6. Groupe cyclique
Rappel : Un groupe (G, ∗, e) est cyclique s’il est monogène d’ordre fini. Dans
ce cas G est commutatif et si ord(G) = n, il est isomorphe à /n .
Z Z
1
Un lemme concernant les groupes commutatifs
2
Indicatrice d’Euler et générateurs des groupes cycliques
3
Les sous-groupes d’un groupe cyclique
4
Un critère de cyclicité
1. Un lemme concernant les groupes commutatifs
Soit (G, ∗, e) un groupe commutatif.
(∀r ∈
N)
déf
Hr = {x ∈ G :
xr = e} = {x ∈ G : ord(x)|r }
Lemme
1
Hr est un sous-groupe de G.
2
Supposons de plus que ord(G) = n ∈ , et désignons par ψ(d) le
nombre d’éléments d’ordre d de G. Alors on a :
X
n=
ψ(d)
N
d|n
Démonstration :
1
exercice qui utilise la commutativité de G.
2
“Avoir le même ordre” est une relation d’équivalence sur G.
2. Indicatrice d’Euler et générateurs des groupes cycliques
Définition (Indicatrice d’Euler)
L’indicatrice d’Euler est définie par
(∀n ∈
N \ {0})
déf
φ(n) = card {k ∈ [[1, n]] :
Propriétés immédiates :
N \ {0},
1
∀n ∈
1 ≤ φ(n) ≤ n
2
Si p est un nombre premier, φ(p) = p − 1.
pgcd(k, n) = 1}
les générateurs d’un groupe cyclique
Proposition (les générateurs d’un groupe cyclique)
Soit G =< a > un groupe cyclique d’ordre n de générateur a. Alors on a :
(∀k ∈ [[1, n]])
G =< ak > ⇐⇒ pgcd(k, n) = 1
En particulier, G a exactement φ(n) générateurs.
Démonstration :
G =< ak > ⇐⇒ a ∈< ak >, puis Bézout.
3. Les sous-groupes d’un groupe cyclique
Soit (G, ∗, e) un groupe cyclique d’ordre ord(G) = n.
Lemme (les sous-groupes d’un groupe cyclique sont cycliques)
Si H est un sous-groupe de G, alors il est isomorphe à un groupe quotient
r /n où r|n. En particulier, H est cyclique (d’ordre d = nr ).
Z Z
Démonstration : Soit a tel que G =< a > et considérons le morphisme
surjectif
f:
N
Z
Z
−→ G
k 7−→ ak
Z
Z
Soit r ∈ tel que f −1 (H) = r . On a Ker(f ) = n ⊂ r . Donc il existe
d ∈ tel que n = dr.
La factorisation par le quotient du morphisme surjectif
N
g:r
Z
−→ H
k 7−→ ak
permet de conclure (exercice).
Les sous-groupes d’un groupe cyclique
Soit (G, ∗, e) un groupe cyclique d’ordre ord(G) = n.
Théorème (caractérisation des sous-groupes d’un groupe cyclique)
Les sous-groupes de (G, ∗, e), groupe cyclique d’ordre ord(G) = n, sont les
n
o
Hd = x ∈ G :
xd = e
pour d|n
Ces sous-groupes sont cycliques et ord(Hd ) = d.
Démonstration : Soit H un sous-groupe de G. Soit d = ord(H). On a d|n et
(∀x ∈ H)
xd = e
On a donc H ⊂ Hd , et d ≤ ord(Hd ).
Hd est cyclique (comme tout sous-groupe de G) donc il existe x ∈ Hd tel
que ord(x) = ord(Hd ). Par suite ord(Hd )|d.
Finalement d = ord(Hd ), et H = Hd .
La formule d’Euler
Corollaire (formule d’Euler)
n=
X
φ(d)
d|n
Démonstration :
On considère un groupe cyclique d’ordre n, par exemple G = /n . Les
points suivants permettent de conclure :
• “Avoir le même ordre” est une relation d’équivalence sur G.
• L’ordre d’un élément de G est un diviseur d de n.
• Les éléments d’ordre d de G coı̈ncident avec les générateurs de Hd ,
sous-groupe cyclique d’ordre d. Ils sont donc au nombre de φ(d).
Z Z
4. Un critère de cyclicité
Théorème (critère de cyclicité)
Soit (G, ∗, e) un groupe commutatif d’ordre ord(G) = n. Si, de plus,
n
o
(∀d|n)
card x ∈ G :
xd = e ≤ d
alors G est cyclique.
N
Démonstration : ψ(d) = le nombre d’éléments d’ordre d de G. Soit d ∈ tel
que d|n.
• Si ψ(d) 6= 0, Hd = x ∈ G :
xd = e contient un élément x d’ordre d.
Avec l’hypothèse, on en déduit Hd cyclique, puis ψ(d) = φ(d).
• S’il existait d|n tel que ψ(d) = 0, on aurait donc la contradiction :
X
X
n=
ψ(d) <
φ(d) = n
d|n
Finalement, ψ(n) = φ(n) ≥ 1.
d|n
