6. Groupe cyclique - UTC

6. Groupe cyclique
Rappel : Un groupe (G, ∗, e)est cyclique s’il est monog`ene d’ordre fini. Dans
ce cas Gest commutatif et si ord(G) = n, il est isomorphe `a /n .
1Un lemme concernant les groupes commutatifs
2Indicatrice d’Euler et g´en´erateurs des groupes cycliques
3Les sous-groupes d’un groupe cyclique
4Un crit`ere de cyclicit´e

1. Un lemme concernant les groupes commutatifs
Soit (G, ∗, e)un groupe commutatif.
(∀r∈)Hr
d´ef
={x∈G:xr=e}={x∈G: ord(x)|r}
Lemme
1Hrest un sous-groupe de G.
2Supposons de plus que ord(G) = n∈, et d´esignons par ψ(d)le
nombre d’´el´ements d’ordre dde G. Alors on a :
n=X
d|n
ψ(d)
D´emonstration :
1exercice qui utilise la commutativit´e de G.
2“Avoir le mˆeme ordre” est une relation d’´equivalence sur G.

2. Indicatrice d’Euler et g´en´erateurs des groupes cycliques
D´efinition (Indicatrice d’Euler)
L’indicatrice d’Euler est d´efinie par
(∀n∈ \ {0})φ(n)d´ef = card {k∈[[1, n]] : pgcd(k, n) = 1}
Propri´et´es imm´ediates :
1∀n∈ \ {0},1≤φ(n)≤n
2Si pest un nombre premier, φ(p) = p−1.

les g´en´erateurs d’un groupe cyclique
Proposition (les g´en´erateurs d’un groupe cyclique)
Soit G=<a>un groupe cyclique d’ordre nde g´en´erateur a. Alors on a :
(∀k∈[[1, n]]) G=< ak>⇐⇒ pgcd(k, n) = 1
En particulier, Ga exactement φ(n)g´en´erateurs.
D´emonstration :
G=< ak>⇐⇒ a∈< ak>, puis B´ezout. 

3. Les sous-groupes d’un groupe cyclique
Soit (G, ∗, e)un groupe cyclique d’ordre ord(G) = n.
Lemme (les sous-groupes d’un groupe cyclique sont cycliques)
Si Hest un sous-groupe de G, alors il est isomorphe `a un groupe quotient
r /n o`u r|n. En particulier, Hest cyclique (d’ordre d=n
r).
D´emonstration : Soit atel que G=<a>et consid´erons le morphisme
surjectif
f:−→ G
k7−→ ak
Soit r∈tel que f−1(H) = r. On a Ker(f) = n⊂r. Donc il existe
d∈tel que n=dr.
La factorisation par le quotient du morphisme surjectif
g:r−→ H
k7−→ ak
permet de conclure (exercice). 