4.2 Différence de potentiel dans un champ électrique uniforme

4.7 d Application: Accélérateur linéaire
Exemple de question d’examen
On peut considérer à toute fin pratique que le champ électrique
est uniforme entre les plaques d’un accélérateur linéaire.
+
E
+
B
A
Nous utiliserons les définitions de base pour étudier le
mouvement des protons dans cet accélérateur.
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4.7 d) Application: Accélérateur linéaire
Pour traiter un cancer, on vous confie la tâche de construire un
petit accélérateur linéaire qui procurera aux protons une
énergie cinétique de 19,2 x 10-16 J à leur sortie de
l’accélérateur.
L’accélérateur devra avoir huit étages d’accélération et la
distance entre les plaques de chaque étage doit être de 1,5 m
+
E
1,5 m
Question : Déterminez la valeur de « σ » sur les plaques pour
communiquer cette énergie cinétique aux protons.
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4.7 d) Application: Accélérateur linéaire
Problème :
Je cherche la densité surfacique de charges « σ » que les
plaques de l’accélérateur linéaire doivent posséder pour
procurer aux protons une énergie cinétique de 19,2 x 10-16 J .
Solution possible :
J’utilise le théorème de Gauss
On peut montrer avec le théorème de Gauss, que le champ
électrique uniforme entre les plaques est relié à la densité
surfacique de charge de la façon suivante:
E
Point de départ :
 qint

∫ E • dA =
ε0
σ
E=
ε0
N/C
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4.7 d) Application: Accélérateur linéaire
Point de départ, la définition
de ∆V
B
ds
.
 
VB − V A = − ∫ E • ds
B
A
E
(V)
A
B
d
VB − V A = − ∫ Eds cos180 0
A
B
VB − V A = ∫ Eds
A
VB − V A = Ed
(V)
B
VB − V A = E ∫ ds
A
C’est la relation entre ∆V et E
dans un champ uniforme
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4.7 d) Application: Accélérateur linéaire
Pour chaque étage d’accélérateur , nous aurons
VB − V A = Ed
(V)
σ
VB − V A = d
ε0
(V)
σ
E=
ε0
N/C
Je cherche σ ??
En prenant comme point de départ, la définition de la perte
d’énergie potentielle, pour chaque étage nous avons
U B − U A = q (VB − V A )
σd
U B −U A = q
ε0
σ
VB − V A = d
ε0
(V)
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4.7 d) Application: Accélérateur linéaire
σd
U B −U A = q
ε0
σd
V B − V A = Ed =
ε0
Pour les 8 étages d’accélération,
nous aurons
8(U B − U A ) = 8q
σd
ε0
(J)
En vertu du principe de conservation de l’énergie, cette
perte d’énergie potentielle correspond au gain de l’énergie
cinétique des protons.
gain
∆K = −∆U
σd
∆K = 8q
ε0
perte
(J)
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4.7 d) Application: Accélérateur linéaire
Par conséquent, la densité surfacique de
charges sera donnée par :
σd
∆K = 8q
J
ε0
σ=
∆Kε 0
8qd
(C/m 2 )
19,2 ×10 −16 × 8,85 ×10 −12
-9
σ=
=
8,85
×
10
8 ×1,6 ×10 −19 ×1,5
(C/m 2 )
Résultat probable : D’après mes calculs, la densité surfacique
de charges sur les plaques σ sera de 8,85x10-9 C/m2
Justification : Théorème de Gauss, principe de conservation
de l’énergie, définitions de la différence de potentiel et de
l’énergie électrique.
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4.7 d) Application: Accélérateur linéaire
L’énergie cinétique se donne souvent en électron-volt eV.
Pourquoi?
On pose
Alors
Pour un étage
On tire plus d’information.
∆K = 19,2 × 10 -16 J
1 eV = 1,6 x 10-19 J
∆K = 19,2 × 10 -16 J = 12 000 eV = 12 keV
∆K = q∆V = e12000 J
∆K = 8q∆V = 8e ×1500 J
D’où
∆V = 12000 V
∆V = 1500 V
Donc la différence de potentiel de chaque étage est de 1500 V
8
4.7 d) Application: Accélérateur linéaire
En résumé, l’énergie cinétique en électron-volt eV
∆V = 1500 V
∆K = 8q∆V = 8(1500)eV = 12,0keV
L’énergie cinétique des protons à la sortie de l’accélérateur
sera de 12,0 keV acquise avec 8 étages de 1,5 kV, soit 12,0
kV
Les accélérateurs actuels procurent aux protons des énergies de
l’ordre de 1,0 Mev, 1,0 GeV et 1,0 TeV pour étudier les
constituants de la matière.
http://www2.slac.stanford.edu/vvc/experiments/slc.html
Accélérateur linéaire
100 GeV en Californie
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