CoursAntennes2010.cwk (TEXTE) - e-campus 2

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MASTER R2M 2014-15
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Université de Versailles-Saint-Quentin-en-Yvelines
Réseaux de Radiocommunication avec les Mobiles
Domaine : Sciences et Technologies
Mention : Physique-Sciences pour l’Ingénieur
Antennes
Bases théoriques
R. de OLIVEIRA
SOMMAIRE
1 Généralités sur les antennes. p. 4
1.1 Généralités
1.2 Quelques types d’antennes
1.3 Le mécanisme du rayonnement
1.4 La distribution de courant sur une antenne filaire
2. Rayonnement d’une source dans un milieu homogène . p. 10
2.1 Introduction
2.2 La méthode intégrale : les formules de Stratton-Chu
2.3 La méthode intégro-différentielle
2.4 Comportement du rayonnement en fonction de la distance
3. Théorèmes généraux. p. 20
3.1 Le théorème de translation
3.2 Le théorème de réciprocité
3.3 Conséquences du théorème de réciprocité
3.4 Le théorème de superposition
3.5 Le principe des images
4. Grandeurs et paramètres caractéristiques d’une antenne. p. 28
4.1 Le diagramme de rayonnement
4.2 L’intensité de rayonnement
4.3 La puissance totale rayonnée
4.4 Le gain directif et la directivité
4.5 Le gain
4.6 L’ouverture de rayonnement
4.7 La bande passante
4.8 La résistance de rayonnement
4.9 Les pertes de polarisation
4.10 La surface efficace
4.11 Lien entre gain directif et surface efficace
4.12 La formule de Friis et l’équation radar
4.13 la PIRE
4.14 Température d’antenne
4.15 Deux paramètres d’ingénierie : Le tilt et le dégagement
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Chapitre 1
GENERALITES SUR LES ANTENNES
5. Formules des antennes filaires. p. 45
5.1 L’antenne filaire linéaire
5.2 L’antenne filaire boucle
6. L’antenne réseau linéaire. p. 50
6.1 Généralités
6.2 Le facteur de réseau
6.3 Le principe de multiplication des diagrammes
6.4 Directivité d’un réseau non déphasé en alimentation
6.5 Application : l’antenne à balayage électronique
6.6 Antenne-réseau avec amplitude d’alimentation variable : le réseau de Tchebycheff
1.1 Généralités
Une antenne est un dispositif permettant de créer, d’émettre et de recevoir des ondes électromagnétiques. En
général, elle est conçue pour rayonner ou capter le maximum d’énergie d’une onde électromagnétique se
propageant en espace libre. On peut représenter une antenne par le schéma suivant :
source
Annexes p. 58
Annexe 1 : Le spectre radiofréquence
Annexe 2 : Rappel sur le vecteur de Poynting
Annexe 3 : Formulaire d’analyse vectorielle
Bibliographie p. 61
ligne de
transmission
antenne
La source produit les ondes électromagnétiques, la ligne de transmission les guide et les achemine à l’antenne qui
les rayonne. La ligne de transmission est soit un guide d’onde, soit un câble. Fondamentalement l’antenne
s’oppose à la ligne de transmission. Alors que celle-ci se doit de transporter l’énergie avec un minimum de pertes
par rayonnement, l’antenne, elle, se doit au contraire de rayonner (ou capter) le maximum d’énergie dans une ou
plusieurs directions.
Une autre façon d’aborder la notion d’antenne est de la décrire comme la région de transition entre les ondes
guidées et les ondes rayonnées. De ce point de vue, une antenne d’émission est le composant qui transforme les
ondes guidées en ondes rayonnées, une antenne de réception assumant le rôle inverse. Bien évidemment une
antenne peut-être utilisée en émission comme en réception, en émission elle doit être capable de supporter des
courants forts, en réception suffisamment sensible pour que s’y induisent des courants faibles, elle peut même
être utilisée dans ces deux modes quasiment simultanément (à partir des fréquences UHF).
1.2 Quelques types d’antennes
Ci-dessous sont présentés les types d’antennes les plus courantes que vous aurez peut-être à utiliser un jour ou
l’autre.
1.2.1 L’antenne filiforme
Il s’agit d’un simple fil métallique de longueur L parcouru par un courant variable. C’est le dipôle électrique
pour lequel on distingue le dipôle infinitésimal lorsque L << !, le dipôle court lorsque !/50 < L < !/10 et le dipôle
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long lorsque L!>!!/10.
E
1.2.4 l’antenne boucle
Il s’agit d’antenne filiforme de forme circulaire, elliptique, carrée, rectangulaire ou plus généralement présentant
une courbe fermée.
H
i
antenne filaire circulaire
1.2.2 L’antenne à ouverture
L’exemple typique est l’antenne cornet dont la forme suit celle du guide d’onde
cornet rectangulaire
antenne filaire rectangulaire
1.2.5 L’antenne microstrip (antenne microbande)
C’est une antenne de petite dimension (quelques mm à quelques cm), constituée de plaquettes métalliques
montées sur un substrat diélectrique.
cornet conique
substrat
1.2.3 L’antenne à réflecteur
L’exemple le plus connu est l’antenne parabolique. En général, la source est disposée au foyer de la parabole. Ce
type d’antenne est utilisé en liaisons Hertziennes (ex : antenne tambour, diamètre 30 cm et 60 cm, pour le réseau
de transmission capillaire en téléphonie mobile dans les bandes 23 GHz et 38 GHz). Un autre exemple connu est
l’antenne Cassegrain constituée d’un réflecteur parabolique au foyer duquel on dispose un réflecteur
hyperbolique.
Source ou récepteur
au foyer
réflecteur
parabolique
Antenne parabolique classique
réflecteur secondaire
hyperbolique
réflecteur
parabolique
Antenne Cassegrain
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1.2.6 L’antenne indépendante de la fréquence
Il s’agit d’une famille d’antennes large bande abusivement appelées antennes “indépendantes de la fréquence”.
Leurs structures géométriques se répètent périodiquement avec un pas logarithmique. Les deux classes
principales de cette famille sont
1) les antennes log-périodiques dont la géométrie en coordonnées polaires est " = f(log#) avec f fonction
périodique
2) les antennes en spirale logarithmique dont la géométrie suit la loi # = ea".
antenne log-périodique
antenne spirale
1.2.7 L’antenne réseau
Il s’agit d’un ensemble d’antennes montées en réseau, c’est-à-dire habilement combinées et disposées dans
l’espace en fonction des performances souhaitées comme par exemple une augmentation de la directivité.
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1.3 Le mécanisme du rayonnement
Comment une antenne rayonne t-elle ? Comment une onde guidée peut-elle se transformer en onde rayonnée, ou
inversement, comment une onde rayonnée est-elle captée ? Pour répondre à ces questions, observons le
comportement des lignes de champ au cours du temps. Pour cela considérons une antenne cornet alimentée sous
une tension sinusoidale e(t).
+ + + –– –
+
+
–
+
e(t)
–
– –
t=T/2
+ +
––
+
+
+ +
–
–
–
A t = T / 2 , les lignes de champ s’étendent sur une distance de ! / 2, . Elles continuent à former des courbes
ouvertes. Le potentiel le plus élevé est à ! / 2.
e(t)
+ + +
!/2
source
e(t)
–
–
–
–
++
ligne de transmission
+
+ +
antenne
La source de tension crée une ddp e(t) variable dans le temps donc un champ électrique E(t) variable en tout point
entre les conducteurs. Cette variation correspond à la propagation d’une onde électromagnétique le long de la
ligne. Cette propagation se traduit sur l’évolution des lignes de champ lesquelles, rappelons le, sont toujours
orientées suivant les potentiels décroissants. Les figures ci-après illustrent la décomposition du mécanisme du
rayonnement sur une période du signal e(t).
t=3T/4
+
e(t)
+ +
+ +
–
t=T
–
–
+
–
– –
+ +
+
A t = 3 T / 4 , les lignes de champ s’étendent sur une distance de 3! / 4. Elles continuent à former des courbes
ouvertes.
e(t)
t=T/4
– –
–
+
–
–
– –
+ +
+
–
A t = T / 4 , les lignes de champ s’étendent sur une distance de ! / 4, le potentiel le plus élevé étant à ! / 4.
A t = T , les lignes de champ s’étendent sur une distance de !. Les lignes de champ de la premiere demi-période
se referment et se propagent à la vitesse de la lumière.
Remarque : Le raisonnement précédent est basé sur le constat que si les charges électriques sont nécéssaires pour
créer un champ électrique, en revanche elles ne le sont plus pour en prolonger l’existence. La fermeture des
lignes de champ est étroitement liée à la disparition des charges électriques au sein de l’antenne. Un
raisonnement analogue pourrait être mené a l’aide des lignes de champ magnétique. Mais dans ce cas ces lignes
doivent toujours former des courbes fermées puisqu’il n’existe pas de charge magnétique.
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1.4 La distribution de courant sur une antenne filaire
Les ondes électromagnétiques sont créees par les courants variables et nous verrons que le rayonnement d’une
antenne est théoriquement connu dès lors que l’on connait parfaitement la source de rayonnement, le passage
source de courant - rayonnement obéissant aux équations de Maxwell. Connaître une antenne c’est, du point de
vue électromagnétique, savoir comment se répartissent les courants sur cette antenne. La distribution de courant
dépend essentiellement des dimensions de l’antenne.
Considérons comme exemple une antenne filaire alimentée en son centre par un générateur e(t). Le générateur
crée un courant i+ d’intensité I/2 allant du générateur vers les deux extrémités de l’antenne. Aux extrémités, ce
courant est totalement réfléchi : expérimentalement on vérifie bien que le courant est nul en ces points I(± l / 2) =
0. Soit i– le courant parcourant les fils en direction du générateur. Le courant total i+ + i– a donc pour intensité I
et sa distribution spatiale résulte de la superposition de i+ et i–. Suivant la longueur l de l’antenne filaire, on
considère les distributions spatiales suivantes :
Chapitre 2
RAYONNEMENT D’UNE SOURCE DANS UN MILIEU HOMOGENE
z
2.1 Introduction
Dans un problème de rayonnement, on connaît la source et on cherche le champ électromagnétique (E,H) créé par
cette source.
(E, H)
source
J
$
z
l/2
l/2
I(z)
I(z)
–l/2
–l/2
a) l << ! I(z) = tri (2z / l)
b) l > ! I(z) sinusoïdal
En toute rigueur, le problème du rayonnement est un problème d’électromagnétisme avec conditions aux limites
dans lequel les sources interagissent avec le rayonnement. Or dans la pratique des antennes, on s’intéresse
principalement au rayonnement à grande distance. La source peut donc être suposée totalement déconnectée du
rayonnement. Cette hypothèse que les courants sont une donnée connue et indépendante du champ créé est une
excellente approximation qui conduit à pouvoir résoudre de manière unique tout problème de rayonnement. Dans
toute la suite, les antennes (c-à-d les sources) sont supposées métalliques et entièrement définies par le vecteur
densité de courant J (r, t). Le milieu de propagation est supposé linéaire, homogène , isotrope (milieu LHI). Il est
caractérisé par deux constantes : la permitivité % et la perméabilité µ.
Nous savons tous que le champ (E, H) obeit aux équations de Maxwell qui, dans un milieu LHI, s’écrivent :
Ces distributions spatiales de courant sont les plus fréquemment utilisées. Bien évidemment ces distributions ne
préjugent en aucun cas des évolutions temporelles qui ne dépendent que du générateur. Il conviendra en effet de
ne pas oublier que les courants sont définis par leur distribution spatio-temporelle I(z, t).
L’hypothèse de distribution sinusoïdale de courant est une approximation (Carter, 1932). La résolution
rigoureuse de l’équation intégrale du courant conduit à des distributions différentes plus complexes. Cependant
dans le cas des dipôles électriques, cette approximation fournit en champ lointain des diagrammes de
rayonnement proches de ceux exacts, calculés ou mesurés. En revanche cette hypothèse est totalement erronée en
champ proche.
D’un point de vue pratique, une antenne filaire présente un rayonnement significatif lorsque sa longueur est de
l’ordre de grandeur de la longueur d’onde.
remarque : sur le schéma la ligne de transmission est une ligne bifilaire. Celle-ci ne rayonne pas car les fils étant
suffisamment proches l’un de l’autre (d << !), le rayonnement d’un fil compense par interférence destructive
celui de l’autre.
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rot E = – µ
"H
"t
rot H = J + %
(loi de Maxwell-Faraday)
#
divE =
(loi de Gauss électrique)
%
"E
"t
(loi de Maxwell-Ampère)
divH = 0 (loi de Gauss magnétique)
# est la densité volumique de charges liée à J par l’équation de continuité :
"#
div J +
=0
"t
Il existe deux méthodes pour calculer le champ (E, H). La première est la méthode intégrale : elle consiste à
intégrer directement les équations de Maxwell. La seconde est la méthode intégro-différentielle : elle consiste à
passer par deux auxilliaires de calcul, le potentiel scalaire électrique V et le potentiel vecteur magnétique A. Ceuxci sont définis par :
E = – grad V –
"A
"t
;
B = rot A
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A et V sont déterminés par intégation, le champ (E, H) par différentiation de ces potentiels.
' G + k2 G = – (
où ( est la distribution de Dirac à l’origine. La fonction de Green a pour expression
intégration
sources J
2.2.3 La fonction de Green
La fonction de Green G(R) en espace libre représente la propagation d’une onde scalaire sphérique divergente
issue d’une source ponctuelle situé à l’origine en R = 0 Elle est solution de l’équation
E, H
G (R) =
intégration
différentiation
A, V
1 e– j k R
4)R
avec R = | r | = x2 + y2 + z2
Cette fonction présente à l’origine une singularité liée au terme (. On établit facilement que G vérifie
dG + j k G = – G
dR
R
La généralisation de cette égalité est un critère d’unicité des ondes rayonnées appelé condition de rayonnement de
Sommerfeld :
Dans toute la suite on se placera en régime harmonique avec une dépendance temporelle complexe implicite en
exp(+j&t). Dans ce régime, les équations de Maxwell s’écrivent
. rot E = – j & µH
(1)
. rot H = J + j & % E
#
. div E =
%
(2)
(3)
' F + k2 F = S
. div H = 0
(4)
Cette équation se résoud “facilement” à l’aide de la fonction de Green G. La solution de cette équation s’écrit
F = – S * G, l’opérateur * désignant le produit de convolution.
div J + j & # = 0
(5)
En effet ' F = ' – S * G = – S * ' G
= – S * – ( – k2 G = S + k2 S *G
= S – k2 F
, 'F + k2 F = S
2.2 La méthode intégrale : les formules de Stratton-Chu
2.2.1 L’équation de propagation du champ électrique
j
E=
grad(div J) + j & µ J
&%
(6)
k2 = &2 % µ est la constante de propagation du milieu. Elle dépend du milieu et de la fréquence. Cette équation
montre que E se propage avec la célérité v = 1/ #% µ.
(7)
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S(r') G r – r' dv'
R3
Cette solution générale est à la base de la formulation intégrale des champs rayonnés.
2.2.5 La formulation intégrale exacte des champs
L’application du théorème précédent aux équations (6) et (7) conduit à :
E=–
2.2.2 L’équation de propagation du champ magnétique
De même l'identité vectorielle rot(rot H) = grad(div H) – ' H associée aux équations (2) et (4) conduisent à :
' H + k2 H = – rot J
car la dérivation porte sur r
car ( est l’élément unité pour la convolution
cqfd
note : la convolution vectorielle est définie par S * G =
L'identité vectorielle rot(rot E) = grad(div E) – ' E associée aux équations (1), (3) et (5) conduisent à :
'E
R * ++
2.2.4 La solution de l’équation de propagation
Le champs E et H doivent satisfaire tous les deux à une équation vectorielle du type
et l’équation de continuité devient :
+ k2
dG + j k G = o 1 ,
dR
R
j
graddiv(J) * G – j & µ J * G
&%
H = rot J * G
Calculons H :
(8)
(9)
H = rot J * G = rot J * G en permutant intégration et dérivation
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et
J*G=
J(r') G r – r' dv' =
J(r') G r – r' dv'
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car J = 0 si M' - $
2.2.6.1 Champ em rayonné à grande distance vis-à-vis de !
Mathématiquement cela signifie k R >> 3 ce qui permet de négliger tous les termes en 1/ (kR)i dans les formules
de Stratton-Chu qui deviennent :
$
R3
et
rot J * G =
rot J(r') G r – r'
grad G r – r' . J(r') dv'
dv' =
$
v
OM' = r'
OM = r
source $
}
J(r') . v v – J(r') G(R) dv'
$
2.2.6.2 Champ em rayonné à grande distance vis-à-vis de ! et de la source
Mathématiquement cela se traduit par k R >> 3 et r >> r' ce qui signifie que l’on peut assimiler le vecteur
M’
J(r’)
j k2
E= &%
En pratique cette approximation est toujours vérifiée en haute fréquence. En téléphonie mobile par exemple, les
distances concernées sont de l’ordre du kilomètre et les longueur d’onde de l’ordre du centimètre. En revanche,
en BF cette approximation peut ne plus être valide.
M
R
$
car rot porte sur r
$
G(R) J(r') . v dv'
H=jk
Ce terme s’interprète comme la superposition au point M(r) du rayonnement d’une infinité de sources
ponctuelles placées en M’(r’) d’intensité J(r’).
, MM' = r – r' = R
unitaire mobile v au vecteur unitaire fixe u. Et compte tenu de l'identité vectorielle J . u . u = J . u u – J , on
obtient :
H=–jku.
G(R) J(r') dv'
$
or
grad G = dG v = – j k G – G v
dR
R
avec v = R
R
j k2
E= &% u.
u.
H=jk
1+
$
1
G(R) J(r') . v dv'
jkR
.Le calcul de la fonction de Green se simplifie également :
G (R) =
On montre de même l’expression du champ électrique rayonné
j k2
E= &%
1+
$
3 – 3
jkR kR2
J(r') . v v – 1 +
1 – 1
jkR kR2
J(r') G(R) dv'
$
d’où l’expression du champ magnétique H rayonné
J(r') G(R) dv'
remarque : ces formules sont exactes et valables en tout point M de l’espace en dehors des sources. Elles sont
connues sous le nom de formules de Stratton-Chu.
2.2.6 La formulation intégrale approchée des champs lointains
Intéressons nous maintenant au champ à grande distance, ce pourquoi, ne l’oublions pas, on utilise une antenne!!
Le terme grande distance génère plusieurs degrés d’approximation. Le premier degré correspond à se placer à
une distance grande vis-à-vis de la longueur d’onde
1 e– j k R / 1 e– j k R
4)R
4)r
Il faut noter que cette dernière approximation (R / r) ne porte que sur le terme d’atténuation, c’est-à-dire le
dénominateur, l’exponentielle complexe qui traduit le caractère oscillant du champ devant etre traitée avec plus de
précaution comme nous allons le voir au paragraphe suivant.
2.2.6.3 Champ em rayonné à grande distance vis-à-vis de !, de la source et de 2L2 / !
Procédons à un developpement limité de R :
R = r – r' =
d'où
r – r'
2
=
1 –2 r .r' + r
r'
r2
r2 –2 r .r' + r'2 = r
/ r 1 – r .r' + 1 r'r
2
r2
2
2
e– j k R = e – j k r e j k u . r' e – j k r' / 2r
Le dernier terme exponentiel est proche de l’unité si
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2
k r’2 / 2 r << ) / 8 c’est-à-dire si r >> 8 r’2 / !. En
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désignant par L la plus grande des dimensions de la source on a L $ 2 r’ d’où la condition r >> 2 L2 / !. On
obtient donc :
2
si r >> 2 L
!
G(R) /
On observe également que :
F=0 G .u
1 e – j k r e j k u .r'
4)r
,
1 u .F
G=0
Les champs em rayonnés au loin s’écrivent alors :
H=–jk 1 e–jkru.
4)r
J(r') e j k u .r' dv'
$
j k2
E= &% 1 e–jkr u . u.
4)r
,
E=0 H .u
1 u .E
H=0
Le trièdre ( E, H, u ) est direct. Au loin, le champ em est transversal. Ce résultat important signifie que toutes les
antennes rayonnent à grande distance une onde sphérique dont la structure locale est celle d’une onde plane
comme l’illustre la figure suivante.
J(r') e j k u .r' dv'
E
$
M (r, ", 1)
Introduisons l’imédance du milieu :
z
0=
µ
%
u
H
( 0 = 120 ) dans le vide)
"
r
On aboutit ainsi aux formules de Stratton-Chu en champ lointain qui s’écrivent en définitive :
–jkr
E(r,",1) = e r
F(",1)
–jkr
H(r,",1) = e r
G(",1)
avec F =
jk0
u . u.
4)
jk
avec G = –
u.
4)
$
2
y
J(r') e j k u .r' dv'
$
J(r') e j k u .r' dv'
x
1
$
Ces formules fondamentales décrivent le rayonnement à grande distance des antennes. F est appelée la
caractéristique vectorielle de rayonnement électrique (unité : le volt), G la caractéristique vectorielle de
rayonnement magnétique (unité : l’ampère). Ces caractéristiques vectorielles dépendent de la fréquence et
contiennent toute la dépendance angulaire des champs, la dépendance en distance étant en e–jkr / r. Ces formules
montrent clairement que quelque soit l’antenne, l’énergie rayonnée au loin décroit en 1 / r2 : l’onde émise devient
sphérique avec une modulation angulaire donnée par F et G.
Le terme J(r’) dv’ est à évaluer de différentes fàçons suivant la nature de la densité de courant.
-si J est une densité volumique de courant (en A/ m2) alors J(r’) dr’ = Jdv et l’intégrale est une intégrale de
volume.
-si J est une densité surfacique de courant (en A/ m) alors J(r’) dr’ = Jds et l’intégrale est une intégrale de
surface.
-si J est une distribution de courant I(en A) alors J(r’) dr’ = I dl et l’intégrale est une intégrale curviligne.
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La représentation de F ou G constitue le diagramme de rayonnement. En général les diagrammes de rayonnement
sont représentés en coordonnées polaires.
Exemples de diagramme de rayonnement en 3D en coordonnées cartésienne à gauche, en sphériques à droite.
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2.3 La méthode intégro-différentielle
2.3.1 Les équations de propagation des potentiels
D’apres l’équation de Gauss-magnétique div B = 0. On peut donc poser B = rot A et puisque le milieu de
propagation est LHI, on a donc :
L’avantage de ces équations de propagation des potentiels par rapport aux équations de propagation en champ
réside dans la simplification des seconds membres.
H = 1 rot A
µ
2.3.2 La formulation intégrale des potentiels
Appliquons la méthode des fonctions de Green à la résolution des équations de propagation de V et A. On
obtient immédiatemment :
A=µJ*G=
Les équations de Maxwell se réduisent à :
. rot E = – j & rot A
J(r') e
(loi d'Ampère)
–j k R
$
#
V= % *G= 1
4)%
(loi de Faraday)
. rot rot A = µ J + j & % µ E
#
. div E =
%
µ
4)
#(r') e
$
R
–j k R
R
dv'
dv'
En champ lointain dans les mêmes conditions que précédemment ( r >> !, r >> L, r >> 2 L2 / !) ces potentiels
rayonnés deviennent :
(loi de Gauss électrique)
–j k r
A=µe
4)r
La loi de Faraday devient : rot E + j & A = 0 ce qui permet d’écrire : E + j & A = – grad V
On retrouve un résultat connu de tous : le champ électrique dérive d’un potentiel scalaire et d’un potentiel vecteur
:
–j k r
V= e
4)%r
J(r') e –j k u.r' dv'
$
#(r') e –j k u.r' dv'
$
E = – grad V – j & A
Dans ces formulations générales, les intégrales à calculer sont des intégrales curvilignes, de surface ou de volume.
Ainsi dans le cas d’une antenne définie par
Remplaçons dans la loi d’Ampère et développons le double rotationnel :
grad divA – ' A = µ J – j & % µ grad V + j & A
1) une distribution surfacique de courant (en A/m2) le calcul est celui d’une intégrale de volume :
' A + &2 % µ A – grad divA + j & % µ V = – µ J
–j k r
A=µe
4)r
J(r' ) e –j k u.r' d3
3
Si on impose la condition appelée jauge de Lorentz :
divA + j & % µ V = 0
2) une distribution linéique de courant (en A/m) le calcul est celui d’une intégrale de surface :
–j k r
A=µe
4)r
alors A est solution de l’équation de propagation
' A + k2 A = – µ J
3) une distribution de courant I (en A) le calcul est celui d’une intégrale curviligne :
Enfin la loi de Gauss électrique devient :
div – grad V – j & A =
J(r' ) e –j k u.r' dS
S
#
%
, – 'V – j & div A =
et compte tenu de la condition de Lorentz il reste – 'V – j & – j & % µ V =
–j k r
A=µe
4)r
#
%
#
%
Le potentiel scalaire V est donc lui aussi solution d’une équation de propagation : 'V + k2 V = –
I(r' ) e –j k u.r' dl
C
Le calcul du champ em se déduit alors de
#
%
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H=1
µ rot A
; E = – grad V – j & A =
1 grad div A – j & A
j&%µ
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- 19 -
- 20 -
2.4 Comportement du rayonnement en fonction de la distance
On montre que l’espace autour d’une antenne rayonnante est divisé en 3 zones : la zone de Rayleigh, la zone de
Fresnel et la zone de Fraunhofer. La situation est résumée dans le tableau ci-dessous. Au voisinage immédiat de
l’antenne, dans la zone de champ proche dite de Rayleigh, la puissance rayonnée est quasi-constante, les
déphasages entre les différents points rayonnants de l’antenne n’ayant pas produit d’interférences significatives.
Dans la seconde zone de champ proche dite zone de Fresnel, les interférences sont suffisamment importantes et
provoquent de fortes fluctuations du champ électromagnétique. Au delà, dans la zone dite de champ lointain ou
zone de Fraunhofer, la puissance décroit avec la distance en 1 / r2 , l’onde se comportant comme une onde
sphérique.
Chapitre 3
THEOREMES GENERAUX
zone de champ proche
zone de
Rayleigh
antenne
zone de champ lointain
zone de
Fresnel
zone de
Fraunhofer
interférences
formation du diagramme
de rayonnement
2 d2
d2
puissance constante
2!
3.1 Le théorème de translation
Considérons une antenne fonctionnant en réception dans la zone de champ lointain d’une antenne d’émission.
Soit E (M1) le champ électrique qu’elle recueille au point M1. La question que l’on se pose est la suivante : à
partir de E (M1), peut-on déduire le champ E(M2) recueilli en tout point M2 proche de M1 ? Pour y répondre,
revenons à l’expression générale du champ électrique rayonné au point M1.
!
puissance fluctuante
puissance décroissant
en 1 / r 2
– j k r1
E(M1 ) = E(r1 ,"1 ,11 ) = e r
1
F("1 ,11 )
En un point M2 le champ électrique s’écrit
– j k r2
E(M2 ) = E(r2 ,"2 ,12 ) = e r
2
F("2 ,12 )
Si le point M2 est proche du point M1 on peut écrire :
– j k r2
E(M2 ) / e r
1
F("1 ,11 )
Soit t le vecteur de la translation : t = M1 M2 = r2 – r1 . On a :
La figure ci-dessous représente un exemple de rayonnement à 1 GHz d’une antenne parabolique de1 m de
diametre. On y distingue clairement la zone de champ proche avec ses fluctuations de puissance et la zone de
champ lointain avec sa décroissance caractéristique.
il vient :
" = 30°
1000
r2 =
800
r2 2 =
r1 + t
2
=
– j k r1
E(M2 ) / e r
1
r21 + 2 r1 .t + t2 = r1
2
1 + 2 r1 .t + t / r1 + rr1 .t / r1 + u.t
1
r21
r21
e – j k u.t F("1 ,11 )
c’est-à-dire
600
E(M2 ) / E(M1 ) e – j k u.t
400
200
0
0
1
2
3
Puissance rayonnée en nW/cm2 en fonction de la distance par une parabole à 1 GHz dans une direction
faisant un angle de 30° par rapport à son axe.
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Lorsqu’une antenne de réception est faiblement translaté, le module du champ recueilli est inchangé mais sa
phase tourne d’un angle k u1 . t proportionnel à la projection du déplacement de l’antenne suivant la direction
d’observation.
Remarque : On obtient un résultat analogue lorsque la translation porte sur l’antenne d’émission et s’effectue du
point A vers le point B.
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- 21 -
- 22 -
EB(M1 ) / EA(M1 ) e j k u.AB
3.2 Le théorème de réciprocité
Théorème : En espace libre, les modes d’émission et de réception de deux antennes sont permutables.
E1 . J2 d3 =
S
S étant la surface fermée entourant le volume V. Lorsque le volume est l’espace tout entier, la surface S est rejetée
à l’infini. Les champs rayonnés étant nuls à l’infini (condition de Sommerfeld) il en résulte que :
Ce théorème est basé sur le théorème de réciprocité plus fondamental suivant
Théorème : l’action d’une source de courant J1 sur une source de courant J2 est égale à l’action de la source J2
sur la source J1.
v2
E1 . H2 – E2 . H1 .dS
E2 .J1 – E1 .J2 dV =
V
E2 .J1 – E1 .J2 dV = 0
,
espace
E2 .J1 dV =
espace
E1 .J2 dV
espace
En restreignant le domaine d’intégration au domaine où J1 4 0 et J2 4 0 c’est-à-dire V1 et V2 on obtient le
théorème énoncé :
E2 . J1 d3
v1
E2 .J1 dV =
V1 et V2 étant les volumes occupés par les sources. Ce théorème suppose les sources idéales (c’est-à-dire
indépendantes de leur environnement).
V1
E1 .J2 dV
V2
Décomposons l’élément de volume dV = dl dS
J1
E2 dl .J1 dS =
J2
V1
V1
E1 dl . J2 dS
V2
V2
Après intégration les termes Ei dl vont donner le potentiel Ui, les termes Ji dS aux courants Ii. Il en résulte
La source J1 creé le champ em (E1, H1 ) en tout point de l’espace, la source J2 le champ em (E2, H2). Ces
champs satisfont aux équations de Maxwell-Faraday et Maxwell-Ampère.
U 1 2 I 1 = U2 1 I 2
5
rot Ei = – j & µHi
rot Hi = Ji + j & % Ei
i = 1, 2
Calculons div ( E1 . H2 ) :
U1 2 = U2 1
I2
I1
(1)
Uij est la ddp aux bornes de l’antenne i créee par l’antenne j, Ii le courant circulant dans l’antenne i. Considérons
maintenant les antennes du point de vue de la théorie des quadripôles.
div ( E1 . H2 ) = H2 .rotE1 – E1 .rotH2 = – j & H1 .H2 – E1 .J2 – j & % E1 .E2
De même en permutant les indices on a :
div ( E2 . H1 ) = – j & H1 .H2 – E2 .J1 – j & % E1 .E2
d’où
div ( E1 . H2 – E2 . H1 ) = E2 .J1 – E1 .J2
Appliquons le théorème d’Ostrogradski en procédant à une intégration sur un volume V contenant les sources :
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I2
I1
U2
quadripôle
U1
antenne 1
antenne 2
En paramètres impédance, l’ensemble des deux antennes est décrit par le système linéaire suivant
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- 23 -
- 24 -
rayonnement de l’antenne 2 mais en mode de réception. Dans les deux cas, la grandeur mesurée est l’impédance
de transfert Z. Les diagrammes de rayonnement à l’émission et à la réception sont donc identiques. Il est donc
inutile de préciser le mode de fonctionnement d’une antenne lorsque l’on parle de son diagramme de
rayonnement.
U1 = Z11 I1 + Z12 I2
U2 = Z21 I1 + Z22 I2
Les impédances de transfert Z12 et Z21 sont données par :
Z1 2 = U1
I2
I1 = 0
; Z2 1 = U2
I1
I2 = 0
I1
antenne 1
On retrouve le résultat connu en théorie des quadripôle Z12 = Z21 = Z, résultat qui se déduit de (1) comme le cas
particulier où les antennes sont alimentées l’une après l’autre. Dans ce cas on a également :
U1
I1 = 0
= Z I2
;
U2
I2 = 0
= Z I1
relations qui montre que la tension induite aux bornes de l’antenne 1 (respectivement 2) en circuit ouvert est créee
par le courant I2 ( respectivement I1) de l’antenne 2 (respectivement 1). Si les antennes sont excitées avec le
même courant I1 = I2 = I alors on a U1 I1 = 0 = U2 I2 = 0 : c’est la version courante du théorème de
réciprocité. Aux bornes d’une antenne de réception, la tension induite par une antenne d’émission est identique à
celle qui existe sur cette dernière lorsqu’on inverse émission et réception.
Attention : Permuter le rôle des antennes ne signifie pas pour autant permuter les antennes sauf bien évidemment
si celles-ci sont identiques.
3.3 Conséquences du théorème de réciprocité
3.3.1 Identité des diagrammes de rayonnement en émission et réception
Première conséquence du théorème de réciprocité, le diagramme de rayonnement d’une antenne à l’émission est
identique à celui de cette même antenne lorsqu’elle fonctionne en réception.
"
I2
antenne 1
r
"
antenne 2
r
antenne 2
1
1
Fig. 1 : l’antenne 2 émet, l’antenne 1 reçoit
Fig.2 : l’antenne 1 émet, l’antenne 2 reçoit
3.3.2 Mesure pratique du diagramme de rayonnement d’une antenne
Utiliser le dispositif des figures 1 ou 2 conduit on la vu à la mesure du diagramme de rayonnement de l’antenne
2. Mais cette configuration oblige à des déplacements sur une sphere, manipulations délicates et malcommodes.
Le dispositif de mesure dans la pratique est plus astucieux : il consiste à faire tourner l’antenne 2 fonctionnant en
réception autour de deux axes perpendiculaires et à maintenir fixe l’antenne d’émission.
Revenons aux expressions précédentes des tensions induites aux bornes des antennes. Considérons (fig.1) le cas
où l’antenne 1 en circuit ouvert (I1 = 0) fonctionne en réception : elle reçoit un champ em qui crée à ses bornes
une ddp U1. L’antenne 2 est en mode d’émission avec une source de courant I2.
I1
U1
I1=0
= Z I2
antenne 1 fixe
"
Si on déplace l’antenne de réception sur une sphère centrée sur l’antenne d’émission, l’enregistrement de U1 / I2
en tout point (", 1) est une mesure du diagramme de rayonnement de l’antenne 2 en émission.
Inversons le rôle des antennes (Fig.2) mais conservons la configuration géométrique et le déplacement de
l’antenne 1. La tension induite aux bornes de l’antennes 2 s’écrit :
U2
I2=0
= Z I1
1
antenne 2 en rotation
et comme précédemment l’enregistrement de U2 / I1 en tout point (", 1) est une mesure du diagramme de
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- 26 -
On maintient fixe l’antenne d’émission et on fait subir à l’antenne dont on veut le diagramme de rayonnement
toutes les rotations possibles. La difficulté principale est de s’assurer que les mesures s’effectuent en zone de
champ lointain. Deux solutions sont possibles. Soit les mesures sont réalisées en espace libre, donc à l’extérieur,
dans une zone dégagée et exempte de toute interférence, soit elles sont faites en laboratoire dans une chambre
anéchoïde, salle dont toutes les parois sont recouvertes de matériaux absorbants de forme pyramidale de façon à
éliminer les réflexions parasites. Dans ce dernier cas, les mesures effectuées sont des mesures en champ proche
et pour obtenir le diagramme de rayonnement il faut procéder à une transformation champ proche - champ
lointain, opération complexes nécéssitant l’emploi d’ordinateurs.
M1
1
dipôle
S
2
2
R1
3.4 Le théorème de superposition
On peut appliquer le théorème de superposition aux antennes car les équations de Maxwell qui lient les courants
qui les traversent à leurs rayonnements sont des équations différentielles linéaires. La superposition des causes
(les sources) conduit donc à la superposition des effets (les champs rayonnées). Une antenne alimentée par une
somme de courants rayonne un champ égal à la somme des champs rayonnés par l’antenne alimentée par chacun
des courants. En revanche le champ em crée par un ensemble de sources n’est pas la somme des champs crées
par chacune des sources. Toutefois, dans certaines conditions, il est possible de procéder à l’approximation dite
de faible couplage qui consiste à superposer les champs rayonnés, ce que l’on fera dans l’étude de l’antenne
réseau.
En utilisant la théorie des rayons, on peut dire que la puissance électromagnétique existant au point M1 provient
d’une contribution directe de la source, l’énergie empruntant le trajet SM1 , et d’une contribution indirecte dûe à
la réflexion par le plan, l’énergie suivant alors le trajet SR1 M1 . Le point R1 est déterminé par la première loi de
Snell-Descartes qui stipule l’égalité des angles d’incidence et de réflexion. Si on s’intéresse à la puissance reçue
en un autre point M2 , on mettra la aussi en évidence un trajet direct SM2 et un trajet secondaire SR2 M2
correspondant à une réflexion sur le plan. Plus généralement, la puissance reçue au point Mi est véhiculée suivant
deux trajets : le trajet direct SMi et le trajet secondaire SRiMi. On démontre que tous les rayons MiRi, prolongés
virtuellement sous le plan se coupent en un point unique : le point image S’ symétrique du point S par rapport au
plan. C’est l’effet miroir bien connu en optique : le rayonnement semble provenir d’une source virtuelle située de
l’autre coté du plan conducteur et située à la même distance h du plan que la source réelle.
3.5 Le principe des images
Plus qu’un principe, c’est une technique qui permet d’évaluer rapidement le comportement d’une antenne au
dessus d’un plan conducteur.
Mais quelle polarisation attribuer à la source image ? La réponse nous est donnée par les conditions aux limites
qui doivent être satisfaites pour obtenir l’équivalence avec le système réel. Sous le plan, le champ
électromagnétique est nul. Au dessus, l’onde électrique incidente Ei est complètement réfléchie. D’après les
conditions aux limites on doit avoir :
antenne
plan conducteur
antenne
5
Etang = 0 et Enorm = 2 Einc
Pour un dipôle vertical, on démontre que la source image doit avoir la même polarisation que la source réelle.
antenne image
Le plan agit comme un miroir en mettant en jeu une source virtuelle, image symétrique de la source réelle.
L’ensemble des deux sources forment un système équivalent au système source - plan. L’équivalence porte sur
la cartographie des champ en tout point au dessus du plan, le champ étant nul en dessous. Plus précisément, le
système équivalent doit produire le même champ électromagnétique en tout point au dessus du plan que le
système réel.
J
dipôle vertical
plan conducteur
J
dipôle vertical
J
dipôle image
5
Considérons le cas du dipôle vertical situé à une hauteur h au dessus d’un plan parfaitement conducteur.
Pour un dipôle horizontal, on montre au contraire que la source image est l’image renversée de la source réelle
c’est à dire une source dipolaire polarisée horizontalement mais de sens opposé.
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dipôle horizontal
J
plan conducteur
- 28 -
dipôle horizontal
5
J
On ne caractérise pas les antennes mais leur rayonnement par un petit nombre de paramètres.
dipôle image
– J
Avec une inclinaison quelconque du dipôle, la source image est obtenue par symétrie par rapport au plan:
dipôle
J
plan conducteur
Chapitre 4
GRANDEURS ET PARAMETRES CARACTERISTIQUES D’UNE ANTENNE
4.1 Le diagramme de rayonnement
C’est la répartition sur une sphère du champ électromagnétique rayonné au loin par une antenne. Nous avons vu
(cf 2.2.6.3) qu’à grande distance le champ électromagnétique présente une structure d’onde sphérique localement
plane avec une expression mathématique dans laquelle les dépendances en distance et angulaire sont clairement
séparées:
–jkr
E(r,",1) = e r
dipôle
5
J
dipôle image
F(",1)
On appelle diagramme de rayonnement la représentation de || F(",1) || ou de || F(",1) ||2. Bien que F(",1) soit
une fonction vectorielle complexe, il est d’usage de ne représenter que sa norme. Le diagramme de rayonnement
est une surface 3D que l’on trace en coordonnées polaires ou cartésiennes. Le plus souvent on se contente de
coupes suivant deux plans perpendiculaires. Ces plans peuvent être des plans de symétries ou des plans de
polarisation (plan E, plan H).
|| F || cos"
– J
|| F(") ||
lobe principal
"
|| F(",1) ||
lobes secondaires
|| F || sin" sin1
1
–180°
0°
"
180°
|| F || sin" cos1
Representation polaire 3D
Représentation cartésienne 1 = cste
Les diagrammes de rayonnement en coupe sont le plus souvent représentés en dB : 20 log10 ( || F || / || F ||max )
Ils constituent une représentation de la répartition de la puissance électromagnétique rayonnée sur une sphère de
grand rayon. En effet la densité surfacique de puissance est donnée par le vecteur de Poynting moyen qui en
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- 30 -
notation complexe s’écrit :
D(", 1) =
S=1 E.H
2
*
(W/m2 )
et puisque l’onde rayonné est localement plane : H = 1 u . E
0
2
on a :
*
2
F
S= 1 E. u.E = 1 E u=
u
20
20
2 0 r2
2
, S= F
, F2 = 2 0 S r 2
2 0 r2
Cette grandeur, sans dimension, traduit la capacité d’une antenne à concentrer la puissance qu’elle rayonne dans
un angle solide limité. Un gain directif élevé correspond à un rayonnement localisé dans un angle solide restreint
et donc à un rayonnement intense dans cette direction. Inversement, une antenne faiblement directive rayonnera
faiblement dans une grande portion de l’espace, la limite d’une antenne non directive étant une antenne isotrope.
Nous verrons que la directivité d’une antenne est essentiellement liée au rapport L / ! : les “grandes” antennes
sont directives, les “petites” antennes le sont moins. La puissance rayonnée par une antenne isotrope étant :
4)
D(", 1) = 4 )
il reste :
2
dP = S.ds =
2
2
2)
F
et en utilisant l’expression de la puissance totale rayonnée
20
)
0
2
2
4)
4)
2)
F (", 1)
0
2
sin" d" d1
0
on obtient :
D(", 1) = 4 )
F(", 1)
2)
2
)
2
F(", 1) sin" d" d1
0
0
)
U(", 1) sin" d" d1 =
0
1
20
(W / sr)
4.3 La puissance totale rayonnée
C’est la puissance rayonnée dans tout l’espace. Elle se calcule par intégration de U sur l’angle solide sous lequel
est vu l’espace, c’est-à-dire 4 ). En voici les différentes formulations :
F
d$ =
20
0
)
2)
U(", 1) sin" d" d1 =
Ptotale =
U d$ =
4)
(W)
d$ étant l’angle solide élémentaire sous lequel est vu l’élément de surface ds. La définition de l’intensité de
rayonnement en découle : c’est la puissance rayonnée par unité d’angle solide.
Ptotale =
D(", 1) d$ = 4 )
avec
Pour une antenne isotrope U(", 1) = U0 le gain directif est constante égal à 1.
Puisque U =
F
U(", 1) = dP =
= S r2
d$ 2 0
U(", 1)
Ptotale rayonnée
Expression développée du gain directif :
2
F
F
F
u.ds u =
ds =
d$
20
2 0 r2
2 0 r2
U0 d$ = 4 ) U0
Pisotrope =
F2 est donc bien proportionnel à une puissance présente en tout point d’une sphère de rayon r grand. Il est clair
que le diagramme de rayonnement ne dépend ni de la distance ni de la puissance d’émission. Il ne dépend que de
la distribution de courant sur l’antenne. Du point de vue pratique, il dépend au 1er ordre de la fréquence.
4.2 L’intensité de rayonnement
Calculons la puissance dP de l’onde qui traverse un élément de surface ds de la sphère au centre de laquelle est
située notre antenne.
U(", 1)
U0
0
S ds
sphere
Dans certains ouvrage on parle de diagramme de directivité. Comme cette dernière formule le montre, il y a
identité entre le diagramme de rayonnement et le diagramme de directivité dans une représentation en dB
normalisé par rapport au maximum.
4.4 Le gain directif et la directivité
Par définition, le gain directif est égal au rapport de l’intensité de rayonnement de l’antenne sur l’intensité de
rayonnement U0 de l’antenne isotrope équivalente rayonnant la même puissance totale.
Directivité : On appelle directivité D0 la plus grande valeur du gain directif. C’est une valeur toujours supérieure
ou égale à 1
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- 32 -
D0 = max D(", 1) $ 1
4.5 Le gain
On définit le gain d’une antenne par :
G (", 1) = 4 )
U(", 1)
Palim
Où Palim est la puissance totale que fournie le générateur à l’antenne. Le gain est une grandeur sans dimension.
Le rapport entre la puissance d’alimentation et la puissance totale rayonnée définit l’efficacité de rayonnement e.
e=
Ptotale rayonnée
Palim
D’où l’on déduit la relation entre le gain et le gain directif :
G (", 1) = e D (", 1)
résistance ohmique sur la résistance de rayonnement. Il faudra veiller à utiliser des conducteurs qui aux
fréquences de travail conduisent à des coefficients de pertes inférieurs à quelques pourcents.
2) Les pertes par défaut d’isolement : Ces pertes proviennent de fuites dans les résistances d’isolement, aux
extrémités des antennes par lesquelles elles sont reliées aux dispositifs qui les maintiennent en l’air. Les défaut
d’isolement augmente avec la puissance émise.
3) Les pertes par rayonnement parasite : Il s’agit du rayonnement des feeders (conducteurs au voisinage
immédiat de l’antenne). En général peu important et négligeables si les feeders sont concentriques.
4) Les pertes dans les câbles : Ce sont les pertes dûes à l’affaiblissement linéique dans les câbles (cf. cours
câble).
5) Les pertes par désadaptation : Elles sont liées aux ondes stationnaires présentes dans les câbles ou les feeders
lorsque leurs impédances caractéristiques diffèrent des impédances de charge.
4.6 L’ouverture de rayonnement
Plus communément appelée largeur du faisceau, l’ouverture de rayonnement est l’angle 6 que font les directions
de rayonnement à – 3 dB, ces directions correspondant à une chute de puissance de 50 % par rapport à la
puissance maximale rayonnée. En toute rigueur, l’ouverture angulaire dépend du plan 1 d’observation du
rayonnement. Dans la pratique on utilise les ouvertures 61 et 62 relatives à deux plans orthogonaux. Exemple : le
plan horizontal (H) et le plan vertical (V), on parle alors de représentation en site et azimut
||F(1) ||
Remarque 2 : Il existe d’autres types de gain, notamment ceux définis par rapport à une antenne de référence :
- le gain isotrope en dBi : l’antenne de référence est l’antenne isotrope.
- le gain demi-onde en dB!/2 : l’antenne de référence est le dipôle demi-onde.
Notes sur les pertes dans les antennes
Lorsqu’on alimente une antenne sous une certaine puissance, seule une fraction de cette puissance est réellement
rayonnée. La partie manquante est perdue et dissipée dans les différents éléments qui relient l’antenne à la
source. Il convient naturellement de minimiser ces pertes et donc pour cela il faut en connaître les causes
possibles. On peut classifier les pertes suivant 5 catégories :
1) Les pertes ohmiques : Le courant haute-fréquence se répartie sur la périphérie du conducteur et delaisse la
partie centrale : c’est l’effet de peau. Cet effet qui augmente avec la fréquence accroit la résistance des
conducteurs et donc la dissipation par effet Joule. On définit le coefficient de pertes comme le rapport de la
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61
-3
–180°
Remarque 1 : pour une antenne sans pertes (cas idéal donc non réaliste) on a : e = 1, G = D mais dans le cas
général e % 1 et donc G % D.
|| F(") ||
dB
0
En raison des pertes ohmiques dans les câbles, des pertes par reflexion dûes à une mauvaise adaptation de
l’antenne avec le circuit d’alimentation, la puissance rayonnée est toujours inférieure à la puissance
d’alimentation. Ce qui se traduit par e % 1. La différence entre gain et gain directif consiste donc dans la prise en
compte des pertes. Alors que le gain directif est une mesure des propriétés directionnelles du rayonnement de
l’antenne et que de ce fait elle est une caractéristique de l’antenne seule, le gain lui caractérise l’émetteur dans son
ensemble.
0°
dB
62
180° "
ouverture 61 dans plan H
représentation en azimut : ||F(0, 1)||
–180°
0°
180° "
ouverture 61 dans le plan V
représentation en site : ||F(", 0)||
4.7 La bande passante
Le rayonnement d’une antenne dépend, on l’a vu, de la fréquence. Une antenne peut être optimale à une
fréquence et se révéler sourde en réception ou muette à l’émission à une autre. La bande passante est l’intervalle
de fréquence pour lequel l’antenne présente des caractéristiques presque indépendantes de la fréquence. Cette
caractéristique permet de classer les antennes en deux catégories : les antennes larges bandes et les antennes à
bandes étroites. Pour ces dernières, plus que la bande passante, c’est la fréquence centrale de fonctionnement qui
est la caractéristique la plus importante lors de leurs conceptions. Elle détermine pour une grande part la taille de
l’antenne. On peut d’ailleurs jouer sur les dimensions d’une antenne pour faire varier la fréquence centrale
comme on le fait avec les antennes filaires téléscopique sur les voitures.
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4.8 La résistance de rayonnement
Si on considère une antenne comme un simple dipôle passif alors la grandeur qui la caractérise est son
impédance. De ce point de vue, il faut distinguer l’antenne en réception de l’antenne en émission.
4.8.1. Impédance d’entrée d’une antenne à l’émission
A l’émission, une antenne se comporte comme un dipôle dont l’impédance est celle qu’elle présente à son circuit
d’alimentation. Elle constitue la charge terminale et il importe avant toute chose de satisfaire aux conditions
d’adaptation en impédance de façon à minimiser les pertes d’énergie par réflexion entre le générateur et
l’antenne. Si on suppose une adaptation parfaite entre le générateur, la ligne de transmission et l’antenne, on peut
représenter l’ensemble { générateur - ligne - antenne } par le circuit suivant :
5
Zg
Zg
Za
e=
Ptotale rayonnée
Rr
= Pr
=
=
Palim-antenne
Pr + P$ Rr + R$
1
R$
Rr
1+
Cas particuliers :
- Pour une antenne sans pertes R$ = 0 et on a P$ = 0 et e = 1. La puissance fournie par l’alimentation à une
antenne adaptée et sans pertes est intégralement rayonnée.
- Pour une antenne filaire demi-onde, la résistance de rayonnement est comprise entre 50 $ et 73 $ et la
résistance ohmique est de l’ordre de quelques ohm, R$ est donc négligeable par rapport à Rr. Mais attention au
degré d’approximation car R$ augmente avec la fréquence.
4.8.2. Impédance d’entrée d’une antenne en réception
En réception, une antenne se comporte comme un générateur de fem ea et dont l’impédance interne constitue
l’impédance d’antenne Za. Le circuit de réception est remplacé par une impédance de charge Zc. Comme à
l’émission, une bonne réception suppose de satisfaire aux conditions d’adaptation en impédance (Zc = Za*) de
façon à minimiser les pertes d’énergie par réflexion entre l’antenne et la charge.On a l’équivalence suivante :
eg
eg
onde incidente
Antenne à l’émission
Circuit électrique équivalent
Za = Ra + j Xa
Za
5
Zc
Zc
ea
Ra est la résistance de l’antenne, Xa est la réactance de l’antenne. La résistance d’antenne se décompose à son
tour en une résistance de rayonnement Rr et une résistance ohmique R$.
Ra = Rr + R$
Antenne en réception
La condition d’adaptation en impédance s’écrit :
, Ra = Rg et Za + Zg = 2 Ra
Za =
La loi d’Ohm s’écrit : eg = (Za + Zg ) I = 2 Ra I
Evaluons la puissance moyenne rayonnée Pr et celle dissipée par effet Joule P$.
Z*g
eg
Pr = 1 Rr I2 = 1 Rr
2
2
2 Ra
2
Rr
=1
e2
8 (Rr + R$)2 g
;
R$
P$ = 1 R$ I2 = 1
e2
2
8 (Rr + R$)2 g
De même la puissance totale fournie par l’alimentation et celle dissipée dans le générateur s’écrivent :
eg2
Palim = 1 eg I = 1
2
4 Rr + R$
;
Rg
eg2
Pg = 1 Rg I2 = 1
e2 = 1
2
8 (Rr + R$)2 g 8 Rr + R$
Circuit électrique équivalent
avec des expressions analogues à celles vues précédemment pour les puissances dissipées dans Zc et Za. Le
problème majeur est de déterminer Za.
4.9 Les pertes de polarisation
Les résistances ohmiques et de rayonnement ne sont pas les seules causes de pertes d’énergie. Il en est une autre
qui est liée à la nature vectorielle du rayonnement : c’est la polarisation. Comme on l’a vu, le champ électrique
rayonné au loin en un point M1 par une antenne est transversal. On peut donc légitimement écrire :
Eloin = E" u" + E1 u1
car Er = 0
D’où l’on déduit Pg = Pr + P$ = Pa = Palim / 2. Ainsi sur la moitié de la puissance que le générateur fournie à
l’antenne, une partie Pr est rayonnée et l’autre P$ est dissipée en chaleur. De ces dernières expressions, on tire
une nouvelle formulation de l’efficacité de rayonnement :
Rappelons qu’en régime sinusoidal, les ondes sont polarisées elliptiquement : en tout point de l’espace situé dans
la zone de champ lointain le vecteur E tourne au cours du temps et son extrémité décrit une ellipse (réduite
éventuellement à un cercle dans le cas d’une polarisation circulaire ou à une droite dans le cas d’une polarisation
rectiligne). La nature vectorielle du rayonnement contraint à tenir compte de l’orientation des antennes. En effet,
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considérons (Fig. 1) le fonctionnement d’une antenne en réception située dans la zone de champ lointain d’une
antenne émétrice.
réception ayant les mêmes polarisations. En général, les niveaux de réception en polarisation croisées (HV, VH)
sont inférieures à ceux des polarisations directes (HH ou VV).
Ei
antenne en
réception
E
Fig 1
antenne en
émission
Ae = Pr
Si
Fig 2
Ei est le champ électrique incident de l’onde produite par l’antenne d’émission. L’antenne de réception sera
t’elle sensible à l’intégralité de Ei ou à une partie seulement? Pour répondre à cette question aidons nous du
théorème de réciprocité et supposons notre antenne en régime d’émission. D’après le théoréme, le champ E
qu’elle rayonne donne la direction du champ électrique auquel cette antenne est sensible lorsqu’elle fonctionne
en réception. Notre antenne sera donc sensible non pas à Ei mais à sa composante suivant la direction de E.
Si E = E ur et E = Ei ui alors l’antenne de réception sera sensible à
7
Ei . ur ur = Ei ui . ur ur = Ei cos7 ur
4.10 La surface efficace
Quelque soit la forme de l’antenne, son rôle en mode réception est de capter les ondes électromagnétiques et d’en
extraire la puissance maximale. On conçoit très bien qu’une antenne est d’autant plus performante qu’elle est de
grande dimension. Ainsi les antennes à ouverture captent d’autant plus de puissance que leur surface d’ouverture
est grande. On définit la surface de captation d’une antenne ou surface efficace par :
Ei
(m2 )
Pr est la puissance reçue par l’antenne et fournie à la charge, Si est le module du vecteur de poynting de l’onde
incidente et correspond à la densité surfacique de puissance incidente rayonnée. Ae est maximale lorsque Pr est
maximale : il est donc nécessaire que l’antenne soit adaptée à sa charge Zc. Cette condition est nécessaire mais
non suffisante car il existe une autre cause à une mauvaise réception : c’est la mauvaise adaptation en polarisation
comme on l’a vu au paragraphe précédent.
4.11 Lien entre gain directif et surface efficace
Nous allons démontrer à l’aide du théorème de réciprocité la formule suivante :
E
D(", 1) = 4 )
7 étant l’angle entre Ei et E. La puissance recueillie sera donc proportionnelle à Ei2 cos27.
Ae (", 1)
!2
Le terme L = cos27 est le facteur de pertes par désadaptation de polarisation.
Cette formule montre que la directivité d’une antenne est meilleur si sa surface efficace est grande, en d’autres
termes que les grandes antennes sont plus directives que les petites.
C’est un nombre toujours inférieur à 1 et que l’on exprime en général en dB : LdB = 10 log L < 0. Il dépend de
l’orientation de l’antenne et de sa géométrie. Il traduit ce que tout le monde sait par expérience : l’orientation
d’une antenne conditionne la bonne réception des signaux électromagnétiques.
Soit une antenne sans pertes de gain directif D1 alimentée sous une puissance Palim et rayonnant au loin à une
distance r dans la direction (", 1) la densité surfacque de puissance S1(", 1). On a
Valeurs particulières :
- 7 = 0 , LdB = 0 : pas de pertes de polarisation et l’antenne capte l’intégralité du rayonnement incident.
- 7 = 90, LdB = – + : l’antenne de reçoit plus rien.
La polarisation est donc une caractéristique de l’antenne. En pratique, on distingue principalement les
polarisations rectilignes et les polarisations elliptiques. Par exemple, la polarisation verticale est une polarisation
rectiligne avec un champ électrique vertical (ex: rayonnement d’un dipôle vertical). La polarisation circulaire est
quand à elle obtenue à l’aide de deux éléments de courant orthogonaux égaux mais en quadrature de phase.
S1 (", 1) = Palim D1 (", 1)
1
4 ) r2
expression que l’on déduit de U (", 1) = S (", 1) r2 et D (", 1) = 4 ) U (", 1) / Palim (cf §4.2 et §4.4). La
densité surfacique de puissance rayonnée par une antenne est égale à la puissance fournie par l’alimentation
pondérée par la directivité D1 de l’antenne et l’atténuation géométrique de propagation (1 / 4 ) r2).
Sans préjuger de la dépolarisation apportée par le milieu, il est préférable d’utiliser des antennes d’émission et
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Seul F nous interesse et puisque u . uz = cos " et
Palim D1
Palim
Générateur
Palim D1
Antenne
F=
4 ) r2
r
u . u . uz = sin " u" on obtient :
jk0
jk0
I a sin" sinc k cos" a u" /
I a sin" u"
4)
2
4)
puisque ka<<1
Le calcul de la directivité s’écrit :
L’antenne de réception elle aussi supposée sans pertes de directivité D2 et de surface efficace A2 capte la
puissance
P2 = S1 A2 = Palim
D1 (", 1) A2
4 ) r2
2
F(", 1)
2)
)
)
2 sin2 "
=
= 3 sin2 "
2
)
2
sin3 " d" = 4
3
0
sin3 " d"
F(", 1) sin" d" d1
0
Permutons le rôle des antennes en maintenant une alimentation identique. Notre première antenne qui fonctionne
en réception va capter la puissance
P1 = S2 A1 = Palim
D(", 1) = 4 )
0
0
En considérant le dipôle en mode réception, le calcul de la surface efficace se déroule comme suit :
D2 (", 1) A1
4 ) r2
Ae = Pr
Si
2
2
avec Si = E et Pr = 1 Rr I2 = 1 e
20
2
8 Rr
puisque le dipôle est sans pertes
D’apres le théorème de réciprocité : P1 = P2 d’où on déduit :
I et e étant les courants et fem induites au sein de l’antenne supposée adaptée a sa charge. e s’obtient par
intégration de la composante tangentielle de E sur le dipôle :
D1 = D2 = cste
A1 A2
r
a/2
e=
M
2
Pr =
"
0
F
d$ = 1
20
20
U d$ =
4)
x
E . dl = E sin" a
–a/2
Calculons par ailleurs la résistance de rayonnement à partir de la puissance rayonnée :
u
z
1 E2 sin2 " a2
0 sin2 " a2
Rr
, Ae = 8
=
2
4 Rr
E
20
a/2
Le rapport du gain d’une antenne sur sa surface efficace est une constante universelle indépendante de l’antenne.
Pour évaluer cette constante, il suffit de prendre un exemple. Le plus simple est celui du dipôle infinitésimal
(longueur a telle que ka << 1) sans pertes, orienté suivant l’axe z et parcouru par un courant I. Pour les calculs
suivants, nous nous plaçons en coordonnées cylindriques.
4)
2)
0
)
0
)
2
F(", 1) sin" d" d1 = ) 0 k a I
4)
2
sin3 " d" =
0
0) a 2 2
I
3 !
y
Pr = 1 Rr I2
2
–a/2
,
Rr =
20) a
3 !
2
Le dipôle rayonnant
D’apres la formule de Stratton-Chu, le champ électrique qu’il rayonne au loin au point M s’écrit :
–jkr
E(r,",1) = e r
F(",1) avec F =
jk0
u . u.
4)
I e j k u . z uz uz dz
$
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2
2
On en déduit Ae = 3 ! sin "
8)
2
, D = 3 sin " / 2 = 4 ) , D = 4 ) Ae
Ae 3 !2 sin2 " / 8 ) ! 2
!2
Cette formule fondamentale constitue la base sur laquelle s’appuie la formule de Friis et l’équation du radar,
formules dont l’utilisation intensive en propagation (cf cours DUSSEAUX / MASCLE) mérite qu’on les
rappelle, ce que l’on fait au paragraphe suivant.
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4.12 La formule de Friis et l’équation radar
L’analyse et la conception de systèmes de télécommunication requièrent la connaissance de lois simples
permettant de répondre aux questions telles que celles-ci : connaissant la puissance émise par une antenne, quelle
est la puissance recueillie par une antenne de réception située à une distance donnée de la première ? Ou bien
encore connaissant le niveau de champ minimaux requis pour une bonne réception, de quelle puissance doit on
disposer à l’émission pour satisfaire aux critères de réception ? Répondre à ces questions c’est dresser le bilan
de liaison entre un émetteur et un récepteur, plus précisément c’est utiliser la formule de Friis et l’équation radar.
La formule de Friis :
Comme vu précédemment mais avec des notations différentes, la puissance captée par une antenne en réception
de surface efficace Ar de la part d’une antenne en emission de gain Ge alimentée sous une puissance Palim est
Pr = Palim
puisque
D =4)
Ar ! 2
,
r2
r1
trajet secondaire
réfléchi
trajet secondaire
incident
obstacle
Ge (" e, 1 e) Ar
e
4 ) r2
et Gr(" r, 1r) = Dr(" r, 1r) e
Antenne
de réception
r
Ge (" e, 1 e) Ar
4 ) r2
Cette puissance captée n’est pas intégralement transmise à sa charge en raison entre autres des pertes ohmiques.
Il faut tenir compte de l’efficacité de rayonnement e. La puissance réellement transmise s’écrit
Pr = Palim
trajet direct
Antenne
d’émission
Pr = Palim
!
4)r
2
Ge (" e, 1e) Gr(" r, 1r)
Cette dernière relation constitue la formule de Friis. Le facteur (! / 4 ) r)2 est l’atténuation par propagation en
espace libre, il traduit la dispersion sphérique de l’énergie. Par exemple à 1 GHz (! = 30 cm) on a les
atténuations suivantes :
r
100 m
1 km
10 km
50 km
LdB
72
92
112
126
L’antenne de réception reçoit une énergie véhiculée par une onde effectuant le trajet direct et une énergie en
provenance de l’obstacle qui est une partie de l’énergie qu’elle a interceptée et qu’elle rediffuse. La puissance
apportée par le trajet direct est donnée par la formule de Friis, la puissance apportée par le trajet secondaire est
donnée par l’équation radar que l’on va maintenant établir. Pour cela on considère que l’obstacle se comporte
comme un réémetteur caractérisé par un paramètre 8 (unité : m2) appelé Section Efficace Radar (SER) et qui
n’est autre que le rapport de la puissance rediffusée sur la puissance surfacique reçue. La puissance que reçoit
l’obstacle et qui est rediffusée s’écrit donc
Pobs = Palim
Ge (" e, 1 e) 8
4 ) r21
Appliquons la formule de Friis entre l’obstacle et l’antenne de réception, l’obstacle jouant le rôle d’émetteur , la
puissance reçue s’écrit :
2
!
Pr = Pobs
Gr(" r, 1 r)
4 ) r2
d’où la formule dite de l’équation radar :
L’équation radar :
L’espace est rarement dégagé entre deux antennes. En général, les obstacles sont nombreux, perturbent la
propagation et affectent le bilan de liaison. Considérons pour simplifier le cas académique d’un seul obstacle :
Pr = Palim
1
( 4 ) )3
!
r1 r2
2
8 Ge ("e, 1e) Gr("r, 1r)
Remarques :
- En général l’énergie rediffusée par un obstacle n’est pas isotrope, sa section efficace dépend donc de la
direction de diffusion.
- D’autres formules analogues à celles-ci existent pour tenir compte des pertes, elles se distinguent les unes des
autres par l’ajout de coefficients multiplicatifs ad hoc.
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- En éléctromagnétisme, la SER d’un objet peut etre définie de manière plus générale
E 2
8 = 4) lim r 2 d 2
r*+
Ei
E
M’
M
antenne isotrope
Ed étant le champ électrique diffracté par l’objet, Ei le champ électrique incident éclairant l’objet.
E
4.13 la PIRE
La PIRE est l’acronyme de Puissance Isotrope Rayonnée Equivalente. La PIRE d’une antenne d’émission est la
puissance que devrait rayonner une antenne isotrope pour obtenir le même niveau de champ dans une direction
donnée. D’après la formule de Friis on voit donc que la PIRE s’écrit :
PIRE = Palim Ge
Autre démonstration de l’inexistence de l’onde em sphérique isotrope
Justifions cette expression. Considérons l’expression de la densité surfacique de puissance rayonnée à une
distance r dans la direction ( ", 1 ) par une antenne de gain G :
S(r, ", 1) = Palim G (", 1)
La seule solution est le champ nul aux points M et M’, et puisque le raisonnement est vrai en tout point de
l’espace, on arrive à la conclusion que la seule antenne isotrope qui puisse exister est l’antenne qui ne rayonne
pas !
Si cette onde existait, elle vérifierait les équations de Maxwell sur la divergence :
!
!
div H = 0 et div E = 0
1
4 ) r2
1
4 ) r2
La puissance rayonnée par cette antenne est donc S(r) 4 ) r2 = Palim G, ce qui est l’expression de la PIRE. Celleci s’exprime le plus souvent en dB. Dans la pratique de l’ingénieur, la PIRE s’entend dans la direction principale
de rayonnement de l’antenne.
Si l’antenne est isotrope alors G(", 1) = G et S(r, ", 1) = S(r) = Palim G
Remarque : Les nombreuses références aux antennes isotropes ne doivent pas faire oublier que l’antenne
isotrope est plus qu’une antenne idéale, c’est un concept abstrait de source dont le rayonnement viole la nature
vectorielle des ondes électromagnétiques. En effet supposons l’existence d’une telle antenne. Rayonnant de
façon isotrope c’est à dire indépendamment de la direction considérée, elle crée le même champ électrique E en
deux points diamétralement opposés :
Considérons une onde em sphérique isotrope
!
9 jkr !
H = e r u"
M’
E
antenne isotrope
!
9 jkr !
E = e r u1
A l’aide de l’expression de la divergence en coordonnées sphériques,
! 2
:A
1
1 :A"
1 :A1
divA = Ar + r +
A +
+
r
:r r tan" " r :r
r sin" :1
On obtient facilement :
!
divH 4 0
E
5
et
!
divE = 0
ce qui contredit les équations de Maxwell.
M
Mais l’isotropie du rayonnement doit se traduire par une invariance par rotation et si on déplace le point
d’observation le long d’un cercle vertical on obtient la configuration ci-dessous :
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Remarque : l’antenne qui se rapproche de l’antenne isotrope est l’antenne omnidirectionnel: son diagramme de
rayonnement presente une ouverture à –3 dB de 360°
Exemple : Considérons une antenne alimentée sous une puissance de 5 W et présentant un gain de 20 dB dans le
secteur angulaire [–5° ; 5°]. Quelle est la PIRE de cette antenne ?
PIRE = 10 log5 + 20 = 27 dB
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4.14 Température d’antenne
Tous les corps produisent naturellement un rayonnement électromagnétique à toutes les fréquences (Planck,
1901, théorie du corps noir). Ce rayonnement dépend principalement de la température T et de la fréquence. Un
corps noir est un corp idéal qui absorbe toute l’énergie qu’il reçoit et qui la réémet dans toutes les directions
sous forme d’ondes électromagnétiques incohérentes. La densité spectrale de puissance surfacique rayonnée par
unité d’angle solide par un corps noir est donnée par la loi de Planck:
4.15 Deux paramètres d’ingénierie : Le tilt et le dégagement
4.15.1 Le tilt
Le tilt est une inclinaison du diagramme de rayonnement. Ce n’est pas à proprement parlé un paramètre
d’antenne mais un paramètre d’ingénierie qui intervient dans l’édification d’un site abritant une BTS (réemetteur
dans un réseau cellulaire de radiocommunication). Il peut être obtenu mécaniquement en inclinant l’antenne soit
vers le sol (downtilt) soit vers le ciel (uptilt) ou électriquement en jouant sur les déphasages des champs. Le tilt
est utilisé pour améliorer une zone de couverture radioélectrique. L’ordre de grandeur est de quelques degrés.
dS
d$ df
corps noir
3
1
=2hf
c2 e h f – 1
kT
avec k = 1,38 10-23 (J / K) et h = 6,63 10-34 (J s)
Si on suppose une émission en bande étroite 'f, par exemple dans la bande de fréquences allouées aux
radiocommunications mobiles [300 MHz, 3 GHz], la puissance surfacique rayonnée par unité d’angle solide par
un corps noir est approximée par la loi de Rayleigh-Jeans:
dS
d$
corps noir
= 2 k T 'f
!2
avec k = 1,38 10-23 (J / K)
qui se déduit de la loi de Planck par un développement limité lorsque h f / k T << 1. Le corps noir étant un corps
idéal qui n’existe pas, on postule pour les corps réels (ou corps gris) une loi de rayonnement analogue mais en
remplacant la température thermodynamique par une grandeur TB appelée température de brillance.
dS
d$
corps gris
= 2 k TB 'f
!2
Tilt mécanique
Tilt électrique
4.15.2 Le dégagement d’une antenne
Pour qu’une antenne puisse fonctionner conformément à ce qu’on attend d’elle c-à-d rayonner suivant son
diagramme de rayonnement, il faut que son proche environnement (plus précisément la zone de champ proche qui
s’étend jusqu’a 2L2 / !) soit exempt de tout obstacle. Des règles de dégagement existent. Ce sont des règles
d’ingénierie qui peuvent varier d’un opérateur à l’autre et suivant le type d’antenne. Ainsi par exemple, pour une
antenne DCS 1800 à 120° d’ouverture, il est préconisé un angle de dégagement vertical supérieur à 30°.
Le rapport des puissances surfaciques par unité d’angle solide du corps gris et du corps noir définit l’émissivité
%. Apres simplification on obtient :
TB = % T
Ces relations traduisent l’équivalence de comportement entre un corps réel à la température T et un corps noir
dont la température serait TB. La température de brillance d’un corps réel est donc la température du corps noir
qui rayonnerait la même densité de puissance surfacique par unité d’angle solide que le corps réel. Par
intégration, un raisonnement sur les puissances surfacique rayonnées conduit à la notion de température
d’antenne Ta que l’on définit comme la température du corps noir qui émettrait la même puissance surfacique
que l’antenne. C’est aussi la température de bruit de la résistance de rayonnement de l’antenne. On démontre
alors que la puissance naturellement rayonnée par une antenne dans une bande étroite 'f est donnée par :
antenne
30°
Dégagement vertical d’une antenne
obstacle
P = k Ta 'f
C’est la puissance de bruit de l’antenne. L’interêt de cette formule est sa linéarité : les températures d’antennes
d’élément rayonnants mis en série s’ajoutent.
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Chapitre 5
FORMULES DES ANTENNES FILAIRES
Résistance de rayonnement : R = 80 )2 a
!
2
( R < 0,3 $ )
antenne
Ce chapitre donne sans démonstration les formules des diagrammes de rayonnement de quelques antennes en
zone de champ lointain. Elles sont toutes issues de l’application de la formule de Stratton-Chu. Seules sont
présentées les formulations des caractéristiques vectorielles de rayonnement électriques et magnétiques
conduisant aux diagrammes de rayonnement, la dépendance suivant la distance en exp(–jkr) / r commune à toutes
les antennes étant omise. Les directivités sont également données. Toutes les formules sont données dans le
système de coordonnées sphériques.
5.1 L’antenne filaire linéaire
C’est l’antenne la plus répandue et la plus connue. Les formules différent suivant sa longueur a par rapport à la
longueur d’onde !.
5.1.2 Le dipôle court
C’est le modèle de l’antenne filaire infiniment mince et tel que !/50 < a < !/10.
Pour cette antenne, on suppose la distribution spatiale de courant I triangulaire : I = I0 1 – 2a z
z
F" =
"
l
r
y
a
1
rect za
j0
I a sin" ; Fr = F1 = 0
4 0 !
F
G1 = 0" ; Gr = G" = 0
Au facteur 2 près, le diagramme de rayonnement est identique au précédent. La valeur de la directivité ne change
pas : D0 = 1,5.
5.1.3 Le dipôle long
L’antenne filaire infiniment mince est telle que a > !/10.
Pour cette antenne, on suppose la distribution spatiale de courant I sinusoïdale : I = I0 sin k a – z
2
x
F" =
5.1.1 Le dipôle infinitésimal ou doublet de Hertz
C’est le modèle de l’antenne filaire infiniment mince et telle que a << !. (en pratique a < !/50). La distribution
spatiale de courant I0 est constante
F" =
cos ) a cos" – cos ) a
j0
!
! ; Fr = F1 = 0
I0
2)
sin "
F
G1 = 0" ; Gr = G" = 0
j0
I a sin" ; Fr = F1 = 0
2 0 !
F
G1 = 0" ; Gr = G" = 0
Son diagramme de rayonnement présente une symétrie de révolution ( indépendance suivant 1).
Directivité : D0 = 1,5
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rect za
- 47 -
- 48 -
a = ! (k a = 6)
Pour une boucle circulaire de petite dimension (surface S, rayon a < ! / 20), la distribution spatiale de courant I0
est supposée constante.
F1 = 0 k2 I0 S sin " ; Fr = F" = 0
F1
G" = –
; Gr = G1 = 0
0
La forme du diagramme de rayonnement est identique à celle du dipôle court.
Directivité : D0 = 1,5
a = 5!(k a = 30)
La directivité n’est pas constante, elle dépend de la longueur du dipôle. En pratique on consulte une courbe de
directivité en fonction de la longueur du dipôle mesurée en longueur d’onde.
5.1.4 Le dipôle demi-onde
Comme son nom l’indique, c’est l’antenne filaire de longueur a = !/2. Elle est tres utilisée pour des raisons
d’adaptation d’impédance. Sa résistance de rayonnement étant proche de l’impédance caractéristique des lignes
de transmission (75 $). Le rayonnement s’obtient à partir de la formule précédente avec a = !/2.
F" =
cos ) cos"
j0
2
I0
; Fr = F1 = 0
2)
sin "
F"
G 1 = 0 ; Gr = G" = 0
5.2.2 La boucle circulaire (cas général)
La boucle circulaire est de dimension quelconque, le courant I0 est supposé distribué uniformément.
F1 = 2 ) µ c I0 k a J1 k a sin " ; Fr = F" = 0
F1
G" = –
; Gr = G1 = 0
0
c désigne la vitesse de la lumière, J1(x) est la fonction de Bessel de 1ere espèce d’ordre 1. Comme pour le dipôle
long, la directivité dépend de la dimension de la boucle et en pratique on consulte une courbe de directivité en
fonction du diametre de la boucle mesurée en longueur d’onde.
5.2.3 La boucle carrée
z
"
La forme du diagramme de rayonnement est identique à celle du dipôle court.
Directivité : D0 = 1,64
y
a
5.2 L’antenne filaire boucle
z
"
r
r
F1 = 2 0 k I0 a sin k a sin" ; Fr = F" = 0
2
F1
G" = –
; Gr = G1 = 0
0
1
x
a
y
1
x
5.2.1 La petite boucle circulaire
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- 50 -
Chapitre 6
L’ANTENNE RESEAU LINEAIRE
antenne
Une antenne peut présenter des performances insuffisantes sur l’une de ses caractéristiques. L’utilisation
conjointe de plusieurs d’entre elles permet d’y remédier. C’est l’idée maitresse qui guide les utilisateurs des
antennes réseaux. Ainsi comme on va le voir, des antennes faiblement directives peuvent devenir très directive
lorsqu’elles sont constituées en réseau.
k a = 4 (a = 2 ! / 3)
k a = 6 (a = !)
6.1 Généralités
Une antenne réseau est constituée d’éléments le plus souvent identiques disposées suivant une ligne (on parle de
réseau linéaire) ou suivant un plan ( on parle alors de réseau plan). Ce chapitre est exclusivement consacré aux
bases théoriques de l’antenne réseau linéaire. Par soucis de simplification, on supposera les éléments du réseau
identiques (le réseau est alors dit homogène) mais cette hypothèse n’est pas nécéssaire, l’extension à une antenne
réseau hétérogène ne posant pas de difficultés particulières. Le diagramme de rayonnement d’un réseau
homogène d’antennes dépend essentiellement de trois facteurs que sont :
1) le diagramme de rayonnement de chacune des antennes,
2) le pas du réseau (l’écartement entre chaque antenne),
3) la distribution en amplitude et phase du courant qui alimente le réseau.
Le principe de l’antenne réseau est de combiner les rayonnements des antennes entre elles de façon à creer des
interférences constructives dans certaines directions et des interférences destructives dans les autres. Nous nous
limiterons dans toute la suite à l’étude des réseaux à pas constant. Nous étudierons d’abord le réseau alimenté
par des courants déphasés de même amplitude puis par des courants d’amplitudes différentes non déphasés.
6.2 Le facteur de réseau
Considérons n antennes identiques en mode d’émission disposées suivant l’axe oz.
Au loin on sait que chaque antenne rayonne un champ
z
Ei donné par
On
k a = 30 (a = 5 !)
"n
rn
– j k ri
Ei = e r
i
M
Si k a < 1 ( soit a < ! / 6 ) le diagramme de rayonnement est identique à celui du dipole infinitésimal.
O3
d
O2
r2
"2
"1
r1 = r
F("i , 1) e j ;i
;i étant le déphasage d’alimentation de l’antenne i. En
supposant les antennes indépendantes les unes des
autres (hypothèse dite de faible couplage) on peut
appliquer le théorème de superposition : le champ
électrique total rayonné est la somme des champs crées
par chacune des antennes du réseau.
n
O1
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E=
∑
Ei
i=1
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- 52 -
Dans la zone de champ lointain il est légitime de procéder aux approximations suivantes (cf 3.1 théorème de
translation) :
"i / " et ri =
2
Oi M =
Oi O 1 + O1 M
2
On utilise quelquefois le facteur de réseau normalisé : Rn =
/ r – (i-1) d cos"
R
| R |max
avec
| R |max = n
sin n7 j (n –1) 7
Rn = 1
n sin7 e
Si de plus on considère un déphasage constant ( entre chaque antenne on a : ;i = ( i – 1) (
–jkr
E = e r F(", 1)
Le champ total s’écrit alors :
n
∑
e j (i –1)
Cas particuliers :
Si n = 1 le réseau est réduit à une antenne et on trouve immédiatement Rn = 1 et E = E1 .
Si n ---> + + alors Rn ---> ( ( 7 – p ) ) , p entier
Voici pour différents ordres du réseau (n =1, 2, 5, 10, 20, 50) le module de Rn en fonction de 7 :
( + k d cos"
i=1
sin n 7 j (n –1) 7
–jkr
Apres calcul de la série géométrique : E = e r F(", 1)
e
sin 7
avec
7 = k cos" d + (
2
n=1
Au final :
E = E1 R
avec
n=2
sin n7 j (n –1) 7
R=
e
et 7 = k cos" d + (
sin7
2
On obtient donc le résultat suivant : le champ électrique rayonné par un réseau linéaire est égal au produit du
champ rayonné par une antenne individuelle par le facteur de réseau R. Le facteur de réseau ne dépend pas de la
loi d’excitation du réseau mais seulement de la géométrie et du déphasage des courants d’alimentation. L’étude
d’un réseau d’antennes linéaires se réduit donc à celle de son facteur de réseau.
Etude sommaire du facteur de réseau :
On suppose dans toute la suite n >1. Remarquons avant tout que le facteur de réseau ne dépend pas de l’angle
d’azimut mais seulement du cosinus de l’angle de site ". La parité de la fonction cosinus entraine la parité du
facteur de réseau.
n=5
n = 10
n = 20
n = 50
R( – " ) = R( " )
Le module de la fonction de réseau est périodique de période ) : | R( " + ) ) | = |!R( " ) |
Les zéros du réseau sont les angles "i pour lesquels la fonction de réseau est nulle.
R = 0 5 sin n 7 = 0 avec n 4 1 5 cos"i = 1 2 ni ) – (
kd
avec n 4 1 et ni non entier
Le nombre de direction "i d’extinction du champ électrique du réseau est donné par la condition | cos"i | % 1.Il
augmente avec le rapport d / !. Dans le cas d’un déphasage d’alimentation nul, il y en a environ n d / !. Les
maxima du réseau sont les angles "p pour lesquels la fonction de réseau est maximal en module.
R = R
max
=n
5
7=p)
5
cos"p =
2p)–(
kd
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6.3 Le principe de multiplication des diagrammes
Calculons la densité surfacique de puissance rayonnée par le réseau :
S=
| E |2 | E1 |2
=
| R | 2 = S1 | R |2
20
20
Ce résultat fonde le principe de multiplication des diagrammes. En effet si on considére un réseau d’antennes
isotropes S1 = cste et |R|2 décrit alors complètement son diagramme de rayonnement. Le facteur de réseau
s’interprète donc comme la distribution spatiale de la puissance surfacique rayonnée par un réseau d’antennes
isotropes. Le diagramme de rayonnement d’une antenne réseau est donc égal au produit du diagramme de
rayonnement de ce même réseau d’antennes isotropes par celui d’une antenne individuelle.
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Une antenne réseau linéaire alimenté en phase rayonne principalement dans le plan perpendiculaire passant par
son milieu (p = 0, "0 = 90°). On parle d’antenne réseau à rayonnement transversal. Si l’on souhaite ne pas
disperser l’énergie rayonnée dans plusieurs directions, il ne faut pas que "p puisse exister pour p $ 1. Pour cela,
il suffit donc que ! / d > 1 c’est-à-dire de choisir un pas de réseau inférieur à la longueur d’onde. En pratique, on
prend souvent d = ! / 2.
Condition de réseau pour un rayonnement unidirectionnel : d < !
Le calcul de la directivité maximale d’un tel réseau de longueur L dont le pas est petit (d << !) et le nombre n
d’éléments est grand donne :
réseau d’antennes
isotropes
antenne réseau
antenne du reseau
Dmax = 2 L / !
Représentation du principe de multiplication des diagrammes
expression qui montre qu’un réseau linéaire est d’autant plus directif qu’il est grand par rapport à !.
6.5 Application : l’antenne à balayage électronique
Revenons à l’expression générale des directions de rayonnement maximal : cos" p =
2p)–(
kd
En particulier la direction maximale de rayonnement est : "0 = acos – (
kd
(=0
"0 = 90°
a) Diagramme de l’antenne
b) Facteur de réseau
c) Diagramme total
Le diagramme de rayonnement d’une antenne réseau (c) est le produit
du diagramme d’une antenne individuelle (a) par le facteur de réseau (b).
6.4 Directivité d’un réseau non déphasé en alimentation
La directivité d’un réseau est la directivité de ce réseau supposé constitué d’antennes isotropes. La formule est
donc analogue à celle donnée en 4.4 à savoir :
D(", 1) = 4 )
R(", 1)
2)
2
)
R(", 1) sin" d" d1
2
0
0
L’antenne réseau étant alimenté en phase ( = 0, les directions maximales de rayonnement sont données par:
cos"p =
( = - kd / 2
"0 = 60°
2p)
=p!
kd
d
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( = - kd
"0 = 0°
1) rayonnement transversal
2) rayonnement oblique
3) rayonnement en bout
(broadside array)
(end-fire array)
Exemple de variation du facteur de réseau avec le déphasage ( d’alimentation.
Du point de vue du rayonnement on voit donc que la direction de pointage est contrôlé par le déphasage (.
1) Pour ( =!0, "0 = 90° , le réseau qui est dit équiphase rayonne principalement de façon transversal (broadside
array), c’est-à-dire perpendiculairement à sa direction.
2) Pour ( =!– kd / 2, "0 = 60°, le réseau rayonne principalement de façon oblique.
3) Pour ( =!– kd, "0 = 0° , le réseau rayonne principalement suivant l’axe de l’alignement (end-fire array).
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- 56 -
En faisant varier le déphasage au cours du temps, on obtient l’équivalent d’une antenne tournante. Le diagramme
de rayonnement effectue une rotation dans l’espace analogue à celle que ferait une antenne-réseau alimentée en
phase qui pivoterait mécaniquement. C’est là le principe des antennes à balayage électronique. Par exemple pour
sonder l’espace avec une antenne réseau directive une loi de phase telle que
( = k d cos 2) fa t
simule la rotation d’une antenne avec une vitesse de rotation égale à fa tours par seconde. Les déphasages
constant d’alimentation s’obtiennent naturellement en utilisant des lignes à retard dont la longueur correspond au
déphasage ( souhaité.
Attention : ne pas oublier que le diagramme de rayonnement d’une antenne-réseau s’obtient en multipliant le
diagramme du facteur de réseau par celui de l’antenne seule.
6.6 Antenne-réseau avec amplitude d’alimentation variable : le réseau de Tchebycheff
Jusqu’à présent, nous avons considéré une antenne réseau avec une alimentation constante en amplitude et
variable en phase. Nous avons vu que la direction principale de rayonnement dépendait du déphasage des
courants d’alimentation. Nous allons maintenant voir que la distribution d’amplitude commande le niveau des
lobes secondaires. Pour cela, considérons n antennes identiques, équidistantes, disposées suivant l’axe oz,
alimentées en phase (( = 0) avec des amplitudes différentes Ai. Dans l’approximation de faible couplage, le
champ total rayonné par ce réseau est égal à la somme des champs crées par chacune des antennes du réseau.
Ainsi, le calcul est identique à celui exposé au paragraphe 6.2 mais en tenant compte de la distribution Ai des
courants d’alimentation. On obtient :
n
E=
–jkr
∑
i=1
Ei = e r
F(", 1)
Ai e j (i –1)
Etudions le cas d’une antenne-réseau ayant un nombre pair d’éléments 2n. L’expression du champ devient :
–jkr
F(", 1)
n
∑
n
A-i e– j (i –1/2)
i=1
k d cos"
+
∑
–jkr
cos m7
développement
polynômial en cos 7
Polynômes de Tchebycheff
0
1
1
1
1
cos 7
2
cos 27
2 cos27 – 1
3
cos 37
4 cos37 – 3 cos7
4
cos 47
8cos47 – 8cos27 + 1
8x4 – 8x2 + 1
16cos57 – 20cos37 + 5cos7
16x5 – 20x3 + 5x
32cos67 – 48cos47 + 18cos27– 1
32x6 – 48x4 + 18x2– 1
64cos77 - 112cos57 + 56cos37– 7cos7
64x7 - 112x5 + 56x3– 7x
cos 57
Ai e j (i –1/2)
k d cos"
7
cos 77
F(", 1)
n
∑
Ai cos (i –1/2) k d cos"
i=1
x = cos7
cos 7
x
2x2 – 1
4x3 – 3x
L’expression générale des polynômes de Tchebycheff est Tn(x) = cos[n acos(x)]. Leur courbe représentative est
représentée ci-dessous en valeur absolue pour différentes valeurs de n. Le facteur de réseau s’écrit donc comme
une somme de polynômes de Tchebycheff
i=1
expression simplifiable si on suppose paire la distribution des amplitudes ( Ai = A–i )
E=2e r
m
cos 67
ri = r ± (i – 1/2) d cos "i
Ai cos (2i –1) 7 et 7 = k d cos"
2
Au coefficient 2 près, on retrouve le résultat déjà établi pour un réseau d’antennes déphasées : le champ électrique
rayonné par un réseau est égal au produit du champ E1 d’une antenne individuelle par le facteur de réseau R. Le
facteur de réseau est aussi, rappelons-le, le champ rayonné par un réseau de sources isotropes. Il dépend de kd,
de la distribution d’amplitude des courants d’alimentation Ai et s’exprime par une somme pondérée de termes en
cos(m7). Or cos(m7) peut s’écrire comme un polynôme de degré m en cos7. Ce polynôme est appelé polynôme
de Tchebycheff de degre m. En voici les 8 premiers.
6
i=1
∑
i=1
k d cos"
Par commodité, procédons à un changement d’origine des coordonnées au milieu de l’antenne. La distance ri
entre chaque élément du réseau et le point d’observation est :
E=e r
n
E = 2 E1 R avec R =
5
n
∑
de la forme
n
R=
∑
i=1
Ai T2i-1 x avec x = cos k d cos"
2
ou ce qui revient au même comme un polynôme P2n-1(x) de degré 2n – 1, 2n étant le nombre d’antennes du
réseau.
Le champ électrique produit par un réseau d’antennes alimentées par une distribution paire d’amplitude est donc
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Annexe 1
LE SPECTRE RADIOFREQUENCE
La bande de fréquence des ondes radio s’étend de 3kHz à 300 GHz. Malgré cette grande extension, la fréquence
radio est considérée comme une ressource rare. La bande radio est découpée en 9 décades :
| T1(x) | = | x |
| T2(x) | = | 2x2 – 1 |
| T3(x) | = | 4x3 – 3x |
microondes
3 kHz
300
30
VLF
LF
3 MHz
MF
30
HF
300
3 GHz
VHF
UHF
30
SHF
300
f
EHF
radiocom
| T4(x) | = | 8x4 – 8x2 + 1 |
| T5(x) | = | 16x5 – 20x3 + 5x |
| T6(x) | = | 32x6 – 48x4 + 18x2– 1 |
Il est clair que le diagramme de rayonnement du réseau dépend des coefficients Ai. Dans l’utilisation d’antenneréseau, on cherche souvent à obtenir un gain élevé avec un minimum de lobes secondaires. Or la propriété
fondamentale du polynôme de Tchebycheff est de présenter dans l’intervalle [-1;1] la plus petite borne supérieure
parmi les bornes supérieures des valeurs absolues des polynômes de même degré dont le coefficient de plus haut
degré est 2n-1. En d’autres termes, le polynôme Tn(x) / 2n-1 est celui qui s’écarte le moins de zéro entre -1 et 1.
On peut donc avancer que le niveau des lobes secondaires sera minimal lorsque le facteur de réseau sera lui
même un polynôme de Tchebyscheff. On démontre que la condition de rayonnement optimal en terme
d’amplitude s’écrit :
n
∑
i=1
Ai T2i-1 x = T2n-1 6 x
avec 6 = 1
2
A+
A2 – 1
1/(2n-1)
+ A+
A2 – 1
– 1/(2n-1)
A désignant le rapport souhaité entre le maximun de rayonnement et le maximum du lobe secondaire (A > 1).
Une antenne-réseau dont la distribution d’amplitude Ai satisfait la relation précédente est appelé réseau de
Dolph-Tchebycheff.
Exemple : Soit un réseau de 2n = 6 dipôles alimentés en phase et de pas d = ! / 2. Déterminer la distribution
d’amplitude Ai afin que le rapport du lobe principal au lobe secondaire soit de 20 dB.
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VLF : Very Low Frequency
LF : Low Frequency
MF : Medium Frequency
HF : High Frequency
VHF : Very High Frequency
UHF : Ultra High Frequency
SHF : Super High Frequency
EHF : Extremely High Frequency
La bande des radiocommunications des mobiles est la bande UHF [300 MHz, 3 GHz], ce qui correspond à la
bande microondes (appellation abusive puisque les longueurs d’ondes sont centimétriques [10 cm, 1 m]). Dans
cette bande, on distingue encore les sous-bandes suivantes :
300 MHz
L
1,55 GHz
S
3,9 GHz
C
5,75 GHz
10,9 GHz
X
36 GHz
K
46 GHz
Q
56 GHz
V
f
W
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Annexe 2
RAPPEL SUR LE VECTEUR DE POYNTING
Annexe 3
FORMULAIRE D’ANALYSE VECTORIELLE
Le vecteur E . H est appelé vecteur de Poynting. Son flux à travers une surface fermée délimitant un volume $
est la puissance électromagnétique Pa qui s’échappe de $ par rayonnement. Ce flux multiplié par dt donne la
quantité d’énergie dw qui s’échappe pendant l’intervalle de temps dt.
E . H . dS avec dS vecteur orienté suivant la normale extérieure
Pa (t) =
S
Identités vectorielles
a . (b . c) = b (a.c) – c (a.b)
rot ( ! a ) = grad ! . a + ! rot a
(a . b) . c = b (a.c) – a (b.c)
div ( a . b) = b . rot a – a . rot b
div rot a = 0
dw = Pa(t) dt
La valeur instantanée n’est pas accessible à la mesure. Seule la moyenne l’est. En régime périodique de période
T, la puissance moyenne s’écrit :
T
Pa = Pa(t) = 1
T
E . H . dS dt
S
0
En régime harmonique et en conservant les même notations pour les amplitudes complexes des champs, on
montre facilement que :
Pa = 1 Re
2
*
E . H . dS
rot ( rota ) = grad (div a ) – ' a
rot (grad a) = 0
div (grad !) = ' !
div ( ! a ) = ! div a + a . grad !
Intégrales vectorielles
Théorème de Stokes :
rot a ds =
S
a . dl
C
Théorème d'Ostrogradsky :
div a d3 =
3
a . ds
s
S
La puissance moyenne rayonnée à travers S est égale à la partie réelle du flux du vecteur de Poynting complexe S
défini par :
S=1 E.H
2
Formules de passage entre systèmes de coordonnées rectangulaires et sphériques
Système de coordonnées sphériques : x = r sin" cos1 ; y = r sin" sin1 ; z = r cos"
*
et dont la partie réelle du flux donne la puissance active et la partie imaginaire la puissance réactive.
Passage rectangulaire ---> sphérique
ux = sin" cos1 ur + cos" cos1 u" – sin1 u1
uy = sin" sin1 ur + cos" sin1 u" + cos1 u1
P =1
2
*
E . H . dS = Pa + j Pr
uz = cos" ur – sin" u"
S
On démontre que la puissance réactive est égale à la différence entre l’énergie d’origine électrique et l’énergie
d’origine magnétique. Plus précisément :
Pr = 2 & < We > – < Wm >
Passage sphérique ---> rectangulaire
ur = sin" cos1 ux + sin" sin1 uy + cos" uz
u" = cos" cos1 ux + cos" sin1 uy – sin" uz
u1 = – sin1 ux + cos1 uy
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BIBLIOGRAPHIE
TD 1 - LE DOUBLET DE HERTZ
Antennes, 1. introduction générale, E. Roubine, J.Ch. Bolomey, Masson
Le doublet de Hertz est un fil de longueur a très faible devant la longueur d’onde ! (a < !/ 50). On s’intéresse au
rayonnement lointain de ce doublet en espace libre. La géométrie est donnée ci-dessous, le doublet orienté suivant
l’axe vertical oz est parcouru par un courant I. On se place en coordonnées sphériques. On donne 0 = 120 )
l’impédance du vide.
Antennes, 2. applications, S. Drabowitch, C. Ancona, Masson
z
Antenna theory, Analysis and design, C. A. Balanis, John Wiley & Sons
"
Propagation des ondes radioélectrique dans l’environnement terrestre, L. Boithias, Dunod
r
Les antennes, R.Brault, R. Piat, ETSF
l
y
a
1
x
1) A l’aide des formules de Stratton-Chu, déterminer les composantes électriques et magnétiques rayonnées en
zone de champ lointain par le doublet.
2) Quelles sont les hypothèses à vérifier pour pouvoir appliquer les formules de Stratton-Chu ?
3) Déterminer les surfaces équiphases et les surfaces équiamplitudes. Justifier les termes : “structure localement
plane” et “onde sphérique”.
4) Donner la polarisation de l’onde rayonnée au loin.
5) Tracer le diagramme de rayonnement dans un plan vertical et dans le plan horizontal.
6) Déterminer le vecteur de Poynting S. En déduire la puissance rayonnée à travers une sphère de rayon r centrée
à l’origine. Commenter le résultat.
7) Déterminer l’intensité de rayonnement de ce doublet U = S r2
8) Déterminer la directivité D0 de ce doublet.
9) Déterminer la résistance de rayonnement R de ce doublet. Quelle est sa valeur maximale ?
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TD 2 : LE DIPOLE DEMI-ONDE
TD 3
CROIX RAYONNANTE AU DESSUS D’UN PLAN CONDUCTEUR
Soit une antenne filaire A sans pertes de longueur L orientée suivant un axe Oz, alimentée en son centre O par un
courant I sinusoïdal de fréquence f et placée dans le vide (impédance 0). Soit ! la longueur d’onde associée. On
admet que la répartition du courant est donné par I(z, t) = I0 sink (L / 2 9 z ) cos2) f t avec k = 2) / !.
générateur i(t)
o
M(r, ", 1)
1) Représenter la répartition spatiale du courant à un instant t0 donné lorsque L = ! / 2. Quel aspect expérimental
vérifie cette répartition ? Dans la suite on omettra la dépendance temporelle.
L’objectif est d’établir le bilan de liaison entre une antenne émettrice formée de 2 dipôles en croix et une antenne
réceptrice au dessus d’un plan conducteur. L’antenne réceptrice est caractérisée par sa surface efficace. On se
place en régime harmonique avec une dépendance temporelle des champs en notation complexe en exp(j&t). On
ne s’intéresse qu’au rayonnement en champ lointain. Les calculs seront effectués en coordonnées sphériques.
1) On considère un dipôle électrique horizontal de longueur a parcouru par un courant I et situé à une hauteur h
au dessus d’un plan infiniment conducteur oxy (fig.1)
a) Déterminer le champ magnétique H01(r, " 1) rayonné en M par le dipôle seul.
b) Déterminer les surfaces équiphases. Peut-on dire que l’onde rayonnée au loin est une onde sphérique ?
z
2) Soit un doublet de Hertz de longueur dl (antenne filaire infiniment petite) centré en O. En utilisant les résultats
du TD1, donner le champ électrique rayonné zone de champ lointain dE en fonction de r, dl, I, ", k, 0. Préciser
son orientation.
"
M(r, ", 1)
dipôle
h
3) En utilisant le théorème de translation, déduire que l’amplitude dE du champ électrique crée par un élément dz
de l’antenne et qui est situé à la cote z s’écrit :
dE =
r
1 j 0 k I sin" e – j k r e j kzcos" dz
4) r
4) Calculer alors le champ électrique E rayonné par l’antenne au point M.
–a/2
On donne
eax sin bx + c dx =
7) Calculer la puissance surfacique S dans la direction (", 1). En déduire l’intensité de rayonnement U (", 1) =
|S(", 1)| r2. Préciser l’unité de U.
8) Calculer la puissance totale P rayonnée par l’antenne au loin.
)
0
y
fig. 1
5) En déduire le champ magnétique H au point M.
6) Calculer E et H lorsque L = ! / 2. Dans toute la suite on considèrera L = ! / 2.
On donne
a/2
o
eax
a sin bx + c – b cos bx + c
a2 + b2
cos2 ) u / 2
du = 1,22
sin u
1
x
2) A l’aide du principe des images, déterminer le champ magnétique H1(r, " 1) rayonné au loin par l’ensemble
dipôle-plan conducteur.
3) Le dipôle est maintenant orienté verticalement au dessus du plan conducteur. Déterminer le champ magnétique
H2(r, ", 1) rayonné au loin par l’ensemble dipôle-plan conducteur.
9) En déduire la résistance de rayonnement R en espace libre ( 0 = 120 )).
10) Sachant que 75!$ est l’impédance caractéristique des lignes de transmission les plus courantes, déduire de la
question précédente l’interêt d’une antenne demi-onde.
4) On dispose maintenant de deux dipôles identiques que l’on place en croix à la même hauteur que
précédemment au dessus du plan conducteur (fig.2). Les dipôles ne sont pas en contact.
a) A l’aide du théorème de superposition, déterminer le champ magnétique H(r, ", 1) rayonné au loin par la
croix.
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b) Quelle condition suppose le calcul précédent ?
TD 4
ANTENNE RECTANGLE
z
"
On considère une antenne filaire rectangulaire ABCD de cotés AD = BC = a et AB = DC = b très faibles devant
la longueur d’onde ! (a < b < !./ 50). L’antenne centrée sur l’axe z est disposée horizontalement à l’altitude z = h
et est parcourue par un courant sinusoidal I(&). Soit dans la zone de champ lointain de l’antenne le point
d’observation M(r, ", 1) en coordonnées sphériques. Dans ce problème, on ne s’intéresse qu’au rayonnement en
espace libre et on note k la constante de propagation dans cet espace.
M(r, ", 1)
antenne croix
h
r
z
–a/2
a/2
o
D
y
C
b
I
fig. 2
M
h
a
A
r
B
1
"
u
x
o
y
5) Déterminer le champ électrique E(r, " 1) rayonné au loin par la croix
6) On place un récepteur en un point M situé à une distance r de l’origine suivant la direction " = )/ 4 et 1 = 0.
Le récepteur présente une caractéristique vectorielle magnétique G donnée par Gr(", 1) = Gr(", 1) uz et une
surface efficace Ar(" 1). Evaluer E et H au point M.
7) Déterminer le vecteur de Poynting complexe S en M. En déduire la densité surfacique de puissance en ce
point.
8) Montrer que les pertes de polarisation 0p sont égales à :
1
x
m
1) On note Ho le champ magnétique au point M lorsque l’antenne est placée à l’origine et H ce même champ
lorsque l’antenne est situé en z = h << r. A l’aide du théorème de translation, exprimer H en fonction de Ho , k, ",
h.
2) Déterminer la surface que décrit l’ensemble des points M tel que H = Ho
0p =
2 + cotg2
1
2 ) h / ! sinc2 ) a /
2!
9) Déduire de ce qui précède la puissance Pr effectivement reçue par le récepteur.
10) A N : h= 6 ! ; a = ! / 2 ; I = 1 mA ; r = 1 km ; Ar(" = ) / 4, 1 = 0) = 10 m2. Calculer 0p , Pr .
11) La puissance moyenne du bruit dans la bande de fréquence utilisée est de – 80 dBm. On estime que le signal
reçu est exploitable si le rapport signal / bruit est au moins égal à 20 dB. Avec les données précédentes, le signal
reçu est-il exploitable ?
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3) L’antenne est maintenant placée de telle sorte que le point D soit à l’origine et que A(a, 0, 0), B(a, b, 0), C(0, b,
0). On note H1 le champ magnétique au point M correspondant à cette nouvelle position. A l’aide du théorème de
translation, exprimer Ho en fonction de H1 , k, ", 1, a, b.
On rappelle les relations de passage des vecteurs de base des systèmes cartésiens et sphériques :
ux = sin" cos1 u + cos" cos1 u" – sin1 u1
uy = sin" sin1 u + cos" sin1 u" + cos1 u1
uz = cos" u – sin" u"
4) On rappelle ci-dessous la formule de Stratton-Chu en champ lointain :
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TD 4 : MESURE DU GAIN D’UNE ANTENNE
–jkr
H(r,",1) = e r
G(",1)
jk
avec G = –
u.
4)
J(r') e
j ku
.r' dv'
$
L’antenne est dans la position précédente (D en O).
4-1) Donner J sur chacun des cotés de l’antenne.
4-2) Calculer en coordonnées sphériques la contribution HOA du segment OA au champ H1 en fonction de k, I, a,
r, ", 1.
4-3) En déduire à l’aide du théorème de translation la contribution HBC du segment BC en fonction de HOA, b,.k,
", 1.
4-4) Calculer la contribution HOC du segment OC au champ H1 en fonction de k, I, b, r, ", 1.
4-5) En déduire à l’aide du théorème de translation la contribution HAB du segment AB en fonction de HOC, a,.k,
", 1.
4-6) Déduire de ce qui précède l’expression du champ H1 en fonction de a,.b, k, I, r, ", 1
Dans toute la suite, on suppose a = b.
5) Démontrer que dans le plan vertical xOz (1 = 0), H1 est donné par :
–jkr
H1 = e
k I a sin k a sin" e j k a sin" / 2 u"
2)r
2
6) Tracer en coordonnées polaires le diagramme de rayonnement du champ magnétique dans le plan vertical 1 =
0. Vous indiquerez les quatres directions principales de rayonnement.
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Il existe différentes méthodes pour mesurer le gain d’une antenne. Plusieurs de ces méthodes sont basées sur
l’utilisation de la formule de Friis. Cet exercice se propose d’aider un technicien à évaluer le gain Ga d’une
antenne A dont il ne connaît pas les caractéristiques.
1) Rappeler et commenter la formule de Friis. On notera R la distance entre les deux antennes.
2) Notre technicien dispose de deux exemplaires identiques d’antenne A. Montrer que la connaissance des
puissances émise et reçue et de la distance R lui est suffisante pour évaluer Ga.
3) Notre technicien, à la suite d’une fausse manoeuvre, ne dispose plus que d’un seul exemplaire. Un collègue
lui apporte deux antennes différentes B et C de caractéristiques connues (gains Gb et Gc) et lui affirme qu’avec
ces antennes et deux séries de mesures il peut évaluer G et ce, sans même connaître R. Démontrer que ce collègue
dit vrai et que Ga en dB est donné par
Ga = Gc + Prba – Prcb – Peb + Pec
(grandeurs en dB)
Prxy: puissance reçue en dB par l’antenne Y de la part de l’antenne X.
Pex : puissance émise en dB par l’antenne X.
4) Notre technicien, plus malchanceux que jamais, égare les caractéristiques des antennes B et C. Le chef de
service, l’ingénieur Erdeuzème lui affirme que rien n’est perdu et qu’il peut quand même évaluer Ga avec trois
séries de mesures. Démontrer que l’ingénieur dit vrai et que Ga en dB est donné par
G=1
2
F + Prba + Prca – Prbc – Pec
F étant le facteur de pertes par propagation en espace libre (en dB) que l’on précisera.
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TD 5 : ETUDE D’UN RESEAU LINEAIRE DE DIPOLES DEMI-ONDE
TD 6 : CADRE RAYONNANT
Soit n dipôles verticaux (axe z) de longueur a = 30 cm disposés en ligne suivant l’axe y et espacés les uns des
autres d’une distance d!=1 cm.
On considère une antenne filaire rectangulaire ABCD de cotés AD = BC = a et AB = DC = b très faibles devant
la longueur d’onde ! (a < b < !./ 50). L’antenne centrée sur l’axe z est disposée horizontalement à l’altitude z =!h
et est parcourue par un courant sinusoidal I(&). Soit dans la zone de champ lointain de l’antenne le point
d’observation M(r, ", 1) en coordonnées sphériques. Dans ce problème, on ne s’intéresse qu’au rayonnement en
espace libre et on note k la constante de propagation dans cet espace.
M(r, ", 1)
z
z
M
"
b
D
I
d
C
h
a
A
y
a
r
B
"
u
o
y
1
x
1
x
m
On alimente ce réseau avec un courant sinusoïdal d’amplitude I0 =1 mA et de fréquence f =1 GHz. On admet
que la répartition spatiale du courant est aussi sinusoïdale de sorte que l’expression générale du courant est
donnée par :
I (z, t) = I0 sin [ k ( a / 2 – |z| ) ] cos 2)ft avec k = 2) / !.
1) En utilisant les résultats du TD 2, déterminer le champ électrique rayonné par ce réseau au point M(r, ", 1).
2) Déterminer son diagramme de rayonnement.
3) Déterminer sa directivité. Comment évolue t-elle avec n ?
1) On note Ho le champ magnétique au point M lorsque l’antenne est placée à l’origine et H ce même champ
lorsqu’elle est situé en z = h << r. A l’aide du théorème de translation, exprimer H en fonction de Ho , k, ", h.
2) Déterminer la surface que décrit l’ensemble des points M tel que H = Ho
3) L’antenne est maintenant placée de telle sorte que le point D soit à l’origine et que A(a, 0, 0), B(a, b, 0), C(0, b,
0). On note H1 le champ magnétique au point M correspondant à cette nouvelle position. A l’aide du théorème de
translation, exprimer Ho en fonction de H1 , k, ", 1, a, b.
On rappelle les relations de passage des vecteurs de base des systèmes cartésiens et sphériques :
ux = sin" cos1 u + cos" cos1 u" – sin1 u1
uy = sin" sin1 u + cos" sin1 u" + cos1 u1
uz = cos" u – sin" u"
4) Quel déphasage d’alimentation entre les dipôles doit-on introduire pour que le lobe principal de rayonnement
soit incliné à 45°.
4) On rappelle ci-dessous la formule de Stratton-Chu en champ lointain :
H(r,",1) =
e – j k r G(",1)
r
avec G = –
jk
u.
4)
J(r') e j ku .r' dv'
$
L’antenne est dans la position précédente (D en O).
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TD 7
LARGEUR EFFICACE D’UNE ANTENNE FILAIRE
4-1) Donner J sur chacun des cotés de l’antenne.
4-2) Calculer en coordonnées sphériques la contribution HOA du segment OA au champ H1 en fonction de k, I, a,
r, ", 1.
4-3) En déduire à l’aide du théorème de translation la contribution HBC du segment BC en fonction de HOA , b,.k,
", 1.
Du point de vue de la théorie des circuits, une antenne en réception et en régime sinusoïdal se comporte comme
un générateur de fem e égale à la tension induite à ses bornes et dont l’impédance interne est l’impédance
d’antenne Za. Le circuit de réception est représenté par une impédance de charge Zc.
onde incidente
4-4) Calculer la contribution HOC du segment OC au champ H1 en fonction de k, I, b, r, ", 1.
4-5) En déduire à l’aide du théorème de translation la contribution HAB du segment AB en fonction de HOC, a,.k, ",
1.
5
Zc
Za
Zc
e
4-6) Déduire de ce qui précède l’expression du champ H1 en fonction de a,.b, k, I, r, ", 1
Dans toute la suite, on prendra a = b.
5) Démontrer que dans le plan vertical xOz (1 = 0), H1 est donné par :
–jkr
H1 = e
k I a sin k a sin" e j k a sin" / 2 u"
2) r
2
6) Tracer en coordonnées polaires le diagramme de rayonnement du champ magnétique dans le plan 1!=!0. Vous
indiquerez les quatres directions principales de rayonnement.
Antenne en réception
Circuit électrique équivalent
1) Donner sans démonstration la condition sur Za et Zc pour que la puissance reçue par l’antenne soit transmise
au mieux à la charge. Dans toute la suite on suppose cette condition satisfaite.
2) On note Za = Ra + j Xa , Ra étant la résistance de l’antenne, Xa sa réactance. Dans le cas général, comment
définit-on la résistance de rayonnement.
3) On suppose maintenant l’antenne sans pertes. Déterminer le courant induit i dans le circuit.
4) En déduire la puissance moyenne Pr reçue par l’antenne et transmise à la charge. On notera <!!> l’opération
de moyennage temporelle.
5) En désignant par Si la densité surfacique de puissance moyenne incidente et par E le champ électrique auquel
est sensible l’antenne, exprimer Si en fonction de E et de l’impédance du milieu 0.
6) On rappelle la définition de la surface efficace d’une antenne:
Ae = Pr
Si
(m2 )
exprimer Ae en fonction de Ra, e, E et 0.
7) L’antenne en question est une antenne filaire très petite et de diamètre négligeable par rapport à sa longueur L.
Exprimer la tension induite e en fonction de L et E. En déduire Ae en fonction de L, Ra, et 0.
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8) On démontre que la résistance de rayonnement de l’antenne filaire est donné par :
Ra = 80 )2 L
!
TD 8
RAYONNEMENT D’UNE ANTENNE T
2
! étant la longueur d’onde. Dans le vide ( 0 = 120 )), démontrer que Ae s’écrit :
Ae = 6 !2
Soit une antenne filaire ABC en forme de T telle que OA = 2 OB = 2 OC = a soit très faible devant la longueur
d’onde ! (a!<!!./ 50). Cette antenne peut être considérée comme l’assemblage de deux antennes filaires linéaires
parcourue par un même courant sinusoïdal I(f). L’antenne est disposée horizontalement à l’altitude z = 0. On
s’intéresse au rayonnement en espace libre dans la zone de champ lointain. Soit M(r, ", 1) le point d’observation
en coordonnées sphériques et on note k la constante de propagation.
6 étant une constante à déterminer.
M
9) On peut définir la largeur efficace d’une antenne filaire comme le rapport
r
we = Ae
L
z
(m)
u
"
Dans le cas d’une antenne filaire de longueur L = ! / 64, calculer we. en fonction de L. Conclure sur la notion de
largeur efficace par rapport à la largeur réelle d’une antenne filaire.
I
C
A
O
y
B
x
m
1
On rappelle les relations de passage des vecteurs de base des systèmes cartésiens et sphériques :
ux = sin" cos1 u + cos" cos1 u" – sin1 u1
uy = sin" sin1 u + cos" sin1 u" + cos1 u1
uz = cos" u – sin" u"
ainsi que la formule de Stratton-Chu en champ magnétique dans la zone de champ lointain
–jkr
H(r,",1) = e r
G(",1)
avec G = –
jk
u.
4)
J(r') e j ku .r' dv'
$
1) Donnez le vecteur densité de courant J sur chaque branche.
2) Calculer en coordonnées sphériques le champ magnétique H1 crée par le segment OA en fonction de k, I, a, r,
", 1.
3) Calculer le champ magnétique H 2 crée par le segment BC en fonction de k, I, a, r, ", 1.
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!
4) En déduire l’expression du champ magnétique H rayonné par l’antenne en T en fonction de a, k, I, r, ", 1
5) Déterminer, en fonction de k, a, I, ", 1, r et 0 l’impédance du milieu, le champ électrique E (r, ", 1).
!
6) Déterminer E et H dans le plan vertical xOz (1 = 0)
7) Tracer en coordonnées polaires le diagramme de rayonnement dans le plan!1!= 0.
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