115bis

16
Orientation d’un espace euclidien de
dimension 3.Produit mixte, produit
vectoriel. Applications
Eest un espace euclidien (voir le chapitre 15 pour des rappels).
16.1 Orientation d’un espace euclidien
Théorème 16.1 Si B= (ei)1≤i≤net B0= (e0
i)1≤i≤nsont deux bases orthonormées de E, alors
la matrice de passage Pde BàB0est une matrice orthogonale.
Démonstration. L’application linéaire udéfinie par u(ej) = e0
j=
n
X
i=1
pijeipour tout j
compris entre 1et nest une isométrie puisqu’elle transforme une base orthonormée en base
orthonormée et en conséquence sa matrice dans la base B,qui n’est autre que la matrice
P= ((pij))1≤i,j≤n,est orthogonale.
Avec les notations du théorème précédent, on a det (P) = ±1.
On définit une relation sur l’ensemble des bases orthonormées de Een disant qu’une base
orthonormée Best en relation avec une base orthonormée B0si, et seulement si, la matrice de
passage Pde BàB0est dans O+
n(R).On notera ∼cette relation.
Théorème 16.2 La relation ∼ainsi définie est une relation d’équivalence et il y a exactement
deux classes d’équivalence pour cette relation.
Démonstration. Cette relation est réflexive puisque In∈ O+
n(R)et B=Id(B).
Cette relation est symétrique puisque P∈ O+
n(R)entraîne P−1∈ O+ n(R)et si Pest la
matrice de passage de BàB0,alors P−1est la matrice de passage de B0àB.
Cette relation est transitive puisque le produit de deux matrices de O+
n(R)est dans O+ n(R)
(O+
n(R)est un groupe).
Soit B= (ei)1≤i≤nune base orthonormée de Efixée.
Pour toute autre base orthonormée B0= (e0
i)1≤i≤n,en désignant par P= ((pij))1≤i,j≤nla
matrice de passage Pde BàB0,on a soit P∈ O+
n(R)et B0∼B,soit P∈ O− n(R)et en
désignant par B−la base orthonormée définie par :
B−= (e1,··· , en−1,−en)
391

392Orientation d’un espace euclidien de dimension 3.Produit mixte, produit vectoriel. Applications
la matrice de passage P−de B−àB0est :
P−=
p11 ··· ··· p1n
.
.
.....
.
.
pn−1,1...pn−1,n
−pnn ··· ··· −pnn
et det (P−) = −det (P) = 1,donc P−∈ O+
n(R)et B0∼B−.
Donc B0est soit dans la classe de B,soit dans celle de B−et ces deux classes sont distinctes
puisque la matrice de passage de BàB−est µIn−10
0−1¶∈ O−
n(R).On a donc deux classes
distinctes.
Définition 16.1 Orienter l’espace euclidien Erevient à choisir une base orthonormée E.
Le théorème précédent nous dit qu’il n’y a que deux orientations possibles pour E.
Définition 16.2 Si l’espace Eest orienté par le choix d’une base orthonormée B0,on dit qu’une
base orthonormée Best directe (ou qu’elle définit la même orientation que B0) si Best dans la
classe d’équivalence de B0et on dit que cette base Best indirecte dans le cas contraire.
L’espace Rn,pour n≥2,est en général orienté par le choix de la base canonique.
Exercice 16.1 On suppose que Eest orienté par le choix d’une base orthonormée B0=
(ei)1≤i≤net on se donne une permutation σde {1,2,··· , n}.À quelle condition portant sur σ
la base Bσ=¡eσ(i)¢1≤i≤nest-elle directe ?
Solution 16.1 En notant ε(σ)la signature de la permutation σ, on a detB0(Bσ) = ε(σ) det (In) =
ε(σ)et Bσest directe si, et seulement si, σest une permutation paire.
Les isométries directes sont celles qui respectent l’orientation. Précisément, on a le résultat
suivant.
Théorème 16.3 Soient B= (ei)1≤i≤nune base orthonormée de Eet uune application linéaire
de Edans E. L’application uest une isométrie positive si, et seulement si, elle transforme B
en une base orthonormée directe de E.
Démonstration. Soient u∈ L(E)et B0= (u(ei))1≤i≤n.
On a : ¡u∈ O+(E)¢⇔(u∈ O(E)et det (u) = 1)
avec det (u) = detB(B0),donc :
¡u∈ O+(E)¢⇔¡B0= (u(ei))1≤i≤nbase orthonormée et detB(B0) = 1¢
⇔¡B0= (u(ei))1≤i≤nbase orthonormée directe¢

Produit mixte, produit vectoriel, cas de la dimension 3393
16.2 Produit mixte, produit vectoriel, cas de la dimension
3
On désigne par Eun espace euclidien de dimension n≥3orienté par le choix d’une base
orthonormée B0= (ei)1≤i≤n.
On rappelle que si Best une autre base de E, alors pour tout n-uplet (x1, x2,··· , xn)de
vecteurs de E, on a :
detB0(x1, x2,··· , xn) = detB0(B) detB(x1, x2,··· , xn)
(théorème ??).
Il en résulte que la quantité detB(x1, x2,··· , xn)est indépendante du choix d’une base ortho-
normée directe Bde E(puisque dans ce cas, on a detB0(B) = 1). On la note det (x1, x2,··· , xn)
(ce qui suppose le choix d’une orientation de E) et on dit que c’est le produit mixte des vecteurs
ordonnés x1, x2,···, xn.On le note parfois [x1, x2,··· , xn].
En remarquant que, pour tout (n−1)-uplet x1, x2,··· , xn−1de vecteurs de E, l’application
x7→ det (x1, x2,···, xn−1, x)est une forme linéaire, on déduit du théorème ?? qu’il existe un
unique vecteur a∈Etel que :
∀x∈E, det (x1, x2,··· , xn−1, x) = ha|xi(16.1)
ce vecteur aétant fonction des vecteurs x1, x2,··· , xn−1.
On peut donc donner la définition suivante.
Définition 16.3 Le produit vectoriel des n−1vecteurs x1, x2,··· , xn−1de Eest le vecteur a
défini par (16.1) .On le note x1∧x2∧... ∧xn−1.
Dans la base orthonormée B0,en notant xj=
n
P
i=1
xijeipour tout jcompris entre 1et n, les
réels :
det (x1, x2,··· , xn−1, ei) = hx1∧x2∧... ∧xn−1|eii
sont les composantes du vecteur x1∧x2∧... ∧xn−1dans la base B0.On a donc :
x1∧x2∧... ∧xn−1=
n
X
i=1
(−1)i+nδiei(16.2)
où δiest le déterminant de la matrice d’ordre n−1déduite de la matrice (X1, X2,··· , Xn−1)en
supprimant de cette matrice la ligne numéro i(Xiétant le vecteur de Rnformé des composantes
de xidans la base B).
Remarque 16.1 (−1)i+nδiest aussi le cofacteur Ci,n (x1, x2,··· , xn−1)d’indice (i, n)de la
matrice (X1, X2,···, Xn−1,0) (i. e. celui en ligne iet colonne n).
En utilisant les propriétés du déterminant, on obtient le résultat suivant.
Théorème 16.4
–Le produit vectoriel est une application (n−1)-linéaire alternée de En−1dans E;
–le vecteur x1∧x2∧... ∧xn−1est orthogonal à tous les vecteurs xi(1≤i≤n−1) ;
–x1∧x2∧... ∧xn−1= 0 si et seulement si la famille (x1, x2, ..., xn−1)est liée ;

394Orientation d’un espace euclidien de dimension 3.Produit mixte, produit vectoriel. Applications
–si la famille (x1, x2, ..., xn−1)est libre, on a alors :
det (x1,··· , xn−1, x1∧... ∧xn−1) = kx1∧... ∧xn−1k2>0
et la famille (x1, ..., xn−1, x1∧x2∧... ∧xn−1)est une base directe de E;
–si la famille (x1, ..., xn−1)est orthonormée, (x1,··· , xn−1, x1∧... ∧xn−1)est alors une base
orthonormée directe de E.
Démonstration.
–Chacune des applications :
(x1, ..., xn−1)7→ det (x1, x2,··· , xn−1, ei)
étant (n−1)-linéaire alternée, il en est de même de l’application
(x1, ..., xn−1)7→ x1∧... ∧xn−1=
n
X
i=1
det (x1, x2,··· , xn−1, ei)ei
–Avec :
hx1∧... ∧xn−1|xii= det (x1,··· , xn−1, xi) = 0
pour 1≤i≤n−1,on déduit que x1∧... ∧xn−1est orthogonal à xi.
–Si la famille (x1, ..., xn−1)est liée, il en est de même de la famille (x1, ..., xn−1, x)pour tout
x∈Eet :
hx1∧... ∧xn−1|xi= det (x1,··· , xn−1, x) = 0
et donc x1∧... ∧xn−1∈E⊥={0}.
Si la famille (x1, ..., xn−1)est libre, elle se prolonge alors en une base (x1,··· , xn−1, x)et :
hx1∧... ∧xn−1|xi= det (x1,··· , xn−1, x)6= 0
ce qui entraîne x1∧... ∧xn−16= 0.
–Si (x1, ..., xn−1)est libre, on a x1∧... ∧xn−16= 0,donc :
det (x1,··· , xn−1, x1∧... ∧xn−1) = kx1∧... ∧xn−1k26= 0
et (x1,··· , xn−1, x1∧... ∧xn−1)est une base directe de E.
–Si (x1, ..., xn−1)est orthonormée, elle est alors libre et (x1,··· , xn−1, x1∧... ∧xn−1)est
une base directe de E. De plus x1∧... ∧xn−1est orthogonal à l’hyperplan Hengendré par
x1, ..., xn−1.
En prolongeant (x1, ..., xn−1)en une base orthonormée directe de E, (x1, ..., xn−1, xn),on
ax1∧... ∧xn−1=λxn(ces deux vecteurs sont dans la droite H⊥) et :
λ=hx1∧... ∧xn−1|xni= det (x1,···, xn−1, xn) = 1
donc x1∧... ∧xn−1=xnest de norme 1.

Distance d’un point à un hyperplan 395
16.3 Distance d’un point à un hyperplan
Le produit vectoriel peut être utilisé pour donner une expression relativement simple de la
distance d’un point à un hyperplan.
Théorème 16.5 Si Hest un hyperplan de Eet (x1, ..., xn−1)une base de H, alors la droite
D=H⊥est dirigée par le vecteur x1∧... ∧xn−1et pour tout vecteur xde E, la projection
orthogonale de xsur Hest :
pH(x) = x−hx1∧... ∧xn−1|xi
kx1∧... ∧xn−1k2(x1∧... ∧xn−1)
et la distance de xàHest donnée par :
d(x, H) = |hx1∧... ∧xn−1|xi|
kx1∧... ∧xn−1k=|det (x1,··· , xn−1, x)| kx1∧... ∧xn−1k
Démonstration. Le vecteur x1∧... ∧xn−1étant orthogonal à tous les xiqui engendrent
H, est nécessairement dans H⊥.Comme H⊥est une droite et x1∧... ∧xn−1non nul, la droite
D=H⊥est dirigée par x1∧... ∧xn−1.
On a d(x, H) = kx−ykoù y=pH(x)est la projection orthogonale de xsur H. Comme
x−y∈H⊥,il existe un réel λtel que x−y=λ(x1∧... ∧xn−1)et avec :
λkx1∧... ∧xn−1k2=hx−y|x1∧... ∧xn−1i=hx|x1∧... ∧xn−1i
(puisque y∈Het x1∧... ∧xn−1∈H⊥), on déduit que :
λ=hx1∧... ∧xn−1|xi
kx1∧... ∧xn−1k2
y=x−hx1∧... ∧xn−1|xi
kx1∧... ∧xn−1k2(x1∧... ∧xn−1)
et :
d(x, H) = kx−yk=|hx1∧... ∧xn−1|xi|
kx1∧... ∧xn−1k
Remarque 16.2 Le théorème précédent nous dit aussi qu’une équation de l’hyperplan Hde
base (x1, ..., xn−1)est donnée par :
x∈H⇔d(x, H) = 0 ⇔ hx1∧... ∧xn−1|xi= 0.
Remarque 16.3 En prenant pour (x1, ..., xn−1)une base orthonormée de H(c’est toujours
possible avec le procédé d’orthogonalisation de Gram-Schmidt), on a :
pH(x) = x− hx1∧... ∧xn−1|xi(x1∧... ∧xn−1)
et :
d(x, H) = |hx1∧... ∧xn−1|xi|
Exercice 16.2 Donner une équation du plan vectoriel Pde R3engendré par les vecteurs u=
(1,1,1) et v= (1,2,3) .Calculer la distance de x= (1 −1,1) àP.