Q2 – PGCD (méthode) L`algorithme des différences 285 − 114 = 171

Q2 – PGCD (méthode)
PGCD
1
Pour déterminer le PGCD, il y a deux méthodes :
1) L’algorithme des différences ou soustractions successives
2) L’algorithme d’Euclide
L’algorithme des différences
Déterminer le PGCD de 285 et 114 en utilisant l’algorithme des différences
Les deux
plus petits
On commence
par 171
285 − 114 = 171
171 − 114 = 57
114 − 57 = 57 − 57 = 0
On calcule la différence entre les deux nombres
Puis on calcule la différence entre les deux plus petits nombres en mettant le
plus grand des 2 nombres en premier
Le PGCD est le résultat de la dernière différence non nulle
PGCD285; 114 = 57
Exercice d’application
Déterminer le PGCD de 500 et 448 en utilisant l’algorithme des différences
Résolution
500 – 448 = 52
448 – 52 = 396
396 – 52 = 344
344 – 52 292
292 – 52 = 240
240 – 52 = 188
188 – 52 = 136
136 – 52 = 84
84 – 52 = 32
52 – 32 = 20
32 – 20 = 12
20 – 12 = 8
12 – 8= 4
8–4=4
4 – 4 =0
PGCD500; 448 = 4
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Q2 – PGCD (méthode)
L’algorithme d’Euclide
2
Déterminer le PGCD de 585 et 481 en utilisant l’algorithme des différences
81
Le quotient
585 = 481 × 1 + 104
481 = 104 × 4 + 65
104 = 65 × 1 + 39
65 = 39 × 1 + 26
39= 26 × 1 + 13
26= 13 × 2 + 0
Le
reste
On effectue la division euclidienne des deux nombres en mettant en
évidence le quotient et le reste
On effectue des divisions euclidiennes successives entre le diviseur de la
division précédente (en vert) et par le reste (en rouge)
Le PGCD est le dernier reste non nul.
PGCD585; 481 = 13
Exercice d’application
Déterminer le PGCD de 500 et 448 en utilisant l’algorithme d’Euclide
500 = 448 × 1 + 52
52 = 32 × 1 + 20
448 = 52 × 8 + 32
32 = 20 × 1 + 12
20 = 12 × 1 + 8
12 = 8 × 1 + 4
8= 4×2+0
Partage équitable
Une rencontre sportive est organisée entre 2 villes de la région. Les organisateurs souhaitent constituer le
plus grand nombre d’équipes possible comprenant chacune le même nombre de filles et de garçons.
a) Sachant qu’il y a 294 garçons et 210 filles, quel est le nombre maximal d’équipes que l’on peut
constituer ?
b) Combien y a-t-il de garçons et de filles de chaque équipe ?
Résolution
a)
Déterminer le nombre ‘maximal d’équipes que l’on peut constituer équivaut à déterminer le PGCD de
294 et 210.
On peut utiliser l’une ou l’autre des 2 méthodes (peu importe).
J’utilise l’algorithme d’Euclide
294 = 210 × 1 + 84
210 = 84 × 2 + 42
PGCD294; 210 = 42
Le plus grand nombre d’équipes qui sera composé est 42.
84 = 42 × 2 + 0
b)
Pour déterminer la composition de chaque équipe, il faut diviser le nombre de filles et de garçons par
le PGCD trouvé.
294 ÷ 42 = 7
Il y aura 7 garçons par équipe
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210 ÷ 42 = 5
Il y aura 5 filles par équipe