L u - CEREA-ENPC
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Météorologie de la couche limite atmosphérique Module environnement atmosphérique et qualité de l'air Hadjira Schmitt-Foudhil [email protected] 19 mars 2012 L’Environnement, une notion polysémique [Conseil international de la Langue Française, 1976] • En 1971, Georges Pompidou crée un Ministère chargé de la Protection de la nature et de l’Environnement «Singulier destin pour un mot que d'avoir un ministre avant d'avoir un sens !» • Environnement : ensemble, à un moment donné, des agents physiques, chimiques, biologiques et des facteurs sociaux susceptibles d’avoir un effet direct ou indirect, immédiat ou à terme, sur les être vivants et les activités humaines • Altéragène : toute substance ou tout facteur provoquant une altération de l’environnement • Nuisance : tout altéragène qui comporte un risque notable pour la santé et le bien-être de l’Homme ou qui peut atteindre indirectement celui-ci, par des répercutions sur son patrimoine culturel et économique 2 Sciences de l’environnement De ces définitions, nous retiendrons pour nos propos que : • L’Environnement est considéré ici en tant que milieu physique susceptible d’altération par l’activité humaine • Il est restreint à la portion d’espace du système Terre-Atmosphère où sont réalisées des conditions physiques assurant le développement de la vie • Cet espace est caractérisé par la présence de 2 fluides, l’air et l’eau, dont les propriétés permettent de rendre compte au niveau du sol de la distribution de l’énergie fournie à la Planète par le rayonnement solaire et par conséquent de la répartition des climats puisque cette distribution règle la circulation atmosphérique et le cycle de l’eau • Il comprend plus précisément la mince pellicule atmosphérique qui enveloppe la terre, les eaux de surface ainsi que les couches superficielles du globe • L’état du système à un instant donné et son évolution dans le temps résultent des transferts de masse, d’énergie et de quantité de mouvement qui s’opèrent dans l’Eau, l’Air et la Terre sous l’effet de l’énergie solaire (4 éléments de la Physique d’Aristote au cœur des sciences de l’environnement) 3 Les techniques d’étude physique des problèmes d’environnement • L’air et l’eau constituent, de par leur nature fluide et leur relative abondance, des vecteurs de choix pour l’évacuation et la dispersion de nombreux types de « déchets » dans l’atmosphère ou les milieux aquatiques • La mécanique des fluides trouve là tout naturellement un large champ d’application • Aux problématiques issues du développement économique et social, elle fournit des outils adaptés pour caractériser par exemple les propriétés dispersives des milieux récepteurs et évaluer les perturbations introduites par l’activité humaine dans la dynamique de leurs interactions (circulation atmosphérique, cycle de l’eau) • Nous allons préciser les dimensions de ce domaine d’application de la mécanique des fluides à l’art de l’ingénieur en examinant les types de problèmes d’Environnement qui nécessitent un recours directe ou indirecte à ses techniques 4 Préoccupations environnementales Détérioration de la qualité de l’air Action mécanique du vent Flux deFlux gènes de OGM, gène OGM pathogènes 5 Préoccupations environnementales Rejets industriels polluants, odeurs Action mécanique du vent Nuisances sonores Architecture bioclimatique 6 Motivations pour l’étude de la CLA Ces processus ont lieu dans la CLA • • • • • Comment la structure du paysage affecte-t-elle l’écoulement ? Comment s’opère la diffusion de polluants en terrain hétérogène, en milieu urbain ? Quels sont les effets de la turbulence sur les structures naturelles ou artificielles ? Comment aménager un site pour limiter les risques ? Comment évaluer l’effet d’une perturbation introduite et son niveau significatif ? 7 Les techniques d’étude physique des problèmes d’environnement • Les réponses à ces questions passent par plusieurs approches souvent multidisciplinaires – L’acquisition de données expérimentales : in situ, en conditions contrôlées… – La modélisation fine de l’écoulement dans la couche limite atmosphérique pour décrire les transferts turbulents de quantité de mouvement, de chaleur, d’humidité, de matière… • Les progrès de la modélisation numérique permettent d’aborder ces problèmes d’environnement à cette échelle • Ces approches ont comme visée finale le contrôle ou la prévision des modifications de l’état « naturel » de divers éléments du système Terre-Atmosphère • Elles contribuent à alimenter des outils d’aide à la décision pour 8 la prévention des nuisances potentielles Plan et objectifs généraux • Séance 1 (19/03/12) : la couche limite atmosphérique – Définition, processus physiques – Les équations de la CLA – Turbulence et modèles de fermeture • Séance 2 (26/03/12) : le transport et la dispersion atmosphérique – Définition, processus physiques – Les modèles de dispersion atmosphérique • Séance 3 (2/04/12) : TP sur la campagne expérimentale «Project Prairie Grass» – Développement d’un modèle numérique de dispersion atmosphérique de type panache gaussien – Validation sur la base du « Project Prairie Grass » http://www.jsirwin.com/PrairieGrassDiscussion.html 9 Plan de l’exposé • • • Généralités sur l’atmosphère La couche limite atmosphérique – Equations MdF – Approximations de Boussinesq – Turbulence – Couche de surface – Couche d’Ekman Atmosphère libre • • Nomenclature Compléments Exercices 10 Notion d’échelles en météorologie • L’atmosphère est soumis à plusieurs types excitations extérieures qui peuvent être cycliques ou plus complexes ou irrégulières comme les interactions avec la surface • En réaction, des circulations se mettent en place, en général dans le sens d’une homogénéisation de l’état fluide, d’un retour vers l’équilibre • Ces circulations ont des dimensions spatiales et des périodes temporelles T très diverses : de la taille de la planète à moins d’un millimètre, et de plusieurs années à moins d’une seconde On distingue usuellement : • Echelle planétaire / globale L ~ 10000 km - T ~ semaines – mois • Echelle synoptique / continentale L ~ 1000 km - T ~ jours – semaine • Echelle méso / régionale L ~ 10 – 100 km - T ~ heures – jour • Echelle locale / urbaine L < 10 km - T ~ minutes – heure 11 Classification des phénomènes atmosphériques en fonction de leur échelle spatio-temporelle [Oke, 1987] Échelle planétaire Mousson, régime de temps Échelle synoptique Dépression, anticyclone Méso-échelle Vent régionaux, brises, lignes de grains Échelle aérologique Orages isolés, tornades, thermiques pures Micro-échelle Tourbillons de poussières, rafales, microphysique des nuages (formation de gouttelettes) • Cette séparation d’échelle est très pédagogique et utile, mais a ces limites • Lorsqu’on décide de zoomer sur une échelle donnée, on fait en général l’hypothèse que tout ce qui est de plus grande échelle constitue un fond qui varie si lentement par rapport au phénomène étudié qu’on le considère comme fixe • Cependant lorsque des phénomènes de plus petite échelle s’amplifient, il faut remettre en cause cette séparation d’échelle car les petites échelles modifient le forçage de grande échelle qui, à son tour, va influencer les petites échelles 12 Structure verticale de l’atmosphère La pression atmosphérique Modèle statique atmosphère isotherme T = Tsol = Cste z P( z ) = Psol exp − H RTsol H= g Profil vertical moyen de pression calculée avec un modèle statique isotherme avec une hauteur d’échelle H=7.3 km (R=287 J/kg/K g=9.81 m/s2) Tsol = 250K Psol = 1000 hPa (atmosphère standard USA 1976) • La pression décroît très vite avec l’atmosphère : Psol= 1000 hPa, P(2 km)= 760 hPa, à la tropopause : P(16 km)= 110 hPa, à la stratopause P(50 km)= 1 hPa • Il en est de même pour la distribution de la masse de l’atmosphère 13 Structure verticale de l’atmosphère La température • Le profil moyen de température permet de définir un découpage vertical de l’atmosphère • La troposphère ~ 6/8 - 16/18 km – T décroissance jusqu’à 220 K aux pôles et 190 K à l’équateur – Gradient moyen de T est de l’ordre de -6.5 K km-1 – 90 % de la masse atmosphérique – Elle contient presque toute la vapeur d’eau • La stratosphère ~ 50 km – T constante puis croissante jusqu’à 270 K Absorption des UV solaires par O3 et O2 – Cette couche d’inversion (gradient positif de température) est une caractéristique essentielle de la Terre ⇒ Profil vertical moyen de température (atmosphère standard USA 1976) 14 Température potentielle • Une transformation adiabatique est une transformation au cours de laquelle il n y a pas d’échange de chaleur avec l’extérieur – compression adiabatique (diminution du volume ou augmentation de la masse volumique) => augmentation de l’énergie interne et donc de T => P, ρ, T augmentent (GP) – détente adiabatique : P, ρ, T diminuent T TA TB = cst → R = R R Cp Cp Cp P adiab PA PB • On pose PB=Po (pression standard) alors TB est par définition la température potentielle de la particule • On montre que P0 θ = T P R Cp P0 = 1000 hPa R / C p = 0.28 (air sec) 15 Température potentielle • La température potentielle d’une particule d’air est la température qu’elle aurait si on lui faisait subir une transformation adiabatique en modifiant sa pression pour l’amener à la valeur de référence Po = 1000 hPa T = 263,5 K P = 800h Pa Évolution adiabatique P0 θ = 263,5 800 R Cp = 280 K • Le profil vertical de la température potentielle est très différent de celui de la température T car les variations ne prennent pas en compte les variations de la pression ∂θ θ ∂T g = + ∂z T ∂z C p ∂T = −Γw ∂z Valeur typique : Γw = 6.5 K / km 16 Température potentielle • Lors d’une transformation adiabatique et sans changement d’état la température potentielle est conservée ∂θ = 0 => θ = θ o = cste ∂z ∂T g + =0 • L’atmosphère adiabatique est donc définie par ∂z C p ∂T g =− = −Γad D’où ∂z Cp g Γad = ≈ 10 K / km est le gradient adiabatique sec Cp • Gradient de θ = écart à une situation adiabatique ∂θ θ ∂T ∂T = − ∂z T ∂z ∂z ad 17 Structure verticale de l’atmosphère La couche limite atmosphérique Atmosphère Libre (AL) ensemble de l’atmosphère audessus de la couche limite • Couche Limite Atmosphérique (CLA) en contact avec la surface terrestre Profil vertical moyen de température (atmosphère standard USA 1976) • 75% de la masse de l’atmosphère dans le CLA 18 La Couche Limite Atmosphérique [Stull, 1988] Couche limite nocturne ou couche stable (http://www.comet.ucar.edu/) • D’un point de vue dynamique, la CLA est définie comme étant la zone de l’atmosphère où l’écoulement du fluide est influencé par l’interaction avec la surface terrestre directement. Le temps de réponse à un forçage (rugosité, relief, évaporation, transfert de chaleur, etc.) est court, de l’ordre de l’heure • D’un point de vue thermique, la CLA est la zone de l’atmosphère au voisinage de la surface terrestre dans laquelle la variation diurne du rayonnement solaire est directement perceptible • L’épaisseur hCLA varie dans le temps et dans l’espace. On lui attribue usuellement un kilomètre comme valeur typique 19 Caractéristiques de la CLA [De Moor] Influence directe de la surface négligeable Atmosphère libre Turbulence négligeable u,v,w,T,.. HL ~ 0 HS ~ 0 t x,y,z τ ~0 ~ 10 km ~1h h = 1 km Couche limite atmosphérique Influence directe de la surface importante Turbulence importante u,v,w,T,.. HL0 HS0 τ0 t x,y,z ~ 1 mm ~1s HL0 HS0 τ0 20 Caractéristiques de la CLA • La CLA est le domaine de la micro-météorologie, science qui étudie et modélise les transferts d'énergie et de matières entre l'atmosphère et la surface terrestre • L’influence de la surface est : – dynamique : effet du frottement (lié au gradients verticaux de vitesse air / surface) – convective : effet du champ de pesanteur sur le profil vertical de la masse volumique (lié aux gradients verticaux de température et/ou d’humidité air / surface) • Le mouvement de l’air a un caractère turbulent : cette turbulence existe de façon presque continue dans l’espace et dans le temps dans la CLA alors qu’elle n’existe que de manière très intermittente dans l’atmosphère libre • Influence directe du cycle diurne 21 Variation du profil de température moyenne à Hay 16 août 1967 journée 33 des mesures « Wangara » CLA en stratification instable : 15 h • • 15 h • Au sommet de la CLA, une inversion thermique de stratification stable Elle bloque les ascensions d’air qui replongent dans la couche de mélange provoquant l’entraînement des masses d’air de l’atmosphère libre dans la CLA : c’est la couche d’entraînement Au dessus, les variations sont plus faibles et principalement dues à des forçages non périodiques Au niveau du sol, la température de surface est supérieure à celle de l’air situé juste haut dessus − Cela contribue à réchauffer la CLA par transfert de chaleur turbulent : par convention le flux de chaleur est positif - gradient de température négatif − Apparition d’une couche de mélange ou convective caractérisée par une turbulence 22 très forte (épaisseur h ~ 1200 m) Variation du profil de température moyenne à Hay 16 août 1967 journée 33 des mesures « Wangara » CLA en stratification stable : 24 h 6h • Au niveau du sol, la température de surface est inférieure à la température du fluide − Le flux de chaleur sensible est négatif, dirigé vers le sol (l’air réchauffe le sol) − Le gradient de température est positif • La couche d’inversion est surmontée d’une couche résiduelle de la phase diurne passée (résidu de la couche de mélange) Généralement c’est une couche adiabatique dans laquelle la turbulence n’est plus alimentée, sauf par les effets dynamiques (intensité d’un ordre de grandeur inférieur à celui de la phase convective) • La couche limite nocturne est mince 23 Profils de température potentielle moyenne (Wangara d33) Lien entre la stratification thermique et la dispersion • CLA instable : la couche de mélange ou convective, fortement brassée, contribue à homogénéiser toutes grandeurs associées au fluide (température, quantité de mouvement, polluants). Elle se rencontre fréquemment dans le courant de la journée, de façon d’autant plus marqué que l’ensoleillement est important (après-midi d’été) • CLA stable : la couche limite nocturne est mince, caractérisée par une turbulence faible voire nulle. Il en résulte que les polluants émis au sein de cette couche stagnent et s’accumulent 24 Évolution de la stabilité de la CLA cycle diurne [Stull, 1998] Atmosphère libre Couche de mélange ou couche convective Couche résiduelle Couche limite nocturne Midi Couché du Soleil Surface layer == Couche de surface Minuit Lever du Soleil 25 Stabilité atmosphérique et gradient de température ∂θ θ ∂T ∂T = − ∂z T ∂z ∂z ad • • Profil idéalisé de température et évolution de la stabilité de la CLA au cours d’une journée. La température au sol augmente en cours de journée puis diminue au cours de la nuit • ∂θ >0 ∂z ∂θ =0 ∂z ∂θ <0 ∂z => Atmosphère stable ∂T ∂T > ∂z ∂z ad => Atmosphère neutre ∂T ∂T = ∂z ∂z ad => Atmosphère ∂T ∂T < ∂z ∂z ad instable 26 Variabilité saisonnière de la CLA Eté Hiver (http://www.comet.ucar.edu/) 27 Préliminaires choisis de la mécanique des fluides Altitude (m) ~1000 • • • • Atmosphère sèche, fluide Newtonien, gaz parfait Forces Approximation de Boussinesq Équations simplifiées des équations générales • Pression Atmosphère libre de la turbulence : longueur de mélange et Approche statistique • Coriolis modèle k-l C.L.A Couche limite d’Ekman • Pression • Coriolis • Reynolds ~100 Sous - couche inertielle ~10 C.L.S • Pression • Reynolds Sous - couche rugueuse 0 28 Equations fondamentales de la mécanique des fluides (1) • Gaz parfait, fluide newtonien, atmosphère sèche • Echelle du continuum, • Description Eulérienne, repère lié à la terre u j : composante du vecteur vitesse suivant j x j : coordonnée cartésienne suivant la direction j δ ij : symbole de Kronecker vaut 1 si i = j et 0 sinon ε ijk : symbole d' Einstein vaut 1 si i, j , k = 1,2 ,3 ou - 1 si i, j , k = 3,2 ,1 sinon 0 • Équation de continuité ou équation de conservation de la masse locale ∂ uj dρ +ρ =0 dt ∂ xj Dérivée particulaire d ∂ ∂ = +uj d t ∂t ∂ xj ∂ρ ∂ ρ u j + =0 ∂ xj ∂t 29 Equations fondamentales de la mécanique des fluides (2) • Équation de conservation de la quantité de mouvement ou équation du mouvement ∂σ ∂u ∂u du ρ i dt =ρ i ∂t 1 + ρu j i ∂ xj 2 = −ρ gi + 3 ij ∂ xj − 2 ρ εijk Ω j uk 5 4 1- Accélération locale 2- Accélération convective - Terme d’inertie de convection dû au transport de quantité de mouvement par l’écoulement (confère à l’équation un caractère non linéaire) 3- Force volumique : force de pesanteur ou force de gravité 4- Force volumique : force de Coriolis, Ω désignant la rotation terrestre 5- Forces surfaciques données par le tenseur des contraintes σ11 σ12 σ13 σ ij = σ 21 σ 22 σ 23 σ σ σ 33 31 32 Fluide newtonien • Pression • Tenseur des contraintes visqueuses % au tenseur des vitesses de déformation dFi = σ ij n j dS σ ij = −Pδij +τ ij ∂ ui ∂ u j 2 ∂ uk − µ τ ij = µ + δ ij ∂ x j ∂ xi 3 ∂ xk 30 Equations fondamentales de la mécanique des fluides (3) • Équation thermodynamique pour l’énergie interne eint=CvT ∂ CvT ∂ C vT ∂ ui ∂ q j d C vT dQ ρ =ρ + ρu j = −P − +φ + dt dt ∂t ∂ xj ∂ xi ∂ x j 1 2 3 4 5 6 1- Variation temporelle 2- Transport par advection Postes de variation de l’énergie interne, apports de chaleur : 3- par compression / détente adiabatique 4- par conduction moléculaire (flux de chaleur conductif décrit par la loi de Fourier, λ est la conductivité thermique) ∂T q j = −λ ∂ xj 5- par dissipation moléculaire (que l’on néglige) 6- par rayonnement (que l’on néglige) • Équation d’état des gaz parfaits R constante massique des gaz parfaits P = ρRT R= r = 287 J kg −1 K −1 pour l' air sec M air 31 Equations fondamentales de la mécanique des fluides (4) • Équation de conservation de l’énergie (basée sur l’enthalpie) ∂ C pT ∂ C pT d P ∂ q j ρ =ρ + ρu j = − +φ dt dt ∂ xj ∂t ∂ xj 1 2 3 4 5 d C pT 1- Variation temporelle 2- Transport par convection/advection Postes de variation de l’énergie : 3- Echauffement par compression 4- Par conduction moléculaire : flux de chaleur conductif décrit par la loi de Fourier, λ conductivité thermique 5- par dissipation moléculaire (que l’on néglige) • Équation d’état des gaz parfaits R constante massique des gaz parfaits φij = ∂ ui τ ij ∂ xj q j = −λ ∂T ∂ xj P = ρRT R= r = 287 J kg −1 K −1 pour l' air sec M air 32 Le système de base pour l’air sec • Continuité • Mouvement ∂ρ ∂ ρ u j + =0 ∂t ∂ xj ∂ ui ∂ ui ∂P + ρu j = ρ gi − ρ ∂t ∂ xi ∂ xj ∂ ∂ ui ∂ u j 2 ∂ uk + µ + − µ δij − 2 ρ εijk Ω j uk ∂ x j ∂ x j ∂ xi 3 ∂ xk • Thermodynamique ∂ C pT ∂ C pT ∂ P ∂ ρ + ρu j = + ∂t ∂ xj ∂ t ∂ xj • État ∂T λ ∂x j P = ρRT Ce système est fermé pour les variables ρ , u , v, w, T , P 33 Ex1 : équations de Navier-Stokes pour un fluide incompressible ? • On note u,v,w les composantes de la vitesse suivant x,y,z et en considérant que l’accélération de la pesanteur et le vecteur de rotation de la terre (φ est la latitude) sont donnés par : 0 r g0 −g 0 r r Ω Ω cos φ ≈ 0 r Ω sin φ • On considère de plus que le fluide est incompressible div(u ) = 0 ∂uj ∂x j =0 • Développer les équations de continuité et de conservation de la quantité de mouvement. Cette dernière définie l’équation de Navier-Stokes en coordonnées cartésiennes pour un fluide incompressible 34 Equations de Navier-Stokes fluide incompressible Variation temporelle Advection Coriolis Pression f = 2 Ω sin φ défini le paramètre de Coriolis Ω = Ω ≈ 7,2910 −5 s −1 vitesse de rotation de la terre r g = 9,8 m s −2 Frottement Gravité 35 Systèmes de Boussinesq pour la CLA Le système d’équations de la dynamique atmosphérique est extrêmement compliqué et peu utilisable : une des grandes difficultés de la météorologie consiste à le simplifier de façon adaptée au problème traité J. Boussinesq 36 Hypothèses de Boussinesq • L’état thermodynamique réel de l’atmosphère s’écarte peu d’un état hydrostatique et adiabatique, qualifié d’état de référence, pris au repos • Nombre de Mach petit (vitesse / vitesse du son) • Il n’y a pas de trop hautes fréquences de mouvement présentes dans l’écoulement (la condition requise sur les fréquences est suffisamment souple pour permettre l’étude de la turbulence dans la CLA) • L’échelle verticale des mouvements est petite devant l’épaisseur effective de l’atmosphère (8 km) 37 Etat de référence de l’atmosphère • • • • r Etat au repos ur = 0 , solution stationnaire des équations générales Etat d’équilibre hydrostatique (*) ne dépendant que de z Etat habituel de l’atmosphère (dont l’état réel s’écarte peu) Cet état est entièrement déterminé (ho est l’altitude choisie au voisinage immédiat de la surface) : (*) : équilibre entre la composante verticale de la force de pression et la force de gravité ∂Pr = − ρg ∂z Pr ( z ) = Pr (ho )Z ( z ) ∂Tr = −g / Cp ∂z Tr ( z ) = Tr (ho )Z (z ) Pr = ρ r RTr ∫ Cp R ρ r ( z ) = ρ r (ho )Z ( z ) Z ( z) = 1 − g / Cp Tr (ho ) Cv R (z − ho ) 38 Etat de référence de l’atmosphère • La variation de l’état de référence avec z est faible, et limitée à 10% dans le premier kilomètre. Ce qui entraîne dans la CLA : δ f r (z ) f0 << 1 pour f = T , P, ρ où δ f r ( z ) représente l’écart de la variable de référence f r ( z ) à sa valeur moyenne dans la CLA définie par : h 1 f 0 = ∫ f r (z )dz h0 P0 ≈ ρ 0 RT0 • Etat adiabatique : la température potentielle est constante θ r (z ) = Cste = θ o 39 Hypothèses de base de l’approximation de Boussinesq • L’état de référence étant connu, il est équivalent de travailler sur les variables thermodynamiques T,P,ρ, elles-mêmes ou sur leur écart à l’état de référence, repéré par l’indice l et défini par : f = f r ( z ) + f l ( x, y , z , t ) = f o + δ f r ( z ) + f l ( x , y , z , t ) f = T , P, ρ • Les hypothèses principales à la base de la justification du système de Boussinesq ρl Pl << 1 << 1 ρ0 P0 Psurf et h << he ≈ ≈ 8 km ρ surf g Tl << 1 T0 • Remarque : ces hypothèses semblent suffisamment bien vérifiées dans la CLA mais l’approximation de Boussinesq n’a pas encore trouvé sa 40 justification mathématique rigoureuse ! Intérêt de l’approximations de Boussinesq L’approximation de Boussinesq permet une formulation incompressible des équations de Navier-Stokes en prenant en compte des forces de flottabilité (poussée d’Archimède en présence de gravité) dues à la dilatation du fluide induite par une variation de la température – Incompressible r div(V) = 0 ρ r (z ) ≅ ρ0 – Force de flottabilité (force par unité de masse) ρl ρl F f = − gk ≈ − gk ρ ρ0 Équations instantanées simplifiées Système de Boussinesq 41 Ex2 : la force de flottabilité effets convectifs, système de Boussinesq • On se place dans le cadre de l’approximation de Boussinesq • Pour une particule de masse unité, on définie : – Poids : − g k – La poussée d’Archimède exercée par l’environnement : force dirigée vers le haut, de module ‘’le poids du volume d’environnement déplacé’’ : c’est le produit du volume déplacé (celui de la particule 1/ρ) par la masse volumique de l’environnement ρr par g 1 ρ ρr g k 1- Montrer que la résultante, pour une particule fluide de masse unité, de son poids et de la poussée d’Archimède exercée par l’environnement est ρl ρl F f = − gk ≈ − gk ρ ρ0 Force de flottabilité (par unité de masse) 42 Ex2 : la force de flottabilité – thermique système de Boussinesq L’expression de la force de flottabilité en fonction de paramètres classiques T Théta, etc. dépend de l’équation d’état retenue 2- Dans le cas de l’air sec GP, et dans le cas de la CLA elle peut s’écrire : ρl θl ≈− ρ0 θ0 fluide incompressible mais dilatable ρ a) Donner l’expression correspondante de F f = − l g k ρ0 b) Estimer l’écart de masse volumique entre particule et environnement pour un écart de 1°C en température et l’accélération verticale de flottabilité induite On prendra : θ 0 = 300 K ; ρ o = 1.3kgm−3 c) Si on néglige les effets visqueux et de Coriolis, quelle est la valeur correspondante de la force de pression non hydrostatique si la particule n’est en définitive pas accélérée ? 43 Système de Boussinesq de la CLA • Équation instantanée de conservation de la masse ∂u j ∂x j =0 B • Équation instantanée de conservation de la quantité de mouvement dui 1 ∂ Pl ∂ =− + β (θ −θ0 )δi3 + dt ρ0 ∂ xi 1 424 3 ∂ xj − ρl g δi 3 ρ0 ∂ u ∂ u j − 2 ε u ν i + ijk Ω j k ∂ x j ∂ xi µ Viscosité cinématique ν = ρo • Équation instantanée de la conservation de l’énergie dθ ∂ = dt ∂ x j ∂θ kθ ∂x j • Équation d’état Tl ≈ θ − Tr (h0 ) ≈ θ − θ 0 θ − θ0 ρl Tl =− =− ρ0 T0 θ0 dTl ∂ = dt ∂ x j Diffusivité thermique g = • On définit le coefficient de flottabilité : β = θ 0 T0 ∂ Tl kθ ∂x j kθ = λ ρ Cp g 44 Equations de Navier-Stokes Si à un instant donnée, θ est constante dans tout l’espace, cette condition est propagée par les équations du système de Boussinesq. Le système obtenu dans ce cas θ ≡ θ o décrit un grand nombre d’écoulements incompressibles (isothermes) de laboratoire pour lesquels : ─ il est indifférent d’utiliser P ou Pl , T ou θ ( Pr ≈ Po , T ≈ θ sur les épaisseurs mises en jeu dans les expériences de laboratoire) ─ on peut négliger le terme de Coriolis NS ( ) ∂ ui ∂ ui 1 ∂ P ∂ ∂ ui ∂ u j +uj = Fi − − −ν + ∂t ∂ xj ρo ∂ xi ∂ x j ∂ x j ∂ xi ∂T ∂T ∂ ∂ T +uj = kθ ∂t ∂ x j ∂ x j ∂ x j ∂ uj =0 ∂ xj 4 inconnus 4 équations u , v, w, P ρ0 = P0 RT0 La température se comporte alors comme un scalaire passif => régime de convection forcée : les problèmes dynamiques et thermiques sont découplés. La température n’influence pas le champ de vitesse 45 La turbulence dans la couche limite Van Gogh 46 De quoi s’agit-il ? • Cette partie suggère que l’étude de la couche limite atmosphérique CLA doit faire appels aux outils des théories de la turbulence • Il introduit les deux moteurs du mouvement dans la CLA – Les effets dynamiques, liés aux cisaillements de vent Couche limite nocturne ou couche stable – Et les effets de « flottabilité » ou convectifs, liés aux inhomogénéités de poids volumiques sur la verticale en se limitant aux effets convectifs d’origine thermique (air sec uniquement) 47 Le régime turbulent d’écoulement fluide L’observation des écoulements fluides montre qu’il est possible de distinguer 2 grands régimes - Celui où la vitesse est une fonction régulière de xi et t, ou le colorant diffuse peu et où les pertes de charge sont faibles ⇒ régime d’écoulement non turbulent ou laminaire - Celui où la vitesse fluctue erratiquement en fonction de xi et t, où le colorant diffuse au point de disparaître et où les pertes de charges sont beaucoup plus élevées ⇒ régime d’écoulement turbulent 48 Expérience de Reynolds • Les 2 régimes des écoulements fluides sont mis en évidence de façon spectaculaire dans l’expérience de Reynolds (1884) Re O. Reynolds http://www.ac-nancy-metz.fr/enseign/Physique/Tp-phys/Term/Reynolds/Reynolds3.htm 49 Le régime turbulent d’écoulement fluide • Le passage du régime laminaire au régime turbulent s’effectue de manière intermittente, mais brusque : c’est la transition • La turbulence résulte de l’instabilité des solutions régulières (laminaires) de ces équations lorsque des paramètres caractéristiques (nombres de Reynolds, Rayleigh, Rossby, Grashof) dépassent certaines valeurs critiques – En dessous de ces valeurs, la solution est stable : les perturbations sont amorties – Au dessus, les perturbations subissent une amplification très rapide : les taches ou bouffées de turbulence se développent dans le temps et l’espace à partir de sources correspondant aux perturbations aléatoires initiales pour remplir tout l’écoulement si les conditions si prêtent • La turbulence est une propriété des écoulements et non du fluide, dont le détail du mouvement continue à obéir aux équations de NaviersStokes 50 CLA dynamique et turbulence • Couche limite dynamique – Paramètre de contrôle du régime des écoulements : Nombre de Reynolds Forces d' inertie Re = Forces de viscosité = UL ν Re < Re critique ⇒ L' écoulement est laminaire Re > Re critique ⇒ L' écoulement est turbulent – Avec U une vitesse caractéristique de l’écoulement (vitesse moyenne, vitesse débitante, variation de vitesse entre 2 couches fluides, etc.) – L une longueur caractéristique de l’écoulement – ν la viscosité cinématique du fluide • CLA : U≃ ≃15 m.s−1, hCLA≃1000 m, ν ≃1.45 10−5 m2.s−1 U hCLA Re = = 109 >> Rcritique ≈ 3000 ν 51 Expérience de Rayleigh-Bénard • Couche limite thermique –Paramètre de contrôle du régime des écoulements : Nombre de Rayleigh g L3 ∆T " facteurs déstabilisateurs" Ra = = T0ν k " facteurs stabilisateurs" –Expérience de Rayleigh-Bénard ∆T > 0 ∆T + T0 T0 ∆T < 0 ∆T + T0 T0 Flux moléculaire de chaleur répartition des densités stables (fluide léger en paroi sup.) Mouvements convectifs répartition des densités instables (fluide léger en paroi inf.) ⇒Ecoulement stable ⇒Ecoulement instable qui peut devenir turbulent 52 CLA thermique et turbulence [Serge et al.] • Vitesse verticale instantanée, Ra=2.107, Pr=0.71, modèle LES (Large Eddy Simulations) • CLA : T0≃300 K, hCLA≃1000 m, g≃ ≃10 m2.s−1 k≃ ≃2.10−5 m2.s−1, une variation de 1 degré Ra = 1017 >> Ra critique ≈ 50000 53 Caractéristiques fondamentales du mouvement turbulent • Les variables (V, P, T…) présentent un caractère aléatoire en fonction du temps et de l’espace • Les écoulements turbulents présentent un caractère rotationnel : on peut y observer des tourbillons intenses possédant toute une gamme d’échelles : les plus gros ont des dimensions du même ordre que celles de l’écoulement et les plus petits correspondent à des nombres de Reynolds voisins de l’unité • La turbulence est un phénomène fondamentalement non linéaire, intrinsèquement liées aux termes d’inertie dans les équations de NS. L’énergie cinétique du mouvement turbulent est produite aux grandes échelles et dissipée en chaleur par viscosité aux petites échelles via un mécanisme de cascade, dont les termes d’inertie sont responsables • La turbulence est un phénomène dissipatif qui augmente le taux des processus irréversible comme la dissipation de l’énergie cinétique en chaleur par le travail des forces de viscosité • La propriété la plus importante du point de vue pratique est son aptitude à diffuser toute grandeur associée au fluide (quantité de mouvement, chaleur, concentration…) avec une efficacité bien supérieure à celle de la diffusion 54 moléculaire Quelques approches pour la modélisation de la turbulence Pas de théorie générale pour appréhender le mouvement turbulent Différentes approches pour résoudre les équations présentées • La simulation numérique directe DNS utilise le système d’équations sans traitement spécifique mais doit capter l’écoulement dans sa totalité. Cette simulation déterministe doit résoudre toutes les échelles spatio-temporelles ⇒ Maillage de l’ordre de Re3/4 dans chaque direction ⇒ Pour la CLA : 1081/4 points de calcul pour Re=109 • La simulation directe des grandes échelles LES permet grâce à une technique de filtrage spatio-temporelle de résoudre les grandes échelles de la turbulence et modélise les structures inférieures en extrayant artificiellement de l'énergie pour les échelles dissipatives (modélisation semi-empirique) • La modélisation du mouvement turbulent par une approche statistique RANS (opérateur de Reynolds) qui semble adaptée pour les écoulements atmosphériques à grands nombres de Reynolds, en turbulence pleinement développée 55 Approche statistique d’une variable turbulente Les phénomènes chaotiques nécessitent une approche statistique. On abandonne l’idée des vitesses instantanées pour recherche des propriétés moyennes de l’écoulement. On décompose ainsi : mouvement instantané = mouvement moyen + fluctuation 56 Moyenne de Reynolds • Réalisation de N expériences « identiques » 1 • On définit la moyenne au sens de Reynolds par : f = N • Pour une réalisation particulière de l’expérience f = f+f N ∑f i i =1 ' • Les moyennes de Reynolds ne sont pas des moyennes spatiales ou temporelles ou spatio-temporelles, mais statistiques (N expériences identiques et faire tendre N vers l’infini ce qui est irréalisable). Cependant, elles se ramènent : - à des moyennes spatiales lorsque l’écoulement est homogène - à des moyennes dans le temps lorsque l’écoulement est permanent (ou peu variable) - en pratique dans la CLA, il s’agit le plus souvent d’une moyenne temporelle sur une durée de qq dizaine de minutes57 Traitement statistique de Reynolds • Toute variable turbulente admet une décomposition de Reynolds f = f + f' • … et vérifie les règles de calcul (Axiomes de Reynolds) : f +g= f +g f'=0 f = f α f =α f f g = f g + f 'g' ∂f ∂ f = ∂t ∂t ∂f ∂f = ∂ xi ∂ xi Terme de corrélation (double) turbulente inconnu ! La conséquence inhérente à l’approche statistique est un accroissement du nombre d’inconnus => modèles de fermeture 58 Ex3 : équations de Reynolds ? • En appliquant l’opérateur moyenne temporelle de Reynolds aux variables turbulentes u,v,w,… expliciter : – l’équation moyenne de continuité – l’équation moyenne de conservation de quantité de mouvement de la CLA simplifiées dans le cadre de l’approximation de Boussinesq B • On rappelle que – Toute variable aléatoire admet une décomposition de Reynolds f = f + f' – Les règles de calculs de l’opérateur de Reynolds f +g= f +g α f =α f f'=0 f = f ∂f ∂f = ∂ xi ∂ xi 59 Ex3 : équations de Reynolds ? Equations de Boussinesq pour la CLA On pose : ui = u i + u 'i P = P + p' T = T +T' • Équation instantanée de conservation de la masse ∂u j ∂x j θ = θ +θ ' =0 • Équation instantanée de conservation de la quantité de mouvement dui 1 ∂P ∂ =− + β (θ −θ0 )δi3 + dt ρ0 ∂ xi ∂ xj ∂ u ∂ u j − 2 ε u ν i + ijk Ω j k ∂ x j ∂ xi • Équation instantanée de la conservation de l’énergie dθ ∂ = dt ∂ x j ∂θ kθ ∂x j 60 Equations de Reynolds • On pose ui = u i + u 'i P = P + p' T = T +T' B ∂uj • Équation moyenne de continuité =0 ∂ xj θ = θ +θ ' Le champ moyen est à divergence nulle, comme le champ instantané • Équation moyenne de conservation de quantité de mouvement d ui 1 ∂P ∂ =− + dt ρ0 ∂xi ∂x j ∂u i ∂u j + ν ∂ x j ∂ xi − u 'i u ' j + β θ − θ 0 δ i 3 − 2 ε Ω j u k ijk ( Tenseur des contraintes de Reynolds = frottements turbulents ) B-R • Cette dernière équation définie l’équation de Reynolds pour un fluide incompressible 61 Equations de Reynolds ' ' U =U +u V =V + v W =W + w ' P = P+ p ' θ = θ +θ ' Flux turbulent de quantité de mvt ( + β θ − θ0 ) f = 2 Ω sin φ paramètre de Coriolis Nb : Ici U, V, P désignent bien les valeurs moyennes 62 Modélisation phénoménologique des corrélations turbulentes • Pour une grandeur φ quelconque de la turbulence Analogie entre les transferts de types diffusifs par agitations moléculaires et par agitations turbulentes ∂φ φ ' u ' j = −u ' l ' ∂x j u ': vitesse caractéristique du mvt turbulent (gros tourbillons énergétiqu es) l ': longueur caractéristique de la turbulence (gros tourbillons énergétiques) • On définit le coefficient de diffusivité turbulente associé à la grandeur φ kφ t = u 'l ' ∂φ => Le flux moyen turbulent de φ est φ u = − kφ t ∂x j ' ' j 63 Concept de viscosité turbulente • Pour la quantité de mouvement (φ ' = ρ u'i ) ∂ ui ∂ u j 2 + ρkδ ij ρ u u = − µt + 3 ∂ ∂ x x j i ∂ ui ∂ u j 2 ' ' + kδ ij ui u j = −ν t + ∂ x 3 x ∂ i j ν t viscosité turbulente [m 2 .s -1 ] [Boussinesq 1877] ' ' i j 1 ρ Terme rajouté pour les modèles k-l et k-e Contrairement à la viscosité cinématique qui est une propriété intrinsèque du fluide, la viscosité turbulente est une propriété de l'écoulement : elle doit être modélisée par des échelles représentatives du mouvement turbulent ν t = u'l ' - est variable en espace et en temps - dépend intuitivement de l’intensité fluctuante 64 Ordre de grandeur de la viscosité turbulente • Viscosité turbulente [Boussinesq 1877] ν t = u 'l ' • Viscosité cinématique de l’air (moléculaire) ν • Estimation de l’ordre de grandeur de la viscosité turbulente U L u' ≈ l' ≈ 10 3 ν u' l' 1 U L Re = = = v v 30 υ 30 t • CLA : U≃15 m.s−1, hCLA≃1000 m, ν ≃1.45 10−5 m2.s−1 v <<ν t La diffusion turbulente est incomparablement plus efficace que la diffusion moléculaire ! 65 Équations moyenne de la CLA B-R Utilisons le concept de viscosité turbulente… Équation de continuité ∂u j =0 ∂x j Équation de conservation de la quantité de mouvement ∂u i ∂u j d ui 1 ∂P ∂ + β θ − θ δ − 2 =− + + (ν + ν t ) uk ε 0 i3 ijk Ω j ρ 0 ∂xi ∂x j dt ∂ x j ∂ xi Equation de l’énergie ∂T ' ' Flux de chaleur turbulent T u j = − kθ t dT ∂ ∂T = (kθ + kθ t ) ∂x j d t ∂ x j ∂ x j Diffusivité thermique turbulente Tl ≈ θ − θ 0 ( ν t , kθ t = νt Prt ) … mais la viscosité turbulente est inconnue ! 66 Modèles de fermeture ?? ν t = u 'l ' ? ? l' ? u' ? ? ? L. Prandtl 67 Fermeture à zéro équation de transport [Prandtl, 1925] Longueur de mélange de Prandtl lm • seule échelle de longueur de la turbulence • u’ reliée aux vitesses de déformation de l’écoulement moyen l ' = lm = κ z avec κ = 0.41 + ∂ ui ∂ u j u ' = lm + ∂ x j ∂ xi ν t = u' l ' = l 2 m ∂ ui ∂ u j + ∂ x j ∂ xi • Bons résultats pour les écoulements cisaillés simples mais souffre d'universalité : considérations géométriques (lm) et présente une trop grande dépendance vis-à-vis de l’écoulement moyen (u’) • Idée : chercher à relier u ' et l ' à des grandeurs intrinsèques de l’écoulement turbulent ! ⇒ 1 bon candidat pour u’: l’énergie cinétique du mvt turbulent k ! u' = k Equation de k 68 Energie cinétique moyenne (1) Il convient maintenant d’aborder 2 questions fondamentales : ─ La provenance de l’énergie du mouvement fluctuant ─ La compréhension des transferts d’énergie entre tourbillons turbulents de différentes tailles et les échelles associées • En écoulement turbulent : ui = u i + u 'i • On a une nouvelle expression de l’énergie cinétique ( 1 1 Ec = ui ui = ui ui + 2ui u 'i +u 'i u 'i 2 2 ) • L’énergie cinétique moyenne est donnée par Où : ( ) 1 1 E c = ui ui = ui ui + 2ui u 'i +u 'i u 'i Ec = K + k 2 2 =0 1 K = ui ui Energie cinétique du mouvement moyen 2 1 k = u 'i u 'i Energie cinétique moyenne du mouvement turbulent 2 Comment l’énergie se transmet du mouvement moyen au mouvement turbulent et ce qu’il en advient ? 69 Energie cinétique moyenne (2) 1 Equation de K = ui ui énergie cinétique du mouvement moyen 2 2 N.S × u i d K υ ∂ ui ∂ u j ∂ P ∂ ui = u i Fi − + + u 'i u ' j u j − ... − dt ∂x j ρ ∂x j 2 ∂x j ∂xi (I) 1 2 N.S( ui + u 'i ) − N.S × u 'i Equation de k = u 'i u 'i énergie cinétique moyenne du mouvement turbulent ( ) 2 υ ∂u 'i ∂u ' j ∂ ui dk ∂ u ' P' =− − ... − + − u 'i u ' j dt ∂x j ρ ∂x j 2 ∂x j ∂xi (II) Equation de E c = K + k énergie cinétique moyenne I + II d Ec ∂ P υ ∂ui ∂u j = u i Fi − + u j − ... − dt ∂x j ρ 2 ∂x j ∂xi 2 ∂u 'i ∂u ' j + + ∂x j ∂xi 70 2 Taux de dissipation visqueuse 1 Equation de K = ui ui énergie cinétique du mouvement moyen 2 2 Taux de dissipation visqueuse associé au N.S × u i d K υ ∂ ui ∂ u j ∂ P mvt moyen : il est = upositif u j −d’un ... − i Fi −mais précédé signe ‘’–‘’ => dt il contribue∂xàj diminuer ρ K (transforme l’énergie cinétique en chaleur) ∂ ui + + u 'i u ' j 2 ∂x j ∂xi ∂x j 1 2 Dissipation d’énergie du mouvement N.S( ui +: terme u 'i ) − positif N.S ×mais u 'i précédé turbulent Equation de k = u 'i u 'i énergie cinétique moyenne du mouvement turbulent ( ) d’un signe ‘’–’’ => contribue à υ ∂u 'i ' ∂ uen' Pchaleur diminuer k.d(kkest dissipée =− − ... − à cause de dt l’effet de∂viscosité). x j ρ ε est 2 ∂x j le taux de dissipation de k 2 ∂u ' j ∂ ui + − u 'i u ' j ∂xi ∂x j Equation de E c = K + k énergie cinétique moyenne que la dissipation visqueuse IOn+ montre II 2 2 due au dmouvement turbulent ε est Ec ∂ P très υ ∂ui ∂u j ∂u 'i ∂u ' j supérieure à = celle au mouvement u i Fdue + + + u j − ... − i − moyen (analyse en ordre∂de du dt x j grandeur x x x x 2 ∂ ∂ ∂ ∂ ρ j i j i 71 rotationnel par exemple) << ε Taux de production 1 Equation de K = ui ui énergie cinétique du mouvement moyen 2 2 N.S × u i d K υ ∂ ui ∂ u j ∂ P négatif. Ce terme, associé = uài Flai −turbulence, ... − est + Il u j en− général contribue à diminuer l’énergie dt ∂x cinétique 2 ∂xmoyen ∂xi ρ du mouvement j j + u 'i u ' j ∂ u i ∂x j (I) 1 2 Equation de k = u 'i u 'i énergie cinétique moyenne du mouvement turbulent En général, sa contribution est d’augmenter l’énergie (turbulente N.S( u + u ' ) − N.S) × u ' au détriment de l’énergie du mouvement moyen. i i i 2 ∂u ' j ∂ ' u ∂ ui d k u ' P ' ∂ υ i Ce terme s’appelle taux de production P de l’énergie =− − ... − + − u 'i u ' j cinétique dedt la turbulence ∂x j (P>0) ∂x j ρ 2 ∂x j ∂xi (II) Equation de E c = K + k énergie cinétique moyenne (II) avec un ILe+terme II apparait dans l’équation (I) avec un signe 2 ‘’-’’ et dans 2l’équation mais signe ‘’+’’. par ∂contre, uj u ' j il ∂moyenne; cinétique d EIlc ne modifie donc ∂ pas l’énergie P υ ∂utotale u ∂ ' i i = u i Fi − deul’énergie − ...cinétique + + vers + l’énergie j traduit une transformation moyen − du mouvement ∂x j ∂xi x x ∂x j ρ 2 ∂ ∂ cinétiquedt de la turbulence j i 72 Transformation de l’énergie cinétique Dissipation perte en chaleur due à la viscosité (Einterne) K υ ∂u 'i ∂u ' j + Taux de dissipation ε = 2 ∂x j ∂xi k 2 Transfert d’énergie du mouvement moyen vers le mouvement turbulent Diffusion sous l’action de la turbulence, pression, viscosité Taux de production P = −u 'i u ' j ∂ ui >0 ∂x j • On montre que le flux d’énergie de la turbulence est nul en moyenne et que la variation d’énergie cinétique de la turbulence est nulle en moyenne (turbulence homogène) : dk ∂ =− dt ∂x j 2 u ' P' υ ∂u 'i ∂u ' j ∂ ui − ... − + − u ' u ' i j ∂x ρ 2 ∂ x ∂x j i j C’est l’écoulement turbulent typique : turbulence dont l’énergie cinétique est alimentée par K et dissipée au même taux en chaleur par viscosité. On dit que l’écoulement turbulent est en équilibre local 0 ≈ P−ε 73 Cascade de Kolmogorov Turbulence créée et alimentée en énergie à grande échelle [Kolmogorov, 1941] l' l' 2 Cascade inertielle où on va avoir une division des tourbillons en tourbillons plus petits. A un certain stade, la turbulence est localement isotrope et homogène Energie qui va se l' dissiper au même taux, en chaleur par viscosité, 4 à petite échelle Cascade d’énergie grâce λ f 2 υ ∂u ' ∂u ' j à la convection ε= i + 2 ∂x j ∂xi A. Kolmogorov Cette cascade inertielle a été décrite par Kolmogorov et les échelles fondamentales ont été explicités : • L’échelle intégrale ou ‘’échelle des gros tourbillons’’ énergétiques qui ont une action sur le mvt moyen. Ces tourbillons sont essentiellement porteurs de l’énergie cinétique k; ils ont une vitesse caractéristique et un temps de retournement donnés par k 3/ 2 L k l ' = Lt ≈ u ' ≈ k 1/ 2 T ≈ t ≈ ε u' ε • L’échelle de Kolmogorov ou ‘’petite échelle’’ : plus petite taille des tourbillons 1/ 4 dissipatifs λ υ3 1/ 4 λ f ≈ u f ≈ (νε ) τ= f uf 74 ε ∂u P = −u 'i u ' j i ∂x j Processus schématique de la cascade inertielle [Schiestel, 1993] • Un des mécanismes responsable de la cascade énergétique est l’étirement des filets tourbillons (vortex stretching) • Un étirement initial dans la direction z intensifie le mouvement dans les directions x et y en réduisant l’échelle. Après plusieurs répétitions l’isotropie est approchée Arborescence de Bradshaw illustrant la cascade d’énergie, la tendance à l’isotropie de la microturbulence, processus schématique 75 Modèle de fermeture à 1 équation de transport Modèle k-l Équation de l’énergie cinétique moyenne du mouvement turbulent k = 1 u ' u ' ν = C l k lm = κ z 2 dk ∂ = dt ∂x j i i t lµ m ν t ∂k k 3/ 2 ν + + (Pk + Ph ) − Clε σ k ∂x j lm Transport de k par diffusion turbulente, visqueuse et par pression fluctuante Productions dynamique et thermiques de k Ph = β T ' w' ' ' ∂ui Pk = −ui u j ∂x j Taux de dissipation ε de l’énergie cinétique moyenne du mvt turbulent 76 Turbulence et stabilité Production thermique Ph = β T ' w' • Ph > 0 T ' w ' > 0 – La turbulence est d’origine thermique et dynamique (amplifiée) – Régime de convection mixte – CLA en stratification instable (profil de T suradiabatique, jour) ' ' • Ph = 0 T w = 0 – La turbulence est uniquement d’origine dynamique – Régime quasi-neutre ou de convection forcée : la température est un scalaire passif (couverture nuageuse importante) • Ph < 0 T ' w ' < 0 – La production gravitationnelle se comporte comme un terme puits vis-à-vis de la turbulence qui ne pourra se maintenir que si Pk > - Ph – CLA en stratification stable (profil en condition d’inversion, nuit) – Situation extrême, turbulence inhibée Pk-->0 : régime de convection libre, stratification très stable 77 Modèle de fermeture à 2 équations de transport Modèle k-εε (à titre indicatif) Modèle k-e : équation de k + équation du taux de dissipation (~pseudo-dissipation) bon candidat pour l’: ' i ' i ∂u ∂u ε =ν ∂x j ∂x j dε ∂ = dt ∂x j k ν t = Cµ ε 2 l’échelle intégrale ν t ∂ε ε ε2 ν + + Cε1 (Pk + Ph ) − Cε 2 σ ε ∂x j k k Transport de ε par diffusion turbulente, visqueuse et par pression fluctuante Productions de ε Dissipation de ε par action de la viscosité 78 Les sous-couches de la CLA IV III II Sous-couche inertielle I Sous-couche rugueuse 79 Couche limite de surface ou couche superficielle II • Hypothèses de la couche limite de surface : – direction du vent constante, effets de Coriolis négligeables – écoulement stationnaire, homogène horizontalement • Les transferts turbulents sont déterminés par l’interaction avec la surface considérée comme homogène • Les flux turbulents sont constants et égaux à leur valeur à la surface terrestre (en axes naturels CLS (Ox selon τ 0 ) CLS z Sous-couche inertielle ou couche à flux constants : quantité de mvt chaleur sensible, évaporation … Sous-couche rugueuse hCLS ≈ hcla 10 à 20 v' w' = 0 ; v( z ) = 0 ρ 0 u ' w' = −τ 0 T ' w' = Q0 = Cste τ = (τ 0 ,0) = Cste u* hs 2 hs H 0 = ρ o C p Qo zo = x hs (10 à 3080) Couche limite de surface ou couche superficielle • Hypothèses de la couche limite de surface CLS II - Direction du vent est constante, l’effet de Coriolis est négligeable - Écoulement stationnaire, développé suivant x ∂u ∂T − kθ + T ' w' = Q0 µ − ρ 0 u ' w' = τ 0 ∂z ∂z τ 0 : frottement ou contrainte de cisaillement à la surface Q 0 = H 0 / ρ 0C p H 0 étant le flux de chaleur sensible à la surface • Les transferts turbulents sont déterminés par l’interaction avec la surface : les flux turbulents sont constants et égaux à leur valeur à la surface terrestre considérée comme homogène => On définit 2 échelles caractéristiques constantes dans la CLS u* = (τ 0 / ρ ) 1/ 2 vitesse de frottement [m.s -1 ] u*θ* = −Q0 θ* température de frottement [K] 81 Ex4 : Étude d’une CL sur plaque plane Interaction dynamique avec une paroi (1) II En utilisant les relations de la couche de surface, supposée neutre, exprimer la loi de variation de u (z ) - vitesse moyenne horizontale - de direction fixe choisie suivant l’axe (ox) et on désigne par z est l’axe vertical ∂u τ0 2 ν − u ' w' = cste = = u* ρ0 ∂z 1- pour une paroi dynamique lisse Expliciter la loi de variation : ν A) Juste au-dessus de la paroi ( z ≤ 5 ) en fonction de u*,ν et z ν ν u* B) Loin de la paroi z ≥ 30 à z < 500 en fonction de u*,ν,z et d’une u* u* constante que l’on calculera en considérant que les 2 lois se « raccordent » en z = 11,1 ν u* 82 Ex4 : Étude d’une CL sur plaque plane Interaction dynamique avec une paroi (2) II 2- Paroi dynamique rugueuse h s u* > 60 ν • On considère maintenant que la paroi est rugueuse avec une rugosité moyenne, la longueur de rugosité donnée par : hs z0 ≈ 10 avec hs : hauteur moyenne des éléments du micro-relief 1 hs = Aire ∫∫ h (x, y )dxdy s surface • Exprimer la loi de variation de u (z ) en fonction de u*, z et zo en considérant que la paroi est dynamiquement complètement rugueuse : c’est-à-dire qu’au voisinage immédiat de la paroi, l’écoulement est constitué de tourbillons engendrés par les aspérités et que la vitesse s’annule en z = z0 83 Profil de vitesse au voisinage d’une paroi lisse Loi de paroi II [De Moor] u / u* u z u* = => u + = z + u* ν u 1 z u* = log u * 0 .4 0.13ν => Sous-couche visqueuse => Sous-couche inertielle z u* ν 5 30 500 Exemple de synthèse de mesures du profil de vitesse moyenne au voisinage d’une paroi lisse 84 Variation de la vitesse dans la couche de surface neutre II • Paroi dynamique rugueuse • On définit par z0 la rugosité dynamique où la vitesse s’annule. La longueur de mélange est donnée par la loi l = κ z τ0 ∂u ν − u ' w' = = u*2 ∂z ρ ∂u 2 − u ' w' = ν t = u* ∂z 2 ∂u νt = l l =κz ∂z u* z ∂u u* u ( z ) = ln = z κz z0 ∂z κz ∫ z0 => Variation logarithmique de la vitesse dans la couche de surface 85 Classification des écoulements neutres à flux constant vis-à-vis de la rugosité [De Moor] δν / z * hs / z* hs / z* z ≥ 30 ν u* zo ≈ 0.13 ≈ 230 zo ν u* 86 Variation logarithmique de la vitesse Longueur de rugosité II u* z u ( z ) = ln κ z0 z > z0 u (zo ) = 0 hs z0 = 10 à 30 z0 • La longueur (ou paramètre) de rugosité de la surface zo traduit d’une façon macroscopique l’effet de la rugosité sur le profil vertical du vent • zo permet de reproduire les interactions dynamiques avec la paroi (liées aux rugosités) sans avoir à résoudre explicitement l’écoulement au niveau des éléments de rugosité • La loi logarithmique n’a pas vocation à représenter la vitesse moyenne 87 réelle au voisinage de zo Longueurs de rugosité de surfaces II • Paramètres macroscopiques de surfaces naturelles zo (m) Neige Sable Herbe rase hs=1,5 à 3 cm 10-5 3.10-4 2.10-3 à 7.10-3 Herbe haute hs=0.65 m (vent modéré) 4 à 9.10-2 Buissons Forêts hs=10 m Villes 0.1 0.5 à 1 1 υ - Les surfaces de neige, de glace et d’eau par vent calme sont lisses z0 ≈ 0,13 u - Interaction écoulement/vagues, la rugosité de la mer est complexe à définir ! * • Influence de la rugosité [Oke, 1987] hs z0~ 0.05m z0~ 0.5m z0~ 1m z0 88 Variation logarithmique de la vitesse Hauteur de déplacement II C.L.S ~2 h z hs u* z − d z > 2h s z0 = u ( z ) = ln 10 à 30 κ z0 u ( zo + d ) = 0 d = 0 .7 h Sous-couche rugueuse • La hauteur de déplacement d dépend de la nature du microrelief (hauteur, densité, feuille..) zo + d d d • Elle permet de prolonger la zone de validité de la loi ‘’logarithmique’’ au voisinage du micro-relief en surélevant l’origine du sol Paramétrage de la surface par des • d est l’altitude d’une paroi variables macroscopiques (zo,d) fictive qui représente le Végétation = surface plancher ressenti par l’écoulement 89 Variation logarithmique de la température moyenne • Hypothèses de la couche limite de surface CLS II - Direction du vent constante, effet de Coriolis négligeable - Écoulement stationnaire, développé suivant x, quasi-neutre, paroi rugueuse ∂T − kθ + T ' w' = Q0 ∂z Flux vertical cinématique moyen de chaleur sensible en surface. Ho est le flux vertical (moyen) de chaleur sensible à la surface • En utilisant la température de frottement θ* = − Prt θ * z − d ln T −T s = κ z0 h h su* z0 h = zo exp − κ P Pr, ν H0 Qo = ρoC p Q0 u* T s = température de surface ν ν Nombre de Prandtl, Pr = kθ ; Prt = kθ t nombre de Prandtl turbulent • La longueur de rugosité thermique caractérise de façon macroscopique l’effet de la rugosité de la surface sur le transfert thermique. En pratique, on prend souvent zoh = zo 90 Couche de surface non-neutre II - Paroi rugueuse - Stratification quelconque Profil de vitesse u* z − d u = ln κ z0 Profil de température Prt θ* z − d T −T s = ln κ z0 h Flux turbulent de quantité de mvt ∂u u* = ∂z κz Flux turbulent de chaleur ∂T θ* = ∂z κz Théorie de Monin et Obukhov 91 Théorie de similitude de Monin et Obukhov (1954) II • Longueur de Monin-Obukhov définie une échelle de longueur pour la flottabilité u3 u3 u2 L=− * κ β T ' w' =− * κ β Q0 = * κ β θ* • Indice de Monin-Obukhov est une mesure des effets relatifs du cisaillement et de la flottabilité z ξ= L ξ >0 L>0 ξ = 0 L → +∞ ξ <0 L<0 Stratification stable Stratification neutre Stratification instable • Théorie de similitude Toutes les dérivées locales verticales des variables moyennes turbulentes adimensionnées par des échelles pertinentes s’expriment par des fonctions universelles de ξ Échelles pertinentes : u* , θ * , L M (z ) = f M (ξ ) M* 92 =>Les caractéristiques des processus turbulents ne dépendent que de ξ Corrections des flux et des profils turbulents - Paroi rugueuse - Stratification quelconque Flux turbulents κz ∂u = φm (ξ ) u* ∂z II κz ∂T = φh (ξ ) θ* ∂z Profil de vitesse u* z − d z−d z0 − ψ m u ( z ) = ln +ψ m κ z0 L L Profil de température Prt θ* z − d z0h z−d T (z ) − T s = ln − ψh + ψh κ L L z0 h En stratification thermique, les profils verticaux sont représentés par des expressions pseudo-logarithmiques 93 Fonctions de similitude Exemple de Businger et Dyer II Les fonctions universelles sont les mêmes quelle que soit la couche limite de surface • Correction des flux turbulents - Stratification stable φm (ξ ) = φh (ξ ) = 1 + 5ξ pour - Stratification instable φ m2 (ξ ) = φh (ξ ) = (1 − 15ξ ) −1 / 2 0 ≤ ξ <1 pour − 5 < ξ < 0 • Correction des profils turbulents z −d L ψ (ξ ) = ∫ z0 L (1 − φ (ξ )) ξ dξ • Définition du nombre de Prandtl turbulent ν φ (ξ ) Prt = t = h kθ t φm (ξ ) 94 Ex5 : Profil de vent dans la couche limite de surface II Le tableau indique les résultats de mesures simultanées des composantes zonales et méridienne u et v du vent à différents niveaux z au-dessus du sol. La température à 2 mètres est de 20°C. Ces mesures sont effectuées au-dessus d’un couvert végétal de hauteur moyenne hs égale à 1 mètre. La hauteur du couvert étant non négligeable, il est nécessaire de raisonner avec la variable z’=z-d, d étant une hauteur de déplacement calculée ici par z=0,6hs 2 3 4 5 10 15 20 25 30 u (m/s) 2,6 3 3,3 3,55 4,2 4,6 4,9 5,1 6 v (m/s) 1,5 1,75 1,95 2 2,4 2,6 2,8 3 4 z(m) 1-A) Exprimer la vitesse du vent en fct de z, d, u* et d’une longueur de rugosité zo B) Proposer une valeur pour l’épaisseur de la CLS 2-Quels sont les profils de la température potentielle et de la température ? 3-A) Calculer la vitesse de frottement et la longueur de viscosité B) Montrer que l’on peut à partir des mesures avoir une approche de u* et zo même si on ne connait pas d C) Montrer que les mesures d’une seule composante du vent permettent de déterminer zo 95 La couche limite de transition III • Au-dessus de la CLS, on trouve la couche limite de transition CLT, couche supérieure de la CLA • Peu d’hypothèses simplificatrices applicables – L’écoulement n’y est pas en général quasi-stationnaire – Les forces de pression et de Coriolis ne sont pas négligeables – L’influence directe de la surface est importante • Les résultats classiques – Les théories de similitudes de la CLS peuvent se généraliser et déboucher sur des relations qui relient les sauts des paramètres entre la base et le sommet de la CLA – Le profil de température suit une évolution diurne typique – Le vent subit une rotation quand z augmente 96 Couche limite d’Ekman • Approximations de ce modèle simple – – – – – III ∂ ∂ = ≈0 Hypothèse d’homogénéité horizontale (sauf pour P) ∂x ∂y ∂ Ecoulement stationnaire ≈0 ∂t Vent géostrophique à la limite sup. neutre et barotrope u H → u g ∂u g Diffusion moléculaire négligeable =0 ∂z Adhérence à la surface Équation de quantité de mvt : équilibre pression - Coriolis - frottement ∂u ' w' ∂ v ' w' − f (v − v g ) = 0 ; + f (u − u g ) = 0 ∂z ∂z ∂v ∂u v' w' = − K u u ' w' = − K u ∂z ∂z Ku étant un coefficient d’échange turbulent == viscosité turbulente • Hypothèse supplémentaire : Ku constant sur la verticale 97 Spirale d’Ekman • On passe en variables complexes V = u + i v • L’équation devient Ku ∂ 2 (V − Vg ) ∂z 2 Vg = u g + i v g III − if (V − Vg ) = 0 • Conditions limites - Parallélisme du vent et de la tension turbulente au sol z → 0 - α g : valeur de l’angle entre la tension à la surface (c-a-d dans la CLS) et le vent géostrophique ( α g < 0 hémisphère nord ) • Dans un système d’axes horizontaux tels que Ox est // au vent géostrophique, la solution est 1/ 2 f 3 π ( ) V ( z ) = Vg 1 + 2 sin α g exp − 1 + i z + i αg + z 4 2Ku Cette formule est une spirale logarithmique dite «spirale d’Ekman» 98 Spirale d’Ekman type III ug=10 m/s, vg=0 Ku= 5 m2s-1, f=7.29 10-5 h cla => u (hcla ) = u g hcla=1050 m v z = 100 z = 200 z = 400 z=0 z = 700 ug αg = π 6 hcla = 1050 m u Le modèle d’Ekman explique la rotation du vent avec l’altitude 99 Profils de coefficient d’échange turbulent dans la CLA z h− Instabilité Qo > 0 Neutralité Qo = 0 Stabilité Qo < 0 ho h+ ~ κ z u* K [ m 2 s −1 ] K [ m 2 s −1 ] Exemples de profils de coefficient d’échange turbulent, déterminés expérimentalement dans la CLP (le plus à droite correspond au profil de vent historique dit de « Leipzig »). En médaillon, l’allure type visée par la modélisation pour les coefficients d’échanges Le modèle d’Ekman est utile mais n’a qu’une validité qualitative ! 100 Atmosphère libre : vent géostrophique • Approximations du modèle – – – – – IV ∂ ∂ = ≈0 Hypothèse d’homogénéité horizontale (sauf pour P) ∂x ∂y ∂ Ecoulement stationnaire ≈0 ∂t Turbulence négligeable Diffusion moléculaire négligeable Adhérence à la surface • Equations de continuité w=0 • Equations du mouvement du vent géostrophique g g 101 Structure de la CLA ATMOSPHÈRE LIBRE IV COUCHE LIMITE III DE TRANSITION Ou couche d’Ekman Équilibre des forces de • Pression • Coriolis • Pression Théorie Rossby et Équilibre des forces de • Coriolis •Reynolds Zilitinkevich - Deardorff COUCHE LIMITE SUPERFICIELLE (CLS) u ' w' = − SCI Théorie géostrophique hcla ≈ 1000 m hCLS ≈ hcla 10 à 20 Théorie de Monin - Obukhov II τ0 = −u*2 ρ Flux Constants LMO = u* , θ* , β u*2 κ β θ* ξ= z LMO T ' w' = Q0 = −u*θ* SCR hs I u* H 0 = ρ o C p Qo 2 hs zo = hs (10 à 30 )102 Nomenclature 103 Principales notations (1) [ u j : composante du vecteur vitesse instantanée suivant j m.s −1 [ ] ] P : pression instantanée kg .m −1 .s −2 T : température instantanée [K ] θ : température potentielle instantanée [K ] f : grandeur aléatoire f : moyenne de Reynold ; f ' : fluctuation ρ : masse volumique [kg .m −3 ] f l : écart à l' état de référence f o : valeur moyenne dans la CLA de l' état de référence f r : état de référence k : énergie cinétique moyenne du mvt turbulent [m 2s -2 ] ε : taux de dissipation de k [m 2s -3 ] l ' : échelle de longueur caractéristique des tourbillons énergétiques [m] -1 u ': vitesse caractéristique du mvt turbulent (gros tourbillons énergétiqu es) [ms104 ] Principales notations (2) [ C : capacité calorifique massique à V cste [m .s λ : conductivité thermique [kg .m.s .K ] k : diffusivité thermique [m .s ] = λ /( ρ C ) k : diffusivité thermique turbulente [m .s ] = ν µ : viscosité dynamique [kg .s .m ] C p : capacité calorifique massique à P cste m 2 .s −2 .K −1 2 −2 v −3 2 .K − 1 ] ] −1 −1 θ p 2 −1 θt −1 t / Prt −1 ν : viscosité cinematique [m 2 .s -1 ] = µ / ρ = 1,5.10-5 (20°C) Re : nombre de Reynolds [-] ν t : viscosité turbulente [m 2 .s -1 ] Pr : nombre de Prandtl [-] Prt : nombre de Prandtl turbulent [-] M air : masse molaire = 28,965338 10 -3 kg .mol −1 R : constante massique des GP. Pour l' air sec R = 287 J kg −1 K −1 105 Principales notations (3) u* : vitesse de frottement [m.s-1 ] θ* : température de frottement [K] H 0 : flux de chaleur sensible en surface [W.m -2 ] Q0 : flux vertical cinématique moyen de chaleur en surface [K.m.s -1 ] = H o /( ρ C p ) zo : longueur de rugosité dynamique [m] zo h : longueur de rugosité thermique [m] lm : longueur de mélange [m] zd : hauteur de déplacement [m] L : longueur de Monin et Obukov [m] ξ : indice de Monin et Obukov [-] φm , φh : fonctions de similitude flux - gradient [-] 106 Principales notations (4) β : coefficient de flottabilité [m.s −2 .K −1 ] f : paramètre de Coriolis = 2 Ω sin φ [s −1 ] x j : coordonnée cartésienne suivant la direction j [m] [ g : accélération de la pesanteur m.s −2 ] r : constante universelle des GP = 8.314 J.mol −1 K −1 t : temps [s ] ε ijk : symbole d' Einstein vaut 1 si i, j , k = 1,2 ,3 ou - 1 si i, j , k = 3,2 ,1 sinon 0 δ ij : symbole de Kronecker vaut 1 si i = j et 0 sinon d ∂ ∂ = +uj : dérivée particulaire d t ∂t ∂ xj Air : nu = 1,5.10-5 m2s-1 107 Compléments 108 Structure verticale de l’atmosphère La température • La thermosphère ~150 km – T augmente et devient très dépendante de l’activité solaire – Air gaz raréfié • 1019 molécule m-3 à 100 km • 1025 molécule m-3 au sol • La mésosphère ~ 85 - 90 km – T décroît jusqu’à 170 K (raréfaction de O3 et O2) • La stratosphère ~ 50 km ⇒ – T constante puis croissante jusqu’à 270 K Absorption des UV solaires par O3 et O2 – Cette couche d’inversion est une caractéristique essentielle de la Terre Profil vertical moyen de température (atmosphère standard USA 1976) • La troposphère ~ 6/8 - 16/18 km – T décroissance jusqu’à 220 K aux pôles et 190 K à l’équateur – Gradient moyen de T est de l’ordre de -6.5 K km-1 109 Modèles statiques de l’atmosphère Atmosphère statique : V=0 et dV/dt=0 • P,T,ρ ne dépendent que de z • Approximation hydrostatique (équilibre entre la force de gravité et la composante verticale de la force de pression) ∂P = − ρg ∂z - Atmosphère homogène ρ = ρ 0 = Cste P( z ) = Ps − ρ 0 g z - Atmosphère isotherme z P ( z ) = Ps exp − H T = T0 = Cste A une atmosphère réelle de caractéristiques de surface Ps,Ts, ρs on peut associer une atmosphère homogène «équivalente» d’épaisseur H appelée hauteur d’échelle RTs H= ≈ 8 km g Ts = 273 K 110 Modèles statiques de l’atmosphère - Atmosphère à gradient constant ∂T = Cste = −Γw ∂z Valeurs typiques T ( z ) = Ts − Γw z g / R Γw Γw = 6.5 K / km Γw z P( z ) = Ps 1 − Ts = 273 K Ts - Atmosphère adiabatique θ = θ 0 = Cste ⇒ ∂T = Cste = − g ∂z Cp g Γw ≡ Γad = Etat de référence C p Γad = 10 K / km est le gradient adiabatique sec - Atmosphère standard (norme internationale utilisée dans l’aéronautique) Ps = 1013,25 hPa Ts = 288,15K ρ s = 1,225 kg / m3 Γw = 6.5 pour 0 ≤ z ≤ 11 km Γw = 0 pour z > 11 km T = Cste = −56.5°C 111 Écoulement turbulent dans une canopée végétale (bonus à titre indicatif) I [Raupach] Interaction végétation-écoulement • Flux qdm non conservatif absorbé par pression et viscosité par les végétaux • Analogie avec la couche de mélange • Turbulence très intermittente • Génération de sillages turbulents 112 Modélisation de l’écoulement turbulent dans un couvert végétal (bonus à titre indicatif) I [Foudhil, 2002] • Définition d’un opérateur moyenne spatio-temporelle - Moyenne temporelle f = f + f ' - Moyenne spatiale • Problème de fermeture f = f +f '' '' '' ui' u'j + u i u j - Modélisation des corrélations turbulentes ∂ ui ∂ u j '' '' 2 ' ' ui u j + u i u j = k δij + ν t + 3 ∂xi ∂x j Flux turbulents Flux dispersifs - Modèle de type k-εε de canopée Force due à l’absorption par la Eq u − Cd ( z ) a( z ) u j u j ui végétation (force de traînée) Coefficient de traînée • Eq k + Pw − ε w Densité de surface foliaire frontale • Eq ε + Pε w − Dε w 113 Ecoulement dans un couvert végétal I (bonus à titre indicatif) [Foudhil, 2002] a=10 m-1 Cd=1.35 h=47 mm U0 k0 ε0 Expérimentation en soufflerie Vitesse moyenne horizontale (ms-1) 4.08 m Flux turbulent (m2s-2) 114
