Convolution de variables aléatoires continues et applications

Convolution de variables aléatoires continues et applications
Motivation de la définition.
Si X et Y sont deux variables aléatoires continues indépendantes de densités respectives et , la
cumulative H de est donnée par :
où F est la cumulative de X.
Pour obtenir la densité de , on dérive sa cumulative . En dérivant sous l’intégrale, on
obtient
On définit Si X et Y sont deux variables indépendantes, la densité de est donnée par .
Ce résultat se généralise à la somme de n variables aléatoires indépendantes , ! … . . , $ . Si
, ! , … . , $ sont les densités de probabilités de , ! … . . , $ , alors la densité de probabilité de
&$ ∑$() ( est ! … . $ . Cependant pour les applications, on écrit
&$ ∑$
() ( $ &$ $ et on procède par induction.
Exemples.
1. Somme de deux lois uniformes sur [0,1] indépendantes.
Les densités f et g sont égales à 1 sur [0,1] et nulles ailleurs.
* car 1 sur [0,1] et nulle ailleurs. est nulle sauf si
0 1 ce qui revient à 1 . On a alors On en déduit :
Si - 0 , 0
Si . 2 , 0
Si 0 1, * Si 1 2, 2 1
2. Somme de lois normales centrées réduites.
• Si ~10,1 et ~10,1 indépendantes, on cherche la densité de 1 4 4
1 4 4
!
! 3
3 ! 3 5 3
22 22
1 4 64
1 4
3 5 3
7 3 5 √2
22
22
1
2√2
3
4
5
1
√2√22
3
4
5
On reconnait la densité d’une loi normale de moyenne 0 et de variance 2.
•
Somme de lois normales centrées réduites. par induction, on montre que La densité de
&$ est donnée par
1
√9√22
4
3 !$
Loi normale de moyenne 0 et de variance n.
Remarque. Des calculs similaires permettent de montrer que la
indépendantes est une loi normale.
somme de lois normales
3. Somme de lois exponentielles
Si et suivent des lois exponentielles indépendantes de même moyenne :, on cherche la densité
de .
Si - 0 , 0
Si . 0, * * ;3 : 3 : ;! 3 !
Par induction, on montre que la densité de la somme de n lois exponentielles indépendantes de
même moyenne < est donnée par
;3 : ;$
9 1!
pour . 0. Cette densité est dite loi Gamma.
2