Intégration sur un intervalle quelconque

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Intégration sur un intervalle quelconque
Intégrabilité
Exercice 1 [ 00657 ] [Correction]
Étudier l’existence des intégrales suivantes :
(a) R1
0
dt
(1−t)√t
(b) R+∞
0ln(t) e−tdt
(c) R+∞
0
ln t
t2+1dt
(d) R+∞
0
ln1+t
t3/2dt
(e) R+∞
−∞
ln(1+t2)
1+t2dt
(f) R+∞
0sin1
t2dt
Exercice 2 [ 02349 ] [Correction]
Étudier l’existence des intégrales suivantes :
(a) R+∞
0
te−√t
1+t2dt
(b) R1
0
ln t
√(1−t)3dt
(c) R+∞
0
dt
et−1
(d) R+∞
0e−(ln t)2dt
(e) R+∞
0e−tarctan tdt
(f) R+∞
0t+2−√t2+4t+1 dt
Exercice 3 [ 03385 ] [Correction]
(a) Étudier l’intégrabilité sur ]1 ; +∞[ de
f(x)=√ln x
(x−1) √x
(b) Montrer Z3
2
f(x) dx≤ln 3
2
Exercice 4 [ 03221 ] [Correction]
Étudier l’existence de Z+∞
0
ln(th t) dt
Exercice 5 [ 00661 ] [Correction]
Montrer que les fonctions t7→ sin tet t7→ sin t
tne sont pas intégrables sur [0 ; +∞[.
Exercice 6 [ 00183 ] [Correction]
Étudier l’intégrabilité en 0 de
f:x7→ Zx
1
et
tdt
Exercice 7 [ 03206 ] [Correction]
Soit f: [1 ; +∞[→Rcontinue vérifiant
∀x,a≥1,0≤f(x)≤a
x2+1 a2
La fonction fest-elle intégrable sur [1 ; +∞[ ?
Exercice 8 [ 03441 ] [Correction]
Soit f: [0 ; +∞[→Rune fonction continue, positive et décroissante.
On pose g: [0 ; +∞[→Rdonnée par
g(x)=f(x) sin x
Montrer que les intégrabilités de fet de gsont équivalentes.
Exercice 9 [ 03627 ] [Correction]
Soit f: [0 ; +∞[→Rcontinue et positive. On suppose
f(x+1)
f(x)−→
x→+∞`∈[0 ; 1[
Déterminer la nature de R+∞
0f(t) dt.
Exercice 10 [ 03442 ] [Correction]
Soit f: [0 ; 1] →Rdonnée par
f(x)=x2cos 1/x2si x∈]0 ; 1] et f(0) =0
Montrer que fest dérivable sur [0 ; 1] mais que sa dérivée f0n’est pas intégrable sur
]0 ; 1].
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Exercice 11 [ 01770 ] [Correction]
Soit gdéfinie sur R∗
+par
g(x)=1
xZx
0
f(t) dt
où fest continue, de carré intégrable sur R+.
(a) Étudier le prolongement par continuité de gen 0.
(b) Exprimer g0(x) en fonction de f(x) et de g(x) pour x>0.
(c) Pour 0 <a<b, montrer que
Zb
a
g2(t) dt=2Zb
a
f(t)g(t) dt+ag2(a)−bg2(b)
puis montrer que
sZb
a
g2(t) dt≤sZ+∞
0
f2(t) dt+sag2(a)+Z+∞
0
f2(t) dt
(d) Étudier la nature de Z+∞
0
g2(t) dt
Exercice 12 [ 03753 ] [Correction]
[Inégalité de Hardy] Soit f: [0 ; +∞[→Rcontinue et de carré intégrable. Pour x>0, on
pose
g(x)=1
xZx
0
f(t) dt
(a) Montrer que g2est intégrable sur ]0 ; +∞[ et que
Z+∞
0
g2(t) dt≤4Z+∞
0
f2(t) dt
(b) Montrer que f g est intégrable et
Z+∞
0
g2(t) dt=2Z+∞
0
f(t)g(t) dt
Exercice 13 [ 03053 ] [Correction]
Soit f∈ C2(R,R) telle que fet f00 sont de carrés intégrables.
(a) Montrer que f0est de carré intégrable.
(b) Montrer :
ZR
f02!2 ≤ ZR f2! ZR f002!
Intégrabilité dépendant de paramètres
Exercice 14 [ 00658 ] [Correction]
Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur les paramètres réels aet bpour que
les intégrales suivantes existent :
(a) R+∞
1
dt
ta(t−1)b(b) R+∞
0
ta
1+tbdt(c) R+∞
0
tae−t
1+tbdt
Exercice 15 [ 00659 ] [Correction]
[Intégrales de Bertrand] Pour α, β ∈Ron étudie la nature de l’intégrale
Z+∞
e
dt
tα(ln t)β
(a) On suppose α > 1. Montrer que l’intégrale étudiée converge.
(b) On suppose α=1. Calculer Zx
e
dt
t(ln t)β
et déterminer pour quels β∈Rl’intégrale étudiée converge.
(c) On suppose α < 1, en exploitant
t
tα(ln t)β−→
t→+∞
+∞
établir que l’intégrale étudiée diverge.
Exercice 16 [ 00660 ] [Correction]
Énoncer une condition nécessaire et suffisante sur α∈Rpour l’existence de
Z+∞
0
t−sin t
tαdt
Exercice 17 [ 03705 ] [Correction]
(a) adésigne un réel strictement supérieur à −1. En posant x=tan t, montrer
Zπ/2
0
dt
1+asin2(t)=π
2√1+a
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(b) Donner en fonction de α > 0, la nature de la série
XZπ
0
dt
1+(nπ)αsin2(t)
(c) Même question pour
XZ(n+1)π
nπ
dt
1+tαsin2(t)
(d) Donner la nature de l’intégrale
Z+∞
0
dt
1+tαsin2(t)
Intégrabilité et comportement asymptotique
Exercice 18 [ 00662 ] [Correction]
Soit f: [0 ; +∞[→Rde classe C1telles que fet f0sont intégrables sur [0 ; +∞[.
Montrer que ftend vers 0 en +∞.
Exercice 19 [ 03440 ] [Correction]
Soit f: [0 ; +∞[→Rde classe C1.
On suppose que f2et f02sont intégrables. Déterminer la limite de fen +∞.
Exercice 20 [ 03231 ] [Correction]
Soit f: [0 ; +∞[→Rune fonction continue par morceaux.
On suppose que fest intégrable. Montrer
Zx+1
x
f(t) dt−→
x→+∞0
Exercice 21 [ 00663 ] [Correction]
Soit f:R+→Rune fonction continue, décroissante et intégrable sur R+.
(a) Montrer que ftend vers zéro en +∞.
(b) Montrer que x f (x) tend vers zéro quand x→+∞
(c) Si on supprime l’hypothèse décroissante, déterminer un exemple de fonction f
continue et intégrable sur R+telle que fne tend pas vers zéro en +∞.
Exercice 22 [ 03232 ] [Correction]
Soit f: [0 ; +∞[→Rune fonction continue par morceaux et décroissante.
On suppose que fest intégrable. Montrer
x f (x)−→
x→+∞0
Exercice 23 [ 03238 ] [Correction]
Soit f: [0 ; +∞[→Rcontinue par morceaux et intégrable.
Montrer qu’il existe une suite (xn) de réels positifs vérifiant
xn→+∞et xnf(xn)→0
Exercice 24 [ 02829 ] [Correction]
Donner un exemple de f∈ C0(R+,R+) intégrable et non bornée.
Exercice 25 [ 00572 ] [Correction]
Soit f∈ C2([0 ; +∞[,R). On suppose que fet f00 sont intégrables.
(a) Montrer que f0(x)→0 quand x→+∞.
(b) Montrer que f.f0est intégrable.
Exercice 26 [ 03901 ] [Correction]
Soit f: [0 ; +∞[→Rune fonction continue de carré intégrable. Montrer
Zx
0
f(t) dt=
x→+∞o√x
Exercice 27 [ 00693 ] [Correction]
Soit g:R+→Rcontinue et intégrable.
(a) Justifier
∀ε > 0,∃M∈R,Z+∞
0g(t)dt−ZM 0g(t)dt≤ε
(b) En déduire que toute primitive de gest uniformément continue.
Calcul d’intégrales
Exercice 28 [ 00666 ] [Correction]
Calculer les intégrales suivantes :
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(a) R+∞
0
dt
(t+1)(t+2)
(b) R+∞
0
dt
(et+1)(e−t+1)
(c) R+∞
0ln1+1
t2dt(d) R+∞
0e−√tdt
(e) R+∞
0
ln t
(1+t)2dt
Exercice 29 [ 02350 ] [Correction]
Calculer les intégrales suivantes :
(a) R+∞
0
dt
√et+1
(b) R+∞
1
dt
sh t
(c) R+∞
0
tln t
(t2+1)2dt
(d) R+∞
1
dt
t2√1+t2
(e) R1
0
ln t
√tdt
Exercice 30 [ 00667 ] [Correction]
Calculer les intégrales suivantes :
(a) R+∞
0
e−√t
√tdt
(b) Rπ/2
0sin xln(sin x) dx
(c) R1
0
ln t
√1−tdt
(d) R+∞
0
dx
(x+1) 3
√x
(e) R+∞
0
√1+x−1
x(1+x)dx
(f) R+∞
0
(1+x)1/3−1
x(1+x)2/3dx
(g) R2π
0
dx
2+cos x
(h) R2π
0
sin2(x)
3 cos2(x)+1dx
(i) R1
0
xdx
√x−x2
Exercice 31 [ 00670 ] [Correction]
(a) Calculer
J=Z+∞
0
tdt
1+t4
(b) Établir
I=Z+∞
0
dt
1+t4=Z+∞
0
t2dt
1+t4
(c) En factorisant 1 +t4déterminer la valeur de I.
Exercice 32 [ 03237 ] [Correction]
Justifier et calculer Z+∞
−∞
dt
(1 +t2)(1 +it)
Exercice 33 [ 00672 ] [Correction]
(a) Justifier l’existence de
I=Z1
0
t−1
ln tdt
(b) Établir
I=Z+∞
0
e−x−e−2x
xdx
(c) En séparant cette dernière intégrale en deux, observer
I=lim
ε→0+Z2ε
ε
e−x
xdx
puis donner la valeur de I.
Exercice 34 [ 00676 ] [Correction]
(a) Justifier l’existence de
I=Z+∞
0
sin3t
t2dt
Pour x>0, on pose
I(x)=Z+∞
x
sin3t
t2dt
(b) On rappelle sin 3a=3 sin a−4 sin3a. Établir que
I(x)=3
4Z3x
x
sin t
t2dt
(c) En déduire la valeur de I.
Exercice 35 [ 00673 ] [Correction]
[Intégrales d’Euler] On pose
I=Zπ/2
0
ln(sin t) dtet J=Zπ/2
0
ln(cos t) dt
Montrer que les intégrales Iet Jsont bien définies et égales.
Calculer I+Jet en déduire les valeurs de Iet J.
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Exercice 36 [ 00675 ] [Correction]
Soit f:R→Rune fonction continue telle que
lim
x→+∞f(x)=`∈R,lim x→−∞ f(x)=`0∈R
Justifier l’existence et donner la valeur de
Z+∞
−∞
f(t+1) −f(t) dt
Exercice 37 [ 01334 ] [Correction]
Soient (a,b)∈R2avec a<bet f∈ C0(R,R) admettant une limite finie `en −∞ et telle
que R+∞
0fexiste.
Justifier l’existence, puis calculer :
Z+∞
−∞
(f(a+x)−f(b+x))dx
Exercice 38 [ 00677 ] [Correction]
Existence et valeur de Z+∞
0
arctan(2x)−arctan x
xdx
Exercice 39 [ 01333 ] [Correction]
Calculer Z+∞
−∞
dx
1+x4+x8
Exercice 40 [ 03375 ] [Correction]
(a) Montrer que
∀x∈R,ex≥1+x
En déduire
∀t∈R,1−t2≤e−t2≤1
1+t2
(b) Soit n∈N∗. Établir l’existence des intégrales suivantes
I=Z+∞
0
e−t2dt,In=Z1
0
(1 −t2)ndtet Jn=Z+∞
0
dt
(1 +t2)n
puis établir
In≤I
√n≤Jn
(c) On pose
Wn=Zπ/2
0
cosnxdx
Établir
In=W2n+1et Jn+1=W2n
(d) Trouver une relation de récurrence entre Wnet Wn+2.
En déduire la constance de la suite de terme général
un=(n+1)WnWn+1
(e) Donner un équivalent de Wnet en déduire la valeur de I.
Exercice 41 [ 00525 ] [Correction]
Justifier l’existence et calculer
I=Z+∞
0
t[1/t]dt
Exercice 42 [ 03630 ] [Correction]
Soit f: ]0 ; 1] →Rcontinue, décroissante et positive. On pose pour n∈N∗
Sn=1
n
n
X
k=1
f k
n!
Montrer que fest intégrable sur ]0 ; 1] si, et seulement si, la suite (Sn) est convergente et
que si tel est le cas Z]0;1]
f(t) dt=lim
n→+∞Sn
Calcul d’intégrales comportant un paramètre
Exercice 43 [ 00683 ] [Correction]
Existence et valeur pour a>0 de
I(a)=Z+∞
0
sin(t) e−at dt
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