Graphes probabilistes

Séquence 4
Graphes
probabilistes
Sommaire
1. Pré-requis
2. Notion de graphe probabiliste
3. Synthèse de la séquence
4. Exercices de synthèse
Objectifs
Étudier
des phénomènes d’évolution simples.
Modéliser, à
l’aide d’un graphe probabiliste, un système à 2 ou 3 états pouvant évoluer aléatoirement au
cours du temps.
Faire
le lien avec les suites géométriques.
Séquence 4 – MA04
1
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1 Pré-requis
A
Exercice
Systèmes d’équations linéaires
à 2 ou 3 inconnues
On considère le système (S ) de deux équations linéaires à 2 inconnues suivant
0, 2x + 0, 4 y = x
.

0 , 8 x + 0 , 6 y = y
 a c 
y) 
 =(x
 b d 
� Montrer que ce système se ramène à l’équation 2x – y = 0.
� Mettre ce système sous la forme matricielle ( x
y ).
2x − y = 0
.
x + y = 1
� Résoudre le système (S1) 
Solution
� Le système (S ) s’écrit ( x
 0,2 0,8 
y) 
 =(x
 0,4 0,6 
y ).
0, 2x + 0, 4 y = x
.
0 , 8 x + 0 , 6 y = y
� Résolvons le système (S ) 
−0, 8 x + 0, 4 y = 0
Ce système s’écrit 
, ce qui se ramène à la seule équation
 0, 8 x − 0, 4 y = 0
2x – y = 0.
2x − y = 0 1
−1
� Résolvons le système (S1) 
2
1
x + y = 1
1
2
et y = .
3
3
S
(
)
L’ensemble des solutions du système 1 est l’ensemble ᏿ 1 tel que
 1 2  
᏿ 1 =  ;   .
 3 3  
On obtient 3x = 1 et 3y = 2. D’où x =
Exercice
On considère le système (S ) de trois équations linéaires à 3 inconnues suivant,
écrit sous forme matricielle :
(x
2
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Séquence 4 – MA04
y
 0,5 0,4 0,1
z )  0 0,4 0,6
 0,3 0,3 0,4

 =(x


y
z ).
� Montrer que ce système (S ) se ramène au système de deux équations linéaires
5x − 3z = 0
.
à 3 inconnues suivant : 
 x + 6 y − 6z = 0
5x − 3z = 0

� Résoudre le système (S 2 )  x + 6 y − 6z = 0.
x + y + z = 1

Solution
� Le système (S ) s’écrit :
−0,5x + 0,3z = 0
0, 5x + 0, 3z = x


0, 4 x + 0, 4 y + 0, 3z = y , soit 0,4 x − 0,6 y + 0,3z = 0

0,1x + 0, 6 y + 0, 4z = z
0,1x + 0,6 y − 0,6z = 0

L1
L2
L3
On a L2 + L3 = −L1. On peut donc supprimer l’une des trois équations, par
exemple L2 (au vu de l’énoncé).
−0, 5x + 0, 3z = 0
5x − 3z = 0
, ce qui s’écrit aussi 
Il reste alors 
.
0,1x + 0, 6 y − 0, 6z = 0
 x + 6 y − 6z = 0
5x − 3z = 0
� Résolvons le système (S 2 ) 
 x + 6 y − 6z = 0
x + y + z = 1

−1
6
Méthode 1
On élimine l’inconnue y entre les deux dernières équations pour obtenir un système à 2 inconnues, x et z.
On obtient 5x + 12z = 6.
Résolvons le nouveau système de deux équations à 2 inconnues
5x − 3z = 0

5x + 12z = 6
−1
1
2
3
3 2 6
et
On obtient 15z = 6 d’où z = . On en déduit x = z = × =
5
5
5 5 25
6 2 9
y = 1− x − z = 1− − = .
25 5 25
L’ensemble des solutions du système (S2 ) est l’ensemble ᏿2 tel que
 6 9 2  
᏿2 =  ; ;  .
 25 25 5  
Méthode 2
Posons X =  x
y
 5 1 1 


z  , A =  0 6 1  et B = [0 0 1].
 −3 −6 1 


L’écriture matricielle du système est X × A = B .
Séquence 4 – MA04
3
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La copie d’écran 1
nous montre que
A est inversible.
Écran 1
Écran 2
Comme A est inversible, on a X × A × A −1 = B × A −1, soit X × I = B × A −1 , ce
−1
qui donne X = B × A .
6
9
2
La copie d’écran 2 nous donne x = , y =
et z = .
25
25
5
Dans la séquence 1, on avait comme disposition :
 vecteur   vecteur 
[matrice] × 
.
=
colonne  colonne 
Dans cette séquence 4, on adoptera :
[matrice ligne] × [matrice] = [matrice ligne].
Suivant la disposition, la matrice n’est pas la même.
Pour le système précédent, on aurait pu résoudre :
 5 0 −3
 x   0 



t
A ×  y  =  0  , soit  1 6 −6
 1 1 1
 z   1 

B
Exercice
  x   0 
 
 

 ×  y  =  0 .
  z   1 

Matrices carrées
 0, 2 −0, 2
 0, 8 0, 2 
 0,9 0,1 
On donne M = 
, R = 
, N =
 −0, 8 0, 8
 0, 8 0, 2 
 0,4 0,6 

.

� Vérifier que M = N + 0,5R. Montrer que N 2 = N ; R 2 = R et N × R = R × N = O .
� a. Exprimer les matrices M 2 et M 3 en fonction des matrices N et R.
b. On admet que, pour tout entier naturel n ≥ 1, M n = N + 0, 5n R .
En déduire la valeur exacte de chaque coefficient de la matrice M n .
c. Déterminer la limite de chaque coefficient de la matrice M n quand n tend
vers l’infini. Écrire la matrice L dont les coefficients sont les limites des coefficients de la matrice M n .
� Vérifier que [0,8 0,2] × M = [0,8 0,2].
4
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Séquence 4 – MA04
Solution
� On calcule
 0,2 −0,2
 0,8 0,2 
N + 0,5R = 
 + 0,5 
 −0,8 0,8
 0,8 0,2 
 0,8 0,2 
=
+
 0,8 0,2 
 0,1

 −0,4



−0,1   0,9 0,1 
=
.
0,4   0,4 0,6 

On a bien M = N + 0,5R.
2 2
Calculons N , R , N R et R N à la calculatrice.
On pose :
N=A
R = B.
N 2 =N
NR = RN =O
R 2 =R
� a. On a M 2= (N + 0, 5R ) 2 = N 2+ 0, 5N R + 0, 5R N + 0, 25R 2 , soit
M 2 = N + 0, 25R .
On a
M 3 = M 2M = (N + 0,25R )(N + 0,5R ) = N 2 + 0,5N R + 0,25R N + 0,125R 2,
soit M 3 = N + 0,125R .
b. On admet que, pour tout entier naturel n ≥ 1, M n = N + 0, 5n R .


n
0,2 − 0,2 × 0,5n 
n  0,8 + 0,2 × 0,5
.
D’où M =
 0,8 − 0,8 × 0,5n 0,2 + 0,8 × 0,5n 


c. Comme 0 < 0,5 < 1,
lim 0, 5n = 0. Les coefficients de la matrice M n
n→ + ∞
tendent vers 0,8 ou vers 0,2.
 0,8 0,2 
On en déduit L = 
 . On note que les deux lignes de L sont iden 0,8 0,2 
tiques.
 0,9 0,1 
 = [ 0,72 + 0,08 0,08 + 0,12] , soit
 0,4 0,6 
� Calculons [ 0,8 0,2] × 
[ 0,8 0,2 ] × M = [ 0,8 0,2 ].
Exercice
 0 1 0

On donne A =  0, 5 0 0, 5
 0 1 0
 0 0, 5 0, 5

 0 1 0 




1
0
, B =  0 0 1 , C =  0
 0, 2 0 0, 8

 1 0 0 



.


� a. Déterminer, à l’aide d’une calculatrice, les matrices An , B n , C n pour les
valeurs n = 2, n = 3, n = 4.
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b. Conjecturer les matrices A 2 012 et B 2 012 , A 2 013 et B 2 013 ainsi que
2 014
.
A 2 014 et B
� a. Déterminer les matrices C 10 , C 20 , C 50 et C 100 à l’aide d’une calculatrice
dont l’affichage sera fixé à 3 décimales.
b. Conjecturer la limite, quand n tend vers l’infini, de chaque coefficient de la
matrice C n.
c. Soit L la matrice dont les coefficients sont les limites des coefficients de la
matrice C n. Écrire la matrice L.
Solution
� a.
b.
n=1
n=2
n=3
n=4
…
n = 2 012
n = 2 013
n = 2 014
An
A
A2
A3 = A
A 4 = A2
…
A 2 012 = A 2
A 2 013 = A
A 2 014 = A 2
Bn
B
B2
B3
B4 = B
…
B 2 012 = B 2
B 2 013 = B 3
B 2 014 = B
� a.
Cn
n
b. Les coefficients des 1re et 3e colonnes de C tendent vers 0, ceux de la
2e colonne tendent vers 1.
 0 1 0 
c. On obtient L =  0 1 0  .
 0 1 0 
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C
Probabilités conditionnelles
Exercice
Avant le début des travaux de construction d’une autoroute, une équipe d’archéologie préventive procède à des sondages successifs en des points régulièrement espacés sur le terrain.
Lorsque le n-ième sondage donne lieu à la découverte de vestiges, il est dit positif. Sinon, il est dit négatif.
L’événement « le n-ième sondage est positif » est noté Vn et on note v n = p (Vn )
la probabilité de l’événement Vn .
L’événement « le n-ième sondage est négatif » est noté Rn et on note rn = p (Rn )
la probabilité de l’événement Rn .
On a donc, pour tout entier n ≥ 1, v n + rn = 1.
L’expérience acquise au cours de ce type d’investigation permet de prévoir que :
tsi un sondage est positif, le suivant a une probabilité égale à 0,6 d’être positif ;
tsi un sondage est négatif, le suivant a une probabilité égale à 0,9 d’être négatif.
On suppose que le premier sondage est positif, c’est-à-dire : v 1 = 1.
� Calculer les probabilités des événements A et B suivants :
A « les 2e et 3e sondages sont positifs » ;
B « les 2e et 3e sondages sont négatifs ».
� Calculer la probabilité v 3 pour que le 3e sondage soit positif.
Vn+1 � Le nombre n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2.
...
vn
Vn
...
Rn+1
Recopier et compléter (sans explication) l’arbre pondéré en
fonction des données de l’énoncé.
� Pour tout entier naturel n non nul, établir que :
v n +1 = 0, 5v n + 0,1 et rn +1 = 0, 5rn + 0, 4.
rn
Vn+1 � Vérifier que
...
Rn
Solution
...
Rn+1
(v n
 0,6 0,4 
rn ) × 
 = ( v n +1 rn +1 ).
 0,1 0,9 
� On peut représenter la situation par un arbre pondéré.
1er sondage
↓
2e sondage
↓
3e sondage
↓
0,6
V3
0,4
R3
0,1
V3
p( R2
V3 )
0,9
R3
p(B) = p( R2
R3 )
p(A) = p( V2
V3 )
V2
0,6
V3
V1
0,4
R2
Séquence 4 – MA04
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La probabilité d’un événement correspondant à un chemin, qui est la probabilité
d’une intersection, est égale au produit des probabilités inscrites sur les branches
du chemin.
p ( A ) = p (V2 ∩V3 ) = 0,6 × 0,6 , ce qui donne p ( A ) = 0,36.
p (B ) = p (R2 ∩ R 3 ) = 0,4 × 0,9 , ce qui donne p (B ) = 0,36.
� Les événements V2 et R2 forment une partition de l’univers (ce sont deux
événements contraires).
D’après la formule des probabilités totales, on peut écrire :
p (V3 ) = p (V2 ) × pV2 (V3 ) + p (R2 ) × pR2 (V3 ).
D’où p (V3 ) = 0,6 × 0,6 + 0,4 × 0,1 soit v 3 = p (V3 ) = 0, 4.
La probabilité que le 3e sondage soit positif est égale à 0,4.
�
vn
rn = 1–vn
0,6
Vn+1 p(Vn
0,4
Vn+1
0,1
Vn+1
0,9
Vn+1
Vn+1 )= vn x 0,6
Vn
Rn
p(Vn+1 )= 0,6vn + 0,1(1–vn)
vn+1 = 0,5vn + 0,1
p(Rn
p(Rn
Vn+1 )= rn x 0,1
Vn+1 )= 0,1x (1–vn)
� Les événements contraires Vn et Rn forment une partition de l’univers. La
formule des probabilités totales s’applique.
p (Vn +1) = p (Vn ) × pVn (Vn +1) + p (Rn ) × pRn (Vn +1)
v n +1 = v n × 0,6 + rn × 0,1
v n +1 = v n × 0,6 + (1− v n ) × 0,1
v n +1 = 0,5 × v n + 0,1.
D’après l’arbre pondéré p (Rn +1) = rn +1 = 0, 4v n + 0, 9 rn
p (Rn +1) = rn +1 = 0, 4 (1− rn ) + 0, 9 rn soit rn +1 = 0, 5rn + 0, 4.
Pour tout n ≥ 1, on a v n +1 = 0,5v n + 0,1 et rn +1 = 0, 5rn + 0, 4.
Remarque
On pouvait aussi calculer rn +1 en fonction de rn en écrivant que rn +1 = 1− v n +1.
� Calculons (v n
D’où ( v n
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 0,6 0,4 
rn ) × 
 = ( 0,6v n + 0,1rn
 0,1 0,9 
 0,6 0,4 
rn ) × 
 = ( v n +1 rn +1 ).
 0,1 0,9 
0,4v n + 0,9 rn ).
D
Suites géométriques
Suites arithmético-géométriques
Exercice
On reprend la suite (v n ) précédente définie par v 1 = 1 et, pour tout entier n ≥ 1,
v n +1 = 0, 5v n + 0,1.
On pose, pour tout entier n ≥ 1, un = v n − 0, 2.
� Montrer que la suite (un ) est une suite géométrique dont on donnera la
raison et le premier terme.
� Exprimer un , puis v n , en fonction de n.
� a. En déduire la limite v de la suite (v n ) lorsque n tend vers l’infini.
b. La suite (rn ) est définie, pour tout n ≥ 1, par rn = 1− v n . Quelle est la
limite r de la suite (rn ) ?
 0,6 0,4 
� Vérifier que ( v r ) × 
 = ( v r ).
 0,1 0,9 
Solution
� On donne, pour n ≥ 1, v n +1 = 0, 5v n + 0,1 et on pose un = v n − 0, 2.
On peut écrire un +1 = v n +1 − 0, 2 = 0, 5v n + 0,1− 0, 2 = 0, 5(0, 2 + un ) − 0,1
u n + 1 = 0 , 5u n .
vn
Calculons u1 = v 1 − 0, 2 = 1− 0, 2 = 0, 8.
La suite (un ) est une suite géométrique de raison q = 0,5 et de premier terme
u1 = 0, 8.
� Pour tout n ≥ 1, on a un = u1q n −1, d’où u n = 0,8 × 0,5n −1.
On en déduit, pour tout entier n ≥ 1, v n = 0,2 + 0,8 × 0,5n −1.
� a. Comme 0 < 0,5 < 1, lim 0, 5n −1 = 0. On en déduit lim v n = v = 0, 2.
n→ + ∞
n→ + ∞
b. On sait que rn = 1− v n . D’où
lim rn = r = 0, 8.
n→ + ∞
 0,6 0,4 
 = ( 0,12 + 0,08 0,08 + 0,72 ).
 0,1 0,9 
� Calculons ( 0,2 0,8 ) × 
 0,6 0,4 
Ainsi ( 0,2 0,8 ) × 
 = ( 0,2 0,8 ), soit
 0,1 0,9 
 0,6 0,4 
(v r )× 
 = ( v r ).
 0,1 0,9 
Exercice
Afin de diminuer la circulation automobile, une municipalité organise un système
de location de vélos à partir de deux relais A et B. La municipalité dispose de
200 vélos. Dans les deux relais, les capacités de parking sont suffisantes pour
accueillir l’ensemble des vélos. Chaque jour, tous les vélos doivent être rendus
dans l’un des deux points de location avant la fin de la journée.
Séquence 4 – MA04
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Après une période de fonctionnement, on a constaté que, chaque jour :
t 80 % des vélos garés le matin au relais A sont garés en fin de journée au
relais A, les autres étant garés en fin de journée au relais B ;
t 70 % des vélos garés le matin au relais B sont garés en fin de journée au
relais B, les autres étant garés en fin de journée au relais A.
Au soir du 31 mai, il y a 100 vélos garés dans chacun des deux relais A et B.
Pour tout entier naturel n, on note :
an la probabilité de l’événement An « un vélo pris au hasard est garé en A le
n-ième jour suivant le 31 mai ».
bn la probabilité de l’événement Bn « un vélo pris au hasard est garé en B le
n-ième jour suivant le 31 mai ».
Pn = ( an bn ) la matrice ligne traduisant l’état probabiliste de la répartition
des vélos dans les relais A et B au soir du n-ième jour suivant le 31 mai, avec
an + bn = 1. On a P0 = ( 0,5 0,5 ).
� Recopier et compléter l’arbre pondéré suivant en fonction des données de
l’énoncé :
...
0,5
0,5
A1
A0
...
...
B1
A1
B0
...
B1
� a. Déterminer a1 et b1.
b. En utilisant la formule des probabilités totales, calculer a2 et b2.
� a. En utilisant la formule des probabilités totales, exprimer an +1 et bn +1 en
fonction de an et bn .
b. Vérifier que (an +1 bn +1 ) = ( an
 0,8 0,2 
bn ) 
.
 0,3 0,7 
� On étudie maintenant la suite ( bn ) définie, pour n ≥ 0, par b0 = 0, 5 et
bn +1 = 0, 2 + 0, 5 bn .
a. On considère la suite v définie, pour tout entier naturel n, par v n = bn − 0, 4.
Montrer que v est une suite géométrique de raison 0,5 et préciser son premier terme.
Exprimer le terme bn en fonction de n.
b. Quelle est la probabilité qu’un vélo soit garé dans le relais B le 7 juin au
soir ? le 14 juin au soir ?
c. Déterminer la limite de la suite v et en déduire
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Séquence 4 – MA04
lim bn .
n→ + ∞
Que peut-on en déduire sur la répartition à long terme des vélos entre les deux
relais ?
Solution
�
0,5
0,5
0,8
A1 p(A0
A1) = 0,5 x 0,8
0,2
B1 p(A0
B1) = 0,5 x 0,2
0,3
A1 p(B0
A1) = 0,5 x 0,3
0,7
B1 p(B0
B1) = 0,5 x 0,7
A0
a1
b1
B0
� a. Les événements A0 et B0 sont deux événements contraires.
La formule des probabilités totales nous donne
a1 = p ( A1) = p ( A0 ) × p A0 ( A1) + p (B0 ) × pB0 ( A1).
Ainsi a1 = p ( A1) = p ( A0 ∩ A1) + p (B0 ∩ A1), d’où a1 = 0,55.
De même b1 = p (B1) = p ( A0 ) × p A0 (B1) + p (B0 ) × pB0 (B1).
Ainsi b1 = p (B1) = p ( A0 ∩ B1) + p (B0 ∩ B1), d’où b1 = 0,45.
On obtient P1 = ( a1 b1 ) = ( 0,55 0,45 ).
b. Les événements A1 et B1 sont deux événements contraires.
La formule des probabilités totales nous donne
a2 = p ( A 2 ) = p ( A1) × p A1 ( A 2 ) + p (B1) × pB1 ( A 2 ).
Ainsi a2 = 0,55 × 0,8 + 0,45 × 0,3 d’où a2 = 0, 575.
De même b2 = p (B2 ) = p ( A1) × p A1 (B2 ) + p (B1) × pB1 (B2 ).
Ainsi b2 = 0,55 × 0,2 + 0,45 × 0,7 d’où b2 = 0, 425.
On obtient P2 = ( a2 b2 ) = ( 0,575 0,425 ).
� Les événements An et Bn sont deux événements contraires.
a. La formule des probabilités totales nous donne :
an +1 = p ( An +1) = p ( An ) × p An ( An +1) + p (Bn ) × pBn ( An +1)
bn +1 = p (Bn +1) = p ( An ) × p An (Bn +1) + p (Bn ) × pBn (Bn +1).
D’où an +1 = 0, 8 an + 0, 3 bn = 0, 8 an + 0, 3(1− an )
et bn +1 = 0, 2an + 0, 7 bn = 0, 2(1− bn ) + 0, 7 bn .
On en déduit an +1 = 0, 3 + 0, 5an et bn +1 = 0, 2 + 0, 5 bn .
Séquence 4 – MA04
11
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b. On a ( an
 0,8 0,2 
bn ) 
 = ( 0,8 an + 0,3 bn
 0,3 0,7 
D’où (an +1 bn +1 ) = ( an
Remarque
0,2an + 0,7bn ).
 0,8 0,2 
bn ) 
.
 0,3 0,7 
On vérifie bien que an +1 + bn +1 = 0, 5 + 0, 5(an + bn ) = 0, 5 + 0, 5 = 1.
� a. On donne bn +1 = 0, 2 + 0, 5 bn .
Soit v la suite définie, pour tout entier naturel n, par v n = bn − 0, 4.
D’où v n +1 = bn +1 − 0, 4 = 0, 2 + 0, 5bn − 0, 4 = −0, 2 + 0, 5 b
n
0 , 4 +v n
bn + 1
v n +1 = −0, 2 + 0, 5(0, 4 + v n )
v n +1 = 0, 5v n .
Le premier terme est v 0 = b0 − 0, 4 = 0, 5 − 0, 4 = 0,1.
La suite v est la suite géométrique de premier terme v 0 = 0,1 et de raison
q = 0, 5.
n
n
On a v n = v 0 q = 0,1(0, 5) et bn = 0, 4 + 0,1(0, 5)n .
7
b. Calculons b7 = 0, 4 + 0,1(0, 5) = 0, 400 78125 et
b14 = 0, 4 + 0,1(0, 5)14 = 0, 400 006 103 515 625.
La probabilité qu’un vélo soit garé dans le relais B le 7 juin au soir est égale à
0,400 781 environ.
La probabilité qu’un vélo soit garé dans le relais B le 14 juin au soir est égale à
0,400 006 environ.
Les valeurs b7 et b14 sont très proches de 0,4.
c. Comme 0 < 0,5 < 1,
On en déduit
lim (0, 5)n = 0. D’où
n→ + ∞
lim bn = 0, 4 et
n→ + ∞
lim v n = 0.
n→ + ∞
lim an = 0, 6.
n→ + ∞
D’après les limites des suites (an ) et (bn ), on peut dire qu’à long terme :
t 60 % des vélos seront garés au relais A ;
t 40 % des vélos seront garés au relais B.
D’après le calcul de b7 , c’est déjà (presque) vrai au bout d’une semaine.
12
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Séquence 4 – MA04
2
Notion de graphe
probabiliste
A
Objectifs du chapitre
Représenter
un graphe probabiliste par une matrice carrée associée.
Définir
une loi de probabilité sur l’ensemble des états possibles d’un système
à 2 ou 3 états.
Déterminer, s’il
B
Activité 1
existe, l’état stable d’un graphe probabiliste.
Pour débuter
Bains d’été
Pendant ses vacances d’été, Alex peut aller se baigner tous les jours. Si, un jour, il
se baigne, la probabilité que le lendemain il se baigne est de 0,7. Si, un jour, il ne
se baigne pas, la probabilité que le lendemain il se baigne est de 0,9.
Soit n un entier naturel non nul.
On note :
an la probabilité de l’événement A « Alex ne se baigne pas le n-ième jour » ;
n
bn la probabilité de l’événement B « Alex se baigne le n-ième jour » ;
n
Pn = ( an
bn ) la matrice ligne traduisant l’état probabiliste le n-ième jour.
On va considérer deux cas : soit Alex ne se baigne pas le premier jour, soit Alex
se baigne le premier jour.
� Recopier et compléter, pour chacun des cas, l’arbre pondéré en fonction des
données de l’énoncé :
Si Alex ne se baigne pas le premier jour, alors
P1 = ( 1 0 )
...
1
0
A2
A1
...
...
B2
A2
B1
...
Si Alex se baigne le premier jour, alors
P1 = ( 0 1 )
B2
...
0
1
A2
A1
...
...
B2
A2
B1
...
B2
Séquence 4 – MA04
13
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� Décrire la situation à l’aide d’un graphe probabiliste de sommets A et B
(A représente l’état « Alex ne se baigne pas » et B représente l’état « Alex se
baigne »). Ce graphe probabiliste est un graphe orienté et pondéré par les
probabilités conditionnelles de passer d’un état à l’autre, d’un jour au jour
suivant.
� Compléter le tableau de probabilité.
On désigne par M la matrice de transition
associée au graphe probabiliste, c’est-à-dire la
matrice dont les coefficients sont les probabilités
placées dans le tableau. Écrire la matrice M.
Tableau de probabilité
vers de
A
B
� a. À l’aide de l’arbre pondéré, donner, pour cha-
A
0,1
…
cun des cas, l’état probabiliste d’Alex le deuxième jour, c’est-à-dire la matrice ligne P2.
B
…
…
Vérifier que, dans chacun des cas, P2 = P1 × M .
b. Déterminer, dans chacun des cas, la matrice ligne P2 × M .
Calculer M 2 et interpréter ses deux lignes.
� À l’aide d’une calculatrice, calculer M 4 , M 5 , M 10 , M 20 (garder seulement
4 décimales). Que constate-t-on ?
� Soit P = (a
b) la matrice ligne telle que P M = P et a + b = 1. Déterminer a
et b. Que remarque-t-on ?
Activité 2
Évolution de populations
Deux villes X et Y totalisent une population d’un million d’habitants. La ville X est
plus agréable, mais la ville Y offre de meilleurs salaires. Ainsi, 20 % des habitants
de Y partent chaque année habiter X pour avoir un meilleur cadre de vie et 5 %
des habitants de X partent pour Y afin d’augmenter leur niveau de vie.
L’année 0, un quart des habitants est en X.
� Calculer la population de X et celle de Y au bout d’un an, au bout de deux ans.
� Représenter l’évolution de ces deux populations à l’aide d’un graphe probabi-
liste de sommets X et Y.
� Compléter le tableau de probabilité.
On désigne par M la matrice de transition
associée au graphe probabiliste. Écrire la
matrice M.
� La matrice ligne décrivant
l’état probabiliste initial est :
P0 = ( x 0 y 0 ) = (0,25 0,75).
Donner, d’après 1), l’état probabiliste au bout
d’un an (noté P1), et l’état probabiliste au bout
de deux ans (noté P2).
Vérifier que P1 = P0 × M et P2 = P1 × M .
14
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Séquence 4 – MA04
Tableau de probabilité
vers X
Y
X
…
0,05
Y
0,2
…
de
� a. On admet que l’état probabiliste converge vers un état stable
P = (x y) vérifiant P × M = P et x + y = 1. Déterminer la matrice ligne P.
Quel est alors le nombre d’habitants de chaque ville ?
b. La matrice ligne P dépend-elle de l’état initial ?
15
c. Comparer les matrices ligne P0 M et P.
Comparer ces deux matrices ligne aux lignes de la matrice M 15 .
� On suppose, dans cette question, que 10 % des habitants de X partent pour
Y afin d’augmenter leur niveau de vie et que 20 % des habitants de Y partent
chaque année habiter X. Donner la nouvelle matrice de transition, notée T.
Déterminer alors la matrice L = (x y) telle que L × T = L et x + y = 1.
Activité 3
Le cyclotourisme
Chaque année, une association de cyclotourisme prépare de nouveaux circuits.
Pour satisfaire ses nombreux membres, elle élabore des circuits de différents
niveaux : « niveau facile », « niveau moyen » et « niveau difficile ».
Au 1er janvier 2010, l’association a fait son bilan :
t 20 % de ses adhérents ont choisi le niveau facile, noté A ;
t 70 % de ses adhérents ont choisi le niveau moyen, noté B ;
t 10 % de ses adhérents ont choisi le niveau difficile, noté C.
Pour répondre aux attentes des adhérents et les fidéliser sur le long terme, une
enquête est effectuée.
Il s’avère que, d’une année à l’autre :
t parmi les adhérents ayant choisi le niveau A, 40 % restent à ce niveau et
60 % passent au niveau B ;
t parmi les adhérents ayant choisi le niveau B, 70 % restent à ce niveau,
20 % reviennent au niveau A et les autres passent au niveau C ;
t parmi les adhérents ayant choisi le niveau C, 85 % restent à ce niveau et les
autres reviennent au niveau B.
On note :
A l’état « l’adhérent a choisi le niveau A » ;
B l’état « l’adhérent a choisi le niveau B » ;
C l’état « l’adhérent a choisi le niveau C ».
Pour n entier naturel positif ou nul, on note Pn = [ an bn c n ] la matrice ligne
donnant l’état probabiliste de la répartition dans les différents niveaux (indiqués
dans l’ordre donné dans l’énoncé), au 1er janvier de l’année 2010 + n. Ainsi,
P0 = [ 0,2 0,7 0,1 ].
On décide de se baser uniquement sur ces résultats pour prévoir l’évolution de
la répartition à partir du 1er janvier 2010 (on néglige donc les nouveaux abonnés
et les départs).
� Représenter cette situation par un graphe probabiliste de sommets A, B et C.
Séquence 4 – MA04
15
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� Compléter le tableau de probabilité.
vers A
B
C
A
…
…
0
B
0,2
…
…
C
…
0,15
…
de
On désigne par M la matrice de transition associée au graphe probabiliste,
c’est-à-dire la matrice dont les coefficients sont les probabilités placées dans le
tableau. Écrire la matrice M.
� On admet l’existence d’un état probabiliste stable P, indépendant de l’état
probabiliste initial.
La matrice ligne P = [ x y z ] vérifie P M = P.
Sachant que x + y + z = 1, déterminer les trois réels x, y, z.
Le président de l’association affirme que 50 % des adhérents choisiront, après un
certain nombre d’années, le niveau B. Cette affirmation est-elle exacte ?
C
Cours
1. Exemple d’un système aléatoire à 2 états
Dans l’activité 1, Alex se trouve chaque jour dans l’un des deux états suivants :
état A « je ne me baigne pas » ;
état B « je me baigne ».
L’état dans lequel se trouvera Alex, par exemple, le 10e jour dépend uniquement
de l’état dans lequel il se trouvait le 9e jour.
t S’il s’est baigné le 9e jour, alors la probabilité qu’il se baigne le 10e jour est
égale à 0,7.
t S’il ne s’est pas baigné le 9e jour, alors la probabilité qu’il se baigne le 10e jour
est égale à 0,9.
Plus généralement, on peut dire que l’état dans lequel se trouvera Alex le jour
n + 1 ne dépend pas de n, mais dépend uniquement de l’état dans lequel il se
trouvait le jour n.
À chaque jour est associée une nouvelle loi de probabilité. À l’étape n (c’està-dire le n-ième jour), l’état probabiliste d’Alex peut être représenté par une
matrice ligne Pn = [an bn ], avec an + bn = 1.
16
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Séquence 4 – MA04
Jusqu’à l’étape n = 2, on peut représenter la situation par un arbre pondéré mais
on se rend vite compte que cela va devenir problématique de construire un arbre
pour les étapes suivantes car le nombre de branches double à chaque étape (2 ;
4 ; 8 ; 16 ; etc.).
Pour passer d’une étape à l’étape suivante, et donc pour passer de la matrice
ligne Pn à la matrice ligne Pn +1 , il suffit de connaître les relations de probabilités conditionnelles entre un jour n et le jour n + 1 (voir figure 1a).
On peut représenter la situation par un graphe orienté dont les sommets sont
les états A et B, les arcs étant pondérés par des probabilités conditionnelles (voir
figure 1b).
Figure 1b
Graphe probabiliste
Figure 1a
Arbre pondéré
an
0,1
An+1
0,9
Bn+1
An
0,1
0,9
A
bn
0,3
An+1
0,7
Bn+1
Bn
B
0,3
0,7
p An ( An +1) = 0,1 ; p An (Bn +1) = 0, 9 ;
p ( A → A ) = 0,1 ; p ( A → B ) = 0, 9 ;
pBn ( An +1) = 0, 3 ; pBn (Bn +1) = 0, 7.
p (B → A ) = 0, 3 ; p (B → B ) = 0, 7.
2. Définitions
On considère un système à 2 ou 3 états où la probabilité de passer d’un état i à
un état j ne varie pas au cours du temps.
L’état futur d’un tel système est uniquement déterminé par son état présent : un
tel processus « sans mémoire » est appelé « chaîne de Markov ».
On modélise un tel système par un graphe orienté et pondéré. Les sommets sont
les états du système et un arc i → j est étiqueté par la probabilité de transition
de l’état i à l’état j.
Andreï Markov (1856-1922) : mathématicien russe qui se spécialisa dans le calcul
des probabilités dans les années 1900.
Séquence 4 – MA04
17
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Définition 1
Un graphe probabiliste (voir figure 2) est un graphe orienté et pondéré
tel que :
Remarques
Ses sommets sont les états possibles du système ;
Un arc i → j est pondéré par pi j = p (i → j ) , qui est la probabilité conditionnelle d’être dans l’état j à l’étape n + 1, sachant que l’on est dans
l’état i à l’étape n. Ainsi, pi j = p (i → j ) = pi n ( j n +1).
t Comme il est possible de rester dans le même état, un graphe probabiliste peut
avoir des boucles (c’est d’ailleurs le plus souvent le cas).
t Conformément au programme, les graphes probabilistes étudiés dans cette
séquence auront 2 ou 3 sommets (néanmoins, deux exercices proposent des
graphes probabilistes à 4 sommets).
t On peut aussi dire que pi j = p (i → j ) est la probabilité de transition de l’état i
à l’état j.
1–a
La somme des poids des arcs issus
d’un même sommet est égale à 1.
a
A
B
b
Les sommets sont pris dans l’ordre
A, B.
1–b
Figure 2
Définition 2
La matrice de transition associée à un graphe probabiliste d’ordre n est
une matrice carrée n × n .
Le terme pi j situé à l’intersection de la i-ème ligne et de la j-ème colonne a
pour valeur le poids de l’arc i → j si cet arc existe, 0 sinon. Une matrice de
transition dépend donc de l’ordre dans lequel on prend les sommets.
La matrice de transition M associée au graphe probabiliste de la figure 2

a 
est M =  1 – a
.
1– b 
 b
18
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Séquence 4 – MA04
Exemple 1
Voici un graphe probabiliste d’ordre 3.
C
0,1
A
B
C
A
0,8
0,1
0,1
B
0
1
0
C
0,6
0,4
0
0,4
1
0,8
0,6
A
À l’aide du tableau
B
0,1
on obtient la matrice de transition
M associée au graphe probabiliste
de la figure 3.
Figure 3
A
B
C
↓
↓
↓
 0, 8 0,1 0,1

1
0
M= 0
 0, 6 0, 4 0

Exemple 2
Soit M la matrice de transition associée à
un graphe probabiliste G.
A
↓
B
↓
Le graphe G est représenté sur la
figure 4.
C
↓


A →  0,2 0,5 0,3 
B →  0,5 0,1 0,4  = M .
C →  0 0,4 0,6 
Construire le graphe G.
 ←A

 ←B
 ←C

0,6
C
0,3
0,2
0,5
A
0,4
0,1
0,4
B
0,5
Figure 4
Dans la pratique, on n’écrit pas A, B, C
mais seulement la matrice M.
Définition 3
L’état probabiliste d’un système est une loi de probabilité définie sur
l’ensemble des états possibles. Cette loi sera représentée par une matrice
ligne.
L’état probabiliste à l’étape n est une matrice ligne de la forme
Pn = [ an bn ] pour deux états ou Pn = [an bn c n ] pour trois états.
Séquence 4 – MA04
19
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3. Propriétés
Cherchons, dans le cas où le graphe probabiliste a 2 sommets, une relation entre
Pn +1 et Pn , puis une relation entre Pn et P0 .
Propriété 1
La
somme des éléments de chaque ligne d’une matrice de transition
est égale à 1.
Les événements An et Bn sont deux événements contraires : on peut utiliser la
formule des probabilités totales et l’arbre de la figure 5.
1– a
An+1
a
Bn+1
b
An+1
1– b
Bn+1
An
an
bn
an+1
bn+1
Bn
Figure 5
On a Pn +1 = [ an +1 bn +1] et Pn = [ an bn ] avec an +1 + bn +1 = an + bn = 1.
La formule des probabilités totales nous donne : an +1 = an (1− a ) + bn b et
bn +1 = an a + bn (1− b ).
Calculons :
Pn M = [ an
 1− a
a 
bn ] × 
 = [ an (1− a ) + bn b
 b 1− b 
an a + bn (1− b )].
D’où Pn +1 = Pn M .
Propriété 2
M la matrice de transition d’un graphe probabiliste, P0 l’état probabiliste initial, Pn l’état probabiliste à l’étape n et Pn +1 l’état probabiliste
à l’étape n + 1.
Soit
On a, pour tout entier n, Pn +1 = Pn M .
On en déduit :
n
20
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Relation entre
Pn + 1 et Pn
Relation entre
Pn + 1 et P0
n=0
P1 = P0 M
P1 = P0 M
n=1
P2 = P1 M
P2 = P0 M × M = P0 M 2
n=2
P3 = P2 M
P3 = P0 M 2 × M = P0 M 3
Séquence 4 – MA04
n=3
P4 = P0 M 3 × M = P0 M 4
P4 = P3 M
n
Pn +1 = Pn M
n +1
Conjecture Pn +1 = P0 M
Propriété 3
Soit M la matrice de transition d’un graphe probabiliste ayant 2 sommets,
P0 la matrice ligne décrivant l’état probabiliste initial et Pn la matrice
ligne décrivant l’état probabiliste à l’étape n.
On a, pour tout entier n, Pn = P0M n .
B Si la matrice ligne décrivant l’état probabiliste initial est P1 , on a, pour
tout entier n ≥ 1, Pn = P1M n −1 .
Remarque
Ces résultats font penser à l’expression du terme général d’une suite géomén
n −1
trique : un = u 0 q et un = u1q .
Important
D On admet que les propriétés 2 et 3 restent vraies pour les graphes probabilistes ayant 3 sommets ou plus.
Exemple 3
Un ciné-club qui projette des films français et étrangers dispose de deux salles.
Les abonnés au ciné-club assistent systématiquement à une projection chaque
lundi soir.
t La probabilité qu’un spectateur ayant vu un film français à une séance retourne
voir un film français à la séance suivante est égale à 0,6.
tLa probabilité qu’un spectateur ayant vu un film étranger à une séance aille
voir un film français à la séance suivante est égale à 0,75.
Un lundi soir, un film français est projeté dans chacune des deux salles. Puis, les
semaines suivantes, le ciné-club propose dans une salle un film français et dans
l’autre un film étranger.
On cherche à étudier l’évolution de la répartition des spectateurs entre les deux
salles au cours des semaines suivantes, à partir de ce lundi.
1) On note A l’état « le spectateur voit un film français » et B l’état « le spectateur
voit un film étranger ».
a. Représenter la situation par un graphe probabiliste.
b. On note M la matrice de transition de ce graphe en considérant les états
dans l’ordre alphabétique.
2
Déterminer la matrice M ainsi que la matrice M .
2) On désigne par an la probabilité pour un spectateur de voir un film français
à la n-ième séance et par bn la probabilité pour un spectateur de voir un film
étranger à la n-ième séance. Pour tout entier naturel n non nul, on note Sn
la matrice ligne (an bn ) traduisant l’état probabiliste d’un spectateur à la
n-ième séance.
L’état probabiliste initial est donc donné par S1 = (1 0).
Séquence 4 – MA04
21
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a. Déterminer les matrices lignes S2 et S 3 . En donner une interprétation en
termes de répartition des abonnés dans les deux salles.
b. Comparer S2 et S 3 aux premières lignes respectives de M et M 2.
3) Dans cette question, on suppose que, le premier lundi, un film étranger était
projeté dans chaque salle.
a. Donner les matrices lignes S1, S2 et S 3 .
b. Comparer S2 et S 3 aux deuxièmes lignes respectives de M et M 2.
Solution
1) a. b. D’après l’énoncé :
t p ( A → A ) = 0, 6 t p ( A → B ) = 0, 4 t p (B → A ) = 0, 75 t p (B → B ) = 0, 25.
Le graphe probabiliste décrivant la situation est sur la figure 6. On obtient ainsi
la matrice de transition M.
La matrice M 2 est obtenue à l’aide d’une calculatrice.
Matrices M et M 2
Graphe probabiliste
On pose M = F.
0,6
0,4
A
B
0,75
0,25
Figure 6
2) Le premier lundi, un film français était projeté dans chaque salle, d’où
S1 = ( 1 0).
a. On a :
 0,6 0,4 
S 2 = S1 × M = (1 0) × 
 soit S 2 = ( 0,6 0,4).
 0,75 0,25 
 0,66
0,34 
S 3 = S1 × M 2 = (1 0) × 
 soit S 3 = ( 0,66 0,34).
 0,637 5 0,362 5 
À la deuxième séance, 60 % des abonnés verront un film français et 40 % un
film étranger.
À la troisième séance, 66 % des abonnés verront un film français et 34 % un film
étranger.
b.
 0,6
M =
 0,75
0,4
0,25
 ← S si S = (1 0)
2
1


S2 est la première ligne de M.
22
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Séquence 4 – MA04
 0,66
M2 =
 0,637 5
0,34
0,362 5
 ← S si S = (1 0)
3
1


S 3 est la première ligne de M 2.
3) Le premier lundi, un film étranger était projeté dans chaque salle, d’où
S1 = ( 0 1).
 0,6 0,4 
a. On a S 2 = S1 × M = ( 0 1) × 
 soit S 2 = (0,75 0,25).
 0,75 0,25 
 0,66
0,34 
On a S 3 = S1 × M 2 = ( 0 1) × 
 soit
 0,637 5 0,362 5 
S 3 = ( 0,637 5 0,362 5).
À la deuxième séance, 75 % des abonnés verront un film français et 25 % un
film étranger.
À la troisième séance, 63,75 % des abonnés verront un film français et 36,25 %
un film étranger.
b.
 0,6
M =
 0,75
0,4
0,25


 ← S 2 si S1 = ( 0 1)
S2 est la deuxième ligne de M.
 0,66
M2 = 
 0,637 5
0,34 

0,362 5  ← S 3 si S1 = ( 0 1)
S 3 est la deuxième ligne de M 2.
4. État stable
Exemple 4
 0, 8 0, 2 
Soit M = 
 la matrice de transition d’un graphe probabiliste dont
 0, 6 0, 4 
l’état initial est P0 = [ 0,75 0,25] .
2
3
Calculer P0 M , P0 M , P0 M . Faire une conjecture sur la matrice ligne
P0M n , notée Pn .
Solution
La calculatrice nous donne :
On pose P0 = A ;
M = B.
On obtient
P0 M = P0 M 2= P0 M 3 = [ 0,75 0,25] = P0 .
De proche en proche, on conjecture que, pour
tout entier n, Pn = [0,75 0,25] = P0 .
À chaque étape n, l’état probabiliste Pn est égal à l’état probabiliste initial P0 .
Cela signifie que l’état initial n’évolue pas : on dit que c’est un état probabiliste
stable.
Définition 4
Un état probabiliste P est stable si P = P M où M est la matrice de transition associée au graphe.
Séquence 4 – MA04
23
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B On admet les deux propriétés suivantes :
Propriété 4
Pour tout graphe probabiliste d’ordre 2 dont la matrice de transition ne
comporte pas de 0, l’état probabiliste Pn = [ x n y n ] converge vers un
unique état probabiliste stable P = [ x y ] indépendant de l’état initial.
Cet état stable P vérifie P = P M.
On a x = lim x n et y = lim y n .
n→+∞
n→+∞
l’état stable P = [ x y ] revient à résoudre le système
y ] × M = [ x y ] et x + y = 1.
Chercher
[x
Propriété 5
Pour tout graphe probabiliste d’ordre 3 dont la matrice de transition ne comporte pas de 0, l’état probabiliste Pn = [ x n y n z n ] converge vers un
unique état probabiliste stable P = [ x y z ] indépendant de l’état initial.
Cet état stable P vérifie P = P M.
On a x = lim x n ; y = lim y n et z = lim z n .
n→+∞
n→+∞
n→+∞
Chercher l’état stable P = [ x y z ] revient à résoudre le système
[ x y z ] × M = [ x y z ] et x + y + z = 1.
Les propriétés 4 et 5 donnent une condition suffisante pour qu’un
graphe probabiliste d’ordre 2 ou 3 admette un état probabiliste
stable. Cette condition n’est pas nécessaire, comme le montrent
l’activité 3 et l’exemple 6. Ainsi, un graphe probabiliste dont la matrice de transition comporte au moins un 0 peut admettre un état probabiliste stable.
Exemple 5
Dans un pays imaginaire, deux partis politiques D et G s’affrontent à chaque
élection. Les précédents scrutins montrent que :
t 65 % des électeurs ayant choisi G à une élection restent fidèles à G à l’élection
suivante ;
t 55 % des électeurs ayant choisi D à une élection restent fidèles à D à l’élection
suivante.
Les autres électeurs changent leur vote et on suppose que la population des
électeurs reste stable au cours des années.
1) Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets G et D.
2) Écrire la matrice de transition M de ce graphe en prenant les sommets G et D
dans cet ordre.
3) Soit P = [ x y ] la matrice ligne de l’état probabiliste stable. Déterminer x et
y. Interpréter le résultat.
24
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Séquence 4 – MA04
4) Déterminer les matrices M n pour n ∈{8 ; 10 ; 14 ; 15 ; 20}. Que peut-on dire
des lignes des matrices M n ?
Solution
1) et 2)
Matrice de transition M
associée au graphe
Graphe probabiliste
0,65
0,35
G
 0,65
M =
 0,45
D
0,45
0,55
0,35
0,55



Figure 7
3) Comme la matrice de transition ne comporte pas de 0, il existe un état probabiliste stable P, indépendant de l’état probabiliste initial.
La matrice ligne P = [ x
y ] vérifie P = P M et x + y = 1.
Résolvons le système
 0, 65 0, 35 
 = [0, 65x + 0, 45y 0, 35x + 0, 55y ].
[ x y ] = [ x y ] ×
 0, 45 0, 55 
0, 65x + 0, 45y = x
−0, 35x + 0, 45y = 0
.
, soit 
On obtient le système 
0, 35x + 0, 55y = y
 0, 35x − 0, 45y = 0
Ce système se ramène à la seule équation 7x – 9y = 0.
7 x − 9 y = 0 1
−1
Sachant que x + y = 1, on résout le nouveau système 
7
9
 x + y = 1
9
7
On obtient x = = 0, 562 5 et y = = 0, 437 5. D’où P = [ 0, 562 5 0, 437 5].
16
16
Ainsi, au fil des élections, 56,25 % de l’électorat devraient voter pour G et
43,75 % devraient voter pour D.
Autre méthode
Cherchons la matrice P sous la forme P = [ x 1− x ].
 0, 65 0, 35 

.
[
[
×
]
]
x
1
−
x
=
x
1
−
x
On écrit
 0, 45 0, 55 
D’où [ x 1− x ] = [ 0, 20 x + 0, 45 0, 55 − 0, 20 x ] .
On obtient l’équation 0,80 x = 0,45, ce qui donne x = 0,562 5 et 1 – x = 0,437 5.
On retrouve comme état stable la matrice ligne P = [ 0, 562 5 0, 437 5].
4) En posant M = A, la calculatrice donne :
Séquence 4 – MA04
25
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On constate que, pour n ≥ 15, les deux lignes de la matrice M n sont identiques
et égales à la matrice ligne de l’état stable.
Exemple 6
 1
0 
Soit M = 
 la matrice de transition associée à un graphe probabi 0, 5 0, 5 
liste. Pour tout entier naturel n, on note Pn la matrice ligne [ x n y n ] traduisant
l’état probabiliste à l’étape n. On a donc P0 = [ x 0 y 0 ].
1) Dire pourquoi la matrice M est bien une matrice de transition associée à un
graphe probabiliste.
2) Exprimer y n +1 en fonction de y n , puis y n en fonction de n. Déterminer la
limite de la suite ( y n ) et en déduire la limite de la suite ( x n ). Interpréter ces
deux limites.
3) Donner la matrice ligne correspondant à l’état probabiliste stable.
20
(garder 2 décimales).
4) À l’aide d’une calculatrice, déterminer M 10 et M
Que constate-t-on ?
n
Conjecturer la matrice M lorsque n tend vers l’infini.
Solution
1) La somme des éléments des deux lignes de M est égale à 1 : M est donc une
matrice de transition associée à un graphe probabiliste.
2) On a, pour tout entier naturel n,
 1
0 
[ x n +1 y n +1] = [ x n y n ] × 
 = [ x n + 0 , 5y n
 0, 5 0, 5 
0, 5y n ] .
D’où, pour tout entier n, y n +1 = 0, 5y n .
La suite ( y n ) est une suite géométrique de raison q = 0,5 et de premier terme
y 0.
D’où y n = y 0 × (0, 5)n . Comme 0 < 0, 5 < 1,
On sait que x n + y n = 1 d’où
lim y n = 0.
n→+∞
lim x n = 1.
n→+∞
On en déduit que, lorsque n tend vers l’infini, l’état probabiliste Pn tend vers
l’état probabiliste [ 1 0].
3) L’état probabiliste stable est donné par la matrice ligne P = [ 1 0].
4) On pose M = A.
Une calculatrice nous donne les coefficients de M 10 et M 20 avec deux décimales.
On constate que les deux lignes sont quasiment identiques à la matrice
P = [1 0].
On conjecture que, pour n assez grand,
 1 0  ←P
M n≈

 1 0  ←P
26
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Séquence 4 – MA04
Remarque
L’exemple 6 nous a montré qu’il peut y avoir un état stable même si la matrice de
transition comporte au moins un 0.
L’exemple 7 va nous montrer une matrice de transition avec deux 0 où, sauf
exception, il n’y a pas d’état stable.
Exemple 7
 0 1 
Soit M = 
 la matrice de transition associée à un graphe probabiliste
 1 0 
dont l’état initial est P0 = [ x 0 y 0 ] .
1) Dire pourquoi la matrice M est bien une matrice de transition associée à un
graphe probabiliste.
2) Montrer que, sauf cas particulier, l’état probabiliste à l’étape n ne converge
pas.
2
10
11
20
21
3) À l’aide d’une calculatrice, déterminer M , M , M , M et M .
n
Conjecturer, suivant la parité de n, les coefficients de la matrice M .
Solution
1) La somme des coefficients des deux lignes de M est égale à 1 : M est donc une
matrice de transition associée à un graphe probabiliste.
2) L’état probabiliste initial est P0 = [ x 0 y 0 ] .
L’état probabiliste P1 est défini par
 0 1 
P1 = P0 × M = [ x 0 y 0 ] × 
 = [ y 0 x 0 ].
 1 0 
L’état probabiliste P2 est défini par
 0 1 
P2 = P1 × M = [ y 0 x 0 ] × 
 = [ x 0 y 0 ] = P0 .
 1 0 
i si n est pair, alors Pn = P0 = [ x 0 y 0 ] ;
On conjecture que
i si n est impair, alors Pn = P1 = [ y 0 x 0 ].
P =[x
y ] une matrice ligne telle que P = P M et x + y = 1.
 0 1 
. Ce système s’écrit
P = P M équivaut au système [ x y ] = [ x y ] × 
1
0


[ x y ] = [ y x ].
Soit
Si un état stable P existe, on doit avoir x = y. Comme x + y = 1, on obtient x = y = 0,5.
1er cas
x 0 = y 0 = 0, 5 d’où P0 = [ 0, 5 0, 5]
Dans ce cas, l’état initial n’évolue pas et, pour tout entier n, on a
Pn = [ 0, 5 0, 5].
L’état stable est l’état initial ; il est homogène car x = y.
2e cas
x0 ≠ y0
Dans ce cas, le processus alterne, sans se stabiliser, entre les deux états
probabilistes [ x 0 y 0 ] et [ y 0 x 0 ]. On peut dire que le processus, qui
n’a pas d’état stable, « clignote ».
Séquence 4 – MA04
27
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Conclusion
L’état stable existe uniquement lorsque l’état initial est [ 0, 5 0, 5] et l’état stable
est alors égal à l’état initial. Le système n’admet pas, en général, d’état stable.
3) On pose M = B.
n = 1 ; n = 2
n = 10 ; n = 11
n = 20 ; n = 21
(n ≥ 2)
 1 0 
M n= 
= I
 0 1 
n impair
 0 1 
M n= 
=M
 1 0 
n pair
Conjecture : suivant la parité de n, la matrice M n semble être égale à M ou à I.
Complément : graphes probabilistes à 2 états
On suppose que 0 < a < 1 et 0 < b < 1.
P
= P M équivaut au système [ x
y]=[x
 1− a
a 
y ] ×
.
 b 1− b 
−ax + by = 0
(1− a )x + by = x
.
, soit encore 
Ce système s’écrit 
 ax − by = 0
ax + (1− b )y = y
Ainsi, le système se ramène toujours à une seule équation a x – b y = 0.
trouver l’état stable, il ne faut pas oublier l’équation x + y = 1.
ax − by = 0
.
Déterminer l’état stable revient donc à résoudre le système 
x +y =1

b
a
.
On obtient x =
et y =
a +b
a +b
Pour
D
Exercice 1
Exercices d’apprentissage
Une île bretonne
On considère une population donnée d’une île de Bretagne se rendant régulièrement sur le continent. Deux compagnies maritimes A et B effectuent la traversée.
En 2012, 60 % de la population voyage avec la compagnie A. Les campagnes
publicitaires font évoluer cette répartition. Une enquête indique alors que, chaque
année, 20 % des clients de la compagnie A l’abandonnent au profit de la compagnie B et que 10 % des clients de la compagnie B choisissent la compagnie A.
Pour tout entier naturel n, l’état probabiliste de l’année 2012 + n est défini par
la matrice ligne ( x n y n ) où x n désigne la proportion de la population qui
voyage avec la compagnie A et y n la proportion de la population qui voyage
avec la compagnie B.
� Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B.
28
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Séquence 4 – MA04
� Écrire la matrice de transition M de ce graphe en prenant les sommets A et B
dans cet ordre.
� Préciser l’état initial P0 puis montrer que P1 = ( 0, 52 0, 48 ) .
� Déterminer la répartition prévisible du trafic entre les compagnies A et B en
2014 et en 2015.
� Déterminer l’état stable et l’interpréter.
� Montrer que, pour tout entier naturel n, x n +1 = 0, 7x n + 0,1.
4
1
� On admet que, pour tout entier naturel n, x n = × 0, 7n + . Déterminer la
15
3
limite de la suite ( x n ) et l’interpréter.
Exercice 2
Les voyages de M. et Mme Toulemonde
M. et Mme Toulemonde habitent dans une grande ville et aiment beaucoup voyager. Ils prévoient toujours de partir pendant l’été, soit à l’étranger, soit de visiter
une région de France.
S’ils sont restés en France une année donnée, la probabilité qu’ils partent à
l’étranger l’année suivante est de 0,4.
S’ils sont partis à l’étranger une année donnée, la probabilité qu’ils retournent à
l’étranger l’année suivante est de 0,7.
Pour tout entier naturel n, on note Pn la matrice ligne (an bn ) traduisant
l’état probabiliste l’année (2012 + n) où an désigne la probabilité que ce couple
soit parti à l’étranger l’année (2012 + n) et bn la probabilité que ce couple soit
resté en France l’année (2012 + n).
� a. Traduire les données par un graphe probabiliste dont les sommets seront
notés E et F (E pour étranger et F pour France).
b. En déduire la matrice de transition en prenant tout d’abord E puis F pour
l’ordre des sommets. On notera M cette matrice.
c. Déterminer les matrices M 2 et M 3.
� L’été 2012, ce couple est resté en France.
a. Donner P0 , qui est l’état probabiliste initial en 2012. En déduire la matrice
ligne P1.
b. Calculer P3 . En déduire la probabilité que ce couple parte à l’étranger en
2015.
� Dans cette question, on suppose que l’été 2012 ce couple est parti à l’étranger.
a. Donner P0 , qui est l’état probabiliste initial en 2012. En déduire la matrice
ligne P1.
b. Calculer P3 . En déduire la probabilité que ce couple parte à l’étranger en
2015.
Séquence 4 – MA04
29
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� On va déterminer l’état probabiliste stable par deux méthodes.
Méthode
1
Déterminer, en gardant 5 décimales, les matrices M n
pour
n ∈ {5 ; 8 ; 9 ; 10 ; 15 ; 20 }. Quelle conjecture peut-on faire sur la matrice M n
lorsque n devient suffisamment grand ? Conjecturer l’état probabiliste stable
puis vérifier la conjecture.
Méthode
2
Soit P la matrice ligne ( x y ) donnant l’état stable où x et y sont deux réels
positifs tels que x + y = 1.
Déterminer l’état stable puis interpréter le résultat.
Exercice 3
Propagation d’un virus… informatique
Un site Internet, appelé site n° 1, propose un unique lien vers un site partenaire,
appelé site n° 2, sans retour possible. De même, le site n° 2 propose un unique
lien vers un site n° 3, sans retour possible et ainsi de suite (voir schéma) :
V
S
Site n° 1 Site n° 2 ... Site n° n Site n° (n + 1) ...
↑
0
Schéma
Figure 8
Le site n° 1 vient d’être infecté par un virus informatique qui utilise les liens entre
les sites pour essayer de se propager, les autres sites n’étant pas encore touchés.
Face à ce nouveau virus, les antivirus ne sont efficaces qu’à 80 %.
On note :
V l’état « le site est infecté par le virus » ;
S l’état « le site est sain (non infecté par le virus) ».
On a dessiné, sur la figure 8, le graphe probabiliste traduisant les risques de
propagation du virus d’un site au site suivant.
� Après avoir justifié la valeur 0, recopier et compléter le graphe probabiliste de
la figure 8.
� Préciser la matrice de transition M de ce graphe (première ligne pour V, deu-
xième ligne pour S ).
� Pour tout entier naturel non nul n, on note :
pn la probabilité que le n-ième site soit infecté ;
q n la probabilité que le n-ième site soit sain ;
X n = [ pn
soit infecté.
30
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Séquence 4 – MA04
q n ]. On a donc X 1 = [ 1 0] , traduisant le fait que le site n° 1
a. Écrire la relation existant entre X n +1 et X n et en déduire une relation
entre pn +1 et pn .
b. Exprimer pn , puis q n , en fonction de n.
c. Déterminer la limite de chacune des suites ( pn ) et (q n ) lorsque n tend
vers l’infini.
d. Déterminer l’état stable du processus et l’interpréter.
Exercice 4
Le cube et les deux fourmis
On considère le cube « fil de fer » de la figure 9 où deux
fourmis se déplacent sur des arêtes métalliques.
Initialement (à l’instant 0), l’une est en F et l’autre en H.
T
N
G
Chacune met une minute pour parcourir une arête.
En chacun des huit sommets, les fourmis choisissent
au hasard, indépendamment l’une de l’autre, l’une des
trois arêtes partant du sommet.
H
On désigne par :
F
E
D
C
Figure 9
2/9
K
R
Figure 10
K l’état « les deux fourmis sont sur une même face du
cube » ;
R l’état « les deux fourmis ne sont pas sur une même
face du cube » ;
Pn = [ kn rn ] la matrice ligne donnant l’état probabiliste au bout de n minutes. On a donc P0 = [ 0 1].
Le graphe probabiliste représentant la situation est des2

siné sur la figure 10  on donne p (K → R ) =  .

9
On appelle M la matrice de transition de ce graphe en
considérant les états dans l’ordre alphabétique.

� a. Montrer que P1 =  2
1 
 et dire pourquoi cette matrice ligne donne la
 3 3 
deuxième ligne de la matrice M.
b. En déduire la matrice M et compléter le graphe de la figure 10.
� Donner l’état probabiliste au bout de 2 minutes (valeurs exactes), puis l’état
probabiliste au bout de 5 minutes (valeurs arrondies à 0,001 près).
� Déterminer, à la calculatrice, les matrices M 10 et M 12.
� Soit P = [ k
r ] la matrice ligne de l’état probabiliste stable. Déterminer k et r.
1
2
� Montrer que, pour tout entier n ≥ 0, kn +1 = kn + .
9
3
3
� Soit u la suite définie, pour tout entier n ≥ 0, par un = kn − .
4
Séquence 4 – MA04
31
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1
a. Montrer que la suite u est une suite géométrique de raison q = .
9
b. En déduire un , puis kn , en fonction de n.
c. Calculer la limite de la suite k quand n tend vers l’infini et interpréter cette
limite.
Exercice 5
Sauts de puce
On étudie le mouvement aléatoire d’une puce.
Cette puce se déplace sur trois cases notées A, B et C.
Le graphe probabiliste décrivant la situation est sur la
figure 11.
1/3
2/3
B
0,5
A
On note :
C
0,5
2/3
1/3
Figure 11
an la probabilité de l’événement An « à l’instant n la
puce est en A » ;
bn la probabilité de l’événement Bn « à l’instant n la
puce est en B » ;
c n la probabilité de l’événement Cn « à l’instant n la
puce est en C ».
On désigne par Pn = [an
à l’instant n.
bn
c n ] la matrice ligne donnant l’état probabiliste
À l’instant 0, la puce est en A, d’où P0 = [ 1 0 0].
On appelle M la matrice de transition de ce graphe probabiliste en considérant
les états dans l’ordre alphabétique.
� Dire pourquoi ce graphe est bien un graphe probabiliste et écrire la matrice M.
� a. Déterminer l’état probabiliste à l’instant n = 1.
 12 3 3 
 12 21 21 
1
1


3
b. On donne M =  4 8 6  et M =  28 12 14  .
18
54
 4 6 8 
 28 14 12 
En déduire l’état probabiliste aux instants n = 2 et n = 3.
2
c. Donner, à l’aide d’une calculatrice, l’état probabiliste pour n = 10 puis pour
n = 16 (garder 3 décimales).
d. Conjecturer la limite de chacune des suites (an ), (bn ) et (c n ) lorsque n
tend vers +∞.
� On admet l’existence d’un état probabiliste stable P = [ a
b c ].
Déterminer, d’après la conjecture précédente, les réels a, b et c.
32
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Séquence 4 – MA04
Exercice 6
Déplacement d’un jeton sur des carrés
On s’intéresse à la position d’un pion sur un plateau de jeu
constitué de quatre carrés A, B, C et D (voir figure 12).
Le joueur dispose d’une boîte dans laquelle sont placés quatre
jetons numérotés 1, 2, 2, 3 (voir figure 12).
B
A
Le joueur tire au hasard un jeton de la boîte, note son numéro,
le remet dans la boîte et avance son pion, dans le sens indiqué
par les flèches, d’autant de cases. Il recommence à tirer un
jeton dans les mêmes conditions et avance son pion en repartant de la case d’arrivée du coup précédent, et ainsi de suite.
C D
1
2
2
Au départ, le pion est dans la case A.
Ainsi, si le joueur tire le jeton 3 puis un jeton 2, il placera
d’abord le pion dans la case D puis ira en B.
Pour tout entier n, on note Pn = ( an
matrice ligne donnant l’état probabiliste
n-ième tirage d’un jeton. On a P0 = ( 1 0
3
bn c n d n ) la
du joueur après le
0 0) .
On appelle M la matrice de transition de ce graphe en considérant les états dans l’ordre alphabétique.
Figure 12
� Montrer que P1 = ( 0
0, 25 0, 5 0, 25). Dire pourquoi cette matrice ligne
est la première ligne de M.
� Recopier et compléter la matrice M. Justifier les 0 sur la diagonale.
 0 0, 25 0, 5 0, 25

...
0
0, 25 0, 5
M =
 0, 5 ...
...
0

...
...
0
 ...






� Déterminer l’état probabiliste P2.
� Une seule des trois matrices R, T, S suivantes correspond à l’état stable.
 1 3
R =
 8 8
1
8
 1
3 
T
=
;


8 
 6
1
4
1
4
 1
1 
S
=
;


3 
 4
1
4
1
4
1 
.
4 
Déterminer, parmi ces trois matrices, celle qui donne l’état probabiliste stable.
Séquence 4 – MA04
33
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3
Synthèse
de la séquence
Un graphe probabiliste est un graphe orienté et pondéré tel que la somme des poids des arcs sortant
de chaque sommet soit égale à 1.
Graphe probabiliste d’ordre 2
Graphe probabiliste d’ordre 3
Matrice de
transition M
Graphe probabiliste
Le poids de l’arc i → j est la probabilité de transition de l’état i à l‘état j.
0,8
0,5
0,2
C
0,3
G
D
0,4
0,2
0,3
0,6
0,6
0,4
A
B
0,7
Le terme pi j = p (i → j ), situé à l’intersection de la i-ème ligne et de la j-ème colonne,
a pour valeur le poids de l’arc i → j si cet arc existe, 0 sinon.
 0,8
M =
 0,4
 0,6 0,4 0  ← somme = 1


M =  0,7 0 0,3  ← somme = 1
 0,3 0,2 0,5  ← somme = 1


0,2  ← somme = 1

0,6  ← somme = 1
Propriétés
L’état probabiliste d’un système est une loi de probabilité définie sur l’ensemble des états possibles.
Cette loi est représentée à l’étape n par une matrice de la forme
Pn = [ an
Pn = [ an
bn ] pour 2 états ;
bn c n ] pour 3 états.
La somme des éléments de chacune des lignes d’une matrice de transition est égale à 1.
Pn = P0 M n
Pn+1 = PnM
Pn = P1M n–1
État stable
Un état probabiliste P est stable si P = P M où M est la matrice de transition associée au graphe.
t Pour tout graphe probabiliste d’ordre 2 dont la matrice de transition ne comporte pas de 0, l’état probabiliste Pn = [ x n y n ] converge vers un unique état probabiliste stable P = [ x y ] indépendant de l’état initial. Cet état stable P vérifie P = P M.
Chercher l’état stable P = [ x
y ] revient à résoudre le système [ x
y ]×M = [ x
y ] et x + y = 1.
x = lim x n et y = lim y n .
n →+∞
On peut aussi chercher
[ x 1− x ] × M = [ x 1− x ].
l’état
stable
n →+∞
sous
la
forme
P = [ x 1− x ]
et
résoudre
34
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Séquence 4 – MA04
État stable
t Pour tout graphe probabiliste d’ordre 3 dont la matrice de transition ne comporte pas de 0, l’état
probabiliste Pn = [ x n y n z n ] converge vers un unique état probabiliste stable P = [ x y z ]
indépendant de l’état initial. Cet état stable P vérifie P = P M.
Chercher l’état stable P = [ x
x + y + z = 1.
y
z ] revient à résoudre le système [ x
y
z ]×M = [ x
y
z ] et
x = lim x n ; y = lim y n et z = lim z n .
n →+∞
n →+∞
n →+∞
Si une matrice d’ordre 2 ou d’ordre 3 comporte au moins un 0, il peut tout de même y avoir un état
stable mais on ne peut pas en être certain.
Séquence 4 – MA04
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4
Exercices
de synthèse
Exercice I
Campagne publicitaire
On considère une grande population d’acheteurs de yaourts.
On suppose que l’effectif de cette population est stable.
Une entreprise commercialise des yaourts sous la marque Y et 30 % des acheteurs de yaourts achètent la marque Y.
L’entreprise décide de faire une campagne publicitaire pour améliorer ses ventes.
Au bout d’une semaine, une enquête indique que :
t 20 % des acheteurs de yaourts qui achetaient la semaine précédente des
yaourts des autres marques achètent maintenant des yaourts Y ;
t 10 % des acheteurs de yaourts qui achetaient la semaine précédente des
yaourts Y achètent maintenant des yaourts des autres marques.
L’entreprise continue sa campagne publicitaire. On fait l’hypothèse que l’évolution des résultats obtenus à l’issue de la première semaine de campagne publicitaire est la même les semaines suivantes.
� Dessiner le graphe probabiliste correspondant à cette situation (les sommets
seront appelés Y et Z ).
� Soit X 0 = [ 0, 3 0, 7] la matrice ligne décrivant l’état probabiliste initial de
la population.
a. Donner la matrice de transition A associée au graphe précédent (on prend
les sommets dans l’ordre Y , Z ).
b. Déterminer la probabilité qu’un acheteur de yaourts choisi au hasard, après
deux semaines de campagne publicitaire, achète des yaourts de la marque Y.
� On admet que, pour tout entier naturel n,


n 
A =


2  1 n
+   0, 7
3  3
2  2 n
−   0, 7
3  3
1  1 n 
−   0, 7 
3  3
.
1  2 n 
+   0, 7 
3  3

Soit X n = [ y n z n ] la matrice ligne décrivant l’état probabiliste de la population
après n semaines de campagne publicitaire.
Exprimer y n en fonction de n.
Avec l’hypothèse ci-dessus, l’entreprise peut-elle espérer atteindre une part de
marché de 70 % ? Justifier.
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Séquence 4 – MA04
Exercice II
Vente par téléphone
Zoé travaille dans une société spécialisée dans la vente par téléphone. Chaque
jour, elle doit appeler une liste de clients pour leur proposer un produit particulier.
Après avoir observé un grand nombre d’appels de Zoé, on peut faire l’hypothèse
suivante :
t si le client contacté répond favorablement (situation A ), cela donne de l’assurance à Zoé, et elle arrive à convaincre le client suivant une fois sur deux ;
t si le client contacté ne répond pas favorablement (situation B ), Zoé se décourage et n’arrive à convaincre le client suivant qu’une fois sur cinq.
� a. Traduire les données de l’énoncé par un graphe probabiliste de sommets
A et B.
b. Écrire la matrice de transition M de ce graphe en respectant l’ordre alphabétique des sommets.
� Ce lundi, Zoé est en forme et elle a convaincu le premier client d’acheter le
produit proposé. La matrice ligne décrivant l’état initial au premier appel est
donc P1 = ( 1 0 ).
Donner la matrice ligne P2 exprimant l’état probabiliste au deuxième appel.
� a. Déterminer, à l’aide d’une calculatrice, la matrice M 5 .
b. Calculer le produit P1M 5 . En déduire la probabilité que Zoé a de convaincre
le sixième client ce lundi.
c. Quelle aurait été la probabilité pour Zoé de convaincre son sixième client si
elle n’avait pas convaincu le premier ?
� Déterminer l’état stable du système. Comment peut-on l’interpréter ?
Exercice III
Les joueurs de tennis
Le but de cet exercice est de rechercher la limite d’une suite en utilisant deux
méthodes différentes.
Deux joueurs A et B, amateurs de tennis, décident de jouer une partie toutes les
semaines.
La probabilité que A gagne la partie de la première semaine est de 0,8.
Si A gagne la partie de la semaine n, il garde la même stratégie de jeu la semaine
suivante et la probabilité qu’il gagne alors la partie de la semaine (n + 1) est
de 0,7.
Si A perd la partie de la semaine n, il change de stratégie de jeu pour la semaine
suivante et la probabilité qu’il gagne alors la partie de la semaine (n + 1) est de 0,5.
Pour tout entier n supérieur ou égal à 1, on désigne par :
An l’événement « A gagne la partie de la n-ième semaine » et on note
an = p ( An ) ;
Bn l’événement « B gagne la partie de la n-ième semaine ».
Séquence 4 – MA04
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Première méthode : graphe probabiliste
Pour tout entier naturel n non nul, on désigne par Pn = [ an
des probabilités associée à la n-ième semaine.
1− an ] la matrice
� Décrire cette situation à l’aide d’un graphe probabiliste, et donner la matrice M
de transition associée à ce graphe.
� a. Déterminer les matrices M 2 et M 3 .
b. Quelle est la probabilité pour que A gagne la partie de la 4e semaine ?
� a. Déterminer la matrice ligne P = [ x
1− x ] telle que P × M = P.
b. En déduire la limite de la suite (an ) et interpréter le résultat obtenu.
Deuxième méthode : probabilités et suites
Dans cette deuxième partie, on ne tient pas compte des résultats démontrés dans
la partie précédente.
...
an
An+1
An
...
...
...
Bn
...
Bn+1
An+1
Bn+1
� Recopier l’arbre sur votre copie et le compléter avec les
cinq probabilités manquantes.
� Justifier que an +1 = 0, 5 + 0, 2an pour tout entier n supé-
rieur ou égal à 1.
� On considère la suite u définie, pour tout entier n supé-
rieur ou égal à 1, par : un = an − 0, 625.
a. Démontrer que u est une suite géométrique de raison
égale à 0,2.
b. En déduire l’expression de an en fonction de n, puis
la limite de la suite (an ).
c. Donner l’expression de bn = p (Bn ) en fonction de n,
puis la limite de la suite (bn ).
Exercice IV
Les dés rouges et verts
On considère deux dés cubiques non pipés, notés A et B. Le dé A comporte trois
faces rouges et trois faces vertes. Le dé B comporte quatre faces rouges et deux
faces vertes.
On choisit au départ le dé A et on le lance :
si la face supérieure est rouge, on garde le même dé ;
si la face supérieure est verte, on change de dé.
Puis on relance le dé, et ainsi de suite en suivant le même processus.
On désigne par :
An l’événement « on utilise le dé A au n-ième lancer » ;
Bn l’événement « on utilise le dé B au n-ième lancer » ;
Rn l’événement « on obtient rouge au n-ième lancer » ;
Vn l’événement « on obtient vert au n-ième lancer ».
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Séquence 4 – MA04
On désigne par an , bn , rn et v n les probabilités respectives des événements
An , Bn , Rn et Vn .
Pour tout entier n ≥ 1, on note Pn la matrice ligne [ an
P1 = [ 1 0].
bn ]. On a donc
L’arbre suivant représente le début du processus :
Choix du
dé A
1er lancer
de dé
Dé imposé
par la
couleur
2e lancer
de dé
Dé imposé
par la
couleur
↓
↓
↓
↓
↓
0,5
R1
1 A
2
...
...
R2
1
A3
V2
1
B3
R2
1
B3
V2
1
A3
A1
0,5
V1
1 B
2
...
...
� a. Donner la matrice ligne P2.
b. Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B.
� a. Écrire la matrice de transition M associée à ce graphe (prendre les sommets
dans l’ordre alphabétique).
 5 7 
b. Vérifier que P3 = 
 et calculer P4 .
 12 12 
� a. Soit P = [a
b ] la matrice ligne de l’état probabiliste stable. Déterminer
a et b.
b. En déduire la limite de chacune des suites (an ) et (bn ), puis interpréter
les résultats obtenus.
Exercice V
Chemins buissonniers
Énora peut se rendre à pied au lycée par trois chemins A, B et C. Chaque jour, elle
peut changer d’itinéraire, ou pas.
t Si elle prend le chemin A, le lendemain elle prend le chemin B trois fois sur dix
et le chemin C quatre fois sur dix.
t Si elle prend le chemin B, le lendemain elle prend le chemin A une fois sur deux
et le chemin C quatre fois sur dix.
t Si elle prend le chemin C, le lendemain elle prend le chemin A une fois sur cinq
et le chemin B trois fois sur cinq.
Séquence 4 – MA04
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Pour tout n ≥ 1, on note :
an la probabilité de l’événement An « le n-ième jour Énora prend le chemin A » ;
bn la probabilité de l’événement Bn « le n-ième jour Énora prend le chemin
B » ;
c n la probabilité de l’événement Cn « le n-ième jour Énora prend le chemin C ».
La matrice ligne Pn = [ an
bn
c n ] représente l’état probabiliste le n-ième jour.
� Traduire les données de l’énoncé par un graphe probabiliste.
� Écrire la matrice de transition M associée à ce graphe (prendre les sommets
dans l’ordre A, B, C ).
� Un lundi, Énora a choisi le chemin A pour aller au lycée. On a donc
P1 = [1 0 0].
a. Déterminer l’état probabiliste du lendemain.
b. Exprimer, pour n ≥ 1, la matrice ligne Pn en fonction de P1, M et n.
En déduire l’état probabiliste du vendredi, c’est-à-dire le 5e jour de la
−3
semaine. On donnera chaque probabilité à 10 près.
� On pose T = [ 1 1 1].
a. Calculer la matrice ligne T × M .
b. En déduire l’état probabiliste stable P = [ x
résultats.
Exercice VI
y
La bille
On dispose d’une bille qui peut rouler sur les trois segments de la figure 13.
z ]. Interpréter les
B
C
Si elle est en A ou en D, elle tombe dans un trou et y reste.
Si elle est en B ou en C, elle roule de manière équiprobable
jusqu’à l’un des deux points voisins.
� Traduire les données de l’énoncé par un graphe pro-
babiliste.
Trou A
Trou D
Figure 13
� a. Écrire la matrice de transition M associée à ce graphe (prendre les sommets
dans l’ordre A, B, C, D).
b. Déterminer, à la calculatrice ou à l’aide du logiciel SciLab, les matrices
M 2 , M 3 , M 4 , M 5 et M 250 . Que remarque-t-on ?
� Que se passe-t-il si, initialement, la bille est en A ou bien en D ? L’état pro-
babiliste Pn peut-il converger vers un état stable indépendamment de l’état
initial ? Justifier.
� On suppose, dans les questions 4) et 5), qu’à l’instant n = 0 la bille est en B.
On note Pn = [an bn c n
Ainsi, P0 = [0 1 0 0 ].
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Séquence 4 – MA04
d n ] l’état probabiliste de la bille après n étapes.
a. Où peut se trouver la bille à l’étape n = 1 ? Déterminer la matrice ligne P1.
b. Où peut se trouver la bille à l’étape n = 2 ?
� a. Exprimer, pour n ≥ 0, la matrice ligne Pn en fonction de P0 , M et n.
b. En déduire l’état probabiliste après 2 étapes, 3 étapes, 5 étapes.
c. Conjecturer, à l’aide de la calculatrice, vers quel état probabiliste converge
l’état probabiliste Pn de la bille après un assez grand nombre n d’étapes.
� a. Conjecturer, à l’aide de la calculatrice, quelle est la matrice L formée par les
n
limites des coefficients de la matrice M lorsque n tend vers +∞.
b. Soit P = [ x
y
z t ] une matrice ligne telle que P = P × M et
x + y + z + t = 1. Que peut-on dire des réels x, y, z et t ?
Montrer la cohérence de ce résultat avec la question 3).
쎱
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