Energie électrostatique

Energie électrostatique
A. Energie potentielle
Considérons une charge q placée dans un champ électrostatique ሬEԦ. En tout point M elle est
soumise à une force Ԧf :
Ԧf = q E
ሬԦ
Si la charge se déplace de M vers un point M’ voisin, le travail de cette force est :
ሬሬሬሬሬሬሬሬԦ' = q E
ሬሬሬሬሬሬሬሬԦ' = q dࣝ
ሬԦ MM
d࣮ = Ԧf MM
Le travail débité par le système constitué de la charge q et des charges à l’origine du champ
est donc proportionnel à la chute du potentiel :
d࣮ = −q dV
Fig. 1 : Travail d’une force électrostatique.
De même le travail de la force électrostatique lors d’un déplacement de la charge q entre deux
points A et B est égal à :
࣮஺B = ࣮ሺ‫ܤ → ܣ‬ሻ = q ሺVA − VB ሻ
Il est indépendant du chemin suivi entre les deux points. Il correspond à l’énergie débitée par
le système donc à la diminution de l’énergie W du système.
WB − WA = −࣮஺B = q ሺVB − VA ሻ
Comme cette variation d’énergie ne dépend pas du chemin suivi, il s’agit d’une énergie
potentielle. A une constante additive près nous définissons l’énergie potentielle d’une charge
q dans un potentiel V par :
W = qV
S. Tisserant – PHY11 : Electromagnétisme
V-1
B. Energie de constitution d’un système de charges
B.1. Charges discrètes
L’énergie de constitution du champ électrostatique n’est pas incluse dans l’expression
précédente W = q V. Elle représente le travail qui a été fourni pour amener la charge q de
l’infini (où le potentiel est supposé nul) au point M.
Calculons l’énergie à fournir pour constituer un système de n charges discrètes {qi}i=1,…,n aux
positions {Ai}i=1,…,n. Pour cela nous pouvons amener les charges l’une après l’autre de l’infini
jusqu’à leurs positions. Nous notons wi le travail fourni pour la charge qi. Si nous
commençons par q1, puis q2 et ainsi de suite, nous avons :
w1 = 0
w2 = q2
q1
1
4 π ε 0 A1A 2
w3 = q3
1
4 π ε0
 q1
q2 


+
A
A
A
A
1
3
2
3


Ainsi pour la charge i :
wi = qi
1
4 π ε0
i −1
qj
∑A A
j=1
j
i
Pour constituer l’ensemble de la distribution il faut donc fournir une énergie :
n
W=
∑
wi =
i =1
1
4 π ε0
n
i −1
i =1
j=1
qi q j
∑∑ A A
j
i
La double somme de l’expression précédente correspond à toutes les paires (i, j) possibles
telles que j < i. Les paires sont donc toutes distinctes. Il possible d’obtenir une expression
légèrement plus symétrique en prenant toutes les paires (i, j) avec j ≠ i. Chaque paire est alors
comptée deux fois. L’énergie de constitution du système de n charges s’écrit donc :
1 1
W=
4 π ε0 2
n
n
qi q j
i =1
j=1
j≠ i
j
∑∑ A A
i
Ce que nous pouvons mettre sous la forme suivante :




n
q
1
j 
 1
W=
qi 
2
4 π ε0
AA 
i =1 
j=1 j i 
j≠i


n
∑
S. Tisserant – PHY11 : Electromagnétisme
∑
V-2
Soit :
1
W=
2
n
∑q V
i
i
i =1
où Vi représente le potentiel créé par toutes les charges à l’exception de la charge qi.
B.2. Distributions continues
Le résultat précédent se généralise aux distributions continues :
W=
1
2
∫∫ σ V dS
W=
ou
1
2
∫∫∫ρ V dτ
Le potentiel peut alors être considéré comme le champ créé par toutes les charges car la
contribution de la charge élémentaire ρ dτ ou σ dS est infinitésimale.
Nous pouvons vérifier cette extrapolation sur un exemple. Calculons l’énergie électrostatique
d’une sphère de rayon R uniformément chargée en volume. Notons ρ la densité volumique de
charges. Commençons par utiliser la relation précédente, nous savons que le potentiel ne
dépend que de r. Nous pouvons donc écrire, en coordonnées sphériques :
W=
1
2
∫∫∫
ρ V dτ =
1
2
π
R
∫ ∫∫
0
0
2π
ρ V(r ) r 2 sin θ dr dθ dϕ
0
En intégrant sur θ et sur ϕ il vient :
W = 2π
∫
R
ρ V(r ) r 2 dr
0
Le potentiel à l’intérieur d’une sphère de rayon R uniformément chargée en volume a pour
expression (cf. § D.2 du chapitre III) :
V(r ) =
ρ
(3 R 2 − r 2 )
6 ε0
Ce qui nous donne :
ρ2
W = 2π
6 ε0
∫
R
0
π ρ2
(3 R − r ) r dr =
3 ε0
2
2
2
R
 2 3 r5 
R r − 
5 0

Nous avons donc pour l’énergie électrostatique de constitution de la sphère :
4 π ρ2 5
W=
R
15 ε0
S. Tisserant – PHY11 : Electromagnétisme
V-3
Reprenons maintenant un raisonnement similaire à celui suivi pour une distribution de
charges ponctuelles. Il est possible de calculer cette énergie de constitution en évaluant
l’énergie fournie pour amener les charges de l’infini dans la sphère. Il est naturel d’imaginer
de remplir la sphère couche par couche. Considérons une situation intermédiaire avec la
sphère constituée jusqu’à un rayon r. Nous apportons de l’infini une charge dq que nous
répartissons en une couche d’épaisseur dr à la surface de cette sphère (fig. 2). Pour cela il faut
fournir un travail élémentaire :
dw = dq V
La charge élémentaire est donnée par le volume de la couche, à savoir :
dq = ρ dτ = ρ 4 π r 2 dr
r
r+dr
R
Fig. 2 : Constitution d’une sphère chargée.
Le potentiel auquel est portée cette charge dq est celui existant à la surface d’une sphère
uniformément chargée en volume de rayon r :
V( r ) =
ρ r2
3 ε0
Nous avons donc pour l’énergie fournie pour constituer la sphère :
W=
R
∫ dw = ∫
0
R
0
4 π ρ2 4
4 π ρ2 R 5
r dr =
3 ε0
3 ε0 5
Nous retrouvons le résultat précédent.
C. Densité d’énergie électrostatique
Dans le cas général l’énergie d’un système de charges s’écrit :
W=
S. Tisserant – PHY11 : Electromagnétisme
1
ම
ρ V dτ
2
espace
V-4
L’intégrale ici s’étend à tout l’espace. La densité de charges ρ étant nulle en dehors des
charges nous pouvons nous limiter l’intégrale aux régions chargées. C’est ce que nous avons
fait dans le paragraphe précédent.
W=
1
ම
ρ V dτ
2
charges
Les charges électriques sont à l’origine de l’énergie électrostatique.
Par ailleurs, nous savons que la densité de charges est liée au champ électrostatique par
l’équation de Poisson :
ρ
div ሬEԦ =
ε0
Nous pouvons donc écrire l’énergie d’un système de charges sous une autre forme :
W=
ε0
ම
V div ሬEԦ dτ
2
espace
avec l’intégrale étendue à tout l’espace.
Or nous avons :
ሬሬሬሬሬሬሬሬԦ V = V div ሬEԦ − E 2
ሬԦ grad
div ൫V ሬEԦ൯ = V div ሬEԦ + E
Ce qui nous donne en reportant dans l’expression de l’énergie :
W=
ε0
ම
ൣdiv ൫V ሬEԦ൯ + E 2 ൧ dτ
2
espace
Ce qui fait apparaître deux termes :
W=
ε0
ε0
ම
div ൫V ሬEԦ൯ dτ + ම
E 2 dτ
2
2
espace
espace
Considérons le premier terme. Le théorème de Green-Ostrogradsky permet de transformée
l’intégrale de volume en un flux sortant :
ම
ሬԦ dSሬԦ
div ൫V ሬEԦ൯ dτ = ඾ V E
espace
ሺSሻ
Il s’agit du flux sortant au travers d’une surface (S) englobant tout l’espace. Prenons, par
exemple, une sphère de rayon R tendant vers l’infini. En l’absence de charge à l’infini, nous
savons que pour R très grand :
- le potentiel V se comporte comme 1/R ;
- le champ E se comporte comme 1/R2.
S. Tisserant – PHY11 : Electromagnétisme
V-5
La surface S de la sphère étant proportionnelle à R2, nous en déduisons que l’intégrale de flux
varie comme 1/R et tend vers 0.
Nous avons donc pour l’énergie du système de charges :
ε0 E 2
dτ
espace 2
W=ම
Celle-ci se répartit dans tout l’espace avec une densité volumique d’énergie :
ε0 E 2
ω=
2
Si les charges électriques sont à l’origine de l’énergie électrostatique, celle-ci n’est pas
localisée uniquement sur les charges mais répartie dans tout l’espace.
D. Conducteurs en équilibre
D.1. Energie potentielle
Considérons un ensemble de n conducteurs. Nous savons que sur chaque conducteur les
charges se distribuent en surface et qu’elles sont au potentiel du conducteur. Nous pouvons
donc écrire pour l’énergie de constitution de ce système :
n
Ce qui nous donne :
1
1
W = ඵ σ V dS = ෍ Vi ඵ σi dS
2
2
n
i=1
1
W = ෍ Qi Vi
2
i=1
où Vi et Qi représentent le potentiel et la charge du conducteur i.
Considérons le cas particulier d’un condensateur. Notons Q1, Q2, V1 et V2 les charges et
potentiels des deux armatures, l’indice 1 faisant référence à l’armature interne. L’énergie
électrostatique de ce condensateur est :
W=
1
ሺQ V + Q2 V2 ሻ
2 1 1
Nous pouvons exprimer les charges des armatures en fonction de leur différence de potentiel
V et de la capacité C du condensateur :
Q1 = −Q2 = Q = CሺV1 − V2 ሻ = C V
Ce qui nous donne pour l’énergie du condensateur :
S. Tisserant – PHY11 : Electromagnétisme
V-6
W=
1
Q ሺV − V2 ሻ
2 1 1
1
1
1 Q2
2
W= QV= CV =
2
2
2 C
Soit :
D.2. Evaluation des forces électrostatiques entre conducteurs
Considérons un système de n conducteurs à l’équilibre. Nous supposons que k de ces
conducteurs sont maintenus à des potentiels constants (à l’aide de générateurs de tension) et
que les autres sont isolés (charges constantes).
Pour maintenir les n conducteurs à l’équilibre (immobiles) il faut leur appliquer des forces
extérieures (par exemple avec des supports) pour contrarier les interactions électrostatiques.
Si nous déplaçons un ou plusieurs conducteurs, la variation de l’énergie du système est égale
à la somme du travail reçu des forces extérieures et de l’énergie électrique fournie par les
générateurs.
Si nous numérotons de 1 à k les conducteurs à potentiels fixes, nous pouvons écrire pour la
variation de l’énergie électrostatique du système :
n
k
n
1
1
1
dW = d ൭෍ Qi Vi ൱ = ෍ Vi dQi +
෍ Qi dVi
2
2
2
i=1
i=1
i=k+1
L’énergie électrique fournie par les générateurs pour maintenir les k conducteurs à leurs
potentiels est :
k
dU = ෍ Vi dQi
i=1
Les charges dQi doivent être portées aux potentiels Vi.
dW = dWméca + dU
Le bilan énergétique s’écrit :
Nous pouvons donc évaluer le travail fourni par les forces extérieures :
dWméca
n
k
1
1
= dW − dU =
෍ Qi dVi − ෍ Vi dQi
2
2
i=k+1
i=1
Si nous effectuons des déplacements élémentaires (translations et/ou rotations d’un
conducteur) infiniment lents, de manière à rester presque à l’équilibre (actions extérieures
égales et opposées aux interactions électrostatiques), l’évaluation par cette méthode des forces
externes nous donne accès aux interactions électrostatiques.
S. Tisserant – PHY11 : Electromagnétisme
V-7
A titre d’exemple calculons les forces d’interaction existant entre les deux électrodes d’un
condensateur plan. Pour cela étudions la situation schématisée sur la figure suivante. Le
condensateur de surface S et d’épaisseur e est soumis à une différence de potentiel V. Nous
notons Q la charge de l’armature supérieure, Ԧf la force interne s’exerçant sur celle-ci (les
armatures s’attirent) et ሬFԦ la force extérieure correspondante. Nous choisissons un axe x
normal aux armatures, donc parallèle aux forces.
Fig. 3 : Condensateur plan.
Effectuons une translation dx parallèle à l’axe x de l’électrode supérieure. Nous supposons ce
déplacement infiniment lent de manière à avoir en permanence :
ሬԦ = −fԦ
F
Si le condensateur est maintenu à un potentiel constant, détaillons la variation de l’énergie du
condensateur, le travail de la force extérieure et l’énergie électrique fournie. La translation de
l’armature induit une variation dC de la capacité et une variation dQ de la charge :
dQ = V dC
Nous avons donc :
1
- énergie du condensateur : dW = V 2 dC ;
2
- travail mécanique : dWméca = F dx ;
- énergie électrique : dU = V dQ = V 2 dC.
dW = dWméca + dU
Le bilan énergétique :
1 2
V dC = F dx +V 2 dC
2
nous donne :
Soit :
F=−
Calculons la dérivée de la capacité :
ε0 S
ฬ
x x=e
C=
⇒
1 2 ݀C
V
2
݀x
݀C
ε0 S
ε0 S
= − 2 ฬ
=− 2
݀x
x x=e
e
En reportant dans l’expression de la force il vient :
S. Tisserant – PHY11 : Electromagnétisme
V-8
F=
1 ε0 S V ଶ
2 e2
Recommençons cette évaluation pour un condensateur isolé. Il n’y a pas d’apport d’énergie
électrique et la charge reste constante. Nous avons donc :
- énergie du condensateur : dW =
1
2
Q2 d ቀCቁ ;
1
- travail mécanique : dWméca = F dx.
Nous pouvons donc écrire :
Or :
dW = dWméca
1 x
=
ฬ
C ε0 S x=e
⇒
⇒
F=
En reportant dans l’expression de la force il vient :
F=
1 2 ݀ 1
Q
൬ ൰
2
݀x C
݀ 1
1
൬ ൰=
݀x C
ε0 S
1 Q2
2 ε0 S
Vérifions que ce résultat est équivalent au précédent. En effet :
Q= CV=
ε0 S
V
e
⇒
F=
1 ε0 2 S 2 V 2 1 ε0 S V ଶ
=
2 ε0 S e2
2 e2
Il est également calculer la force électrostatique directement en utilisant la pression
électrostatique :
σ2
p=
2 ε0
En supposant la densité de charges uniforme, la force interne a pour module :
Or :
f=pS=
Q=σS
Nous retrouvons le même résultat.
⇒
σ2 S
2 ε0
Q2
f=
2 ε0 S
E. Interaction d’un dipôle avec un champ électrostatique
Nous étudions ici l’action d’un champ électrostatique sur un dipôle. Dans un premier temps
nous effectuons un calcul direct en évaluant les effets des forces agissant sur les deux charges.
Ensuite nous suivrons un raisonnement énergétique similaire à ce que nous venons de voir
pour un système de conducteurs.
S. Tisserant – PHY11 : Electromagnétisme
V-9
E.1. Champ extérieur uniforme
Supposons le dipôle placé dans un champ électrostatique uniforme.
Fig. 4 : Actions d’un champ extérieur sur un dipôle.
Avec les notations de la figure 4 nous avons pour les forces :
ሬԦA = q E
ሬԦ
F
et
ሬԦB = −q E
ሬԦ
F
Ces deux forces sont parallèles, égales en module et opposées en direction. Leur résultante est
donc nulle :
ሬRԦ = F
ሬԦA + F
ሬԦB = ሬԦ
0
Par contre comme elles ne s’appliquent aux mêmes points, elles constituent un couple dont
nous pouvons évaluer le moment en O centre du dipôle :
Soit :
ሬԦ = OA
ሬሬሬሬሬԦ ∧ ሬFԦA + OB
ሬሬሬሬሬԦ ∧ ሬFԦB = ൫OA
ሬሬሬሬሬԦ − OB
ሬሬሬሬሬԦ൯ ∧ q E
ሬԦ
C
ሬԦ = q BA
ሬሬሬሬሬԦ ∧ ሬEԦ
C
ሬሬሬሬሬԦ , ce qui nous donne pour le moment du
Nous voyons apparaître le moment dipolaire ሬpԦ = q BA
couple de forces :
ሬԦ = ሬpԦ ∧ ሬEԦ
C
Celui-ci a tendance à orienter le dipôle parallèlement au champ électrostatique. Dans ce cas
particulier comme la résultante des forces est nulle le moment est indépendant du point O.
E.2. Champ extérieur quelconque
Nous avons pour les forces :
ሬԦA = q E
ሬԦA
F
et
ሬԦB = −q E
ሬԦB
F
Ici le champ n’est pas nécessairement identique en A et en B. La distance d entre les charges
étant petite, nous pouvons estimer le champ électrostatique en ces deux points à partir d’un
développement limité du champ ሬEԦ au centre O :
S. Tisserant – PHY11 : Electromagnétisme
V - 10
ሬԦA = E
ሬԦ +
E
ሬԦ d
߲E
߲u 2
et
ሬԦB = E
ሬԦ −
E
ሬԦ d
߲E
߲u 2
L’axe Ou est choisi parallèle au moment dipolaire (fig. 4). Nous avons alors pour la résultante
des forces :
ሬԦ
ሬԦ
߲E
߲E
ሬԦ = F
ሬԦA + F
ሬԦB = q d
R
=p
߲u
߲u
Le dipôle est attiré vers les champs les plus intenses.
Evaluons le moment de ce couple de forces au centre O du dipôle. Nous pouvons écrire :
Soit :
ሬԦ
ሬሬሬሬሬԦ ∧ ሬFԦA + OB
ሬሬሬሬሬԦ ∧ ሬFԦB
C = OA
ሬԦ
ሬሬሬሬሬԦ ∧ ቆE
ሬԦ +
C = q OA
ሬԦ d
ሬԦ d
߲E
߲E
ሬԦ −
ቇ − q ሬሬሬሬሬԦ
OB ∧ ቆE
ቇ
߲u 2
߲u 2
ሬԦ
ሬሬሬሬሬԦ ∧ ሬEԦ = ሬpԦ ∧ ሬEԦ
C = q BA
Nous retrouvons :
E.3. Energie d’interaction d’un dipôle avec un champ
ሬԦ. Nous
Nous considérons un dipôle de moment ሬpԦ placé dans un champ électrostatique E
pouvons distinguer deux systèmes de charges :
- les charges produisant le champ électrostatique ;
- les charges du dipôle.
Nous nous intéressons ici à l’énergie d’interaction du dipôle avec le champ. Celle-ci est
définie comme étant l’énergie qu’il faut fournir au dipôle pour l’amener déjà constitué de
l’infini dans sa position AB. Nous ne prenons pas en compte l’énergie de constitution du
système de charges produisant le champ, ni celle du dipôle.
Si nous notons VA et VB les potentiels en A et en B induits par le champ extérieur nous avons
pour l’énergie d’interaction :
W = q VA − q VB = q ሺVA − VB ሻ
ሬԦ de A à B :
Or VA − VB correspond à la circulation du champ E
B
Au premier ordre nous avons :
Ce qui nous donne :
S. Tisserant – PHY11 : Electromagnétisme
VA − VB = න ሬEԦ dlԦ
B
A
න ሬEԦ dlԦ ≈ ሬEԦ ሬሬሬሬሬԦ
AB
A
ሬԦ ሬሬሬሬሬԦ
ሬԦ
W=qE
AB = −p
ሬԦ E
V - 11
Rappelons que cette énergie d’interaction ne contient pas l’énergie de constitution des deux
systèmes de charges. Elle correspond au travail qu’il a fallu fournir pour amener le dipôle de
l’infini à sa position dans le champ, c’est-à-dire à l’opposé du travail des forces exercées par
le champ extérieur sur le dipôle.
E.4. Torseur des forces agissant sur le dipôle
Nous pouvons utiliser cette énergie d’interaction pour évaluer l’action du champ extérieur sur
le dipôle. Commençons par la détermination du moment en O. Pour cela effectuons une
rotation infinitésimale dα
ሬԦ autour d’un axe passant par O. Nous pouvons écrire pour le travail
des forces exercées sur le dipôle :
ሬԦ dα
dWméca = C
ሬԦ
Ce travail correspond à une "diminution" de l’énergie d’interaction :
dWméca = −dW
Dans une rotation autour d’un axe passant par O seul le vecteur ሬpԦ est modifié. La diminution
d’énergie peut donc s’écrire :
ሬԦ
ሬԦ൯ = dp
ሬԦ = ሺdα
−dW = d൫p
ሬԦ E
ሬԦ E
ሬԦ ∧ ሬpԦሻ E
Or nous savons que quelque soient les vecteurs ሬaԦ, ሬԦ
b et cԦ nous avons :
ሬԦ ∧ cԦ൯
൫aሬԦ ∧ ሬԦ
b൯ cԦ = ሬaԦ ൫b
ሬԦ dα
C
ሬԦ = ൫p
ሬԦ ∧ ሬEԦ൯ dα
ሬԦ
Nous avons donc :
Ce qui nous permet d’écrire :
ሬԦ − ሬpԦ ∧ ሬEԦ൯ dα
∀dα
ሬԦ ൫C
ሬԦ = 0
Nous retrouvons le résultat précédent.
⇔
ሬԦ = ሬpԦ ∧ ሬEԦ
C
Pour évaluer la résultante des forces effectuons une translation infinitésimale dlԦ du dipôle.
Nous pouvons encore écrire :
dWméca = −dW
avec :
ሬԦ dlԦ
dWméca = R
Choisissons un repère orthonormé direct quelconque (Oxyz) et effectuons la translation
parallèlement à l’axe Ox :
dlԦ = dx eሬԦx
Nous avons pour le travail de la résultante :
ሬԦ dlԦ = R x dx
dWméca = R
S. Tisserant – PHY11 : Electromagnétisme
V - 12
En coordonnées cartésiennes nous pouvons écrire pour l’énergie d’interaction :
W = −൫px Ex + py Ey + pz Ez ൯
Soit pour une petite translation parallèle à l’axe Ox :
Ou encore :
dW = −
Il vient donc :
߲Ey
߲
߲Ex
߲Ez
ሬԦ൯dx = − ቆpx
൫p
ሬԦ E
+ py
+ pz
ቇ dx
߲x
߲x
߲x
߲x
dW = −p
ሬԦ
dWméca = −dW
Ce qui nous donne :
⇒
R x = ሬpԦ
ሬԦ
߲E
dx
߲x
R x dx = ሬpԦ
ሬԦ
߲E
߲x
ሬԦ
߲E
dx
߲x
Nous pouvons effectuer le même raisonnement dans les trois dimensions, ce qui nous conduit
à:
ሬԦ
ሬԦ
߲E
R
R x = ሬpԦ
߲x
ተ
ሬԦ
߲E
R y = ሬpԦ
߲y
ተ
ሬԦ
߲E
R z = ሬpԦ
߲z
Comme le moment dipolaire est constant, nous pouvons écrire :
ሬሬሬሬሬሬሬሬԦ ൫p
ሬRԦ = grad
ሬԦ൯
ሬԦ E
Au lieu de choisir un déplacement quelconque comme nous venons de le faire, choisissons la
translation parallèle au moment dipolaire. Notons ሬuԦ le vecteur unitaire tel que :
ሬpԦ = p ሬuԦ
Nous choisissons une translation élémentaire :
Nous avons alors :
dWméca = −dW
En simplifiant par du il vient :
S. Tisserant – PHY11 : Electromagnétisme
dlԦ = du ሬuԦ
⇒
ሬԦ du ሬuԦ = p ሬuԦ
R
ሬԦ
߲E
du
߲u
V - 13
ሬԦ − p
ቆR
ሬԦ
߲E
ቇ ሬuԦ = 0
߲u
Cette équation admet deux solutions. Tout d’abord :
ሬRԦ = p
ሬԦ
߲E
߲u
Nous retrouvons le résultat du paragraphe précédent. L’autre cas :
ሬRԦ − p
ሬԦ
߲E
⊥ ሬuԦ
߲u
Ne peut se vérifier que dans un cas très particulier. Nous pouvons donc l’oublier.
S. Tisserant – PHY11 : Electromagnétisme
V - 14