Convolution de variables aléatoires continues et applications

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Convolution de variables aléatoires continues et applications
Motivation de la définition.
Si X et Y sont deux variables aléatoires continues indépendantes de densités respectives  et , la
cumulative H de  est donnée par :
où F est la cumulative de X.
Pour obtenir la densité de , on dérive sa cumulative . En dérivant sous l’intégrale, on
obtient
On définit   
Si X et Y sont deux variables indépendantes, la densité de   est donnée par .
Ce résultat se généralise à la somme de n variables aléatoires indépendantes  . Si
sont les densités de probabilités de  , alors la densité de probabilité de
est  . Cependant pour les applications, on écrit
et on procède par induction.
Exemples.
1. Somme de deux lois uniformes sur [0,1] indépendantes.
Les densités f et g sont égales à 1 sur [0,1] et nulles ailleurs.
car   sur [0,1] et nulle ailleurs.  est nulle sauf si
     ce qui revient à     . On a alors 
On en déduit :
Si    ,  
Si    ,  
Si     ,   
Si     ,   

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2. Somme de lois normales centrées réduites.
• Si  et indépendantes, on cherche la densité de 
On reconnait la densité d’une loi normale de moyenne 0 et de variance 2.
• Somme de lois normales centrées réduites. par induction, on montre que La densité de
est donnée par
Loi normale de moyenne 0 et de variance n.
Remarque. Des calculs similaires permettent de montrer que la somme de lois normales
indépendantes est une loi normale.
3. Somme de lois exponentielles
Si et suivent des lois exponentielles indépendantes de même moyenne , on cherche la densité
de .
Si    ,  
Si   , 
Par induction, on montre que la densité de la somme de n lois exponentielles indépendantes de
même moyenne est donnée par
pour    Cette densité est dite loi Gamma.