Energie électrostatique

S. Tisserant – PHY11 : Electromagnétisme V - 1
Energie électrostatique
A. Energie potentielle
Considérons une charge q placée dans un champ électrostatique E
ሬ
ሬ
Ԧ
. En tout point M elle est
soumise à une force fԦ : fԦ=q E
ሬ
ሬ
Ԧ
Si la charge se déplace de M vers un point M’ voisin, le travail de cette force est :
d࣮=fԦ MM
'
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
=q E
ሬ
ሬ
Ԧ
MM
'
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
= q dࣝ
Le travail débité par le système constitué de la charge q et des charges à l’origine du champ
est donc proportionnel à la chute du potentiel :
d࣮=−q dV
Fig. 1 : Travail d’une force électrostatique.
De même le travail de la force électrostatique lors d’un déplacement de la charge q entre deux
points A et B est égal à : ࣮
஺B
=࣮ሺܣ→ܤሻ=q ሺV
A
−V
B
ሻ
Il est indépendant du chemin suivi entre les deux points. Il correspond à l’énergie débitée par
le système donc à la diminution de l’énergie W du système.
W
B
−W
A
=−࣮
஺B
=q ሺV
B
−V
A
ሻ
Comme cette variation d’énergie ne dépend pas du chemin suivi, il s’agit d’une énergie
potentielle. A une constante additive près nous définissons l’énergie potentielle d’une charge
q dans un potentiel V par : VqW
=

S. Tisserant – PHY11 : Electromagnétisme V - 2
B. Energie de constitution d’un système de charges
B.1. Charges discrètes
L’énergie de constitution du champ électrostatique n’est pas incluse dans l’expression
précédente W = q V. Elle représente le travail qui a été fourni pour amener la charge q de
l’infini (où le potentiel est supposé nul) au point M.
Calculons l’énergie à fournir pour constituer un système de n charges discrètes {q
i
}
i=1,…,n
aux
positions {A
i
}
i=1,…,n
. Pour cela nous pouvons amener les charges l’une après l’autre de l’infini
jusqu’à leurs positions. Nous notons w
i
le travail fourni pour la charge q
i
. Si nous
commençons par q
1
, puis q
2
et ainsi de suite, nous avons :
0w
1
=
21
1
0
22
AAq 41
qw επ =
+
επ
=
32
2
31
1
0
33
AAq AAq 41
qw
Ainsi pour la charge i :
∑
−
=
επ
=
1i
1j ij
j
0
ii
AA
q
41
qw
Pour constituer l’ensemble de la distribution il faut donc fournir une énergie :
∑∑∑
=
−
==
επ
==
n
1i
1i
1j ij
ji
0
n
1i
i
AA
qq
41
wW
La double somme de l’expression précédente correspond à toutes les paires (i, j) possibles
telles que j < i. Les paires sont donc toutes distinctes. Il possible d’obtenir une expression
légèrement plus symétrique en prenant toutes les paires (i, j) avec j ≠ i. Chaque paire est alors
comptée deux fois. L’énergie de constitution du système de n charges s’écrit donc :
∑∑
=≠ =
επ
=
n
1i
n
ij 1j ij
ji
0
AA
qq
2
1
41
W
Ce que nous pouvons mettre sous la forme suivante :
∑ ∑
=≠ =
επ
=
n
1i
n
ij 1j ij
j
0
i
AA
q
41
q
2
1
W

S. Tisserant – PHY11 : Electromagnétisme V - 3
Soit :
∑
=
=
n
1i
ii
Vq
2
1
W
où Vi représente le potentiel créé par toutes les charges à l’exception de la charge qi.
B.2. Distributions continues
Le résultat précédent se généralise aux distributions continues :
∫∫∫∫∫
τρ=σ= dV
2
1
WoudSV
2
1
W
Le potentiel peut alors être considéré comme le champ créé par toutes les charges car la
contribution de la charge élémentaire ρ dτ ou σ dS est infinitésimale.
Nous pouvons vérifier cette extrapolation sur un exemple. Calculons l’énergie électrostatique
d’une sphère de rayon R uniformément chargée en volume. Notons ρ la densité volumique de
charges. Commençons par utiliser la relation précédente, nous savons que le potentiel ne
dépend que de r. Nous pouvons donc écrire, en coordonnées sphériques :
∫ ∫ ∫∫∫∫
π π
ϕθθρ=τρ=
R
0 0
2
0
2
dddrsinr)r(V
2
1
dV
2
1
W
En intégrant sur θ et sur ϕ il vient :
∫
ρπ=
R
0
2
drr)r(V2W
Le potentiel à l’intérieur d’une sphère de rayon R uniformément chargée en volume a pour
expression (cf. § D.2 du chapitre III) :
)rR3(
6
)r(V
22
0
−
ε
ρ
=
Ce qui nous donne :
R
0
5
32
0
2
R
0
222
0
2
5
r
rR
3
drr)rR3(
6
2W 
−
ε
ρπ
=−
ε
ρ
π=
∫
Nous avons donc pour l’énergie électrostatique de constitution de la sphère :
5
0
2
R
15
4
Wε
ρπ
=

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Reprenons maintenant un raisonnement similaire à celui suivi pour une distribution de
charges ponctuelles. Il est possible de calculer cette énergie de constitution en évaluant
l’énergie fournie pour amener les charges de l’infini dans la sphère. Il est naturel d’imaginer
de remplir la sphère couche par couche. Considérons une situation intermédiaire avec la
sphère constituée jusqu’à un rayon r. Nous apportons de l’infini une charge dq que nous
répartissons en une couche d’épaisseur dr à la surface de cette sphère (fig. 2). Pour cela il faut
fournir un travail élémentaire :
Vdqdw
=
La charge élémentaire est donnée par le volume de la couche, à savoir :
drr4ddq
2
πρ=τρ=
r+dr
R
r
Fig. 2 : Constitution d’une sphère chargée.
Le potentiel auquel est portée cette charge dq est celui existant à la surface d’une sphère
uniformément chargée en volume de rayon r :
0
2
3r
)r(V ε
ρ
=
Nous avons donc pour l’énergie fournie pour constituer la sphère :
5
R
3
4
drr
3
4
dwW
5
0
2
R
0
4
0
2
R
0
ερπ
=
ερπ
==
∫∫
Nous retrouvons le résultat précédent.
C. Densité d’énergie électrostatique
Dans le cas général l’énergie d’un système de charges s’écrit :
W=1
2 ම ρ V dτ
espace

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L’intégrale ici s’étend à tout l’espace. La densité de charges ρ étant nulle en dehors des
charges nous pouvons nous limiter l’intégrale aux régions chargées. C’est ce que nous avons
fait dans le paragraphe précédent.
W=1
2 ම ρ V dτ
charges
Les charges électriques sont à l’origine de l’énergie électrostatique.
Par ailleurs, nous savons que la densité de charges est liée au champ électrostatique par
l’équation de Poisson :
div E
ሬ
ሬ
Ԧ
=ρ
ε
0
Nous pouvons donc écrire l’énergie d’un système de charges sous une autre forme :
W=ε
0
2 ම V div E
ሬ
ሬ
Ԧ
dτ
espace
avec l’intégrale étendue à tout l’espace.
Or nous avons :
div ൫V E
ሬ
ሬ
Ԧ
൯=V div E
ሬ
ሬ
Ԧ
+E
ሬ
ሬ
Ԧ
grad
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
V= V div E
ሬ
ሬ
Ԧ
−E
2
Ce qui nous donne en reportant dans l’expression de l’énergie :
W=ε
0
2 ම ൣdiv ൫V E
ሬ
ሬ
Ԧ
൯+E
2
൧ dτ
espace
Ce qui fait apparaître deux termes :
W=ε
0
2 ම div ൫V E
ሬ
ሬ
Ԧ
൯ dτ
espace
+ε
0
2 ම E
2
dτ
espace
Considérons le premier terme. Le théorème de Green-Ostrogradsky permet de transformée
l’intégrale de volume en un flux sortant :
ම div ൫V E
ሬ
ሬ
Ԧ
൯ dτ
espace
= ඾ V E
ሬ
ሬ
Ԧ
dSሬ
Ԧ
ሺSሻ
Il s’agit du flux sortant au travers d’une surface (S) englobant tout l’espace. Prenons, par
exemple, une sphère de rayon R tendant vers l’infini. En l’absence de charge à l’infini, nous
savons que pour R très grand :
- le potentiel V se comporte comme 1/R ;
- le champ E se comporte comme 1/R
2
.