Supplémentarité

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Supplémentarité
Exercice 1 [ 01646 ] [Correction]
Dans R3, déterminer une base et un supplémentaire des sous-espaces vectoriels suivants :
(a) F=Vect(u,v) où u=(1,1,0) et v=(2,1,1)
(b) F=Vect(u,v,w) où u=(−1,1,0),v=(2,0,1) et w=(1,1,1)
(c) F=n(x,y,z)∈R3|x−2y+3z=0o.
Exercice 2 [ 00182 ] [Correction]
Soit Eun espace vectoriel de dimension finie.
(a) Soient Het H0deux hyperplans de E. Montrer que ceux-ci possèdent un
supplémentaire commun.
(b) Soient Fet Gdeux sous-espaces vectoriels de Etels que dim F=dim G.
Montrer que Fet Gont un supplémentaire commun.
Exercice 3 [ 03409 ] [Correction]
Montrer que deux sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel de dimension finie qui
sont de même dimension ont un supplémentaire commun.
Exercice 4 [ 00181 ] [Correction]
Soient Kun sous-corps de C,Eun K-espace vectoriel de dimension finie, F1et F2deux
sous-espaces vectoriels de E.
(a) On suppose dim F1=dim F2. Montrer qu’il existe Gsous-espace vectoriel de Etel
que F1⊕G=F2⊕G=E.
(b) On suppose que dim F1≤dim F2. Montrer qu’il existe G1et G2sous-espaces
vectoriels de Etels que F1⊕G1=F2⊕G2=Eet G2⊂G1.
Exercice 5 [ 00184 ] [Correction]
Soit (e1,...,ep) une famille libre de vecteurs de E,F=Vect(e1,...,ep) et Gun
supplémentaire de Fdans E. Pour tout a∈G, on note
Fa=Vect(e1+a,...,ep+a)
(a) Montrer que
Fa⊕G=E
(b) Soient a,b∈G. Montrer
a,b=⇒Fa,Fb
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Corrections
Exercice 1 : [énoncé]
(a) (u,v) est libre (car les deux vecteurs ne sont pas colinéaires) et (u,v) génératrice de
F. C’est donc une base de F.
D=Vect(w) avec w=(1,0,0) est un supplémentaire de Fcar la famille (u,v,w) est
une base de R3.
(b) w=u+vdonc F=Vect(u,v). (u,v) est libre (car les deux vecteurs ne sont pas
colinéaires) et (u,v) génératrice de F. C’est donc une base de F.
D=Vect(t) avec t=(1,0,0) est un supplémentaire de Fcar la famille (u,v,t) est une
base de R3.
(c) F={(2y−3z,y,z)|y,z∈R}=Vect(u,v) avec u=(2,1,0) et v=(−3,0,1). (u,v) est
libre (car les deux vecteurs ne sont pas colinéaires) et (u,v) génératrice de F. C’est
donc une base de F.
D=Vect(w) avec w=(1,0,0) est un supplémentaire de Fcar la famille (u,v,w) est
une base de R3.
Exercice 2 : [énoncé]
(a) Si H=H0alors n’importe quel supplémentaire de Hest convenable et il en existe.
Sinon, on a H1H0et H01Hdonc il existe x∈Het x0∈H0tels que x<H0et
x0<H.
On a alors x+x0<H∪H0et par suite Vect(x+x0) est supplémentaire commun à H
et H0.
(b) Raisonnons par récurrence décroissante sur n=dim F=dim G∈{0|1,...,dim E}.
Si n=dim Eet n=dim E−1 : ok
Supposons la propriété établie au rang n+1∈{1|. . . , dim E}.
Soient Fet Gdeux sous-espaces vectoriels de dimension n.
Si F=Galors n’importe quel supplémentaire de Fest convenable.
Sinon, on a F1Get G1Fdonc il existe x∈Fet x0∈Gtels que x<Get x0<F.
On a alors x+x0<F∪G.
Posons F0=F⊕Vect(x+x0) et G0=G⊕Vect(x+x0).
Comme dim F0=dim G0=n+1, par hypothèse de récurrence, F0et G0possède un
supplémentaire commun Het par suite H⊕Vect(x+x0) est supplémentaire commun
àFet G.
Récurrence établie.
Exercice 3 : [énoncé]
Notons Fet Gles sous-espaces vectoriels de même dimension d’un espace vectoriel E.
Raisonnons par récurrence décroissante sur n=dim F=dim G∈{0,1,...,dim E}.
Si n=dim E, l’espace nul est un supplémentaire commun.
Supposons la propriété établie au rang n+1∈{1,...,dim E}.
Soient Fet Gdeux sous-espaces vectoriels de dimension n.
Si F=Galors n’importe quel supplémentaire de Fest convenable.
Sinon, on a F1Get G1Fdonc il existe x∈Fet x0∈Gtels que x<Get x0<F.
On a alors x+x0<F∪G.
Posons F0=F⊕Vect(x+x0) et G0=G⊕Vect(x+x0).
Comme dim F0=dim G0=n+1, par hypothèse de récurrence, F0et G0possèdent un
supplémentaire commun Het par suite H⊕Vect(x+x0) est supplémentaire commun à F
et G.
Récurrence établie.
Exercice 4 : [énoncé]
(a) Par récurrence sur p=dim E−dim F1.
Si dim E−dim F1=0 alors G={0E}convient.
Supposons la propriété établie au rang p≥0.
Soient F1et F2de même dimension tels que dim E−dim F1=p+1.
Si F1=F2l’existence d’un supplémentaire à tout sous-espace vectoriel en
dimension finie permet de conclure.
Sinon, on a F11F2et F21F1ce qui assure l’existence de x1∈F1\F2et de
x2∈F2\F1.
Le vecteur x=x1+x2n’appartient ni à F1, ni à F2. On pose alors F0
1=F1⊕Vect(x)
et F0
2=F2⊕Vect(x). On peut appliquer l’hypothèse de récurrence à F0 1et F0 2: on
obtient l’existence d’un supplémentaire commun G0àF0
1et F0 2.G=G0⊕Vect(x) est
alors supplémentaire commun à F1et F2. Récurrence établie.
(b) Soit F0
1un sous-espace vectoriel contenant F1et de même dimension que F2.F0 1et
F2possèdent un supplémentaire commun G. Considérons Hun supplémentaire de
F1dans F0
1. En posant G1=H⊕Get G2=Gon conclut.
Exercice 5 : [énoncé]
(a) Soit x∈Fa∩G, on peut écrire
x=
p
X
i=1
λi(ei+a)
Mais alors p
X
i=1
λiei=x−
p
X
i=1
λi.a∈F∩G={0E}
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donc λ1=. . . =λp=0 puis x=0E.
Soit x∈E, on peut écrire x=u+vavec u=Pp
i=1λi.ei∈Fet v∈G.
On a alors
x=
p
X
i=1
λi(ei+a)+
v−
p
X
i=1
λia ∈Fa+G
Ainsi Fa⊕G=E.
(b) Par contraposée :
Si Fa=Fbalors on peut écrire
e1+a=
p
X
i=1
λi(ei+b)
On a alors p
X
i=1
λiei−e1=
p
X
i=1
λib−a∈F∩G
donc λ1=1 et ∀2≤i≤p, λi=0.
La relation initiale donne alors e1+a=e1+bpuis a=b.
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