[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 24 septembre 2016 Enoncés 2
Exercice 12 [ 03679 ] [Correction]
Montrer que si nest entier impair alors
n2≡1[8]
Exercice 13 [ 03680 ] [Correction]
Soient λ, a,b∈Zet m∈N∗. On suppose λet mpremiers entre eux. Montrer
a≡bmod m⇐⇒ λa≡λbmod m
Exercice 14 [ 02359 ] [Correction]
Soit Ala somme des chiffres de 44444444,Bcelle de Aet enfin Ccelle de B. Que vaut C?
Exercice 15 [ 01194 ] [Correction]
Montrer
7|xet 7 |y⇐⇒ 7|x2+y2
Relations d’ordre
Exercice 16 [ 01518 ] [Correction]
On définit une relation binaire 4sur R∗
+par :
x4y⇐⇒ ∃n∈N,y=xn
Montrer que 4est une relation d’ordre. Cet ordre est-il total ?
Exercice 17 [ 01519 ] [Correction]
Soit 4la relation définie sur E=n(x,y)∈R2|x≤yopar
(x,y)4(x0,y0)⇐⇒ (x,y)=(x0,y0) ou y≤x0
Montrer que 4est une relation d’ordre sur E.
Exercice 18 [ 01520 ] [Correction]
On définit une relation binaire 4sur {z∈C|Im(z)≥0}par :
z4z0⇐⇒ |z|<z0ou( |z|=z0et Re(z)≤Re(z0))
Montrer qu’il s’agit d’une relation d’ordre total.
Exercice 19 [ 01521 ] [Correction]
Soit El’ensemble des couples (I,f) formé d’un intervalle Iet d’une fonction réelle
définie sur I.
On définit une relation 4sur Epar : (I,f)4(J,g)⇐⇒ I⊂Jet g|I=f.
Montrer que 4est une relation d’ordre sur E.
Exercice 20 [ 01522 ] [Correction]
Soient Eun ensemble et f:E→Rune application injective.
On définit sur Eune relation binaire 4par
x4y⇐⇒ f(x)≤f(y)
Montrer que 4est une relation d’ordre sur E.
Exercice 21 [ 01523 ] [Correction]
Soient A,Bdeux parties d’un ensemble Eordonné par 4.
On suppose que Aet Bont chacun un plus grand élément.
Qu’en est-il de A∪Blorsque l’ordre est total ? lorsqu’il ne l’est pas ?
Que dire de A∩B?
Exercice 22 [ 01524 ] [Correction]
Soit (E,4) un ensemble ordonné tel que toute partie non vide admet un plus petit élément
et un plus grand élément.
Montrer que Eest fini.
Exercice 23 [ 01525 ] [Correction]
Soit Eun ensemble ordonné par une relation ≤.
Un tableau à nlignes et pcolonnes est formé d’éléments ai,j∈Eavec iindice de
ligne(1 ≤i≤n) et jindice de colonne(1 ≤j≤p).
On note le plus petit élément de chaque colonne et l’on prend le plus grand de ces plus
petits :
max
1≤j≤pmin
1≤i≤nai,j
On note aussi le plus grand élément de chaque ligne et l’on prend le plus petit de ces plus
grands :
min
1≤i≤n max
1≤j≤pai,j!
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