Cours d`analyse 1ère année

Cours d’analyse 1ère année
Rhodes Rémi
10 décembre 2008

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Table des matières
1 Propriétés des nombres réels 5
1.1 Sous-ensembles remarquables de R........................ 5
1.2 Relationsd’ordre .................................. 5
1.3 Majorant, plus grand élément, borne supérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 L’ensemble des réels, axiomatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5 Valeurabsolue. ................................... 8
1.6 Lafonctionpartieentière.............................. 9
1.7 Lesintervalles.................................... 9
1.8 Densité de Qet de R\Qdans R.......................... 9
2 Suites réelles 11
2.1 Définition, premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Suitesconvergentes................................. 11
2.3 Suitesextraites ................................... 13
2.4 Suitesmonotones .................................. 13
2.5 Limitesetinégalités. ................................ 14
2.6 Suitesadjacentes................................... 15
2.7 Suitesdecauchy. .................................. 16
2.8 Suitesparticulières ................................. 16
3 Fonctions réelles de la variable réelle 17
3.1 Premièresdéfinitions ................................ 17
3.2 Fonctionsremarquables............................... 17
3.3 Opérations sur les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.4 Limited’unefonction................................ 19
3.5 Opérations sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.6 Limiteetinégalités ................................. 21
3.7 Limites et fonctions monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
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4TABLE DES MATIÈRES
4 Continuité des fonctions réelles de la variable réelle 23
4.1 Premières définitions et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.2 Fonctions continues sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.3 Uniformecontinuité................................. 26
5 Dérivabilité 29
5.1 Définitions...................................... 29
5.2 Opérations sur les dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.3 Accroissementsfinis ................................ 31
5.4 Variationsdesfonctions............................... 33
5.5 FormulesdeTaylor ................................. 33
6 Fonctions trigonométriques et hyperboliques 37
6.1 Fonctions circulaires directes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6.2 Fonctions circulaires réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6.3 Fonctions hyperboliques directes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.4 Fonctions hyperboliques réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Chapitre 1
Propriétés des nombres réels
1.1 Sous-ensembles remarquables de R
Dans la suite, on note
N={entiers positifs}={0,1,2, . . .}
Z={entiers relatifs}=N∪(−N)
Q={nombres rationnels}={p
q;p∈Z, q ∈N∗}
R={nombres réels}
1.2 Relations d’ordre
Définition 1. Soient E, F deux ensembles non vides. Une relation binaire Rde Evers Fest
définie par une partie G(appelée graphe de la relation) de E×F. Si (x, y)∈ G, on dit que xest
en relation avec yet on note xRy.
Définition 2. Soit Eun ensemble non vide. Une relation binaire Rde Evers Eest dite :
– réflexive si ∀x∈E,xRx,
– antisymétrique si pour tous xet ydans E: (xRyet yRx)⇒x=y,
– transitive si pour tous x, y, z dans E: (xRyet yRz)⇒xRz.
Définition 3. Une relation d’ordre sur un ensemble non vide Eest une relation binaire réflexive,
antisymétrique et transitive. Lorsque Eest munie d’une relation d’ordre R, on dit que (E, R)est
un ensemble ordonné.
Exemples :
– Si E=N,Z,Qou R, la relation ≤est une relation d’ordre.
– L’ordre lexicographique est une relation d’ordre sur l’ensemble des mots.
– Soit Eun ensemble non vide. La relation ⊂est une relation d’ordre sur les sous-ensembles
de E.
Exercices :
– Montrer que la relation <n’est pas une relation d’ordre sur R.
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