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3. Les sous-groupes d’un groupe cyclique
Soit (G, ∗, e)un groupe cyclique d’ordre ord(G) = n.
Lemme (les sous-groupes d’un groupe cyclique sont cycliques)
Si Hest un sous-groupe de G, alors il est isomorphe `a un groupe quotient
r /n o`u r|n. En particulier, Hest cyclique (d’ordre d=n
r).
D´emonstration : Soit atel que G=<a>et consid´erons le morphisme
surjectif
f:−→ G
k7−→ ak
Soit r∈tel que f−1(H) = r. On a Ker(f) = n⊂r. Donc il existe
d∈tel que n=dr.
La factorisation par le quotient du morphisme surjectif
g:r−→ H
k7−→ ak
permet de conclure (exercice).