Groupes et symétries - Editions Ecole Polytechnique

Groupes et symétries
Groupes finis, groupes et algèbres de Lie,
représentations

Sophus Lie (1842-1899), vers 1865, `a la fin de ses ´etudes `a l’Universit´e
de Christiana (Oslo), environ sept ans avant ses premiers travaux sur les
groupes continus, appel´es plus tard (( groupes de Lie )).
(Photo Frederik Klem/Joronn Vogt, avec l’aimable autorisation de Joronn Vogt
et Arild Stubhaug)

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Groupes et symétries
Groupes finis, groupes et algèbres de Lie,
représentations
Yvette Kosmann-Schwarzbach
DEUXIÈME
ÉDITION

Ce logo a pour objet d’alerter le lecteur sur la menace que représente
pour l’avenir de l’écrit, tout particulièrement dans le domaine univer-
sitaire, le développement massif du «photocopillage».
Cette pratique qui s’est généralisée, notamment dans les établissements
d’enseignement, provoque une baisse brutale des achats de livres, au
point que la possibilité même pour les auteurs de créer des œuvres nou-
velles et de les faire éditer correctement est aujourd’hui menacée. Nous
rappelons donc que la production et la vente sans autorisation, ainsi
que le recel, sont passibles de poursuites.
Les demandes d’autorisation de photocopier doivent être adressées à
l’éditeur ou au Centre français d’exploitation du droit de copie :
20, rue des Grands-Augustins , 75006 Paris. Tél. : [phone].
© Éditions de l’École Polytechnique - Juillet 2006
91128 Palaiseau Cedex

Table des mati`eres
Introduction 7
1 G´en´eralit´es sur les groupes 13
1 Rappel de quelques d´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Exemples de groupes finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1 Groupe cyclique d’ordre n..................... 14
2.2 Groupe sym´etrique Sn....................... 14
2.3 Groupe di´edral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4 Autres exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3 Exemples de groupes infinis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4 Actions de groupes, classes de conjugaison . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5 R´ef´erences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 Repr´esentations des groupes finis 21
1 Repr´esentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.1 G´en´eralit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2 Repr´esentations irr´eductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3 Somme directe de repr´esentations . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.4 Op´erateurs d’entrelacement, lemme de Schur . . . . . . . . . . 24
2 Caract`eres et relations d’orthogonalit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1 Fonctions sur un groupe, coefficients matriciels . . . . . . . . . 26
2.2 Caract`ere d’une repr´esentation, relations d’orthogonalit´e . . . . 27
2.3 Table de caract`eres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4 Application `a la d´ecomposition des repr´esentations . . . . . . . 31
3 La repr´esentation r´eguli`ere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2 Caract`ere de la repr´esentation r´eguli`ere . . . . . . . . . . . . . 33
3.3 D´ecomposition en composantes isotypiques . . . . . . . . . . . 33
3.4 Base de l’espace vectoriel des fonctions centrales . . . . . . . . 34
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