Petite Introduction à l`Electromagnétisme

mai 2009
BELOKOGNE Andréi
BELOKOGNE Ivan
Petite Introduction à l’Electromagnétisme
D’après un cours de Germain Rousseaux
James Clerk Maxwell est né 13 juin 1831 à Edimbourg en Ecosse. Il a étudié la géométrie, la mécanique, la
mécanique des fluides, l’élasticité, l’optique. Il a unifié l’électricité et le magnétisme en l’électromagnétisme et
travaillé en physique statistique. Sa formulation mathématique de l’électromagnétisme a été réalisée en s’appuyant sur
les travaux de Faraday et Ampère.
La géométrie différentielle
Maxwell avait une vision très géométrique de l’électromagnétisme et a introduit les opérateurs différentiels à partir
de représentation picturales des lignes de champ.
Le gradient est un pente : ∇
()=
La divergence : ∇
.()=
Le rotationnel a des lignes de champ fermée : ∇
×
()=

Par la géométrie, on obtient que : ∇ ×∇ ( )=0 et ∇ .∇ ×( ) =0
Le laplacien est associé au rayon de courbure : ∇
.∇ ()=∇()
Rappelons comment on obtient les équations de Maxwell par une démarche historique
L’aimant a des lignes de champ fermé donc pour l'induction magnétique ∇
. =0 et pour le champ magnétique
∇
.
=0.
Force gravitationnelle : =∗∗
∗=∗∇
 où =−∗
 est le potentiel gravitationnel. Deux
aimants s’attirent donc il y a une force magnétique =−∗
avec  ≝
−∇
 où =∗
∗∗ d’où ∇
× =0 dans le vide et ∇ × ∝
 dans le
matériel ( et  : "masse" magnétique).
L’effet de Faraday est un effet magnéto-optique découvert par Faraday en
1845 suite à l’expérience suivante :
La lumière polarisée traverse un verre soumis au champ magnétique 
puis en sortie la polarisation est modifiée
d’un angle =∗∗. Après elle rencontre le miroir qui la fait suivre le chemin en sens inverse. A la sortie, la
polarisation a tournée de 2. Comme les angles de correction de la polarisation à chaque passage à travers le système
s’ajoute indépendamment de la direction le champ magnétique 
est un vecteur axial.
Un pseudo vecteur (vecteur axial) est un vecteur qui change le sens lors d’une isométrie indirecte (en 3D :
inversion de tous les axes ou symétrie par rapport à un plan). Un vecteur polaire ne change pas le sens lors de ces
transformations de base.
En 1805 Oersted a observé les lignes de champ magnétique autour d’un fil parcouru par un courant constant.
D’où on obtient la relation ∇
× =
.
En régime stationnaire : ∇
.∇ × =0⟹∇ .=0
∇
. 
=  ==0
⟹ loi des mailles. ∇
×
= =  =
⟹ est un travail magnétique par unité de pôle magnétique.
Force de Coulomb est =−∗∇
 avec  : potentiel scalaire électrique d’où  ≝−∇  dans le vide et le
régime stationnaire.
et  sont de la même nature. On intègre sur une ligne une force ce qui est un travail :
=
=
⟹ est un travail électrique par unité de pôle électrique.
Intégrale sur une ligne : force.
De même pour  et 
:  
=
=0 (∇
. =0)
Intégrale sur une surface : flux.
miroir
2 

En régime stationnaire ∇ × =0 et ∇ . =−∇=
⁄ équivalent à la force gravitationnelle : ∇
.
∝.
∇
.( ) 
= =  =
Ce qui est le théorème de Gauss.
On définit l’induction électrique 
= ⟹∇ . =.
Deux types de matière :
- conducteur : courant électrique 
- isolant
Loi d’Ohm : =/ avec =1
⁄∗/ ⟹
=
=
Par analogie : 
=
Ce sont les relations constitutives. De plus, le flux est proportionnel à la force.
=
dans le vide ;  = = dans le matière + le vide.
La polarisation 
= ; le déplacement  =
+
=(1+) = + .
Par analogie l’aimantation est 
= ;  = + = .
∇
× =
+
où  est le terme ajouté à la main par Maxwell.
L’induction de Faraday :
La tension ()∝− où  est le nombre de ligne de 
(le signe moins correspond au loi de Lenz de
modération).
Donc ()=()=−Φ où le flux Φ=∬
.
Or ()=∮
=∬∇ × ⟹∇ × =− .
Les équations de Maxwell sont définies comme : ∇
. =
∇
× =−
∇
. =0
∇
× =
+
Les potentiels : ∇
. =0⟹ =∇ ×
−∇
×
=∇
× ⟹∇ × +=0 ⟹ +=−∇
D’où avec (,) on a les équations de Maxwell en supposant ∇
.=0 (jauge de Coulomb) :
∇
.( )=⟹−∇ .−∇ =
⁄
Démarche analogique de Maxwell : l'électromagnétisme et la mécanique des fluides
La vitesse moyenne de l’écoulement : loi de Darcy
〈〉=∗Δ
où Δ - différence de pression,  – perméabilité,  – viscosité.
Le courant de conduction :
=1
∗Δ
où Δ - différence de potentiels,  – résistance.
La membrane élastique
La déformation :
La polarisation :
=
∗(− )= ∗
Δ
 <
milieux
p
oreux

Δ=1
∗Δ
où  – élasticité.
Le ressort : =1
∗ ⟹=1
∗
où  - vitesse.
Le courant de déplacement :
=∗
 ⟹
Le déplacement dans le vide (=1) :
=∗
Vitesse du son : =1
Vitesse de la lumière :
= 1
Impédance hydrodynamique :
=
 ⟵
 ⟵
 - densité volumique
 - compressibilité
Impédance du vide :
==
⁄
⟶ 
⟶ 
 - "élasticité" du vide : permittivité
 - "densité" du vide : perméabilité
La propagation des ondes acoustique d’après Rousseaux :
Les conditions : = + 
=+
=+
Les équations :
+ ∗ =0
 +(. )=− 
=1
=
⟹+ ∗≈0 (1)
 =−  (2)
=
  (3)
(1)+(3)=(4)⟹ + 1
∗( 
⁄)
 =0
1
(2)−
∗ (4)
1
(2)−(4)
⟹
− 1
∗
=
( 
⁄)
−1
∗( 
⁄)
=0
Pour les fluides incompressible :  = ; il n’y a pas de
propagation des ondes acoustiques.
La jauge de Lorenz :
  +1
∗
=0
−1
∗
=−∗
−1
∗
=−
La jauge de Coulomb :  = ; il n’y a pas de
propagation des ondes électromagnétiques.
La force : =
où  - quantité de mouvement.
La force électrique :
∗=− 
Le moins est la loi de modération de Lenz

La vorticité (unité Hz) : = 
où =  – vitesse.
Ou encore : =1
2 ×=×
où  – la vitesse angulaire,  – rayon vecteur.
Le vortex est modélisé par un cylindre dans l’espace
doublement connexe (*).
Les mesures de tourbillon se fait par un strophomètre.
Dans le tourbillon ≠ (la croix tourne autour de son axe
propre) ; hors de tourbillon = ⟹ =  (la croix
ne tourne pas autour de son axe propre).
La caractéristique de tourbillon :
Γ=.
ℒ=.=
Γ= 
ℒ=2 ⟹=Γ
2
= Γ
2
Dans le tourbillon : = ⟹ =.
La relation lien le  et
:
= 
Dans le solénoïde = ; hors de solénoïde
= ⟹= .
Le flux de  : Φ=.
= Φ
2
La fonction  est multivaluée :
=Φ
2+
Remarque sur la définition non unique du potentiel
vecteur par la transformation suivante :
=+
Dans ce cas  doit être univaluée ce qui implique
une topologie simplement connexe.
Or, ici la topologie est multiplement connexe c'est-à-
dire  est multivaluée donc (f)≠0 et le
théorème de Schwartz ne s’applique pas.
De plus le potentiel vecteur est continu aux
interfaces.
________________
(*) Avec ∈ℂ et =|| : =
 ⟷ =  , on a un pôle d’ordre 1.
L’intégration par la méthode de résidu : ∮()=2 ()
()=() =Γ
2 =Γ
()=lim
→ ()= Γ
2
Quel est le régime de fonctionnement de l’effet Maxwell-Lodge ? conditions de jauge de
Lorenz et de Coulomb
Dans un conducteur ohmique  est négligeable : (())=(). Avec ()=∗() (dans le vide
=1) : ()=∗. ()=()−
Alors si = : =−∗().
a
r
u
a
r
A