Calcul de probabilité - Échantillonnage

Séquence 8
1
Séquence 8 – MA20
Sommaire
1. Prérequis
2. Calcul de probabilité
3. Échantillonnage
4. Algorithmique
5. Synthèse de la séquence
6. Exercices d’approfondissement
Calcul de probabilité
Échantillonnage
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3
Séquence 8 – MA20
Probabilités
L
e
l
angage
d
es pro
b
a
bili
tés
Loi de
p
robabilit
é
AA
expérience aléatoire issues
issues événements élémentaires éventualités
Se souvenir
U
ne expérience aléatoire est une ex
p
érience
p
our
l
a
q
ue
ll
e
pl
usieurs issues sont
p
ossi
bl
es,
sans
q
ue l’on
p
uisse
p
révoir celle
q
ui se
p
roduira.
L
es issues sont aussi appelées les événements élémentaires
,
ou les éventualités
.
Se souvenir
aaa a
n 123
, , ,..., n
événement certain toutes les issues
l’univers E=
{}
aaa a
n 123
, , ,..., .
événement impossible aucune issue
l’ensemble vide ∅=
{}
.
Se souvenir
Soit une ex
p
érience a
l
éatoire,
d
ont
l
es issues sont notées aaa a
n 123
, , ,...,
(
on suppose qu’il y a n
i
ssues).
O
n a
pp
e
ll
e événement certain
l’
événement constitué
d
e toutes les issues
d
e
l’
ex
p
érienc
e,
c’est-à-dire l’univers : E =
{}
aaa a
n 123
, , ,..., .
O
n a
pp
e
ll
e événement impossible
l’
événement constitué
d’
aucune issue
d
e
l’
ex
p
érience,
c
’
est-à-
d
ire l’ensemble vide : ∅=
{}
.
Se souvenir
aaa a
n 123
, , ,..., , probabilité
issue compris entre 0 et 1
ii
, p 01≤≤ 01≤≤ p ()
i
a
De plus
ppp...p
123 1++++ = n
ppp p
n
( ) ( ) ( ) ... ( ) aaa a
123 1++++=
À savoir
Lors
d’
une ex
p
érience a
l
éatoire,
d
ont
l
es issues sont notées aaa a
n 123
, , ,..., ,
l
a probabilité
d
e
c
ha
q
ue issue
est
u
n n
o
m
b
r
e
compris entre 0 et 1
:
pour n’importe quel indice,i i , p 01≤≤
(
o
u
01≤≤ p ()
i
a
)
.
De plus, ces probabilités vérifient :
ppp...p
123 1++++ = n(o
u
ppp p
n
( ) ( ) ( ) ... ( ) aaa a
123 1++++=
À savoir
1Prérequis
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Séquence 8 – MA20
L
ors d’une ex
p
érience aléatoire, la probabilité
d
’
u
névénement quel-
conque est la somme des probabilités de toutes les issues qu
i
compo-
s
ent cet
é
v
é
nement.
À savoir
Échantillonnage
Statisti
q
ues,
f
ré
q
uences
Une série statistique porte sur un caractère
(
â
g
e, poids, couleur, … etc.
)
d
ont on a re
l
evé certaines modalités (10 ans, 15 ans, 20 ans, … etc.).
Les données sont
p
résentées dans un tableau dans le
q
uel on indi
q
ue,
p
our
c
haque modalité du caractère, le nombre de fois où on a relevé cette valeur.
Ce « nombre de fois » s’appelle l’effectif
.
On
p
eut, en
p
lus de ces e
ff
ecti
f
s, ou à leur
p
lace, indi
q
uer la
p
ro
p
ortion de
c
haque modalité dans l’ensemble des données. Cette proportion s’appelle
l
a fréquence
d
e
l
a mo
d
a
l
ité.
À savoir
équiprobable événe-
ment quelconque p (A) nombre d'issues de A
nombre total d'iss
=uues .
À savoir
L
ors d’une expérience aléatoire équiprobable
,
la probabilité d’un événe-
ment quelconque
A
est
é
g
a
l
e
à
: p (A) nombre d'issues de A
nombre total d'iss
=uues .
À savoir
l’événement certain p (E) .=1
l’événement impossible p () .∅=0
À savoir
On note E
l’
univers
d’
une expérience a
l
éatoire.
La
p
ro
b
a
b
i
l
ité
d
e l’événement certain est : p (E) .=1
La
p
robabilité de l’événement impossible
est
: p () .∅=0
À savoir
BB
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Séquence 8 – MA20
Activité
Rappel
R
e
p
renons
l’
exem
pl
e
d
e
l’
e
x
p
ér
i
ence a
l
éato
i
r
e
,
a
b
or
d
ée
d
ans
l
a sé
q
uence 4,
consistant à lancer deux dés identiques à quatre
f
aces et à s’intéresser aux deux
n
uméros o
b
tenus.
L
es
é
v
é
n
e
m
e
n
ts
élé
m
e
n
tai
r
es
sont :
(
1 et 1), (1 et 2), (1 et 3), (1 et 4), (2 et 2), (2 et 3), (2 et 4), (3 et 3), (3 et 4) et (4
et 4
)
, si l’on ne peut pas distin
g
uer les deux dés
(
sinon, avec deux dés distincts,
(
1 et 2) et (2 et 1) sont des issues différentes).
O
n a vu, à l’aide d’un tableau à double entrée,
q
ue cha
q
ue issue « double », (1 et 1),
(2 et 2), (3 et 3), (4 et 4), a comme
p
r
obab
ili
té
1
16 .
Toutes les autres issues,
(
1 et 2
)
,
(
1 et 3
)
,
(
1 et 4
)
,
(
2 et 3
)
,
(
2 et 4
)
et
(
3 et 4
)
, ont
comme
p
ro
b
a
bilité 2
16 .
O
n a vu aussi qu
’
au
l
ieu
d
e se
d
eman
d
er si un résu
l
tat précis a
ll
ait se pro
d
uire
(
aura-t-on le 1 et le 3 ? ), on pouvait s’intéresser à une possibilité plus large :
aura-t-on deux numéros impairs ?
C
ela revient à se demander si l’on aura l’une des issues
(
1 et 1
)
, ou
(
1 et 3
)
, ou
(
3 et 3
).
E
t donc, si l’on aura l’une des issues de l’ensemble : {(1 et 1) ; (1 et 3) ; (3 et 3)}.
C
et ensemble est caractéristi
q
ue du
f
ait « d’avoir deux numéros im
p
airs ».
O
n dit que c’est l’
é
v
é
nement
«
avoir deux numéros impairs ».
O
n peut calculer la probabilité d’un tel événement en faisant la somme des pro-
b
a
b
i
l
ités
d
e c
h
acune
d
es issues
q
ui
l
e com
p
osent :
p ( avoir deux numéros impairs )«»=
ppp (1 et 1) (1 et 3) (3 et 3)++
=++=
1
16
2
16
1
16
4
16 .
O
n peut de la même
f
açon dé
f
inir d’autres
é
v
é
n
e
m
e
n
ts
, correspondant à di
ff
é-
r
entes possi
b
i
l
ités
d
es issues : « avoir un
d
ou
bl
e », « avoir
d
eux numéros
d
ont
l
a
somme
f
asse 4 », « avoir au moins un 1 », … etc.
AA
2Calcul de probabilité
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Séquence 8 – MA20
C
h
aque événemen
t
peut être représenté par
l’
ensem
ble
d
etoutes
l
es
issues
corres
p
on
d
antes :
{(
1 et 1
)
;
(
2 et 2
)
;
(
3 et 3
)
;
(
4 et 4
)}
est l’événement « avoir un double »,
{(
1 et 3
)
;
(
2 et 2
)}
est l’événement « avoir deux numéros dont la somme fasse 4 »,
{(1 et 1) ; (1 et 2) ; (1 et 3) ; (1 et 4)} est l’événement « avoir au moins un 1 ».
On
p
eut aussi considérer
q
u’un
e
nsemble d’issues
q
uelcon
q
ues re
p
r
é
sente
u
n événemen
t
, même si l’on ne peut pas le décrire par une phrase :
{(
1 et 1
)
;
(
2 et 3
)
;
(
2 et 4
)}
est un événement. Notons-le A.
S
a
p
ro
b
a
b
i
l
ité est :
pp p p (A) (1et1) (2et3) (2et4)=++=++
1
16
2
16
22
16
5
16
=.
A
utres
é
v
é
nements
On peut également « fabriquer » des événements à partir de deux événements
d
é
j
à existants
.
Tou
j
ours avec l’exemple précédent, prenons les deux événements « avoir un dou-
b
le » et « avoir deux numéros dont la somme fasse 4 » que l’on va noter D et Q :
D = {(1 et 1) ; (2 et 2) ; (3 et 3) ; (4 et 4)} et Q = {(1 et 3) ; (2 et 2)}.
On peut envisa
g
er l’événement « avoir un double
O
U
a
v
o
ir
deu
x n
u
m
é
r
os
do
n
t
la somme fasse 4 ».
Cet événement sera réa
l
isé
d
ès
q
ue
l’
un
d
es
d
eux événements D ou Q sera réa-
lisé, c’est-à-dire dès
q
ue l’une des issues de D ou de Q sera réalisée
.
On peut donc le représenter par l‘ensemble de toutes les issues de D et de Q :
{(1 et 1) ; (1 et 3) ; (2 et 2) ; (3 et 3) ; (4 et 4)}.
B
ie
n
e
n
te
n
du
, l’issue (2 ; 2) n’est
p
as ré
p
étée deux fois
.
Puis
q
u’on a réuni les issues de D et celles de Q, on dit
q
ue l’événement obtenu
est
l
a
réunion de D et
Q
.
O
n peut calculer sa probabilité de la même façon que pour tout autre événement :
p (réunion de D et Q) =
ppppp (1 et 1) (1 et 3) (2 et 2) (3 et 3) (4++++et 4)
=++++=
1
16
2
16
1
16
1
16
1
16
6
16 .
On peut aussi envisa
g
er l’événement « avoir un double
ET
a
v
o
ir
deu
x n
u
m
é
r
os
do
n
t
l
a
so
mm
e
f
asse
4 ».
Cet événement sera réa
l
isé si
l
es
d
eux événements D et
Q
sont réa
l
isés, c
’
est-à
-
d
ire si
l’
une
d
es issues,
à
la
f
ois de D et de
Q
, est réa
l
isée.
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