Chapitre 6 Les accélérateurs de particule.

1
Chapitre 6
Les accélérateurs de particule.
1) Principe généraux:
€
€
€
Pour explorer des objets de plus en plus petit il faut des sondes de plus
en plus fine . Le pouvoir de séparation d’une sonde peut être caractérisée par
la longueur d'onde des particules qui la compose, par analogie avec l’optique.
Or, grâce à la formule de Louis de Broglie, cette longueur d’onde est donnée
par :
h
(1)
λ=
p
Donc pour diminuer la longueur d'onde, il faut augmenter la quantité de
mouvement et donc l'énergie (pour une particule ultrarelativiste, ces deux
quantités sont proportionnelles). On a donc, depuis Rutherford qui a
déterminé la structure de l'atome en le bombardant par des particules alpha,
utilisé des faisceaux de particules de plus en plus énergétiques et très vite il a
fallu préparer des machines pour augmenter l'énergie des particules, les
accélérateurs de particules.
Un accélérateur de particule est, donc, un appareil qui communique de
l'énergie à un faisceau de particules. Le principe de base des accélérateurs
repose sur la force de Lorentz, que l'on peut écrire dans un repère quelconque
comme:

Ey
E
E 
 0
i x i
i z
c
c
c  
f  
U
0
E
 0 
   −i x
0
B
−B
z
y U
 f1  = q
 1
c
(2)

U 
 f2 
Ey
2
−Bz
0
Bx  
   −i
c
 U 3 
 f3  
E


 −i z
By −Bx
0 


c
L'équation 2 montre que le champ électrique va modifier l'énergie de la
particule alors que le champ magnétique va courber la trajectoire de la
dP0
= f 0 = 0, et
particule. En effet, pour un champ magnétique seul, on a :
dτ
donc l’énergie reste constante. Dans le cas d’un mouvement sous champ
électrique, l’équation 3 permet de calculer l’énergie de la particule après un
parcours l, on trouve (voir appendice A) :
€
W = mc 2 + qEl = mc 2 + qφ
Où φ est la différence de potentiel électrique entre 0 et l. La méthode
générale va donc être d'utiliser des champs électriques accélérateurs, la
première idée fut d'utiliser des tensions d'accélération continues.
€
2
2) L’accélérateur de Van de Graaf :
La figure 1 présente le schéma d'un accélérateur de Van de Graaf à
courroies dans une version utilisées comme accélérateur d’ions. C’est un
accélérateur électrostatique. Les courroies transportent des charges
électriques préparées par frottement pour augmenter le potentiel électrique
de l’électrode. Les ions (ou les électrons) qui sont dans la colonne de droite
de la figure 1 sont alors accélérés par la tension.
Figure 1 Schéma d'un accélérateur Van De Graaf.
Cependant à cause des décharges électriques qui se produisent dans les
gaz pour des tensions de l’ordre de quelques millions de volts, ces
accélérateurs ne sont pas utilisables au delà de quelques dizaines de MeV.
Le principe général des accélérateurs modernes est donc d'utiliser des
tensions alternatives qui sont synchronisées de telle façon que les particules
chargées soient accélérées un grand nombre de fois par une onde
électromagnétique (Figure 2) : La particule est dans la cavité accélératrice
quand le champ électrique est dans le bon sens. Il faut alors synchroniser le
mouvement des particules avec le champ.
3
Figure 2 principe de l'accélération par une onde électromagnétique
3) L'accélérateur linéaire:
On a représenté en figure 3, le schéma d'un accélérateur linéaire à
électrons, c'est une suite de cavités résonantes où le champ électrique axial se
propage en phase avec l'électron. Les cavités sont de plus en plus longues
vπ
suivant la vitesse des électrons v , Li = i .
ω
€
€
Figure 3 Schéma d'un accélérateur linéaire.
A la fin, quand la vitesse des particules est presque égale à la vitesse de
la lumière, la longueur des cavités est constante (voir figure 3 en bas). Un des
intérêts des accélérateurs linéaires est que les pertes d’énergie par
4
rayonnement sont faibles (voir appendice B pour le calcul des pertes
d’énergies par rayonnement d’une particule chargée).
4) Le cyclotron:
Le principe du cyclotron a été découvert en 1929 par E. O. Lawrence aux
USA. Un cyclotron se compose d’un électro-aimant à pôles circulaires, dans
l’entrefer duquel se loge une boite métallique (figure 4 et figure 5): La
chambre d’accélération, maintenue sous un vide poussé par des pompes à
vide.
Figure 4 Schéma d'un cyclotron.
Dans la chambre, il y a deux électrodes creuses en forme de D les
"DEE", ces électrodes sont placées dans une chambre à vide ou règne un vide
poussé. Le champ magnétique produit par l’électroaimant est perpendiculaire
au plan où se déplacent les particules. Le mouvement d’une particule chargée
dans un champ magnétique est décrit en appendice C. La source de particule
est au centre du cyclotron. Une tension alternative entre les deux « dees »
assure l'accélération. La variation temporelle de ce champ alternatif se fait
qB
avec la fréquence ω = ωc =
déterminée par le champ magnétique
mγ
appliqué. Le rayon de la trajectoire croit donc à chaque tour (figure 4)
puisque :
v
mv
R= €=
ωc
v2
eB 1−
c2
€
5
et que la vitesse augmente à chaque tour. On limite l’énergie pour que
les corrections relativistes sur la fréquence ne soit pas trop fortes. En
pratique, le champ magnétique correspond à une fréquence moyenne et donc
les particules sont un peu en avance au début et un peu en retard à la fin de
l’accélération. La particule sort du cyclotron grâce à une plaque de déviation
qui redresse la trajectoire (il y a un champ électrique entre le « dee » de
sortie et la plaque). Les cyclotrons ne sont plus énormément utilisés par les
physiciens mais ils servent beaucoup en médecine. Ils réalisent par
bombardement de protons (on accélère des protons) les isotopes à vie très
courte nécessaires à la tomographie à positons (voir appendice D pour
quelques mots sur cette technique).
figure 5 cyclotron à plusieurs secteurs
5) Le synchrotron:
Un synchrotron est schématisé en figure 6, il est composé d'une série
d'électroaimants disposés en arc de cercle et de sections droites.
Injectées par un pré accélérateur (injecteur), les particules tournent en
rond et sont accélérées à chaque passage dans la cavité accélératrice. On fait
croître le champ magnétique proportionnellement à l'énergie. Les
contraintes sur la fréquence et sur le champ magnétique sont donc (voir
appendice C pour le mouvement d’une particule chargée dans un champ
magnétique) :
c pc
p
ω = nωc = n .
et B =
R E
eR
Les particules perdent, en plus, de l’énergie à chaque tour par
rayonnement (voir appendice B). Une version courante du synchrotron est
€
€
6
l’anneau de stockage où les particules chargées conservent la même énergie
et où la cavité accélératrice ne sert qu’à compenser les pertes par
rayonnement soit pour des particules ultra relativistes (voir appendice B):
4
e2 4 v3
e2  E 
δE =
γ
≈


R 3ε 0 R  mc 2 
3ε 0 c 3
On remarque sur cette formule que plus la particule est légère plus les
pertes par rayonnement sont grandes.
€
Figure 6 Schéma de principe d'un synchrotron.
6) Une brève conclusion sur les accélérateurs :
En conclusion de ce paragraphe, nous avons vu que nous savons
accélérer des particules. Deux accélérateurs récents sont représentés en figure
7 et 8, le synchrotron SOLEIl à Saint Aubin prés d’Orsay et de Saclay et le
LHC du CERN à Genéve(on ne voit que le schéma du tunnel sur la carte
postale de son implantation.
7
figure 7 : le synchrotron soleil en construction à Saint Aubin (Essonne).
Si on écrit la relation entre la quantité de mouvement, le champ
magnétique et le rayon de la trajectoire pour un synchrotron, ou un anneau
de stockage :
E ≈ pc = eBRc
On remarque que plus l’énergie est grande plus on doit avoir des
grandes dimensions ou (et) des grands champs magnétiques. C’est ce qui
€ explique la taille phénoménale des grands accélérateurs actuels et l’utilisation
dans ces grands accélérateurs d’aimants supraconducteurs.
Si on regarde brièvement les accélérateurs successifs du CERN (centre
européen de recherche nucléaire à Genève) on a d’abord, vers 1960, le PS
(proton synchrotron) de 26 GeV et de 100 m de rayon dont les champ
magnétiques étaient donc à peu prés de 0,87 Teslas. Puis vient, vers 1970, le
SPS (super proton synchrotron) de 450 GeV et de 1,1 km de rayon qui utilise
des champs de 1,36 Teslas. Le LEP, vers 1990, (Large electron positon ) a
un rayon de 4297 m (27 km de circonférence) et une énergie de seulement
55 GeV (des électrons et des positons…) ce qui donne un champ magnétique
très modeste de 0,043 Tesla. Enfin, le LHC (Large hadron collider) qui
utilise le tunnel du LEP et donc a un rayon de 4297 m mais qui est prévu
pour une énergie de 7 TeV (7OOO GeV) nécessiterait des champs
magnétiques de 5,43 Teslas, mais en fait (il y a des sections droites) c’est 8,3
Teslas qui sont prévus et qui seront fournit par des aimants supraconducteurs.
Cet accélérateur sera mis en fonction vers 2007.
Figure 8 Le tunnel du LHC dans son paysage.
Appendice A :
Accélération d’une particule par un champ électrique :
8
On suppose que le champ ,électrique est suivant Ox et que la particule
a une vitesse v suivant Ox quand elle rentre dans la cavité. Les équations du
mouvement sont donc (dans la cavité de longueur l) :
∂P0
E
= iq x U 1
(A 1)
∂τ
c
∂P1
E
= −iq x U 0
(A 2)
∂τ
c
∂P2 ∂P3
=
=0
(A 3)
∂τ
∂τ
Les deux dernières équations A 3 donnent immédiatement P2 = P3 = 0 et
donc la vitesse reste nulle suivant y et z.
∂U 1
Pour intégrer l’équation A 1 , on va la dériver une fois et remplacer
∂τ
€
par sa valeur dans A 2, soit :
€
€
€
2
E x ∂U 1
Ex ∂P1  qEx 
(A 4)
= iq
= iq
=
 P0
€
c ∂τ
mc ∂τ  mc 
∂τ 2
La solution de A 4 est donc :
P0 = Aexp ατ + Bexp− ατ
(A 5)
qEx
avec α =
. Ce qui donne :
mc
cα
i
U 1 = −i
( Aexp ατ − Bexp− ατ ) = − ( Aexp ατ − Bexp− ατ )
qEx
m
iW (0)
v
W (0)v
Les conditions aux limites ( P0 =
et U 1 =
=
)
c
mc 2
v2
1−
c2
permettent alors de trouver que :
€
W (0)
v
A= i
(1+ )
2c
c
€
W (0)
v
B= i
(1− )
2c
c
et donc d’écrire :
W (0)
v
P0 = i
(cosh ατ + sinh ατ )
c
c
et :
W (0)
v
U1 =
(sinh ατ + cosh ατ )
mc
c
La distance l parcourue dans la cavité est alors :
∂ 2 P0
€
€
€
€
€
€
€
τ
€
l=
∫
0
€
€
€
dx
dτ =
dτ
τ
∫
0
U 1dτ =
W (0)
v
W (0)
(cosh ατ + sinh ατ ) −
qEx
c
qEx
or l’énergie à la sortie de la cavité est :
v
W (l) = −icP0 (τ ) =W (0)(cosh ατ + sinh ατ )
c
on a donc :
W (l) = qEx l +W (0) = qV +W (0)
9
ce qui est le résultat du texte.
1
0
Appendice B : Rayonnement d’une particule chargée :
B1) Formules de Larmor et de Liénard :
La Formule relativiste donnant les champs produits par une charge
accélérée est assez compliquée, elle se simplifie dans un repère où la vitesse
de la particule est faible, on a alors :
r r
1 r r
B( r , t) = n ∧ E
ret
c
où
r r r
r r
r
1 q  n ∧( n ∧ a ) 
E( r , t) ≈ Ea =


4 πε 0 c 2 
R
ret
r
r
a est l’accélération
de la particule, n est un vecteur unitaire dans la
r r
r
direction r − rp (t0 ) , rp (t0 ) est la position de la particule au temps t0 et le
[
€
€
€
€
]
temps retardé t0 est le temps tel que t − t0 est la durée nécessaire pour
r r
parcourir la distance R = r − r€
p (t0 ) à la vitesse de la lumière. Le vecteur de
€
€
€ alors le flux instantané d’énergie :
Poynting
donne
r 1€ r r
€
1 2r
S=
E∧ B =
E n
µ0
€ µ0c
r
Le flux de S à travers une surface dS = R2 dΩ limitée par l’angle solide dΩ
est la puissance rayonnée à travers cette surface, on a donc :
r r r 2
1 2 2
q2
dP =
E R dΩ =
n ∧( n ∧ a ) dΩ
€ µ0c
€
16 π 2ε€c 3
0
€
€
Si on appelle θ , l’angle entre l’accélération de la charge et la direction
r
d’observation définie par n , on a :
r2
q2
dP =
a sin 2 θdΩ
€
16 π 2ε 0 c 3
€
L’énergie rayonnée par la particule dans tout l’espace est donc :
2 q2 r 2
P=
a
(B 1)
3 4 πε c 3
0
C’est la formule classique de Larmor. La formule relativiste est simplement
obtenue en généralisant B 1 comme :
€
2
q2
∂P
P=
3 4 πε m 2 c 3 ∂τ
2
(B 2)
0
€
€
€
On calcule alors :
2
 ∂pr 2
 ∂γ 2
∂P
= γ 2  − γ 2 m 2 c 2 
∂τ
 ∂t 
 ∂t 
ensuite :
r
r
r ∂γ
∂p
∂v
= mv + mγ
∂t
∂t
∂t
et donc B 3 s’écrit :
(B 3)
1
1
r 2
 r ∂γ
 ∂γ 2
∂v 
= γ 2  mv + mγ  − γ 2 m 2 c 2  
∂t
∂t 

 ∂t 

2
2
r
r 2
∂γ r ∂v 2  ∂v 
2 2  2  ∂γ 
2  ∂γ  
= γ m v   + 2γ v ⋅ + γ   − c  
  ∂t 
∂t ∂ t
 ∂t 
 ∂t  




2
2
r
 ∂vr  c 2  ∂γ 
∂γ r ∂v
= γ 2 m 2  2γ v ⋅ + γ 2   −   
 ∂t
∂t
 ∂t  γ 2  ∂ t  


et comme :
r
∂γ γ 3 r ∂v
=
v.
∂t c 2 ∂t
on obtient :
 4
2
r 2
r 2
∂P
2 2  γ  r ∂v 
2  ∂v  
=γ m
v⋅
+γ  
 c 2  ∂t 
∂τ
 ∂t  



r 2 
2  r 2 
v
∂v 
6 2  1  r ∂v 
=γ m
v⋅
+ 1− 
 c 2  ∂t   c 2  ∂t  




On remarque alors que :
r r
r r2 r r2
a 2b 2 − a ⋅ b = a ∧ b
∂P
∂τ
€
€
€
€
€
2
(B 4)
( ) ( )
et on peut mettre la formule B 2 sous la forme :
 r2
r 2
2 q 2  ∂v
1 r ∂v 
P=
−
v∧
(B 5)
3 4 πε c 3  ∂t
∂t 
c2
0 

C’est cette équation B 5 que Liénard a démontré en 1898 à partir de
l’expression des potentiels retardés.
B 2 Applications :
a) Accélérateur linéaire :
Si on a un accélérateur linéaire, la seconde partie de B 5 est nulle et la
puissance est simplement (pour un électron de charge q=-e) :
2
 ∂E 2
2 e 2 ∂v
2
e2
P=
=
 
3 4 πε c 3 ∂t
3 4 πε m 2 c 3  ∂x 
0
0
€
La perte d’énergie relative de l’accélération (puissance rayonnée sur
puissance fournie) est alors :
P
2
e2
1 ∂E
=
dE / dt 3 4 πε m 2 c 3 v ∂x
0
€
€
Et quand la vitesse approche de la vitesse de la lumière, on a :
P
2 re ∂E
≈
dE / dt 3 mc 2 ∂x
1
2
Pour que la perte de puissance soit appréciable, il faudrait donc que l’on ait
une variation d’énergie de l’ordre de l’énergie de masse de l’électron sur une
distance de l’ordre du rayon classique de l’électron soit re = 2,82 ×10−15 m.
dE
Ce qui donnerait
≈ 2 ×1014 MeV/m, ce qui est tout à fait considérable, les
dx
valeurs typiques dans un accélérateur étant de 50€MeV/m.
b)€Accélérateur à champ magnétique :
Pour un accélérateur circulaire à champ magnétique, on a en général :
r
r
dp
1 dE
= γωc p >>
.
dτ
c dt
€
C’est à dire que la variation d’énergie sur une période reste faible (voir plus
bas). Dans ce cas on a :
r 2 2 e2
2
e2
v4
P=
γ 2ωc2 p =
γ4
3 4 πε m 2 c 3
3 4 πε c 3
R2
0
0
Soit par tours :
€
€
4
4
2 πR
e2 4 v3
e2  E  v3
e2  E 
P=
γ
=
≈




v
R 3ε c 3  mc 2  R 3ε 0 R  mc 2 
3ε 0 c 3
0
Par exemple, à l’ESRF où E=6 GeV et R=134 m on a une perte d’énergie
d’environ 0,8 MeV par tours par électron (un peu plus d’un millième de son
énergie).
δE =
Appendice C :
Mouvement d’une particule chargée dans un champ magnétique :
€
€
€
€
€
On choisit comme axe z, l’axe du champ magnétique appliqué B , la
formule 3 donne donc les équations du mouvement suivantes :
∂P0
(C 1)
=0
∂τ
∂P1
(C 2)
= qBU 2
∂τ
∂P3
= −qBU 1
(C 3)
∂τ
∂P3
=0
(C 4)
∂τ
La solution de l’équations C 1 entraîne que : W (τ ) =W (0) soit γ = cste, ce qui
implique que v 2 = cste (le module de la vitesse ne change pas) et la solution
de E 4 est v z (τ ) = v z (0). Dans le cas d’un mouvement plan pour un
v z (0) = 0 .
accélérateur on aura donc : v z (τ ) = €
€
Pour€résoudre C 2 et C 3 on dérive C 2 par rapport au temps propre et on
obtient
€ :
2
∂ P1
∂U
q 2 B2
= qB 2 = −€
U1
(C 5)
∂τ
m
∂τ 2
1
3
E 5 s’écrit alors :
∂ 2U 1
q 2 B2
=−
U1
∂τ 2
m2
dont les solutions sont :
U 1 = Acos ωτ + Bsin ωτ
(C 6 a)
qB
€
où ω =
m
€
Et donc C 2 nous donne :
m ∂U 1
U2 =
= ±(− Asin ωτ + Bcos ωτ )
qB
∂τ
€
Le signe étant + si q est positif et – si q est négatif. Dans la suite on se
eB
placera dans le cas des électrons, on a alors : ω =
et
m
€
U 2 = Asin ωτ − Bcos ωτ
(C 6 b)
On choisira alors l’axe x parallèle à la vitesse à t=0 et les conditions aux
limites donnent alors :
€
A = γv
€
et B=0, les équations C 6 deviennent donc :
U 1 = γvcos ωτ
(C 7 a)
U
=
γ
vsin
ωτ
(C 7 b)
2
€
Les équations C 7 permettent de trouver la trajectoire de l’électron. :
∂x
ωt
€
= v cos
∂
t
γ
€
∂y
ωt
= v sin
∂t
γ
Soit :
€
v
x = x 0 + sin ωc t
ω
c
€
et
v
y = y 0 − cos ωc t
ωc
€
eB
avec : ωc =
. C’est la fréquence cyclotron où la masse classique est
mγ
m
€
remplacée par la masse relativiste : mr = mγ =
. La trajectoire est un
2
v
1−
€
c2
cercle de rayon :
v
mv
Ev
E 10 E(GeV )
R=
=
=
≈
=
(C 8)
2
ωc
B
v 2 eBc € eBc 3
eB 1−
c2
Par exemple à l’ESRF où E= 6 GeV et R= 134 m , les champs des aimants
dipolaires sont théoriquement de 0, 15 Teslas.
€
1
4
Appendice D :
La tomographie à positons :
Dans cette technique, on incorpore dans une substance chimique
possédant les propriétés biologiques désirées un isotope radioactif β + . Celui
ci émet donc des positons dont le parcours dans la matière est extrêmement
réduit : de 1 à 3 mm. En effet , un positon réagit avec un des électrons
ordinaires pour émettre dans deux directions opposées deux photons γ
€
d’énergie 0, 511 MeV chacun. Ces photons sont détectés en coïncidence par
des milliers de détecteurs placés autour du patient que l’on examine.
L’ensemble des émissions sont traités informatiquement pour reconstituer
la
€
carte à trois dimensions de l’endroit où le positon s’est annihilé. Les sources
β + courantes ont une durée de vie très courte et nécessitent une préparation
à la demande c’est ce qui explique la présence de cyclotrons dans un certain
nombre de CHU. Les sources les plus courantes sont 11C qui a une durée de
€
vie de 20 minutes, 13 N qui a une durée de vie de 10 minutes et 15O qui a une
durée de vie de 2 minutes. On peut remarquer que ces sources sont des
isotopes légers des éléments importants de €
la chimie du vivant. Une autre
source importante
est le 18 F qui est incorporé via un€dérivé du glucose dont
€
les cellules tumorales sont friandes, il sert alors à détecter les tumeurs.
€