Petite Introduction à l`Electromagnétisme

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mai 2009
BELOKOGNE Andréi
BELOKOGNE Ivan
Petite Introduction à l’Electromagnétisme
D’après un cours de Germain Rousseaux
James Clerk Maxwell est né 13 juin 1831 à Edimbourg en Ecosse. Il a étudié la géométrie, la mécanique, la
mécanique des fluides, l’élasticité, l’optique. Il a unifié l’électricité et le magnétisme en l’électromagnétisme et
travaillé en physique statistique. Sa formulation mathématique de l’électromagnétisme a été réalisée en s’appuyant sur
les travaux de Faraday et Ampère.
La géométrie différentielle
Maxwell avait une vision très géométrique de l’électromagnétisme et a introduit les opérateurs différentiels à partir
de représentation picturales des lignes de champ.
Le gradient est un pente : ∇ (
La divergence : ∇. (
)=
)=
Le rotationnel a des lignes de champ fermée : ∇ ×
(
)=
Par la géométrie, on obtient que : ∇ × ∇ ( ) = 0 et ∇. ∇ × ( ) = 0
)=∇ (
Le laplacien est associé au rayon de courbure : ∇. ∇ (
)
Rappelons comment on obtient les équations de Maxwell par une démarche historique
L’aimant a des lignes de champ fermé donc pour l'induction magnétique ∇. = 0 et pour le champ magnétique
∇.
= 0.
∗
Force gravitationnelle :
= ∗
∗ = ∗∇
où
=− ∗
est le potentiel gravitationnel. Deux
= − ∗ avec ≝
aimants s’attirent donc il y a une force magnétique
∗
−∇
où
=
d’où ∇ × = 0 dans le vide et ∇ × ∝ dans le
∗ ∗
: "masse" magnétique).
matériel ( et
L’effet de Faraday est un effet magnéto-optique découvert par Faraday en
1845 suite à l’expérience suivante :
miroir
2
La lumière polarisée traverse un verre soumis au champ magnétique puis en sortie la polarisation est modifiée
∗ ∗ . Après elle rencontre le miroir qui la fait suivre le chemin en sens inverse. A la sortie, la
d’un angle =
polarisation a tournée de 2 . Comme les angles de correction de la polarisation à chaque passage à travers le système
s’ajoute indépendamment de la direction le champ magnétique est un vecteur axial.
Un pseudo vecteur (vecteur axial) est un vecteur qui change le sens lors d’une isométrie indirecte (en 3D :
inversion de tous les axes ou symétrie par rapport à un plan). Un vecteur polaire ne change pas le sens lors de ces
transformations de base.
En 1805 Oersted a observé les lignes de champ magnétique autour d’un fil parcouru par un courant constant.
D’où on obtient la relation ∇ × = .
En régime stationnaire :
∇. ∇ × = 0 ⟹ ∇. = 0
∇.
=
=
=0
=
=
=
⟹ loi des mailles.
∇×
⟹ est un travail magnétique par unité de pôle magnétique.
Force de Coulomb est = − ∗ ∇ avec : potentiel scalaire électrique d’où ≝ −∇
régime stationnaire.
et sont de la même nature. On intègre sur une ligne une force ce qui est un travail :
=
=
⟹ est un travail électrique par unité de pôle électrique.
Intégrale sur une ligne : force.
De même pour et :
=
= 0 (∇.
Intégrale sur une surface : flux.
= 0)
dans le vide et le
En régime stationnaire ∇ ×
= 0 et ∇.
∇. (
= −∇
⁄
=
)
=
Ce qui est le théorème de Gauss.
On définit l’induction électrique =
⟹ ∇.
Deux types de matière :
- conducteur : courant électrique
- isolant
Loi d’Ohm : = / avec = 1⁄ ∗ /
⟹
équivalent à la force gravitationnelle : ∇.
=
=
∝
.
=
.
=
=
Par analogie :
=
Ce sont les relations constitutives. De plus, le flux est proportionnel à la force.
=
dans le vide ; =
=
dans le matière + le vide.
La polarisation =
; le déplacement =
+ = (1 + ) =
+ .
; =
+ =
.
Par analogie l’aimantation est =
∇× = +
où
est le terme ajouté à la main par Maxwell.
L’induction de Faraday :
La tension ( ) ∝ −
où est le nombre de ligne de (le signe moins correspond au loi de Lenz de
modération).
Donc ( ) = ( ) = − Φ où le flux Φ = ∬
.
Or ( ) = ∮
= ∬∇ ×
⟹∇× =−
.
Les équations de Maxwell sont définies comme :
∇. =
∇× =−
∇. = 0
∇× = +
Les potentiels :
∇. = 0 ⟹ = ∇ ×
− ∇× =∇× ⟹∇×
+
=0⟹ +
= −∇
D’où avec ( , ) on a les équations de Maxwell en supposant ∇. = 0 (jauge de Coulomb) :
∇. (
)=
⟹ − ∇. − ∇
= ⁄
Démarche analogique de Maxwell : l'électromagnétisme et la mécanique des fluides
milieux poreux
La vitesse moyenne de l’écoulement : loi de Darcy
〈 〉=
où Δ - différence de pression,
Le courant de conduction :
∗Δ
– perméabilité,
=
– viscosité.
1
∗Δ
où Δ - différence de potentiels,
– résistance.
La membrane élastique
<
Δ
La déformation :
La polarisation :
=
∗ (−
)=
∗
1
Δ =
où
∗Δ
– élasticité.
Le courant de déplacement :
Le ressort :
=
où
1
∗
⟹
=
1
∗
=
- vitesse.
∗
Le déplacement dans le vide (
= ∗
Vitesse du son :
⟹
= 1) :
Vitesse de la lumière :
1
=
1
=
Impédance hydrodynamique :
=
Impédance du vide :
=
⟵
⟵
⁄
=
⟶
⟶
- "élasticité" du vide : permittivité
- "densité" du vide : perméabilité
- densité volumique
- compressibilité
La propagation des ondes acoustique d’après Rousseaux :
Les conditions :
= +
+
=
+
=
Les équations :
+
∗ =0
) =−
+( .
1
=
=
+
∗
=−
⟹
=
(1) + (3) = (4) ⟹
1
+
(2) −
1
∗
1
⁄
1
+
−
1
∗
∗
1
=0
=−
∗
∗
=−
La jauge de Coulomb :
= ; il n’y a pas de
propagation des ondes électromagnétiques.
=
1
)−
∗
Pour les fluides incompressible :
propagation des ondes acoustiques.
(
⁄
=
)
=0
; il n’y a pas de
La force électrique :
La force :
=
où
La jauge de Lorenz :
−
(4)
∗
⟹
(
∗
(
(4)
(2) −
−
1
≈ 0 (1)
(2)
(3)
⁄
)
=0
- quantité de mouvement.
∗
=−
Le moins est la loi de modération de Lenz
La vorticité (unité Hz) :
La relation lien le
où =
Ou encore :
:
et
=
=
Dans le solénoïde =
=
= ⟹
Le flux de :
– vitesse.
1
× = ×
2
où – la vitesse angulaire, – rayon vecteur.
Le vortex est modélisé par un cylindre dans l’espace
doublement connexe (*).
=
Φ=
; hors de solénoïde
.
.
Φ
2
=
La fonction
est multivaluée :
Φ
=
+
2
A
Les mesures de tourbillon se fait par un strophomètre.
Dans le tourbillon ≠ (la croix tourne autour de son axe
propre) ; hors de tourbillon = ⟹ =
(la croix
ne tourne pas autour de son axe propre).
Remarque sur la définition non unique du potentiel
vecteur par la transformation suivante :
= +
Dans ce cas doit être univaluée ce qui implique
une topologie simplement connexe.
Or, ici la topologie est multiplement connexe c'est-à(f) ≠ 0 et le
dire est multivaluée donc
théorème de Schwartz ne s’applique pas.
La caractéristique de tourbillon :
Γ=
=
.
.
=
ℒ
Γ=
=
2
=
Γ
2
⟹
ℒ
=
Dans le tourbillon :
⟹
=
=
r
a
Γ
2
.
De plus le potentiel vecteur est continu aux
interfaces.
u
r
a
________________
(*) Avec ∈ ℂ et = | | :
=
⟷
=
, on a un pôle d’ordre 1.
L’intégration par la méthode de résidu : ∮ ( ) = 2
( )
Γ
( ) =
( )
=
= Γ
2
Γ
( ) = lim
( )=
→
2
Quel est le régime de fonctionnement de l’effet Maxwell-Lodge ? conditions de jauge de
Lorenz et de Coulomb
Dans un conducteur ohmique
( )=
= 1) :
∗ .
est négligeable :
( ) =
Alors si
=
:
=−
∗ ( ).
( ( )) = ( ). Avec
( ) −
( )=
∗ ( ) (dans le vide
Dans le cas général :
=−
−
( )= +
= 1 et
. Dans le vide (
= 1) :
= + ε ∗ ∂ . Avec
( ):
( ) −
Maxwell a choisi la jauge de Coulomb :
( ∗ ) = et = −
Avec
−
−
D’où les équations avec
(
∗
=
∗ −
=
( ):
(et
)−
1
= 0 car
( ) =
∗
1
( )−
∗
∗
( ))
(
= 0pour lui : ce qui est faux).
( ) =
⟹ −
ne dépendant pas du temps :
−
(1)
=
−
1
( )=−
∗
(2)
Dans l’équation (1) les ondes ne se propagent pas, contrairement à (2) c'est-à-dire les équations sont dissymétriques.
(1) est compatible avec le principe action-réaction dans la mécanique Newtonienne.
Hertz et Heaviside ont proposés le système suivant :
=
( )
=−
( ∗ )=
= + ∂ (ε ∗ )
Lorenz a choisi la jauge de Lorenz :
( )+
= 0. Puis Riemann a postulé (en réunissant les équations
d’Alembert et Poisson) :
1
−
−
=−
1
( )=−
∗
Ce choix est incompatible avec le principe action-réaction en mécanique Newtonienne. Ces équations correspondent
au principe de relativité en mécanique et sont symétriques.
Donc en 1900 Poincaré a abandonné le principe action-réaction pour construire la relativité.
Mais la jauge de Coulomb reste valable pour des basses vitesses dans la limite de jauge de Lorenz ≪ 1. A partir
( )+
de
= 0, on peut obtenir la jauge de Coulomb :
( )=
1
=[
1
⟹
∗ ]
=−
=−
∗
1
= ∗
∗
∗
⟶
=
⟶
=
∗
Avec ≪ 1 et :
Si
Si
∗
∗
≫1 ⟹
( )+
≪1 ⟹
( )=
= 0 – jauge de Lorenz ;
– jauge de Coulomb ;
≪ 1 – isolant ; limite électrique.
≫ 1 - conducteur ohmique + aimant ; limite magnétique.
La tension est définie comme une circulation du champ électrique :
Si
Si
=
( ) ⇒
=−
=Δ = − .
= − ( ) on mesure la tension et non pas la différence des potentiels.
Etat électrotonique (électro=courant ; tonus=impulsion) :
é
=
Δ
Δ
=− (
éé
∗
.
)
Le potentiel vecteur
est l’intensité électrotonique.
Les équations de Heaviside-Hertz prises comme postulats :
( , ) connues ⟶ ( , ) calculés ⟶ ( , ) indéterminés (il faut les conditions des jauges).
Conservation de charge :
( )+
( )= + ∂( ) ⟹ =
Les équations de Lorenz-Riemann prises comme postulats avec l’équation de conservation de charge :
( , ) connues ⟶ ( , ) calculés ⟶ ( , ) définis.
⎕V =
⎕ =
⟶
∗
−
=−
=
( )
( )
( )
=−
( )=
⟹
avec ⎕ = − +
En utilisant l’équation de conservation de charge :
1
1
1
( )+
( )+
=
⎕ + ( ⎕V) = ⎕
μ
μ
D’où la condition de jauge de Lorenz en utilisant la réduction Levi-Civita (1897) :
1
( )+
=0
=0
Dans le cas de limite électrique :
= + ∂ (ε ∗ )
(
∗ )=
Dans le cas de limite magnétique :
=
C’est-à-dire ≫
( ∗ )=
qui est le cas de l’effet de Maxwell-Lodge car
= 0.
Electromagnétisme et relativité
Principe de relativité - les transformations de Lorentz :
( , )= ( , )( , )⟹
avec
=
⁄
=
( −
=
(
. Elle forme un groupe. Avec la condition ≪ 1 ⟹
=
−
)
)
≈1:
−
= −
d’où avec
≪
c’est un groupe Galiléen :
=
ou avec
≫
−
=
c’est un groupe de Caroll introduit par Jean-Marc Lévy-Leblond en 1965 à l’université de Nice :
=
= −
qui est acausale donc non applicable en mécanique (on peut l'utiliser quand même : The relativistic wave vector [6]).
Dans le cas des potentiels scalaire et vecteur la transformation est la suivante :
=
( −
)
=
( −
)
telle que
⎕
=
⎕V =
∗
qui est covariante.
Le couple ( , ⁄ ) forme le quadrivecteur. En prenant les limites de Lévy-Leblond :
limite électrique ‖ ‖ ≪ ⁄ :
=
−
=
limite magnétique ‖ ‖ ≫ ⁄ :
=
= −
En multipliant par q (la charge) et en prenant la relation l'énergie =
:
=
−
=
−
et
=
- limite électrique :
- limite magnétique :
=
−
= −
=
et
=
En relativité les transformations de l'impulsion et de l'énergie avec la limité galiléenne sont :
=
=
−
⟹
=
De même pour le quadrivecteur ( ,
limite électrique ‖ ‖ ≪
:
−
−
=
−
):
= −
=
limite magnétique ‖ ‖ ≫
=
−
=
⟹
=
−
=
+
=
×
:
=
=
−
⟹
×
Le couple ( , ) forme le hexa-vecteur et non le quadrivecteur.
Référence
1.
2.
3.
4.
5.
O. Darrigol: Electrodynamics from Ampère to Einstein; Oxford University Press (2003).
J. Clerk Maxwell, A Treatise on Electricity and Magnetism; Dover, New York, 1954, Vols. I and II; originally published in 1873.
M. de Montigny and G. Rousseaux : On some applications of Galilean electrodynamics of moving bodies ; Am. J. Phys. 75, 984 (2007).
G. Rousseaux : Lorenz or Coulomb in Galilean electromagnetism? ; Europhys. Lett. 71, 15–20 (2005).
G. Rousseaux et E. Guyon : À propos d’une analogie entre la mécanique des fluides et l’électromagnétisme ; Bull. Un. Phys., vol. 96, n°
841 (2), p. 107-136 (2002).
6. Jens Madsen Houlrik : The relativistic wave vector ; Eur. J. Phys. 30 777–783 (2009).
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