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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 28 décembre 2016 Enoncés 3
(b) Donner en fonction de α > 0, la nature de la série
XZπ
0
dt
1+(nπ)αsin2(t)
(c) Même question pour
XZ(n+1)π
nπ
dt
1+tαsin2(t)
(d) Donner la nature de l’intégrale
Z+∞
0
dt
1+tαsin2(t)
Intégrabilité et comportement asymptotique
Exercice 18 [ 00662 ] [Correction]
Soit f: [0 ; +∞[→Rde classe C1telles que fet f0sont intégrables sur [0 ; +∞[.
Montrer que ftend vers 0 en +∞.
Exercice 19 [ 03440 ] [Correction]
Soit f: [0 ; +∞[→Rde classe C1.
On suppose que f2et f02sont intégrables. Déterminer la limite de fen +∞.
Exercice 20 [ 03231 ] [Correction]
Soit f: [0 ; +∞[→Rune fonction continue par morceaux.
On suppose que fest intégrable. Montrer
Zx+1
x
f(t) dt−→
x→+∞0
Exercice 21 [ 00663 ] [Correction]
Soit f:R+→Rune fonction continue, décroissante et intégrable sur R+.
(a) Montrer que ftend vers zéro en +∞.
(b) Montrer que x f (x) tend vers zéro quand x→+∞
(c) Si on supprime l’hypothèse décroissante, déterminer un exemple de fonction f
continue et intégrable sur R+telle que fne tend pas vers zéro en +∞.
Exercice 22 [ 03232 ] [Correction]
Soit f: [0 ; +∞[→Rune fonction continue par morceaux et décroissante.
On suppose que fest intégrable. Montrer
x f (x)−→
x→+∞0
Exercice 23 [ 03238 ] [Correction]
Soit f: [0 ; +∞[→Rcontinue par morceaux et intégrable.
Montrer qu’il existe une suite (xn) de réels positifs vérifiant
xn→+∞et xnf(xn)→0
Exercice 24 [ 02829 ] [Correction]
Donner un exemple de f∈ C0(R+,R+) intégrable et non bornée.
Exercice 25 [ 00572 ] [Correction]
Soit f∈ C2([0 ; +∞[,R). On suppose que fet f00 sont intégrables.
(a) Montrer que f0(x)→0 quand x→+∞.
(b) Montrer que f.f0est intégrable.
Exercice 26 [ 03901 ] [Correction]
Soit f: [0 ; +∞[→Rune fonction continue de carré intégrable. Montrer
Zx
0
f(t) dt=
x→+∞o√x
Exercice 27 [ 00693 ] [Correction]
Soit g:R+→Rcontinue et intégrable.
(a) Justifier
∀ε > 0,∃M∈R,Z+∞
0g(t)dt−ZM
0g(t)dt≤ε
(b) En déduire que toute primitive de gest uniformément continue.
Calcul d’intégrales
Exercice 28 [ 00666 ] [Correction]
Calculer les intégrales suivantes :
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