Colles semaine 7, sujet A Langevin–Wallon, PT 2016-2017
Mécanique des fluides et thermochimie
Question de cours
Établir la relation de Bernoulli.
Exercice 1 : Écoulement de Poiseuille cylindrique
On considère l’écoulement d’un fluide visqueux dans une conduite cylindrique de rayon Ret longueur LR.
L’écoulement est induit par une différence de pression ∆Pimposée entre les deux extrémités de la conduite. En
coordonnées cylindriques d’axe zcorrespondant à l’axe de la conduite, le champ de vitesse est donné par
#”
v(r, θ, z) = −R2∆P
4η L 1−r2
R2#”
ez.
1 - Représenter sur un schéma les lignes de courant dans la conduite et le profil de vitesse dans une section droite
de la conduite.
2 - Vérifier que le profil de vitesse est compatibles avec les conditions aux limites.
3 - Cet écoulement est-il compressible ? Rotationnel ?
4 - Calculer le débit volumique au travers d’une section droite de la conduite.
Donnée : en coordonnées cylindriques et pour un champ vectoriel #”
U,
div #”
U=1
r
∂
∂r (rUr) + 1
r
∂Uθ
∂θ +∂ Uz
∂z
# ”
rot #”
U=1
r
∂Uz
∂θ −∂ Uθ
∂z #”
er+∂Ur
∂z −∂ Uz
∂r #”
eθ+1
r∂
∂r (rUθ)−∂Ur
∂θ #”
ez
Éléments de correction de l’exercice 1 :
1Lignes de courant sont des droites parallèles à #”
ez. Le profil de vitesse est parabolique, maximal en r= 0 et nul
sur les bords de la conduite en r=R.
2Annulation de la vitesse sur les bords de la conduite, comme attendu pour un fluide visqueux.
3#”
v=vz(r)#”
ezdonc vzne dépend pas de zdonc div #”
v= 0 donc écoulement incompressible. Pour le caractère
rotationnel, presque toutes les dérivées sont nulles, sauf
∂Uz
∂r =R2∆P
4η L ×2r
R2=−∆P
2ηL r6= 0
L’écoulement est donc rotationnel, sauf le long de l’axe.
4Par définition, sur une section droite Sde normale #”
ez
DV=¨S
#”
v·dS#”
ez=R2∆P
4η L ¨S1−r2
R2rdrdθ=π∆P R4
16 η L
Exercice 2 : Cheminée au bioéthanol [oral CCP]
Les cheminées au bioéthanol constituent une alternative aux cheminées à bois traditionnelles. La combustion de
l’éthanol C2H5OH dans l’air produit des flammes d’une trentaine de centimètres de haut.
1 - Ecrire l’équation de combustion de l’éthanol. Les produits sont formés à l’état gazeux.
2 - Définir et calculer l’enthalpie standard de cette réaction, ∆rH◦.
3 - Calculer la masse d’air nécessaire à la combustion de 1,5 L d’éthanol.
4 - Déterminer la température de flamme Tfl, c’est-à-dire la température atteinte par le milieu réactionnel en négli-
geant tout transfert thermique avec l’extérieur. La température initiale vaut Ti= 298 K.
5 - En hiver, une pièce de 30 m2doit être chauffée avec une puissance P= 3 kW. Quel volume V0de bioéthanol
faudrait-il brûler par heure pour chauffer la pièce par ce seul moyen ? Commenter.
Données :
1/5 Étienne Thibierge, 10 novembre 2016, www.etienne-thibierge.fr