COPIRELEM Banque de "Vrai-Faux ?Justifier !" extraite de la
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COPIRELEM Banque de "Vrai-Faux ?Justifier !" extraite de la brochure éditée par l'ARPEME Vous pouvez acheter cette brochure en vous rendant sur le site de l'ARPEME, à cette adresse : http://www.arpeme.fr/index.php?id_page=18 Pour accéder directement à une devinette, cliquez sur son numéro cidessous. 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 Dans les pages suivantes, en cliquant sur le numéro en tête d'une énigme, vous accédez à sa solution. Pour revenir à l'énigme, cliquez sur le numéro en tête de la solution. Attention : en cliquant sur la lettre D ou la lettre S précédent le numéro, soit de l'énigme, soit de la solution associée, vous revenez à cette première page. Conventions d'écriture : - les fractions sont désignées en utilisant un trait oblique : 3/4 ; 1/40000 ; a/b - les écritures symboliques dans une base ne sont pas surmontées d'un trait mais inclinées : mcdu représente ainsi un nombre à 4 chiffres dans une base indiquée par ailleurs. Voir devinette 40. - les écritures décimales périodiques sont soulignées : 22/30 = 0,735 - la racine carrée est désignée par le symbole : 4 2 Remarque générale concernant les solutions proposées par la cvommission : Pour chaque affirmation, une ou plusieurs justifications recevables sont proposées, mais ce ne sont pas les seules envisageables. D. Bertin IUFM de Versailles pour cette version ; m'écrire à : [email protected] COPIRELEM Banque de "Vrai-Faux-Justifier" ¤ Devinettes D_01 Un nombre décimal est toujours un nombre rationnel. D_02 Un nombre rationnel est toujours un nombre décimal. D_03 Le carré de la somme de deux nombres est égal à la somme des carrés de ces deux nombres. D_04 La somme de trois nombres entiers consécutifs est toujours divisible par 3. D_05 Quels que soient les nombres a et b, le système de deux équations en x et y ci-dessous admet toujours une solution unique : 6x-8y = a 9x -12y = b D_06 La représentation graphique d'une fonction linéaire passe par l'origine du repère. D_07 Il existe une fonction qui permet d'obtenir l'aire d'un rectangle lorsque l'on connaît son périmètre. D_08 L'aire d'un disque est proportionnelle au rayon de ce disque. D_09 Si l'on agrandit une carte IGN en la photocopiant avec le zoom « 200 pour 100 », on divise son échelle par deux. D_10 On prend le même chemin à l'aller et au retour. À l'aller, on roule à 90 km/h de moyenne, et au retour, à 70 km/h de moyenne. On peut alors affirmer que, sur le trajet aller - retour, la vitesse moyenne est égale à 78,75 km/h. D_11 On peut affirmer que la publicité suivante est mensongère : « Dès 18h, la communication téléphonique est 20% moins chère, vous avez donc 20% de temps de conversation en plus ! » D_12 Lors d'un trajet en voiture, la durée du voyage est proportionnelle à la vitesse moyenne. D_13 Augmenter un prix de 20% puis le diminuer de 20% revient à ne pas changer ce prix. D_14 La 1348ième décimale et la 5428ième décimale du nombre 12/13 sont les mêmes. D_15 On sait que la moyenne de cinq nombres distincts est 4 et que, quand on enlève le plus grand de ces nombres, la moyenne baisse de 2. On peut alors affirmer que l'on peut déterminer le nombre enlevé. D_16 Dire que la moyenne d'une classe à un devoir est 9 sur 20, c'est dire que la moitié de la classe a eu au moins 9 sur 20 à ce devoir. 1 2 COPIRELEM Banque de "Vrai-Faux-Justifier" ¤ Devinettes D_17 600 candidats participent à un concours. La moyenne est de 11,4 sur 20. Il y a 300 places au concours. On peut alors affirmer qu'avec une note de 12 sur 20, un candidat est certain d'avoir une place au concours ! D_18 On cherche tous les triangles dont les côtés ont pour mesure des nombres entiers de centimètres et dont le périmètre est 12 cm. On peut alors affirmer que, pour déterminer tous ces triangles, il suffit de trouver tous les triplets de nombres entiers dont la somme est 12. D_19 Une bouteille et son bouchon pèsent 105 g. La bouteille pèse 100 g de plus que le bouchon. On peut alors affirmer que le bouchon pèse 5 g. D_20 Dans une classe de collège, tous les élèves ont le même âge (tous les âges sont des nombres entiers) sauf sept qui ont un an de plus et deux qui ont un an de moins. Si on ajoute les âges de tous les élèves, on trouve 324. On peut alors affirmer que ces données suffisent pour déterminer le nombre exact d'enfants dans la classe. D_21 Parmi ces quatre horloges, une avance de 20 minutes, une retarde de 10 minutes, une s'est arrêtée, et une est à la bonne heure. Horloge A : Horloge B : Horloge C : Horloge D : On peut alors affirmer qu'il est impossible de savoir quel cadran indique l'heure exacte. D_22 Deux cercles ont le même centre, mais des rayons différents. [AB] est un diamètre de l'un et [CD] est un diamètre de l'autre. Ces deux diamètres sont perpendiculaires. On peut alors affirmer que le quadrilatère ACBD est un losange. D_23 1 cL de liquide occupe un volume égal à 0,001 dm3. D_24 Dans le cube ABCDEFGH ci-dessous, l'arête AB mesure a cm. On peut alors affirmer que le volume du solide dont les sommets sont A, B, D et E est égal à a3/6 cm3. D_25 On sait qu'il faut 24 carottes pour nourrir 12 lapins pendant 6 jours. On peut alors affirmer qu'il faut 36 carottes pour nourrir 18 lapins pendant 9 jours. D_26 Un décagone convexe possède 45 diagonales distinctes. COPIRELEM Banque de "Vrai-Faux-Justifier" ¤ Devinettes D_27 Le diamètre du disque ci-contre est partagé en deux segments de longueurs a et b. Deux demi-cercles sont construits respectivement sur chacun des deux segments de longueur a et b. Le disque initial est ainsi partagé en deux surfaces, l'une hachurée, l'autre non. On peut alors affirmer que le rapport entre le périmètre de la figure hachurée et le périmètre de la figure non hachurée est égal à a/b. D_28 Si on agrandit les mesures des côtés d'un polyèdre de 10 %, on peut alors affirmer que le volume du polyèdre augmente de 10 %. D_29 La racine carrée d'un nombre positif est toujours inférieure ou égale à ce nombre. D_30 Si ABCD est un trapèze et M est le milieu de la diagonale [BD], alors les triangles ABM et DMA ont même aire. D_31 Si AB2 = ÇA2 + BC2, alors le triangle ABC est rectangle en A. D_32 Soient deux nombres positifs quelconques A et p. On peut affirmer qu'il existe au moins un rectangle d'aire A et de périmètre p. D_33 Sur un papier quadrillé à maille carrée de 1 cm de côté, il est possible de repérer la longueur 3 2 cm. D_34 La somme des angles d'un pentagone convexe vaut 360°. D_35 21,36 et 21,37 sont deux nombres décimaux consécutifs. D_36 Une corde inextensible de 201 cm de long est fixée à ses extrémités sur un sol plat par deux clous distants exactement de 2 m. On soulève cette corde en son milieu le plus haut possible. On peut alors affirmer qu'on ne pourra pas dépasser 1 cm de hauteur. D_37 Dans la figure ci-contre, tous les disques sont tangents et les cinq petits disques ont même rayon. On peut alors affirmer que la surface hachurée a même aire que la surface non hachurée. D_38 Si a est un nombre entier naturel divisible par 4 et par 6, alors a est aussi divisible par 24. D_39 Le nombre huit milliard vingt mille quarante s'écrit en chiffres avec huit zéros. D_40 Soit a, b, c trois entiers compris entre 0 et 9. On peut alors affirmer que les nombres qui s'écrivent abcabc en base dix sont des multiples de 13. D_41 On additionne, selon la technique de calcul usuelle, deux nombres entiers. Le résultat est 2999. On peut alors affirmer que l'on ne peut pas savoir s'il y a des retenues dans cette addition. 3 COPIRELEM Banque de "Vrai-Faux-Justifier" ¤ Devinettes D_42 On sait d'un quadrilatère qu'il a trois côtés de même longueur. On peut alors affirmer que, pour que ce soit un losange, il suffit qu'en plus ses diagonales se coupent en leur milieu. D_43 Soit un parallélogramme ABCD et M un point quelconque intérieur au parallélogramme. On peut alors affirmer que la somme des aires des triangles AMB et DMC est égale à la somme des aires des triangles AMD et BMC. D_44 Dans un cube, deux arêtes perpendiculaires à une même troisième sont parallèles. D_45 Une classe de primaire compte 15 élèves de CP de taille moyenne 1,30 m, et 10 élèves de CE de taille moyenne 1,40 m. On peut alors affirmer que la taille moyenne d'un élève de cette classe est 1,35 m. D_46 Si deux villages sont distants de 7 cm sur une carte au 1/25000. alors ils seront distants de 35/8 cm sur une carte au 1/40000. D_47 Le produit des nombres 103 700 002 et 1 002 458 s'écrit avec 15 chiffres. D_48 En lançant simultanément deux pièces de monnaie, correctement équilibrées, on peut affirmer qu'on a une chance sur trois d'obtenir deux piles. D_49 On jette des dés correctement équilibrés et on s'intéresse à la somme des points obtenus. On peut affirmer qu'on n'a pas la même probabilité d'« obtenir 8 » si on lance deux fois successivement un même dé que si on lance simultanément les deux dés. D_50 On tire une carte dans un jeu de 32 cartes. On peut affirmer que la chance de n'obtenir ni une dame ni un cœur est de 21/32. D_51 Deux pots de peinture sont posés sur une table : un pot contenant de la peinture bleue et l'autre contenant de la peinture jaune. On plonge au hasard un pinceau dans l'un des pots et on peint une feuille de papier. Puis on prend un autre pinceau, que l'on plonge aussi au hasard dans l'un des deux pots et on recouvre de peinture la feuille précédente qui n'est pas encore sèche. On peut affirmer que l'on a trois chances sur quatre de ne pas obtenir une feuille bleue. D_52 Pour commercialiser des tomates, une coopérative les calibre en fonction du diamètre. La récolte est comprise entre 30 000 Diamètre (en mm) Effectifs (en milliers) et 31 000 tomates. On a obtenu les [48;51[ 8 relevés suivants : [51 ; 54[ Donnée manquante On peut alors affirmer que les trois quarts des tomates ont un diamètre inférieur à 57 mm. [54 ; 57[ [57 ; 60[ 10 9 4 COPIRELEM Banque de "Vrai-Faux-Justifier" ¤ Solutions S_01 Un nombre décimal est toujours un nombre rationnel. VRAI Un nombre rationnel est le quotient de deux entiers. Comme un nombre décimal peut toujours s'écrire sous forme d'une écriture fractionnaire dont le dénominateur est une puissance de 10, c'est donc bien un nombre rationnel. Ou bien : Un nombre décimal s'écrit sous forme d'une fraction irréductible dont le dénominateur s'écrit sous la forme 2n x 5P (avec n et p entiers). Ou encore : Un nombre décimal peut s'écrire avec une écriture à virgule dont le nombre de chiffres après la virgule est fini ; il suffit alors de multiplier ce nombre par une puissance de 10 suffisamment grande (et de diviser par cette même puissance de 10) pour obtenir ce nombre sous forme d'une écriture fractionnaire. Remarque : II ne suffit pas de donner un exemple pour justifier que l'affirmation est vraie. On doit fournir une preuve complète. S_02 Un nombre rationnel est toujours un nombre décimal. FAUX Contre-exemple : 1/3 est un nombre rationnel qui n'est pas un nombre décimal (1/3 est une fraction irréductible dont le dénominateur ne s'écrit pas sous la forme 2" x 5P (avec n et p entiers) ou bien l'écriture décimale de 1/3 est illimitée :1/3= 0,3). Remarque : Un contre-exemple suffit à prouver qu'une affirmation est fausse. S_03 Le carré de la somme de deux nombres est égal à la somme des carrés de ces deux nombres. FAUX Contre-exemple : (2 + 3)2 = 52 = 25 mais 22 + 32 = 4 + 9 = 13. Ou bien : Quels que soient les nombres a et b, on sait que (a + b)2 = a2 + b2 + 2 ab, donc, dès que a et b sont non nuls, (a + b)2 # a2 + b2 Ou bien : (a + b)2 est l'aire du carré ci-contre alors que a2 + b2 est l'aire grisée. Ces deux nombres ne sont donc pas égaux. S_04 La somme de trois nombres entiers consécutifs est toujours divisible par 3. VRAI. On considère trois nombres consécutifs notés : n, n+1, n+2, où n est un entier. Leur somme vaut n+n+1+n+2 = 3n+3. Or 3n+3-3(n+1), avec (n+1) entier, et ce nombre est bien divisible par 3 (c'est un multiple de 3). Remarques : 1. Il ne suffit pas de donner un exemple pour justifier que l'affirmation est vraie. 2. On peut également choisir, de coder ces trois nombres consécutifs par (n-1), n et (n+1). Dans ce cas, leur somme vaut 3n. La conclusion est identique. S_05 Quels que soient les nombres a et b, le système d'équations en x et y ci-dessous admet toujours une solution unique. FAUX. 6x-8y = a 9x -12y = b Un contre-exemple suffit à prouver qu'une affirmation est fausse. Pour a = b = 0, le 1 COPIRELEM Banque de "Vrai-Faux-Justifier" ¤ Solutions système admet une infinité de solutions (la seconde égalité s'obtient en multipliant la première égalité par 3/2). Ou bien : On peut considérer que 6x - 8y = a et 9x - 12y = b sont les équations de deux droites. Il y a trois cas possibles : soit les droites se coupent en un point et un seul (et dans ce cas, le système aura une solution et une seule), soit les droites sont parallèles (et dans ce cas, le système n'aura aucune solution), soit les droites sont confondues (et dans ce cas, le système aura une infinité de solutions). Ainsi, pour que le système considéré admette une solution unique, il faut (et il suffit) que les deux droites soient sécantes, c'est-à-dire distinctes et non parallèles. Or, on remarque que l'on passe de 6x - 8y à 9x - 12y en multipliant par 3/2. Les coefficients directeurs des deux droites en jeu sont les mêmes (respectivement 6/8 = 3/4 et 9/12 = 3/4 ) : elles sont donc parallèles ou confondues. Ainsi, selon les valeurs de a et b, le système admet une infinité de solutions ou aucune. S_06 La représentation graphique d'une fonction linéaire passe par l'origine du repère. VRAI. Si f est une fonction linéaire, l'image d'un nombre x par f est de la forme : f (x)=ax où a est un nombre fixé, donc on a toujours f (0)=0, ce qui prouve que la représentation graphique de f passe bien par le point de coordonnées (0,0). Remarque : Réciproquement, toute droite qui passe par l'origine du repère est la représentation graphique d'une fonction linéaire. S_07 Il existe une fonction qui permet d'obtenir l'aire d'un rectangle lorsque l'on connaît son périmètre. FAUX. Le problème de cette affirmation tient à la définition de la notion de fonction. Une fonction est une application qui à tout nombre (de son domaine de définition) fait correspondre un unique nombre. Or on peut trouver deux rectangles de même périmètre qui n'ont pas la même aire. Par exemple : un rectangle de largeur 2 cm et de longueur 3 cm a même périmètre (10 cm) qu'un rectangle de largeur 1cm et de longueur 4 cm, mais le 1er a pour aire 6 cm2 alors que le 2ième a pour aire 4 cm2. Un même périmètre peut donner au moins deux aires différentes, donc il n'existe pas de fonction qui donne l'aire d'un rectangle à partir de son périmètre. S_08 L'aire d'un disque est proportionnelle au rayon de ce disque. FAUX. L'aire d'un disque de rayon r est r2, l'aire d'un disque de rayon 2r est i(2r)2 = 4r2. En doublant le rayon, on quadruple l'aire donc la proportion n'est pas gardée. Ou bien : La fonction qui au rayon associe l'aire du disque est telle que f (r)= •r2. Ce n'est pas une fonction linéaire car elle n'est pas de la forme f (x)=ax. Il n'y a donc pas proportionnalité. S_09 Si l'on agrandit une carte IGN en la photocopiant avec le zoom « 200 pour 100 », on divise son échelle par deux. FAUX. Avant agrandissement, 1 cm sur la carte représente n cm sur le terrain, l'échelle de la carte est 1/n. Après agrandissement, 2 cm sur la carte représentent toujours n cm sur 2 COPIRELEM Banque de "Vrai-Faux-Justifier" ¤ Solutions le terrain, ainsi l'échelle de la nouvelle carte est 2/n. On ne divise pas par deux l'échelle de la carte, on la multiplie par deux. S_10 On prend le même chemin à l'aller et au retour. À l'aller, on roule à 90 km/h de moyenne, et au retour, à 70 km/h de moyenne. On peut alors affirmer que, sur le trajet aller - retour, la vitesse moyenne est égale à 78,75 km/h. VRAI. Si on note d la distance aller en km (et donc la distance retour), alors, en utilisant la relation v = d/t , ou t = d/v, le temps passé sur le trajet aller - retour est d/90 + d/70, soit (7d + 9d)/630 = 16d/630. Comme la distance du trajet aller-retour est 2d, la vitesse moyenne sur le trajet aller-retour est de 2d/(16d/630) = 2d x (630/16d) = 630/8 . In fine, on trouve une vitesse moyenne de 78,75 km/h. S_11 On peut affirmer que la publicité suivante est mensongère : « Dès 18h. la communication téléphonique est 20% moins chère, vous avez donc 20% de temps de conversation en plus ! » VRAI. On suppose que le prix est proportionnel à la durée. Pour une communication de durée t, le prix avant 18h est p. Pour cette même durée, le prix après 18h est 0,8 p. Donc, pour le même prix p, après 18h, on communique pendant un temps t/0,8 = 1,25 t. Ce qui correspond à 25% de temps en plus. Remarque : Un pourcentage étant un rapport entre deux nombres, il ne dépend pas du choix de l'un de ces deux nombres : on peut donc ici raisonner également sur un exemple. S_12 Lors d'un trajet en voiture, la durée du voyage est proportionnelle à la vitesse moyenne. FAUX. Si la vitesse augmente, la durée du voyage diminue... ce qui contredit la notion de proportionnalité. Ou bien : On a la relation suivante entre la distance (d), la vitesse (v) et le temps (t) : t = d/v . On en conclut que la durée du voyage n'est pas « proportionnelle » à la vitesse, mais « inversement proportionnelle » à la vitesse. S_13 Augmenter un prix de 20% puis le diminuer de 20% revient à ne pas changer ce prix. FAUX. Pour un prix initial de 100 €, l'augmentation de 20% donne un nouveau prix de 120 €, la baisse de 20% donne un prix final de 0,8 * 120 = 96 €. Le prix a donc changé. Remarque : On peut également remarquer que, par le calcul : 1,2 x 0,8 ≠ 1. S_14 La 1348ième décimale et la 5428ième décimale du nombre 12/13 sont les mêmes. VRAI. Il suffit de commencer la division effective de 12 par 13, on trouve 0,9230769... À partir du moment où l'on trouve comme reste un reste déjà apparu (ici le 12), on retrouve la suite de restes (ici 12, 3, 4, 1, 10, 9), et la suite des chiffres du quotient correspondant sera répétée (ici 9, 2, 3, 0, 7, 6). Ici, par exemple, le 9 se trouve être le premier chiffre après la virgule, le septième, le treizième, le dix-neuvième, etc. (de 6 en 6). De même, le 2 est le deuxième chiffre après la virgule, le huitième, le quatorzième, le vingtième etc. (de 6 en 6). Et ainsi de suite. Pour déterminer la nième décimale de 12/13, il suffit donc de connaître le reste dans la division euclidienne de n par 6. On a : 1348 = 6 x 224 + 4 et 5428 = 6 x 904 + 4, donc, 3 COPIRELEM Banque de "Vrai-Faux-Justifier" ¤ Solutions dans la division euclidienne par 6, 1348 et 5428 ont le même reste (4). On en déduit que la 1348ième décimale et la 5428ième décimale du nombre sont les mêmes (il s'agit du chiffre « 0 »). S_15 On sait que la moyenne de cinq nombres distincts est 4 et que, quand on enlève le plus grand de ces nombres, la moyenne baisse de 2. On peut alors affirmer que l'on peut déterminer le nombre enlevé. VRAI. Si on nomme a, b, c, d, et e les cinq nombres en supposant que e est le plus grand, alors on a : a + b + c + d + e = 5 x 4 = 20 et a + b + c + d = 4 x 2 = 8 . En soustrayant ces deux équations, on obtient e = 12. S_16 Dire que la moyenne d'une classe à un devoir est 9 sur 20, c'est dire que la moitié de la classe a eu au moins 9 sur 20 à ce devoir. FAUX. Pour le justifier, il suffit de donner un contre-exemple. On peut supposer qu'il s'agit d'une classe a effectif très réduit : par exemple, quatre élèves. Les notes peuvent être 6, 7, 8 et 15. La moyenne est bien 9 sur 20 mais seul un élève sur les quatre a eu au moins 9 sur 20. Remarque : La valeur d'une variable statistique qui partage une population en deux parties de même effectif n 'est pas la moyenne mais la médiane. S_17 600 candidats participent à un concours. La moyenne est de 11 ,4 sur 20. Il y a 300 places au concours. On peut alors affirmer qu'avec une note de 12 sur 20, un candidat est certain d'avoir une place au concours ! FAUX. Nous pouvons expliquer ce phénomène sur un cas particulier. Supposons que sur les 600 candidats, 300 aient une note de 16 sur 20, 289 ont une note de 7 sur 20, 5 candidats ont une note de 1 sur 20, 5 candidats ont une note de 0 sur 20 et un seul candidat a une note de 12 sur 20. La moyenne de cet ensemble de candidats est (300 x 16 + 289 x 7 + 5 x 1 + 1 x 12)/600 soit 11,4. Le candidat qui a eu 12 sur 20 a pourtant échoué à ce concours puisque 300 candidats ont une meilleure note que lui. S_18 On cherche tous les triangles dont les côtés ont pour mesure des nombres entiers de centimètres et dont le périmètre est 12 cm. On peut alors affirmer que, pour déterminer tous ces triangles, il suffit de trouver tous les triplets de nombres entiers dont la somme est 12. FAUX. En effet, le triplet (1 ; 1 ; 10) vérifie bien 1+1 + 10 = 12, mais le triangle n'est pas constructible car 1 + 1 < 10 (Dans un triangle, la somme des mesures de deux côtés est toujours supérieure à la mesure du troisième côté). S_19 Une bouteille et son bouchon pèsent 105 g. La bouteille pèse 100 g de plus que le bouchon. On peut alors affirmer que le bouchon pèse 5 g. FAUX. Si le bouchon pèse 5 g, la bouteille seule pèse 100 g + 5 g = 105 g et, la bouteille avec le bouchon pèse 105 g + 5 g = 10 g … Ou bien : Si on appelle p la masse du bouchon, alors la bouteille pèse (100 + p) grammes (100 g de plus que le bouchon). La bouteille et son bouchon pèsent donc : (100 + p) + p = 100 + 2p . Donc 100 + 2p = 105 g, d'où p = 2,5 g. 4 5 COPIRELEM Banque de "Vrai-Faux-Justifier" ¤ Solutions S_20 Dans une classe de collège, tous les élèves ont le même âge (tous les âges sont des nombres entiers) sauf sept qui ont un an de plus et deux qui ont un an de moins. Si on ajoute les âges de tous les élèves, on trouve 324. On peut alors affirmer que ces données suffisent pour déterminer le nombre exact d'enfants dans la classe. VRAI. Soit n le nombre d'élèves dans la classe et a l'âge majoritaire. On peut traduire l'énoncé par : (n - 9)a + 7 (a + 1) + 2 (a - 1) = 324. D'où na + 5 = 324 na = 319. Or n et a sont des nombres entiers et le seuls diviseurs de 319 sont 1, 11, 29 et 319. Par rapport au contexte du problème, seule la décomposition 319 = 11 x 29 est à retenir. Sachant qu'il s'agit d'une classe de collège, c'est a qui prend la valeur 11 et n la valeur 29. L'âge minoritaire est 11 et la classe compte 29 élèves. Vérification : 20 x 11 + 7 x 12 + 2 x 10 = 324. S_21 Parmi ces quatre horloges, une avance de 20 minutes, une retarde de 10 minutes, une s'est arrêtée, et une est à la bonne heure. Horloge A : Horloge B : Horloge C : Horloge D : On peut alors affirmer qu'il est impossible de savoir quel cadran indique l'heure exacte. FAUX A indique l'heure exacte (B s'est arrêtée, C retarde de 10 minutes, D avance de 20 minutes). On ne peut se contenter de ce constat pour affirmer que l'affirmation est fausse, il faut également s'assurer qu'il n'y a pas d'autres réponses possibles. Si on suppose que B indique l'heure exacte alors aucune horloge n'avance de 20 minutes. Si on suppose que C indique l'heure exacte alors aucune horloge ne retarde de 10 minutes. Si on suppose que D indique l'heure exacte alors aucune horloge ne retarde de 10 minutes. Il y a donc bien une seule possibilité : A est l'horloge exacte. S_22 Deux cercles ont le même centre, mais des rayons différents. [AB] est un diamètre de l'un et [CD] est un diamètre de l'autre. Ces deux diamètres sont perpendiculaires. On peut alors affirmer que le quadrilatère ACBD est un losange. VRAI. Les diamètres [AB] et [CD] sont les diagonales du quadrilatère ACBD. Ces diagonales sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu (le centre commun des deux cercles). Ainsi, ACBD est un quadrilatère dont les diagonales se coupent eu leur milieu et sont perpendiculaires, c'est donc un losange. S_23 1 cL de liquide occupe un volume égal à 0,001 dm3. FAUX. 1 litre de liquide occupe un volume égal à 1 dm3. 1 centilitre est un centième de litre, il occupe donc 1/100 dm3 = 0,01 dm3. COPIRELEM Banque de "Vrai-Faux-Justifier" ¤ Solutions S_24 Dans le cube ABCDEFGH ci-dessous, l'arête AB mesure a cm. On peut alors affirmer que le volume du solide dont les sommets sont A, B, D et E est égal à a3/6 cm3. VRAI. On peut calculer directement le volume du solide ABDE par la formule du volume d'une pyramide (1/3 x aire de la base x hauteur). En choisissant la base ABD qui est un triangle rectangle isocèle en A, avec AB = a cm, donc d'aire a2/6 cm2, et la hauteur est AE = a cm, on obtient a3/6 cm3 pour le volume. S_25 On sait qu'il faut 24 carottes pour nourrir 12 lapins pendant 6 jours. On peut alors affirmer qu'il faut 36 carottes pour nourrir 18 lapins pendant 9 jours. FAUX. Avec 36 carottes, on pourra nourrir pendant 9 jours seulement 12 lapins (et non 18). En effet à nombre de lapins fixe, les nombres de jours et de carottes sont proportionnels donc pour 12 lapins et 9 jours, il faut 9/6 x 24 = 36 carottes. Ou bien : Avec 36 carottes, on pourra nourrir 18 lapins pendant 6 jours seulement. En effet, à nombre de jours fixe, les nombres de lapins et de carottes sont proportionnels, donc, pour 6 jours et 18 lapins, il faut 18/12 x 24 = 36 carottes. Ou bien : Il 'agit d'une situation de double proportionnalité : le nombre de carottes est simultanément proportionnel au nombre de lapins et au nombre de jours. Il faut 2 carottes pour nourrir 1 lapin pendant 6 jours, donc il faut 1/3 carotte pour nourrir 1 lapin pendant 1 jour. Pour 18 lapins pendant 1 jour, il faut donc 6 carottes, et, pour 18 lapins pendant 9 jours, il faut 54 carottes. Ajout hors Copirelem : les tableaux sont bien pratiques comme dans l'illustration cidessous : S_26 Carottes Lapins Jours 24 12 6 12 6 6 6 6 3 18 6 9 54 18 9 Un décagone convexe possède 45 diagonales distinctes. FAUX. Plusieurs justifications sont possibles. On peut tracer à main levée un décagone et compter effectivement ses diagonales. Ou bien : Sans effectuer les tracés, on dénombre pas à pas les diagonales qui partent de chacun des 10 sommets, considérés dans l'ordre. D'un premier sommet, partent 7 diagonales, du 2ème sommet consécutif au précédent, partent également 7 diagonales, toutes nouvelles. Du 3ème sommet, une diagonale a déjà été comptée, il y en a 6 nouvelles, puis 5 à partir du 4ème sommet, etc. Au total, on obtient :7 + 7 + 6 + 6 COPIRELEM Banque de "Vrai-Faux-Justifier" ¤ Solutions 5 + 4 + 3 + 2 + 1=35, donc il y a 35 diagonales distinctes. Ou bien : on dénombre tous les segments d'extrémités deux sommets. Il y a dix sommets. Chaque sommet pouvant être relié aux neuf autres, il y a donc 90 segments joignant deux sommets envisageables. Mais on compte ainsi chaque segment deux fois (une fois du point A au point B et une fois du point B au point A) : il y a donc au total 90/2 = 45 segments distincts. Or, parmi ces segments, on a compté les dix côtés du décagone. Il reste donc 35 diagonales. Ou bien : Si l'on dénombre tous les segments joignant deux sommets du décagone, le sommet n° 1 est à relier à neuf sommets, le sommet n° 2 est à relier à huit sommets (il est déjà relié au somment n° 1), etc. le sommet n° 9 est à relier à un seul sommet (le n° 10). Au total, on a:9 + 8 + 7 + ... + 1 =45 segments distincts, puis on retire les 10 côtés, il reste alors 35 diagonales distinctes. Remarque : Ces deux derniers raisonnements permettent de trouver une formule donnant le nombre de diagonales d'un polygone à n côtés (à savoir n(n - 3)/2). S_27 Le diamètre du disque ci-contre est partagé en deux segments de longueurs a et b. Deux demi-cercles sont construits respectivement sur chacun des deux segments de longueur a et b. Le disque initial est ainsi partagé en deux surfaces, l'une hachurée, l'autre non. On peut alors affirmer que le rapport entre le périmètre de la figure hachurée et le périmètre de la figure non hachurée est égal à a/b. FAUX. En effet, les deux périmètres sont les mêmes : les « bords » communs ont forcément même longueur et les « bords » non communs ont également même longueur (demidisque initial). S_28 Si on agrandit les mesures des côtés d'un polyèdre de 10 %, on peut alors affirmer que le volume du polyèdre augmente de 10 %. FAUX. Un contre-exemple suffit à prouver qu'une affirmation est fausse. Dans ce cas, il suffit de choisir par exemple un cube dont les arêtes mesurent 1 m. Son volume est de 1 m 3. On agrandit toutes les arêtes de 10 %, elles mesurent alors 1,1 m. Son volume est alors 1,13m3= 1,331 m3 soit une augmentation de 33,1 %. Ou encore, sans fixer la longueur de l'arête, toujours pour un cube, si c est la longueur de l'arête du cube : le volume du cube agrandi est (1,1 c)3 = 1,331 c3et non pas 1,1 c3. S_29 La racine carrée d'un nombre positif est toujours inférieure ou égale à ce nombre. FAUX Un contre-exemple suffit à prouver qu'une affirmation est fausse. Il suffit ici de considérer par exemple le nombre 0,25 : 0,25 = 0,5 or 0,25 < 0,5. Remarque : Tout nombre strictement compris entre 0 et 1 peut être pris comme contre-exemple. S_30 Si ABCD est un trapèze et M est le milieu de la diagonale [BD], alors les triangles ABM et DMA ont même aire. VRAI. M est le milieu de [BD] donc MB = MD et les points M, B et D sont alignés. L'aire du triangle MBA vaut : Aire(MBA) = 1/2 x MB x hauteur issue de A dans MBA et l'aire du triangle DMA vaut : Aire(DMA} = 1/2 xMD x hauteur issue de A dans DMA . Or, la hauteur issue de A dans le triangle ABM est aussi la hauteur issue de A dans le 7 COPIRELEM Banque de "Vrai-Faux-Justifier" ¤ Solutions triangle DMA (droite passant par A et perpendiculaire à (BM) donc à (MD) car les points B, M et D sont alignés). Ainsi, les aires des triangles ABM et DMA sont égales. Ou bien : On peut utiliser le résultat suivant : « Dans un triangle, une médiane partage ce triangle en deux triangles de même aire. ». Ici, puisque M est le milieu de [BD], la droite (AM) est une médiane du triangle ABD. Elle partage donc le triangle ABD en deux triangles ABM et ADM de même aire. S_31 2 2 2 Si AB = CA + BC , alors le triangle ABC est rectangle en A. FAUX. L'égalité permet de dire que ABC est rectangle en C ([AB] est l'hypoténuse du triangle ; c'est la réciproque du théorème de Pythagore). S_32 Soient deux nombres positifs quelconques A et p. On peut affirmer qu'il existe au moins un rectangle d'aire A et de périmètre p. FAUX. Si on choisit par exemple A = 100 et p = 18, on ne peut pas trouver un rectangle de périmètre 18 (cm) et d'aire 100 (cm2). En effet : on note x et y les mesures des côtés du rectangle ; on doit avoir 2 (x + y) = 18, soit x + y = 9. Donc, puisque x et y sont des nombres positifs, on a: 0<x<9 et 0<y<9 d'où xy < 81. Or on veut aussi xy= 100, ce qui est impossible. Remarque : Cela revient aussi à chercher si le système ci-dessous a toujours une solution. 2(x + y) = p xy=A S_33 Sur un papier quadrillé à maille carrée de 1 cm de côté, il est possible de repérer la longueur 3 2 cm. VRAI. La longueur 3 2 cm correspond à la diagonale d'un carré de côté 3 cm : il suffit donc de prendre deux nœuds du quadrillage sommets opposés d'un carré de côté 3 cm. S_34 La somme des angles d'un pentagone convexe vaut 360°. FAUX. Soit ABCDE un pentagone convexe. On découpe ce pentagone en trois triangles ABC, ACD et ADE. La somme des angles de chacun de ces triangles vaut 180°. La somme des angles du pentagone ABCDE est égale à la somme des angles des triangles ABC, ACD et ADE, soit 540°. Remarque : On peut aussi utiliser la formule donnant la somme des angles d'un polygone de n sommets : S=(n- 2)x180 S_35 21,36 et 21,37 sont deux nombres décimaux consécutifs. FAUX. La notion « consécutif » qui suppose qu'aucun autre nombre n'est situé entre des nombres dits « consécutifs » n'a pas de sens avec les nombres décimaux. Il y a une infinité de nombres décimaux entre 21,36 et 21,37 (par exemple 21, 364 est un décimal compris entre 21,36 et 21,37). S_36 Une corde inextensible de 201 cm de long est fixée à ses extrémités sur un sol plat par deux clous distants exactement de 2 m. On soulève cette corde en son milieu le plus haut possible. On peut alors 8 COPIRELEM Banque de "Vrai-Faux-Justifier" ¤ Solutions affirmer qu'on ne pourra pas dépasser 1 cm de hauteur. FAUX. On note A et B les clous, C le milieu de la corde et H le milieu de [AB]. On a donc AC = 100,5 cm, AH = 100cm et on cherche HC. Le triangle AHC est rectangle en H, on peut appliquer le théorème de Pythagore : AC2 = AH2 + HC2. D'où HC2 = 100.52 - 1002. HC2 = 100,25 (en cm2). On trouve ainsi HC > 10 cm. {La figure correspondante n'est pas reproduite}. S_37 Dans la figure ci-contre, tous les disques sont tangents et les cinq petits disques ont même rayon. On peut alors affirmer que la surface hachurée a même aire que la surface non hachurée. FAUX. Si on note a le rayon d'un petit disque, alors l'aire de la surface non hachurée est 5a2. Le grand disque a pour rayon 3a, donc pour aire 9a2. Aussi, l'aire de la surface hachurée est de 4a2. Les deux surfaces n'ont donc pas la même aire. S_38 Si a est un nombre entier naturel divisible par 4 et par 6, alors a est aussi divisible par 24. FAUX Un contre-exemple suffit à prouver qu'une affirmation est fausse. 12 est un entier naturel divisible par 4 et 6, mais il n'est pas divisible par 24. Remarque : II en est de même de tout multiple de 12, non multiple de 24 : 36, 60, ... S_39 Le nombre huit milliard vingt mille quarante s'écrit en chiffres avec huit zéros. FAUX. Il s'écrit 8 000 020 040, avec sept zéros. S_40 Soit a, b, c trois entiers compris entre 0 et 9. On peut alors affirmer que les nombres qui s'écrivent abcabc en base dix sont des multiples de 13. VRAI abcabc = abc x 1000 + abc = 1001 x abc = 13 x 77 x abc . Donc abcabc est un multiple de 13. Remarque : Il ne suffit pas de le prouver sur un exemple … S_41 0n additionne, selon la technique de calcul usuelle, deux nombres entiers. Le résultat est 2999. On peut alors affirmer que l'on ne peut pas savoir s'il y a des retenues dans cette addition. FAUX. Il ne peut y avoir eu de retenue dans cette addition. En effet, le chiffre des unités de chacun des deux nombres de départ est au maximum 9. Leur somme est au maximum 18. Ainsi, pour que la somme des deux nombres ait 9 comme chiffre des unités, il faut que la somme des deux chiffres des unités des deux nombres soit 9. Il n'y a pas de retenue au premier rang du calcul de la somme Le même raisonnement est valable pour la somme des chiffres des dizaines et pour la somme des chiffres des centaines. Il ne peut donc y avoir de retenue dans cette addition. S_42 0n sait d'un quadrilatère qu'il a trois côtés de même longueur. On peut alors affirmer que, pour que ce soit un losange, il suffit qu'en plus ses diagonales se coupent en leur milieu. VRAI. Un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu est un parallélogramme Un parallélogramme ayant deux côtés consécutifs de même longueur (et c'est le cas pour le quadrilatère qui a trois côtés de même longueur) est un losange. 9 COPIRELEM Banque de "Vrai-Faux-Justifier" ¤ Solutions S_43 Soit un parallélogramme ABCD et M un point quelconque intérieur au parallélogramme. On peut alors affirmer que la somme des aires des triangles AMB et DMC est égale à la somme des aires des triangles AMD et BMC. VRAI. Il s'agit de comparer les aires des surfaces blanche et grise. On montre qu'elles sont égales quelle que soit la position du point M intérieur au parallélogramme ABCD. Soient G et H les projetés orthogonaux de M respectivement sur (AD) et (BC). Comme les droites (AD) et (BC) sont parallèles, les points G, M et H sont alignés. On calcule l'aire blanche. On a : Aire(AMD) = MG x AD/2 Aire(BMC) = MH x BC/2. Or AD = BC d'où : Aire(AMD) + Aire(BMC) = (MG + MH) x AD / 2 Comme les points G, M et H sont alignés, on a MG + MH = GH. On en déduit que : Aire(AMD) +Aire(BMC)= GH x AD /2 = Aire(ABCD) On a alors : Aire(grise) = Aire(ABCD ) - Aire(blanche) = Aire(ABCD)/2 On en conclut que le partage se fait à aires égales, quelle que soit la position du point M à l'intérieur du parallélogramme. S_44 Dans un cube, deux arêtes perpendiculaires à une même troisième sont parallèles. FAUX. Dans le cube ci-contre, les arêtes portées par les droites (AB) et (BC) sont perpendiculaires à l'arête portée par (BF), mais (AB) et (BC) sont perpendiculaires entre elles. S_45 Une classe de primaire compte 15 élèves de CP de taille moyenne 1,30 m, et 10 élèves de CE de taille moyenne 1,40 m. On peut alors affirmer que la taille moyenne d'un élève de cette classe est 1,35 m. FAUX. La taille moyenne est donnée par le calcul suivant : (somme des tailles)/(nombre d'élèves). Ainsi, pour les élèves de CP, on a (somme des tailles)/15 = 1,30m donc la somme des tailles des CP est égale à 15 x 1,3m = 19,5m. De même, la somme des tailles des CE est égale à1,4mx10 = 14m. La taille moyenne dans la classe entière vaut ainsi : (19,5m + 14m)/(10 + 15) = 1,34 m . S_46 Si deux villages sont distants de 7 cm sur une carte au 1/25000. alors ils seront distants de 35/8 cm sur une carte au 1/40000. VRAI. Pour passer d'une carte au 1/25000 à une carte au 1/40000 il suffit de multiplier toutes les distances par 25000 / 40000 = 5/8. En effet : 1 cm sur la première carte représente 25 000 cm sur le terrain, et 25 000 cm sur le terrain sont représentés par 25000 / 40000 = 5/8 cm sur la seconde carte. Les distances sont donc multipliées par5/8. Ainsi, les villages distants de 7 cm sur la première carte seront distants de 7 cm x 5/8 = 35/8 cm sur la seconde carte 10 COPIRELEM Banque de "Vrai-Faux-Justifier" ¤ Solutions S_47 Le produit des nombres 103 700 002 et 1 002 458 s'écrit avec 15 chiffres. VRAI. Pour le justifier, il faut majorer et minorer ce produit (ou alors le calculer exactement mais nous ne le ferons pas ici). On a 100 000 000 x 1 000 000 < 103 700 002 x 1 002 458 < 104 000 000 x 1 003 000. Ainsi le produit est strictement supérieur à 1014, donc il s'écrit avec au moins 15 chiffres. De plus, il est inférieur à 104 x 1003 x 109 = 104 312 x 109 qui comprend lui aussi 15 chiffres. Ce produit s'écrit donc avec exactement 15 chiffres. S_48 En lançant simultanément deux pièces de monnaie, correctement équilibrées, on peut affirmer qu'on a une chance sur trois d'obtenir deux piles. FAUX. On a une chance sur deux d'obtenir pile avec une pièce bien équilibrée. Lorsque l'on lance deux pièces simultanément (ce qui revient aussi à lancer une même pièce deux fois de suite), on obtient les couples suivants de résultats possibles (pièce 1 ; pièce2) : (P ; P), (P ; F), (F ; P) et (F ; F). On a donc une chance sur quatre d'obtenir deux piles. S_49 On jette des dés correctement équilibrés et on s'intéresse à la somme des points obtenus. On peut affirmer qu'on n'a pas la même probabilité d'« obtenir 8 » si on lance deux fois successivement un même dé que si on lance simultanément les deux dés. FAUX. Si on lance 2 fois successivement le même dé, on construit les couples (dé1 ; dé2) qui donnent la somme de 8, où dé1 est la valeur du dé au 1er jet et dé2 est la valeur du dé au 2ème jet. On obtient alors les couples suivants : (2 ; 6) ; (3 ; 5) ; (4 ; 4) ; (5 ; 3) ; (6 ; 2). Si on lance simultanément les deux dés, il faut les discerner afin de ne pas oublier les couples symétriques pour obtenir des événements équiprobables, par exemple en les nommant dé1 et dé2. On retrouve alors les mêmes couples que précédemment. Remarque : Le choix du nombre 8 n'a aucune incidence sur l'affirmation ! S_50 On tire une carte dans un jeu de 32 cartes. On peut affirmer que la chance de n'obtenir ni une dame ni un cœur est de 21/32. VRAI. Dans un jeu de 32 cartes, il y a 8 cœurs et 4 dames dont la dame de cœur. Il reste 21 cartes qui ne sont ni des cœurs ni des dames. On a donc 21 chances sur 32 de n'obtenir ni dame ni cœur en tirant une carte parmi le jeu de 32 cartes. S_51 Deux pots de peinture sont posés sur une table : un pot contenant de la peinture bleue et l'autre contenant de la peinture jaune. On plonge au hasard un pinceau dans l'un des pots et on peint une feuille de papier. Puis on prend un autre pinceau, que l'on plonge aussi au hasard dans l'un des deux pots et on recouvre de peinture la feuille précédente qui n'est pas encore sèche. On peut affirmer que l'on a trois chances sur quatre de ne pas obtenir une feuille bleue. VRAI. Les configurations possibles pour les deux couches de peinture sur la feuille sont : (bleue ; bleue), (jaune ; jaune), (bleue ; jaune) et (jaune ; bleue). Il n'y a donc qu'une chance sur quatre d'obtenir une feuille bleue et on a bien trois chances sur quatre de ne pas obtenir une feuille bleue. Remarque : Cet énoncé peut être interprété de la même façon que celui du lancer des deux pièces (n° 48). 11 12 COPIRELEM Banque de "Vrai-Faux-Justifier" ¤ Solutions S_52 Pour commercialiser des tomates, une coopérative les calibre en fonction du diamètre. La récolte est comprise entre 30 000 et 31 000 tomates. On a obtenu les relevés suivants : Diamètre (en mm) Effectifs (en milliers) On peut alors affirmer que les trois quarts des tomates [48;51[ 8 ont un diamètre inférieur à 57 mm. FAUX. [51 ; 54[ Donnée manquante [54 ; 57[ 10 [57 ; 60[ 9 II y a entre 9/31 et 9/30 de la récolte qui sont des tomates de diamètre supérieur à 57 mm et comme 1/4 est égal à 9/36, on en déduit qu'il y a plus d'un quart de la récolte constitué de tomates de diamètre 36 supérieur à 57 mm et donc moins des trois quarts de diamètre inférieur à 57 mm. Ou bien : Comme la récolte est comprise entre 30 000 et 31 000, la donnée manquante est comprise entre 3 et 4 (milliers de tomates). Le nombre de tomates ayant un diamètre inférieur à 57 mm est donc compris entre 21 et 22 (milliers de tomates). Cela représente donc entre 21/30 et 22/31 de la récolte. Or 3/4 n'appartient pas à cet intervalle (on peut utiliser les écritures à virgule pour comparer les nombres).
