltmètre ; ce qui explique notre échec dans la tentative de mesure de cette valeur. 5 Discussion De manière générale, nos résultats sont assez bon, dans le sens où nous avons pû observer que la constante de Hall était bien constante pour un matériaux donné. La valeur obtenue pour le bismuth est de plus relativement proche de la valeur officielement retenue. La précision des mesures a pû être obtenue grâce à des instruments précis. En effet, chaque appareil a une incertitude propre de moins de 1%, ce qui donne en les propageant, une incertitude sur la mesure de environ 15%, ce qui est mieux que l’écart-type obtenu par la statistique. Cela justifie donc le fait de prendre la moyenne des mesures comme résultat de l’expérience. La plus grosse incertitude vient de la valeur du coefficient reliant le courant dans les bobines aux champ magnétique généré. Ceci est dû à l’hystŕèse qui péjore la qualité des mesures autour de 0 A. Pour améliorer la qualité de nos mesures, c’est ce coefficiant qu’il faudrait rendre meilleur. Pour ce faire, on pourrait par exemple utiliser un champ magnétique généré directement par les bobines et pas par le morceaux de métal placé au centre. La valeur du 6 CONCLUSION 11 champ serait certainement plus faible, mais elle serait beaucoup plus précise. Pour observer l’effet Hall sur un plus grand nombre de matériaux, il faudrait utiliser un voltmètre de plus grande précision ou un micro-voltmètre. En effet, les tensions mesurées sont très faible, presque aussi faible que le bruit ambiant, ce qui ne permet pas une mesure très précise des tensions de Hall. Ceci se ressent surtout pour l’argent, puisque nous n’avons pas pu obtenir de valeur à cause de ce bruit ambiant. Une autre cause d’incertitude provient de la non uniformité du champ magnétique. On n’est pas sûr que le champ magnétique soit réelement constant au cours du temps et surtout, uniformément réparti sur la plaquette. Ceci a pour conséquence une valeur erronée du champ et donc de la mesure de la constante de Hall. Cet effet est certainement minime, mais il faudrait en tenir compte pour réaliser une mesure plus fine de ces constantes. Le même raisonnement peut être tenu pour le courant à travers la plaque. Il n’est pas forcément équitablement réparti sur toute la largeur de cette dernière, ce qui implique une mauvaise valeur de Ie et don à nouveau une imprécsion sur la mesure finale de RH . En ce qui concerne la plaquette de semi-conducteur InP, il nous est impossible d’estimer notre erreur, puisque nous ne connaissons pas la valeur tabulée de cette constante. On peut cependant remarquer les choses suivantes : – InP est un semi-conducteur de type n sa constante de Hall doit donc être positive. – Pour la même raison, la valeur de cette constante doit être beaucoup plus élevée que pour les métaux (en valeur absolue). Ces 2 points ont été vérifiés, il est donc légitime de considérer notre valeur comme correcte. Ceci peut encore être corroboré par le fait que la mesure du Bi a amené à une valeur correcte. Nos mesures sont donc correctes dans l’ensemble. 6 Conclusion Nos mesures ont permi de vérifier la validité de la théorie puisque une chute de tension a bien été observée dans les différents matériaux testés. Cependant l’absence de tabulation des valeurs ne nous a pas permi de vérifier la validité quantitative de nos mesures, sauf dans le cas du bismuth. Une amélioration de la précision du voltmètre aurait permi d’aller plus loin dans nos mesures, en particulier pour celle de l’argent.
