représentations de groupes de nœuds dans su(2)

DIPLÔME D’HABILITATION À DIRIGER DES RECHERCHES
Université PAUL SABATIER
Laboratoire de mathématiques
Emile PICARD
C.N.R.S – U.M.R. 5580
REPRÉSENTATIONS DE GROUPES DE NŒUDS
DANS SU(2)
Habilitation à diriger des recherches
soutenue le 25 février 1999
par
Michael HEUSENER
Daniel LINES
Rapporteur
Composition du jury :
Michel BOILEAU
Gerhard BURDE
Thomas FIEDLER
Nathan HABEGGER
Alexis MARIN
José Marı́a MONTESINOS AMILIBIA
Pierre VOGEL
Président
Rapporteur
Rapporteur
À mes parents,
à Anke et Slah,
et à Monika.
Je remercie de tout cœur Daniel Lines, José Montesinos et Pierre Vogel d’avoir
rapporté sur mon travail. Ma reconnaissance va aussi à Nathan Habegger qui a
présidé la soutenance.
Je remercie vivement Michel Boileau, Gerhard Burde, Thomas Fiedler, Nathan
Habegger, Alexis Marin, José Montesinos et Pierre Vogel de participer au jury.
Pendant mon séjour de recherche, j’ai beaucoup apprécié l’accueil chaleureux
que réservent les membres du Laboratoire Emile Picard aux invités. Je remercie particulièrement Michel Boileau, Julien Duval, John Guaschi, Claude Hayat–Legrand,
Greg McShane et Joan Porti avec qui j’ai souvent eu l’occasion de discuter.
Je suis reconnaissant envers la COMMISSION EUROPEAN, qui avec la bourse
ERBFMBICT961507 (programme TMR) a financé mon projet de recherche à Toulouse.
REPRÉSENTATIONS DE GROUPES DE NŒUDS
DANS SU(2)
MICHAEL HEUSENER
6 octobre 1998
Résumé
En 1985 A. Casson a découvert un nouvel invariant entier pour les sphères
d’homologie de dimension trois. La définition de cet invariant de Casson est
basée sur l’étude des espaces de représentations dans SU(2) . Il a permis à
Casson de résoudre des problèmes anciens et difficiles en topologie de dimension trois. Ce texte présente quelques résultats concernant l’espace des
représentations du groupe d’un nœud dans SU(2) .
Mots-clés : Groupe de nœuds, espace de représentations, SU(2)
A.M.S. subject classification : 57M05, 57M25
Table des matières
1 Introduction
1
2 Notations
5
3 Les espaces de représentations
6
4 L’invariant de Casson
8
5 L’invariant hα (k)
8
6 Une orientation de Reg(k)
12
7 Les applications
7.1 Une explication du théorème de Lin . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 La déformation des représentations abéliennes . . . . . . . . . . . . .
13
13
14
8 Nœuds toriques et nœuds à deux ponts
8.1 Les nœuds toriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Les nœuds à deux ponts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3 Les courbes de représentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
15
17
19
A Le polynôme d’Alexander et la signature
A.1 Le polynôme d’Alexander . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2 La signature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
23
23
B Les tresses fermées
24
1
Introduction
Dès le début de l’histoire de la théorie des nœuds, le groupe du nœud s’est révélé
un invariant très important (voir [Sei36]). On a donc étudié les représentations de
ce groupe dans les groupes classiques (par exemples les sous-groupes finis de SU(2)
ou PSL(2, C) (cf. la bibliographie [BZ85, K28]) ).
En 1985 A. Casson a découvert un nouvel invariant entier pour les sphères d’homologie de dimension trois. La définition de cet invariant de Casson est basée sur
l’étude des espaces de représentations dans SU(2). Il a permis en particulier à Casson de montrer l’existence d’une variété topologique de dimension quatre non triangulable (cf. section 4). On dit qu’un nœud k de S 3 vérifie la propriété P si l’on
n’obtient jamais une sphère d’homotopie par une chirurgie de Dehn non triviale sur
k . Casson a montré qu’un nœud k de S 3 avec ∆!!k (1) non nul vérifie la propriété P,
où ∆k (t) est le polynôme d’Alexander normalisé de k , c’est-à-dire ∆k (1) = 1 et
∆k (t−1 ) = ∆k (t) (cf. annexe A.1). Ce résultat a motivé l’étude de l’espace des
représentations du groupe d’un nœud dans SU(2).
!
Étant donné un nœud k de S 3 , on note R(k)
l’espace des classes de conjugaison
de représentations irréductibles du groupe de k dans SU(2) (cf. section 3). En
adaptant la construction de Casson à un certain scindement du complément de
!
k ⊂ S 3 , j’ai introduit dans [Heu97] une nouvelle méthode pour étudier l’espace R(k).
!
J’ai démontré que dans une situation « générique »l’espace R(k) est une variété de
dimension un qui est munie d’une orientation bien définie. En utilisant un théorème
de Birman [Bir76], j’ai montré que cette orientation est indépendante du scindement
du complément de k . Précisément, soit ρ : G(k) → SU(2) une représentation où
G(k) désigne le groupe de k . Nous notons H 1 (G(k), Ad ◦ρ) le groupe d’homologie
à coefficients tordus par la représentation adjointe (cf. section 3 pour les détails).
Lorsque H 1 (G(k), Ad ◦ρ) ∼
= R, on dit simplement que ρ est régulière 1 . Désignons
!
par Reg(k) ⊂ R(k)
le sous-espace des représentations régulières.
!
Théorème 1 ([Heu97]) Soit k ⊂ S 3 un nœud. L’espace Reg(k) ⊂ R(k)
est une
∗
variété orientée de dimension un. De plus, si k est l’image de k dans un miroir
l’orientation de Reg(k∗ ) est l’opposée de celle de Reg(k).
Cette orientation permet d’expliquer un résultat mystérieux de Lin [Lin92]. Les travaux de Casson ont conduit Lin à introduire un invariant h(k) ∈ Z qui compte
!
algébriquement (à la Casson) les représentations ρ ∈ R(k)
dont l’image du méridien
est une matrice de trace zéro (on désigne aussi par ρ la classe de conjugaison de
ρ s’il n’y a pas de risque de confusion). Lin a démontré que h(k) est la moitié
de la signature σ(k) du nœud k (cf. annexe A.2). La démonstration de Lin de
ce fait est indirecte et n’explique pas pourqoi ces deux invariants, définis dans des
contextes géométrique et topologique différents, coı̈ncident (cf. [Lin92]). J’ai pu expliquer dans [Heu97] que le comptage algébrique de ces représentations est lié au
1
Pour justifier cette notation voir remarque 15
1
nombre algébrique des zéros du polynôme d’Alexander dans S 1 ; et il est bien connu
que ce nombre est relié à la signature de k (cf. section 7.1).
En suivant une suggestion de Ruberman, on peut généraliser l’invariant h(k)
!
en comptant les représentations ρ ∈ R(k)
telles que tr(ρ(m)) = 2 cos(α) pour
α ∈ (0, π) quelconque. On obtient alors un invariant hα (k). Kroll et moi avons
établi cette généralisation de l’invariant de Lin dans [HKr98]. Nous avons démontré
de plus que hα (k) est la moitié de la signature équivariante σk (e2iα ) (cf. section 5
et annexe A.2).
Théorème 2 ([HKr98]) Soit k ⊂ S 3 un nœud. Soit α ∈ (0, π) tel que ∆k (e2iα ) &=
0, alors
1
hα (k) = σk (e2iα ).
2
En utilisant la construction de [Heu97] et ce théorème, on obtient
Corollaire 3 ([Heu97]) Soit k ⊂ S 3 un nœud. S’il existe α ∈ (0, π) tel que
!
∆k (e2iα ) &= 0 et σk (e2iα ) &= 0, alors R(k)
n’est pas vide. De plus, il existe une
!
!
ρ ∈ R(k) telle que dim R(k) ≥ 1 dans un voisinage de ρ.
Ce résultat peut être vu comme une étape pour résoudre la conjecture suivante (cf.
problème 1.8.6 de la liste de Kirby [Kir97]) :
Conjecture 4 Soit k un nœud non trivial dans S 3 , alors la dimension de l’espace
!
R(k)
est supérieure ou égale à 1.
Dans [HKr98] Kroll et moi avons de plus utilisé la méthode que j’ai développé
dans [Heu97] pour généraliser un théorème de Frohman et Klassen [FK91], concernant la déformation des représentations réductibles dans SU(2). Les déformations
d’une représentation ρ : G → SU(2) sont généralement déterminées par le groupe
H 1 (G, Ad ◦ρ) et le cup-crochet
[ . , . ] : H 1 (G, Ad ◦ρ) × H 1 (G, Ad ◦ρ) → H 2 (G, Ad ◦ρ)
(cf. [Abd98, Gol84]).
Avec Klassen j’avais étudié, dans [HKl97], le groupe H 1 (G(k), Ad ◦ρ) pour les
représentations binaires dièdrales et nous avons démontré la conjecture 4 dans ce
cadre pour une grande classe de nœuds.
Théorème 5 ([HKl97]) Soit k un nœud dans S 3 et M̂2 le revêtement ramifié à
deux feuillets de k . Lorsque p ∈ Z est un entier premier tel que H1 (M̂2 , Z/pZ) ∼
=
Z/pZ, il existe une représentation binaire dièdrale ρ : G(k) → SU(2) telle que ρ ∈
!
!
!
R(k)
est régulière. En particulier, ρ est un point lisse de R(k)
et dim(R(k))
=1
au voisinage de ρ.
2
La déformation d’une représentation réductible, c’est-à-dire ici d’une
représentation abélienne, est plus difficile que la déformation des représentations
binaires dièdrales (qui sont toujours irréductibles). Une tentative directe nécessite le
calcul du cup-crochet (cf. [Abd98]). Dans [HKr98] nous avons choisi une voie alternative que je présente maintenant. Pour un nœud k dans S 3 , nous notons M (k) (resp.
G(k) := π1 (M (k))) le complément de k (resp. le groupe de k ). Le groupe d’homologie H1 (M (k), Z) ∼
= Z est le groupe cyclique infini qui est engendré par l’image
du méridien de k . Ainsi toute représentation abélienne se factorise par Z et est
déterminée par l’image du méridien. On obtient que toute représentation abélienne
ρ : G(k) → SU(2) est conjuguée à une représentation
#
"
iα
0
ρα : G(k) → SU(2) donnée par ρα : m )→ e0 e−iα
où α ∈ [0, π]. Notons par Ra le quotient des représentations abéliennes modulo
conjugaison, alors on a
!
R(k) = R(k)
∪ Ra
où Ra est paramétré par l’intervalle [0, π] et R(k) désigne l’espace des classes
de conjugaison de représentations du groupe G(k) dans SU(2). Remarquons que
l’espace Ra ∼
= [0, π] est un sous-espace de R(k), quel que soit k ⊂ S 3 .
Exemple 6 Soit k ⊂ S 3 le nœud de trèfle. Le groupe du nœud de trèfle est un
produit amalgamé Z∗Z Z et admet une présentation assez simple : G(k) ∼
= ,u, v|u2 =
!
v 3 -. L’espace R(k)
est un arc (cf. théorème 28 et figure 1) et les représentations
ρπ/6 , ρ5π/6 ∈ Ra sont limites de représentations non abéliennes. Remarquons que
∆k (t) = t − 1 + t−1 et que donc ∆k (e±iπ/3 ) = 0.
b
R(trèfle)
b
R
−→
ρ0
ρ1
ρ5
Ra
ρ6
Fig. 1 – L’espace R(trèfle) où ρi := ρiπ/6 ∈ Ra .
En général on a le théorème suivant :
Théorème 7 ([Kla91]) Soit k ⊂ S 3 un nœud. Si ∆k (e2iα ) &= 0, il existe un voisinage de ρα dans R(k) qui ne contient que des représentations abéliennes.
En fait on a la conjecture suivante (cf. [HLMA95] ) :
Conjecture 8 Soit k ⊂ S 3 un nœud. Pour que la représentation ρα ∈ Ra soit
limite des représentations non abéliennes il faut et il suffit que ∆k (e2iα ) = 0.
3
Frohman et Klassen ont démontré cette conjecture dans [FK91] lorsque e2iα ∈ S 1
est un zéro simple de ∆k (t). Avec Kroll nous avons obtenu une généralisation de
ce résultat en utilisant la fonction de changement de signature fk : R → Z qui est
définie par
1
fk (α) := (lim σk (e2it ) − lim σk (e2it )).
t↓α
2 t↑α
Par définition si fk (α) &= 0, alors la valeur de ∆k (e2iα ) est nulle. De plus, si e2iα ∈ S 1
est un zéro simple de ∆k (t), alors fk (α) &= 0 (cf. annexe A.2). En utilisant le
théorème 2 et la méthode de [Heu97], nous avons démontré le théorème suivant qui
est une contribution aux conjectures 4 et 8.
Théorème 9 ([HKr98]) Soit k ⊂ S 3 un nœud. Soit α ∈ (0, π) tel que fk (α) &= 0,
alors ρα ∈ Ra est limite de représentations non abéliennes.
Bien que ce théorème soit plus général que le résultat de Frohman et Klassen, on
connaı̂t des déformations de représentations abéliennes qui ne sont pas détectées par
le théorème 9.
Exemple 10 La fonction de changement de signature du nœud rationnel b(49, 17)
est constante nulle, mais il existe une paire de représentations abéliennes qui sont limites de représentations non abéliennes. Dans la figure ci-dessous, les représentations
abéliennes sont paramétrées par la droite τ = 1, plus précisement,
le point (1, cot α)
√
alors aux
correspond à la représentation ρα . Les points (1, ± 7) correspondent
√
représentations ρα0 et ρπ−α0 respectivement où cot α0 = 7. On voit que ρα0 et
ρπ−α0 sont limites de représentations irréductibles (cf. section 8.2 pour les détails).
Notons que ∆b(49,17) (t) = (2t2 − 3t + 2)2 est un carré.
!
R(b(49,
17))
γ
2
← ρα0
1 τ
−1
−2
← ρπ−α0
Remarque 11 Herald a aussi obtenu une démonstration du théorème 9 mais par
des méthodes analytiques très différentes (théorie de jauge). Modulo le théorème 2,
je présente une preuve de ce théorème dans la section 7.2.
4
2
Notations
Ici toutes les variétés sont compactes et orientées (en l’absence d’indication
contraire). Toutes les sphères d’homologie M considérées ici seront des sphères d’homologie entière, c’est-à-dire H1 (M, Z) ∼
= {0}. Nous désignons par −M la variété
obtenue à partir de M par un changement d’orientation.
Pour une sphère d’homologie M , un nœud k dans M est un plongement lisse
du cercle S 1 dans M . Une collection de nœuds disjoints est un entrelacs, c’est-àdire qu’un entrelacs est composé de plusieurs courbes fermées et entrelacées. Deux
nœuds ou entrelacs k et k! de M sont équivalents (k ∼
= k! ) si et seulement s’il
existe un homéomorphisme préservant l’orientation M → M , transformant k en
k! . Lorsqu’un nœud est le bord d’un disque plongé, on dit simplement que le nœud
est trivial ou non noué. En enlevant l’intérieur d’un voisinage tubulaire V (k) de k ,
on obtient le complément M (k) de k . Nous noterons G(k) le groupe du nœud k ,
c’est-à-dire le groupe fondamental de M (k). Le méridien m de k est une courbe
simple fermée sur ∂M (k) telle que la classe d’homologie [m] est un générateur
du noyau H1 (∂M (k)) → H1 (V (k)). On l’oriente de sorte que lk(k, m) = 1 où lk
désigne le nombre d’enlacements dans M . Le choix d’un arc dans M (k) qui joint m
au point base de M (k) permet d’identifier le méridien à un élément de G(k) (encore
noté par m) qui est unique à conjugaison près.
Remarque 12 Dans la suite de ce texte, il est parfois plus raisonnable de travailler
avec le corps des quaternions H : on identifie le group de Lie SU(2) à la sphère
Sp(1) ⊂ H ∼
= R4 des quaternions de norme un. L’isomorphisme SU(2) ∼
= Sp(1) est
donné par :
%
$
a b
)→ a + bj.
−b a
L’algèbre de Lie de Sp(1) est notée E et s’identifie aux quaternions purs. La forme
de Killing, après multiplication par une constante, se transforme en la forme scalaire
standard ,. , .- : E × E → R définie par
,i, i- = ,j, j- = ,k, k- = 1 et ,i, j- = ,i, k- = ,j, k- = 0.
Le groupe Sp(1) agit sur E via la représentation adjointe : pour tout q ∈ Sp(1)
et X ∈ E on a Adq (X) = qXq −1 . La forme scalaire standard est invariante par
l’action de Sp(1), d’où Adq ∈ SO(E) = SO(3) est un isométrie de E. Nous notons
δ : Sp(1) → SO(3) le revêtement double δ : q )→ Adq . Le noyau de δ est exactement
{±1} et deux éléments non triviaux commutent si et seulement si leurs images dans
SO(3) ont le même ensemble de points fixes.
Soit la fonction arg : SU(2) → [0, π] définie par arg(A) = arccos(1/2 tr(A)). On
note Σα l’image réciproque arg−1 (α). Pour tout α ∈ (0, π), l’ensemble Σα ⊂ SU(2)
est une sphère de dimension deux.
La sphère Σπ/2 s’identifie avec la sphère Sp(1)∩E des quaternions purs de norme
un. Tout q ∈ Σα s’écrit en coordonnées polaires q = (α, Q) := cos α + sin α Q où
Q ∈ Σπ/2 . La paire (α, Q) est unique si α &= 0 et π . De plus Q (resp. 2α) est l’axe
(resp. l’angle) de la rotation δ(α, Q) ∈ SO(3).
5
3
Les espaces de représentations
Soit G un groupe discret. On& note
' a b R(G)
( ) := Hom(G,*SU(2)) l’espace des
) aā + bb̄ = 1 . L’espace R(G) est
représentations de G dans SU(2) =
−b̄ ā
muni de la topologie compacte ouverte où G et SU(2) ⊂ C2 ∼
= R4 sont munis de la
topologie discrète et standard respectivement. On obtient un foncteur contravariant
de la catégorie des groupes dans celles des espaces topologiques.
Soit Fn un groupe libre de rang n et soit S := {s1 , . . . , sn } une base de Fn .
L’application ρ )→ (ρ(s1 ), . . . , ρ(sn )) détermine un homéomorphisme entre R(Fn ) et
SU(2)n , en effet, l’espace R(Fn ) est muni d’une structure algébrique lisse, puisque
tout changement de base induit une application polynomiale de SU(2)n ⊂ R4n .
Soit G = ,s1 , . . . , sn | r1 , . . . , rm - un groupe de présentation finie où rj =
rj (s1 , . . . , sn ) sont des mots en les générateurs {s1 , . . . , sn }. La surjection canonique
F (S) → G induit une injection R(G) → R(F (S)) où F (S) désigne le groupe libre
de rang n d’alphabet S := {s1 , . . . , sn }. L’identification précédente entre R(F'n ) et(
SU(2)n identifie R(G) à l’image réciproque r−1 (E, . . . , E) où E est la matrice 10 01
et r : SU(2)n → SU(2)m est l’application
r : (A1 , . . . , An ) )→ (r1 (A1 , . . . , An ), . . . , rm (A1 , . . . , An )).
L’espace R(k) ⊂ SU(2)n ⊂ R4n est donc un ensemble algébrique. Un changement de
présentation de G se traduit par une application polynomiale ; on peut donc munir
R(G) d’une structure algébrique naturelle.
Une représentation ρ ∈ R(G) est abélienne (resp. centrale) si son image Im(ρ) ⊂
SU(2) est un sous-groupe abélien (resp. central). On désigne par S(G) (resp. C(G))
le fermé de R(G) formé des représentations abéliennes (resp. centrales). Notons
qu’une représentation ρ ∈ R(G) est abélienne si et seulement si elle est réductible. À
conjugaison près une représentation ρ ∈ S(G) est diagonale : ρ est donc abélienne, si
et seulement s’il existe
matrice
A ∈ SU(2) telle que Aρ(g)A−1 = eiφg pour tout
' eiφg une
(
iφ
0
g
g ∈ G où e
:= 0 e−iφg . Le groupe SU(2) agit par conjugaison sur R(G) : si
ρ ∈ R(G) et A ∈ SU(2), on définit A · ρ par A · ρ(g) := Aρ(g)A−1 pour tout g ∈ G.
Cette action se factorise à travers SU(2)/{±E} = SO(3) et est libre sur l’ouvert
+
R(G)
:= R(G) ! S(G) formé des représentations irréductibles. On s’intéresse aux
quotients
!
+
R(G)
:= R(G)/SO(3)
et R(G) := R(G)/SO(3).
!
Les espaces R(G)
et R(G) sont munis de la topologie quotient. On peut les munir
!
d’une structure algébriques : R(G) et R(G)
sont des ensembles semi-algébriques. Un
n
ensemble W ⊂ R est semi-algébrique si W est défini par un nombre fini d’équations
et d’inégalités polynomiales (voir [BCR87]).
+
!
De plus, on a une structure de SO(3)–fibré principal R(G)
→ R(G),
puisque
+
l’action de SO(3) sur R(G)
est libre.
Soit M une variété et k ⊂ S 3 un nœud. On écrit R(M ) et R(k) pour les espaces
R(π1 (M )) et R(G(k)) respectivement. Les notations +, ! et R ont le même sens que
ci-dessus : par exemple R(k) est le quotient de R(G(k)) par l’action de SO(3).
6
Soient G un groupe et ρ : G → SU(2) une représentation. Le groupe G agit à
droite sur l’algèbre de Lie su(2) de SU(2), via la représentation adjointe.
G × su(2) → su(2), (g, X) )→ g ◦ X := Adρ(g) (X) = ρ(g)Xρ(g)−1 .
Avec cette opération, l’algèbre de Lie su(2) est un G–module à gauche ; nous le
notons par su(2)ρ .
On considère l’ensemble algébrique R(G) des représentations du groupe G dans
SU(2). L’espace tangent de Zariski TρZar (R(G)) en une représentation ρ ∈ R(G)
peut être identifié à un sous-espace de
Z 1 (G, su(2)ρ ) := {u : G → su(2) | u(gh) = u(h) + Adρ(g) (u(h))}
l’espace des dérivations de G dans su(2)ρ (cf. [Por97, 3.1.3]). Pour étudier l’espace
!
tangent de Zariski de l’ensemble semi-algébrique R(G),
on considère l’espace des
1
dérivations intérieures B (G, su(2)ρ ). On dit qu’une dérivation d ∈ Z 1 (G, su(2)ρ )
est intérieure s’il existe un X ∈ su(2) tel que d(g) = (Adρ(g) −1)(X) pour tout
+
g ∈ G. Si ρ ∈ R(G),
alors on a une inclusion naturelle
!
TρZar (R(G))
→ Z 1 (G, su(2)ρ )/B 1 (G, su(2)ρ ) ∼
= H 1 (G, su(2)ρ )
dans le groupe H 1 (G, su(2)ρ ) de cohomologie de G à coefficients tordus par la
représentation adjointe (cf. [Por97, 3.1.3]).
Soit M une variété de dimension trois, orientable, dont le bord est un tore
! ) en une
incompressible. Pour obtenir des informations sur l’espace tangent à R(M
1
1
∼
représentation ρ, on calcule H (M, su(2)ρ ) = H (π1 (M ), su(2)ρ ). On a le lemme
suivant (cf. [Heu94a] :
+ ) une représentation irréductible telle que ρ(π1 (∂M )) &⊂
Lemme 13 Soit ρ ∈ R(M
1
{±E}, alors dim(H (M, su(2)ρ )) ≥ 1.
+ ) telle que
On fixe maintenant une représentation irréductible ρ ∈ R(M
1
ρ(π1 (∂M )) &⊂ {±E}. Lorsque dim(H (M, su(2)ρ )) = 1, on dit simplement que ρ
est régulière.
+ ) est régulière, alors ρ ∈ R(M
! ) est un
Proposition 14 ([HKl97]) Si ρ ∈ R(M
!
point lisse et dim R(M ) = 1 au voisinage de ρ.
Remarque 15 La proposition 14 justifie la notation régulière. Si une représentation
! )
irréductible ρ : π1 (M ) → SU(2) est régulière, alors elle est un point lisse de R(M
!
et dim(R(M )) = 1 près de ρ.
7
4
L’invariant de Casson
Le point de départ de mes recherches est l’invariant de Casson tel qu’il a été
introduit par Casson en 1985. Pour une sphère d’homologie de dimension trois M ,
Casson a défini un entier λ(M ) ∈ Z qui compte algébriquement les représentations
! ). La définition de λ est basée sur la construction suivante dans les espaces
ρ ∈ R(M
de représentations dans SU(2) (cf. [AM90] et [GM92] pour les détails) :
Pour une sphère d’homologie M de dimension trois, orientée, nous choisissons
un scindement de Heegaard M = H1 ∪F H2 de M , c’est-à-dire une décomposition
en deux corps en anses H1 et H2 , recollés le long d’une surface F = H1 ∩ H2 de
gendre g(F ). Le scindement M = H1 ∪F H2 de Heegaard de M induit des inclu! i ) *→ R(F
! ) et R(M
! ) *→ R(F
! ), i = 1, 2, et le théorème de Van Kampen
sions R(H
!
!
!
! ) est une variété lisse ouidentifie R(M ) à R(H1 ) ∩ R(H2 ). Remarquons que R(F
! i ), i = 1, 2, sont des sous-variétés orientées
verte orientée dans laquelle les R(H
! 1 ) ∩ R(H
! 2 ) dans R(F
! ) montre que le
de dimension moitié. La compacité de R(H
!
!
nombre d’intersections ,R(H1 ), R(H2 )-R(F
b ) est bien défini (cf. [AM90] et [GM92]).
Modulo une correction de signe, l’invariant de Casson λ(M ) est la moitié du nombre
d’intersections ainsi défini. En utilisant le théorème de Reidemeister-Singer, Casson
a montré que λ(M ) est indépendant du choix du scindement de Heegaard de M .
Cassson a démontré que l’invariant de Rohlin +(M ) est la réduction de λ(M )
modulo 2 et que λ change de signe avec l’orientation : λ(−M ) = −λ(M ). C’est un
corollaire immédiat de la définition de λ que λ(M ) = 0 si la représentation triviale
est la seule représentation de π1 (M ) dans SU(2). On obtient donc que l’invariant de
Rohlin d’une sphère d’homotopie ou d’une sphère d’homologie amphichérale est nul.
Ces résultats ont permis à Casson de montrer l’existence d’une variété topologique
de dimension quatre non triangulable (cf. [AM90, Mar88]).
5
L’invariant hα (k)
Dans cette section je présente la construction de l’invariant hα (k). Dans le cas
α = π/2, cet invariant a été introduit par Lin dans [Lin92]. La construction générale
est donné dans [HKr98]. Cette construction est basée sur le fait que tout nœud peut
être présenté comme une tresse fermée (cf. annexe B et figure 2).
ζ
ζ∧
clôture
−→
Fig. 2 – La tresse ζ ∈ B3 et sa clôture ζ ∧ .
8
Soit σ ∈ Bn une tresse et σ ∧ sa clôture comme tresse fermée. La tresse σ induit
un automorphisme (encore noté σ ) du groupe libre Fn := F (S) où S := {s1 , . . . , sn }
(cf. [BZ85, Chapitre 10]). Le théorème de Seifert-Van Kampen permet d’obtenir une
présentation du groupe G(σ ∧ ) de la forme :
G(σ ∧ ) = ,s1 , . . . , sn | si = σ(si ), 1 ≤ i ≤ n-
(1)
(cf. [BZ85] pour les détails).
En utilisant l’identification R(Fn ) ∼
= SU(2)n (en utilisant la base S), la tresse
σ ∈ Bn induit une difféomorphisme (encore noté σ ) σ : SU(2)n → SU(2)n :
σ : (A1 , . . . , An ) )→ σ(A1 , . . . , An ) =: (σ(A1 ), . . . , σ(An )).
Exemple 16 Soit σ = σ1−2 ∈ B2 . Puisque σ(s1 ) = s−1
2 s1 s2 et σ(s2 ) =
−1 −1
s2 s1 s2 s1 s2 , on a σ(A1 , A2 ) =: (σ(A1 ), σ(A2 )) où σ(A1 ) = A−1
2 A1 A2 et σ(A2 ) =
−1
A
A
A
.
A
A−1
2 1 2
2
1
,n
,n
Notons que
i=1 Ai =
i=1 σ(Ai ) pour toute tresse σ ∈ Bn (cf. [BZ85, Chapitre 10]). La surjection canonique F (S) → G(σ ∧ ) induit une injection R(σ ∧ ) *→
SU(2)n . Le fait qu’un élément A ∈ SU(2)n est dans R(σ ∧ ) si et seulement si A est
un point fixe de σ , découle de la présentation (1).
Dans la suite nous supposerons que k := σ ∧ est un nœud. On a donc tr(Ai ) =
tr(Aj ) pour tout A = (A1 , . . . , An ) ∈ R(σ ∧ ) et on s’intéresse à l’espace
Rn := {(A1 , . . . , An ) ∈ SU(2)n | tr(Ai ) = tr(Aj ), 1 ≤ i, j ≤ n} ! {±(E, . . . , E)}
' (
où E := 10 01 . Puisque σ(Rn ) = Rn , on obtient un difféomorphisme σ : Rn → Rn .
Son ensemble de points fixes peut être identifié avec l’espace des représentations
R(σ ∧ ) ! C(σ ∧ ).
Soit α ∈ (0, π). On désigne
Rnα := {(A1 , . . . , An ) | tr(Ai ) = 2 cos α, 1 ≤ i ≤ n} ⊂ Rn .
L’ensemble Rnα ⊂ Rn est une sous-variété de codimension un. On considère les
sous-espaces de R2n suivants :
Hn := {(A1 , . . . , An , B1 , . . . , Bn ) ∈ R2n |A1 · · · An = B1 · · · Bn },
Λn := {(A1 , . . . , An , A1 , . . . , An ) ∈ R2n },
Γσ := {(A1 , . . . , An , σ(A1 ), . . . , σ(An )) ∈ R2n },
Sn := {(A1 , . . . , A2n ) ∈ R2n | Ai Aj = Aj Ai , 1 ≤ i, j ≤ n}.
L’ensemble Sn ⊂ R2n correspond aux représentations abéliennes et tout élément de
' #j iα 0 (
Snα est conjugué à (e&1 iα , . . . , e&2n iα ) où -i ∈ {±1} et e&j iα := e
..
0 e#j iα
Pour Θ = Hn , Λn ou Γσ , nous désignons par :
+ α := Θ
+ ∩ (Rnα × Rnα )
Θα := Θ ∩ (Rnα × Rnα ) et Θ
+ := Θ ! Sn ⊂ R
+2n := R2n ! Sn .
où Θ
9
L’espace Hn est l’image réciproque fn−1 (E) de E par l’application fn : R2n →
SU(2), définie par :
fn : (A1 , . . . , An , B1 , . . . , Bn ) )→ A1 · · · An B1−1 · · · Bn−1 .
Soit fnα la restriction de fn au sous-espace Rnα × Rnα ⊂ R2n . On peut démontrer que
la restriction fnα : (Rnα ×Rnα )!Snα → SU(2) est une submersion (voir [Heu97]). Ainsi,
+ n = Hn !Sn ⊂ R2n est une variété de dimension 4n−2 et H
+ nα = Hnα !Snα ⊂ Rnα ×Rnα
H
+ nα ⊂ H
+ n est une sousest une sous-variété lisse de dimension 4n − 3. Notons que H
variété de codimension un.
+ et Θ
+ α . On obtient donc des SO(3)–fibrés
Le groupe SO(3) agit librement sur Θ
+ →Θ
! := Θ/SO(3)
+
+α → Θ
! α := Θ
+ α /SO(3).
Θ
et Θ
! αn sont des
! αn et Γ
! nα est une variété de dimension 4n − 6 dans laquelle Λ
D’où H
sous-variétés de dimension moitié.
! αn ∩Γ
! αn ne soit pas compacte. En utilisant théorème 7,
Il se peut que l’intersection Λ
on peut démontrer le lemme suivant :
Lemme 17 Soit σ ∈ Bn une tresse telle que σ ∧ ⊂ S 3 est un nœud. Lorsque
! αn ∩ Γ
! αn ⊂ H
! nα est compacte.
∆k (e2iα ) &= 0, l’intersection Λ
On fixe maintenant une orientation sur SU(2). La sphère Σπ/2 sépare SU(2)
en deux composantes dont une contient la matrice E ∈ SU(2). La sphère Σπ/2 est
orientée comme bord de cette composante (le bord ∂M d’une variété M est orienté
avec la convention la normale intérieur en dernier).
Pour tout α ∈ (0, π), on a un difféomorphisme Σπ/2 → Σα défini par P )→ (α, P )
et Σα = arg−1 (α) est donc orientée. Les variétés Rnα , Γασ , Λαn (toutes homéomorphes
à Σnα ) et la variété Rnα ×Rnα sont munies de l’orientation produit. Puisque fnα : (Rnα ×
+ nα par la
Rnα ) ! Snα → SU(2) est une submersion, on obtient une orientation de H
convention (fibre ⊕ base).
Remarque 18 (La convention (fibre) ⊕ (base) ) Soient X , Y deux variétés
différentielles orientées, f : X → Y une submersion, y ∈ Y un point. Le sousespace f −1 (y) ⊂ X est une sous-variété fermée de X ; le sous-espace Tx (f −1 (y))
tangent à f −1 (y) est le noyau de Dx f et on a donc une suite exacte
0 → Tx (f −1 (y)) → Tx (X) → Ty (Y ) → 0.
Soit E un sous-espace vectoriel de Tx (X), supplémentaire de Tx (f −1 (y)), c’est-àdire Tx (f −1 (y)) ⊕ E = Tx (X). Puisque la restriction Dx f |E : E → Ty (Y ) est un
isomorphisme, on obtient une orientation de E . L’espace Tx (X) est orienté par la
convention (fibre) ⊕ (base) si et seulement si
Tx (f −1 (y)) ⊕ E = Tx (X)
comme espace vectoriel orienté.
10
Soit α ∈ (0, π) tel que ∆k (e2iα ) &= 0. On définit hα (σ) comme l’intersection
algébrique
! αn , Γ
!ασ - b α .
hα (σ) := ,Λ
H
n
hα (σ)
On démontre que
est un invariant du nœud k = σ ∧ en utilisant le théorème de
Markov (cf. annexe B) comme dans [Lin92]. De plus, comme le nombre hα (σ1 ) = 0
pour tout α ∈ (0, π), hα est nul pour le nœud trivial.
On démontre que hα (k∗ ) = −hα (k) comme suit : Soit σ ∈ Bn telle que k ∼
= σ∧ ,
−1
∧
α
α
α
α
α
∗
alors on a k ∼
= (σ ) . Soit Fσ : Rn × Rn → Rn × Rn le difféomorphisme
Fσα : (A, B) → (A, σ(B)).
+α → H
+ α préserve l’orientation. Puisque
Il est clair que Fσα (Hnα ) = Hnα et que Fσα : H
n
n
α
α
α
α
α
α
Fσ (Λn ) = Γσ et Fσ (Γσ−1 ) = Λn , on obtient :
! αn , Γ
! ασ hα (σ) = ,Λ
! α−1 ), F!σα (Λ
! αn )= ,F!σα (Γ
σ
! α, Γ
!α−1 - = −hα (σ −1 ).
= −,Λ
n
σ
L’étude de la différence hα (σ12 σ)−hα (σ) permet de démontrer le résultat suivant
(théorème 2) : soit α ∈ (0, π) tel que ∆k (e2iα ) &= 0, alors
1
hα (k) = σk (e2iα ).
2
Remarque 19 Comme pour la comparaison de l’invariant de Casson avec l’invariant de Rohlin, la démonstration du théorème 2 est indirecte.
Nous avons traité dans [HKr98] le cas α &= π/2, mais notre argument permet
d’obtenir le résultat de Lin (α = π/2) comme cas limite (cf. [HKr98, Remarque 4.9]).
Notons aussi que le lemme 4.4 de [HKr98], qui est applicable au cas α = π/2, permet
de simplifier la preuve originale de Lin.
Remarque 20 L’invariant hα (k) est bien défini plus généralement, lorsque
!α (k) := {ρ ∈ R(k)
!
R
| tr(ρ(m)) = 2 cos(α)} est compact. Cependant il ne semble
pas être facilement calculable dans le cas où ∆k (e2iα ) = 0.
Soient k, k! ⊂ S 3 deux nœuds. On écrit k ∼c k! si les deux nœuds sont concordants. La fonction fk de changement de signature est un invariant de concordance.
La signature σk (e2iα ) n’est pas un invariant de concordance en général, mais si
k ∼c k! et ∆k (e2iα ) et ∆k" (e2iα ) sont tous deux non nuls, alors σk (e2iα ) = σk" (e2iα ).
Par conséquence hα (k) = hα (k! ) pour tout α ∈ [0, π] sauf un nombre fini. On a donc
la conjecture naturelle suivante :
!α (k) est compact et si k ∼c k! alors hα (k) =
Conjecture 21 Soit α ∈ (0, π). Si R
hα (k! ).
La démonstration que hα (k) = hα (k! ) si ∆k (e2iα ) &= 0 &= ∆k" (e2iα ) est indirecte. La
démonstration de la conjecture 21 nécessite une démonstration plus directe.
11
6
Une orientation de Reg(k)
!
Dans [Heu97] j’ai introduit une orientation sur l’espace Reg(k) ⊂ R(k)
et j’ai
α
expliqué à l’aide de cette orientation pourquoi les deux invariants h (k) et 21 σk (e2iα )
coı̈ncident. Dans [Heu97] j’ai utilisé la présentation d’un nœud sous forme de plat
fermé. Pour simplifier l’exposition, je n’utilise ici que les tresses fermées.
Soit σ ∈ Bn une tresse dont k := σ ∧ est un nœud. Comme nous avons déjà vu
(dans la section précédente), on a une identification des représentations non centrales
R(k) ! C(k) avec les points fixes Fix(σ) de σ : Rn → Rn .
L’espace Rn est une variété de dimension 2n + 1. Plus précisément, on a un
difféomorphisme entre (0, π) × Σπ/2 et Rn qui est donné par :
(α, P1 , . . . , Pn ) )→ ((α, P1 ), . . . , (α, Pn )).
Les variétés Λn et Γσ sont difféomorphes à Rn .
L’ensemble Fix(σ) est l’intersection du graphe Γσ avec la diagonale Λn :
R(k) ! C(k) ∼
= Λn ∩ Γσ ⊂ Hn .
!
!n ∩Γ
!σ ⊂ H
! n . Notons
On obtient donc une identification de R(k)
avec l’intersection Λ
!
que Hn est une variété de dimension 4n − 5, puisque la restriction fn : R2n !
! n et Γ
!σ sont des sous-variétés de
Sn → SU(2) est une submersion. Les ensembles Λ
! n . Dans une situation « générique », l’espace R(k)
!
! n ∩Γ
!σ
dimension 2n−2 dans H
=Λ
est donc une variété de dimension un.
+n ∩ Γ
+ σ et ρ : G(k) → SU(2) la représentation qui est déterminée
Soit (A, B) ∈ Λ
par (A, B), c’est-à-dire ρ(si ) = Ai où A = (A1 , . . . , An ).
+ n et Γ
+ σ sont transverses au point
Proposition 22 ([Heu97]) Les variétés Λ
(A, B) si et seulement si ρ est régulière, c’est-à-dire dim(H 1 (G(k), Ad ◦ρ)) = 1.
!
Le sous-espace Reg(k) ⊂ R(k)
des représentations régulières est, d’après la proposition ci-dessus, un variété de dimension un (cf. proposition 14).
Puisque les sphères Σα sont orientées, l’intervalle (0, π) est orienté comme base
de la submersion arg : SU(2) ! {±E} → (0, π) avec la convention (fibre ⊕ base).
Les variétés Rn , Λn et Γσ (toutes difféomorphes à (0, π) × Σπ/2 ) sont munies
+ n est orienté comme fibre de la submersion
de l’orientation du produit. Ainsi H
fn : R2n ! Sn → SU(2).
Toutes ces orientations introduites nous permettent enfin d’orienter la variété
! ∩Γ
!σ ⊂ H
! n . On peut démontrer que cette orientation
Reg(k) comme intersection Λ
est un invariant de k .
Théorème 23 Soit k ⊂ S 3 un nœud. Si σ ∈ Bn et τ ∈ Bm sont deux tresses telles
!n ∩ Γ
! σ et
que k := σ ∧ ∼
= τ ∧ , les deux orientations de Reg(k) qui sont induites par Λ
∗
!
!
Λm ∩ Γτ coı̈ncident. De plus, on a Reg(k ) = −Reg(k).
12
Remarque 24 Notons Ωn le groupe de cobordisme orienté de dimension n. On a
vu ci-dessus que l’invariant de Casson est un élément de Ω0 ∼
= Z. En trouvant une
formule pour calculer l’invariant de Casson-Walker, Lescop a généralisé cet invariant
pour toutes les variétés fermées orientées (voir [Les96]).
Soit M le complément d’un entrelacs L ⊂ S 3 à µ composantes. Par la construc! )) = µ dans la situation « générique ».
tion faite dans [Heu97], on trouve dim(R(M
! ) est compact on peut trouver une approximation générique Ř(M ) telle que
Si R(M
λ(M ) := Ř(M ) ∈ Ωµ est bien défini.
Soit M une variété de dimension trois, orientable, compacte dont le bord est la
réunion de µ tores. Peut-on généraliser la définition de l’invariant de Casson (au
moins pour certaine M ) de sorte que λ(M ) ∈ Ωµ ?
Bien que Ω1 = 0, on obtient un invariant pour les nœuds k ⊂ S 3 de la
façon suivante : notons m (resp. .) le méridien (resp. la longitude) de k , pour
une représentation ρ : G(k) → Sp(1) on a à conjugaison près ρ(m) = eiφm et
ρ(.) = eiφ$ , 0 ≤ φm ≤ π . D’où Λ : ρ )→ eiφ$ est bien défini.
!
Bien que R(k)
ne soit pas une variété, on peut utiliser la construction de [Heu97]
+ : Reg(k)
pour trouver une approximation « générique » Λ
→ S 1 où Reg(k)
est
une variété, orientée de dimension un. L’étude de certains exemples (voir [Heu94b])
motive la conjecture suivante :
Conjecture 25
7
Les applications
+ = ∆!! (1).
deg(Λ)
k
Dans ce paragraphe je présente des applications importantes de la construction
ci-dessus.
7.1
Une explication du théorème de Lin
La fonction de signature σk : S 1 → Z est localement constante près d’un point
ω ∈ S 1 qui n’est pas un zéro de ∆k (t) (cf. annexe A.2). En effet, si α ∈ (0, π) est
tel que ∆k (e2iα ) &= 0, alors on a
.
σk (e2iα ) = 2
fk (β)
(2)
β∈(0,α)
où fk : (0, π) → Z est la fonction de changement de signature. Il est clair que
fk (α) &= 0 implique que e2iα ∈ S 1 est un zéro de ∆k (t) (cf. annexe A.2 pour les
détails). La somme (2) est donc vraiment finie, puisque le polynôme d’Alexander
n’a qu’un nombre fini de zéros. Ainsi la signature équivariante compte les zéros du
polynôme d’Alexander avec leurs multiplicités.
Soit σ ∈ Bn telle que k := σ ∧ est un nœud. Si α ∈ (0, π) est tel que ∆k (e2iα ) &=
!α ∩ Γ
!α est compacte, plus précisément, l’intersection Λ
! βn ∩ Γ
!βσ
0, alors l’intersection Λ
n
σ
est compacte pour tout β assez proche de α.
13
! ασ peut être rendu transverse à Λ
! αn par une isotopie à support
Par conséquent, Γ
α
α
! n est trivial ; donc cette isotopie
! n dans H
! n . Le fibré normal à H
compact dans H
! n . L’intersection Λ
!n ∩ Γ
!σ
s’étend aisément en une isotopie à support compact de H
α
!n
!
est donc une variété orientée de dimension un dans un voisinage de Hn dans H
!n ∩ Γ
!σ , H
! nα - b est bien défini. On montre facilement
et le nombre d’intersections ,Λ
Hn
que
!n ∩ Γ
!σ , H
! α - b = ,Λ
! α, Γ
!α - b α = hα (k).
,Λ
n Hn
n
σ H
n
hβ (k)
Par conséquent, la fonction gk : β )→
est constante dans un voisinage de α.
De plus, hβ (k) = 0 pour β assez petit, puisque la représentation triviale n’est pas
limite des représentations non abéliennes.
Désignons par Zk := {β ∈ (0, π)|∆k (e2iβ ) = 0} l’ensemble des angles correspondants aux zéros du polynôme d’Alexander. On a une fonction gk : (0, π) ! Zk → Z
qui est nulle près de zéro et qui compte les zéros du polynôme d’Alexander avec
leurs multiplicités. Un tel comptage est aussi relié à la signature équivariante (cf. cidessus). Ceci explique le théorème de Lin et sa généralisation : le théorème 2.
7.2
La déformation des représentations abéliennes
Nous commençons maintenant la preuve du théorème 9. Pour cela nous choisissons un α ∈ (0, π) tel que fk (α) &= 0.
Supposons que la représentation abélienne ρα ∈ S(k) ne soit pas limite des
! α est donc compacte et, comme
!α ∩ Γ
représentations non abéliennes. L’intersection Λ
σ
n
β
β
!n ∩ Γ
! σ est compacte pour tout β assez proche de α.
ci-dessus, on a que Λ
Nous avons déjà signalé (cf. ci-dessus) que dans cette situation la fonction gk
est constante et nulle dans un voisinage de α. D’après le théorème 2, on obtient
que la fonction de changement de signature fk est aussi constante et nulle dans ce
voisinage, ce qui est bien sûr en contradiction avec l’hypothèse du théorème 9.
Remarque 26 Pour attaquer la conjecture 8, on utilise l’invariant hα (k) pour
démontrer le résultat suivant : si ∆k (e2iα ) = 0 deux cas peuvent se présenter :
!α (k) n’est pas compact. Alors la représentation ρα est une limite de
1. R
représentations non abéliennes.
!α (k) est compact. Alors hα (k) est bien défini. De plus, si hα (k) &= 0
2. R
alors la représentation ρα est une limite de représentations non abéliennes
(cf. exemple 10).
14
8
Nœuds toriques et nœuds à deux ponts
Les espaces de représentations pour les nœuds toriques et les nœuds rationnels
sont bien compris. L’espace de représentations des nœuds toriques a été étudié par
Klassen [Kla91] ; celui des nœuds rationnels a été étudié par Burde, Hilden, Lozano,
Montesinos et Riley (cf. [Bur90, Bur97, HLMA92, HLMA95, Ril84, Ril92]). Dans
l’article [Heu94b] j’ai démontré des conjectures de Riley et Burde. Je présente ces
résultats dans cette section.
8.1
Les nœuds toriques
Les nœuds toriques sont tracés sur un tore standard plongé dans S 3 comme suit.
Soient a, b ∈ Z deux entiers premiers entre eux. On définit T (a, b) ⊂ S 3 la courbe
m
+ a .+b (cf. figure 3). Les nœuds T (a, b) ∼
= T (b, a) ∼
= T (−a, −b) sont équivalents. Le
nœud T (a, −b) ∼
= T (−a, b) est l’image de T (a, b) dans un miroir.
m
e
"e
Fig. 3 – Le tore standard et le nœud T (3, 4).
Le groupe du nœud T (a, b) est un produit amalgamé Z ∗Z Z et admet une
présentation assez simple : G(a, b) := ,u, v|ua = v b -. On obtient pour le méridien
m = uc v d où c, d ∈ Z sont des entiers tels que ad + bc = 1 (voir [BZ85]). Notons que
le centre de G(a, b) est un sous-groupe cyclique engendré par l’élément z := ua = v b .
Les groupes G(a, b) ont été étudiés par Schreier [Sch24]. Il a démontré que les
groupes des deux nœuds toriques sont isomorphes si et seulement s’ils ont la même
paire de valeurs {|a|, |b|}. En analysant le système périphérique, on obtient ainsi
la classification des nœuds toriques : deux nœuds toriques sont équivalents si et
seulement s’ils ont la même paire de valeurs {a, b}.
15
Remarque 27 Notons que
∆T (a,b) (t) =
j
(tab − 1)(t − 1)
et ZT (a,b) = {e2πi ab | 0 < j < ab et a, b " j}
a
b
(t − 1)(t − 1)
où Zk := {z ∈ C | ∆k (z) = 0} est l’ensemble des zéros de ∆k (t). Tous les zéros
de ∆T (a,b) sont des zéros simples, puisque le degré deg(∆T (a,b) ) = (a − 1)(b − 1) =
#ZT (a,b) coı̈ncide avec le nombre des zéros de ∆T (a,b) .
! b) := R(G(a,
!
L’espace R(a,
b)) a été étudié par Klassen [Kla91]. Soit
ρ : G(a, b) → SU(2) une représentation non abélienne. Puisque le centre de SU(2)
est le sous-groupe {1, −1} ∼
= Z2 , l’image ρ(z) = ±1.
! b) est la réunion disjointe de (a−1)(b−1)
Théorème 28 ([Kla91]) L’espace R(a,
2
arcs ouverts.
Plus précisément, pour toute paire (k, l), 0 < k < a, 0 < l < b, telle que
/k,l . L’arc W
/k,l est paramétré par l’intervalle (0, π)
k ≡ l mod 2, il existe un arc W
de la façon suivante :
/k,l ,
(0, π) → W
ψ )→ ρk,l
ψ
k
l
où ρk,l
ψ : u )→ ( a π, i), v )→ ( b π, Qψ ) et Qψ := cos ψ i + sin ψ j.
/k,l sont des représentations abéliennes ρα et ρα où
Les extrémités de l’arc W
+
−
0 < α± < π et cos α± = cos(c ka ± d bl ). Pour tout angle α entre α+ et α− , il existe
k,l
/
exactement une représentation ρk,l
ψ ∈ Wk,l telle que arg(ρψ (m)) = α (cf. figure 4).
R(7, 3)
c5,1
W
c1,1
W
c3,1
W
ρ2
ρ0 ρ1
Ra
ρ4
ρ8
ρ5
ρ10
ρ16
ρ11
ρ13
ρ20
ρ17
ρ19
α
ρ21
c4,2
W
c6,2
W
c2,2
W
Fig. 4 – L’espace R(7, 3) où ρi := ρiπ/21 ∈ S(k).
La représentation ρα ∈ Ra est limite des représentations non abéliennes si et
seulement si α · ab ∈ Z avec α · a &∈ Z et α · b &∈ Z, c’est-à-dire si et seulement si
∆T (a,b) (e2iα ) = 0.
16
! b) est
Remarque 29 On peut démontrer que toute représentation ρ ∈ R(a,
! b) = Reg(a, b). Tout arc W
/k,l est donc orienté. De plus,
régulière, c’est-à-dire R(a,
!α (a, b)) = 1 |σT (a,b) (e2iα )|
#(R
2
!α (k) := {ρ ∈ R(k)
!
pour tout α ∈ (0, π) où R
| tr(ρ(m)) = 2 cos(α)}. Par
/k,l induisent par la projection p : W
/k,l → (0, π),
conséquent, tous les arcs W
k,l
p(ρk,l
ψ ) = arg(ρψ (m)), la même orientation sur l’intervalle (0, π) (cf. figure 4). Je
présenterai ces résultats dans [Heu].
8.2
Les nœuds à deux ponts
Un entrelacs dans k ⊂ S 3 est dit à deux ponts ou rationnel s’il existe une
fonction hauteur sur S 3 dont la restriction à k est une fonction de Morse avec deux
maxima et donc deux minima. Les entrelacs rationnels (Viergeflechte) se trouvent
déjà chez Bankwitz et Schumann [BS34] où les auteurs ont démontré que les entrelacs
rationnels sont alternés et réversibles. Ici un entrelacs est dit réversible si, ayant fixé
sur l’entrelacs une orientation, cet entrelacs est équivalent au même entrelacs mais
avec l’orientation inverse.
Les entrelacs rationnels sont paramétrés par une paire d’entiers (p, q) tels que
p > 0, p, q premiers entre eux, q est impaire et |q| < p : on choisi q ! = q ± p tel que
|q ! | < p et on trouve d’une façon unique une fraction continue
p
= 2b1 +
q!
1
= [2b1 , . . . , 2bk ]
(3)
1
2b2 + · · · +
2bk
telle que bi ∈ Z ! {0} et k est pair (resp. impair) si p est pair (resp.
impair) (cf. [BZ85, Kaw96, Sie75]). On obtient l’entrelacs à deux ponts
b(p, q) := D(b1 , . . . , bk ) (cf. figure ci-dessous). L’entier 2bi indique le nombre de croisements avec de signes -i = bi /|bi | = ±1.
...
2b1
···
2b2
···
b(5,3)=D(−1,−1)
si k est impair
...
2b1
···
2bk
···
si k est pair
2bk
2b2
···
···
b(2,1)=D(−1)
17
b(2,−1)=D(1)
Le revêtement ramifié à deux feuilles de b(p, q) est l’espace lenticulaire Lp,q
(une observation de Seifert) et on obtient la classification des entrelacs à deux ponts
non-orientés en utilisant la classification des espaces lenticulaires (cf. [Rei36]).
Théorème 30 Les entrelacs non orientés b(p, q) et b(p! , q ! ) sont équivalents si et
seulement si p = p! et q ! ≡ q ±1 mod p.
Notons que la classification des entrelacs rationnels orientés est plus subtile et a
été donnée par Schubert (cf. [Sch56]). Puisque les nœuds rationnels sont réversibles,
la classification des nœuds rationnels orientés découle de la classification des nœuds
non orientés. Le nœud b(p, q) est un nœud torique si et seulement si q ≡ ±1 mod p,
en effet, on a b(p, 1) ∼
= T (p, 2). D’après le théorème 30, on a que b(p, q) est équivalent
à son image dans un miroir si et seulement si q 2 ≡ −1 mod p.
Nous dirons que b(p, q) est symétrique si et seulement si q &≡ ±1 mod p et
2
q ≡ 1 mod p. Tous les nœuds symétriques sont munis d’une symétrie exceptionnelle
qui peut être réalisée par une rotation d’angle π qui échange les minima et les
maxima (cf. figure ci-dessous).
π
π
b(15, 11)
b(21, 13)
π
b(33, 23)
Pour les détails, le lecteur est invité à consulter [BZ85], [Kaw96], [Sie75] et bien sûr
[Sch56].
18
8.3
Les courbes de représentations
Les courbes de représentations des nœuds rationnels ont été étudiées par des
auteurs différents (cf. [HLMA95, section 5] pour des remarques historiques). Nous
utilisons ici la notation de [Bur90].
En utilisant la projection de Schubert pour les nœuds rationnels, on obtient une
présentation du groupe Gp,q du nœud b(p, q) :
LS = LS (S, T ) = S ε1 T ε2 . . . S εp−2 T εp−1
Gp,q = ,S, T | LS S = T LS -,
où εi = (−1)[iq/p] (cf. [BZ85]).
Soient ρ : Gp,q → Sp(1) et ρ!: Gp,q → SO(3) deux représentations non centrales.
Puisque les générateurs S, T de Gp,q sont conjugués on a
0
0
S )→ (α, P )
S )→ δ(α, P )
ρ:
et ρ! :
(4)
T )→ (α, Q)
T )→ δ(α, Q).
où 0 < α < π et δ : Sp(1) → SO(3) est le revêtement double. Les représentations
ρ et ρ! sont non-abéliennes si et seulement si P &= ±Q. On a P = i et Q =
cos ψ i+sin ψ j à conjugaison près. Donc la classe de conjugaison de ρ est déterminée
par (τ, γ) ∈ D ∗ := (−1, 1) × R où τ = cos ψ et γ = cot α et celle de ρ! par (τ, η) ∈
D := (−1, 1) × R+ où η := γ 2 .
Soit (p, q) ∈ Z2 , p > 0, |q| < p un couple d’entiers tels que p, q sont impairs et
premiers entre eux. Il existe un polynôme zp,q ∈ Z[x, y] avec les propriétés suivantes
(cf. [Bur90, HLMA95, Ril84]) :
1. Le point (τ, γ) ∈ D ∗ détermine une représentation non abélienne ρ : Gp,q →
Sp(1) si et seulement si zp,q (τ, γ 2 ) = 0.
2. Le point (τ, η) ∈ D détermine une représentation non abélienne ρ!: Gp,q →
SO(3) si et seulement si zp,q (τ, η) = 0.
3. On a zp,−q = zp,q , deg zp,q = (p − 1)/2 =: n et zp,q (τν , 0) = 0 où τν =
cos((2πν)/p) pour 1 ≤ ν ≤ n.
Nous désignons par C(p, q) (resp. C ∗ (p, q)) la courbe algébrique plane déterminée
par zp,q , c’est-à-dire C ∗ (p, q) := {(τ, γ) ∈ R2 | zp,q (τ, γ 2 ) = 0} et C(p, q) := {(τ, η) ∈
R2 | zp,q (τ, η) = 0}.
Exemple 31 On a z3,1 (τ, y) = y − 2τ + 1 et z5,3 (τ, y) = y 2 + 2τ y + 4y + 4τ 2 + 2τ − 1
et donc :
η
η
C(3,1)
C(5,3)
4
1
−1
2
−2
2
−2
τ
−2
19
2
τ
!
L’espace R(b(p,
q)) peut être identifié avec l’ensemble semi-algébrique C ∗ (p, q) ∩
2
{(τ, γ) ∈ R | −1 < τ < 1} et l’ensemble C(p, q) ∩ {(τ, η) ∈ R2 | −1 < τ <
1, 0 ≤ η} s’identifie avec l’espace des représentations de Gp,q dans SO(3) modulo
conjugaison. Il est bien claire que la courbe C ∗ (p, q) est déterminée par la courbe
C(p, q) (cf. figure 5).
η
8
C(7, 3)
γ
C ∗ (7, 3)
2
1
−1
2
−2
τ
τ
−2
−3
Fig. 5 – Les courbes C(7, 3) et C ∗ (7, 3).
Remarque 32 Pour tracer les courbes de représentations, j’ai utilisé un logiciel de
Schmidt (cf.[Sch97, Heu98]).
Remarque 33
1. Les points A := (−1, −1) et B := (1, −1) sont des points singuliers de C(p, q) de multiplicité µ(A) = (p−q)/2 etµ(B) = (p−1)/2. Puisque
le degré de zp,q est n, tout point (τν , 0) ∈ C(p, q) est un point lisse. De plus, la
courbe C(p, q) et la droite η = 0 sont transverses aux points (τν , 0). Un point
(τν , 0) ∈ C(p, q) correspond à la représentation dièdrale ρ!ν := δ ◦ ρν donnée
par ρν : Gp,q → SU(2)
π
2πν
2πν
π
)i + sin(
j)).
ρν : S )→ ( , i) et ρν : T )→ ( , cos(
2
2
p
p
On peut démontrer que toutes les représentations binaires dièdrales ρν ∈
!
R(b(p, q)) sont régulières (cf. aussi théorème 5) et on peut déterminer l’orien!
tation de R(b(p,
q)) près de ρν (cf. la figure ci-dessous). Je présenterai ces
résultats dans [Heu].
20
η
8
-2.0
C(7, 3)
2.0
η
8
τ
-2.0
-3
C(7, 5)
τ
2.0
-3
Fig. 6 – Les courbes C(7, 5) &= C(7, 3).
γ
b
R(b(21,13))
τ
2. Ni le polynôme zp,q , ni la courbe C(p, q) ne sont des invariants de b(p, q).
D’après le théorème 30, on a b(7, 3) ∼
= b(7, 5) mais C(7, 5) &= C(7, 3) (cf. figure 6).
3. Le polynôme zp,q n’est pas forcement irréductible :
– Pour tout entier impair p > 0, on a deg zp,1 = n et µ(A) = n ; donc C(p, 1)
est la réunion des n droites passant par A et (τν , 0).
– S’il existe une surjection Gp,q → Gp" ,q" , alors C(p! , q ! ) ⊂ C(p, q) est une
composante algébrique ; donc C(p, q) n’est pas réductible. Par exemple, on
a une surjection G39,7 → G3,1 .
– Riley et Burde (cf. [Bur90, Ril82, Ril92]) ont conjecturé que la courbe
C(p, q), q &= ±1, est réductible si q 2 ≡ 1 mod p. Nous avons déjà signalé
(cf. ci-dessus) que dans ce cas le groupe de symétries de b(p, q) contient un
symétrie exceptionnelle.
Soient p, q , 0 < q < p, deux entiers impairs et premiers entre eux. Il existe
exactement un entier q ∗ , 0 < q ∗ < p tel que qq ∗ ≡ ±1 mod p. D’après le théorème 30
il existe un homéomorphisme h : S 3 → S 3 tel que h(b(p, q ∗ )) = b(p, q) qui préserve
(resp. renverse) l’orientation si et seulement si qq ∗ ≡ 1 mod p (resp. qq ∗ ≡ −1 mod
p).
On peut démontrer (cf. [Heu94b]) que h induit un automorphisme algébrique
!
h : C(p, q) ! {A, B} → C(p, q ∗ ) ! {A, B}. On a !
h(τν , 0) = (τγ , 0) si et seulement si
∗
!
q ν ≡ ±γ mod p. De plus, la transformation h respecte la coordonnée η et est donc
déterminée par l’image des points (τν , 0) (cf. remarque 33).
21
Exemple 34 L’automorphisme algébrique !
h : C(7, 3) ! {A, B} → C(7, 5) ! {A, B}
est déterminé par
!
h : (τ1 , 0) )→ (τ2 , 0), (τ2 , 0) )→ (τ3 , 0), (τ3 , 0) )→ (τ1 , 0).
Les nœuds symétriques et les nœuds équivalents à leur image dans un
miroir. Un nœud rationnel b(p, q) est équivalent à son image dans un miroir ou
bien est symétrique si et seulement si q 2 ≡ −1 mod p ou bien q 2 ≡ 1 mod p. On
obtient donc une transformation algébrique !
h : C(p, q) → C(p, q) si q 2 ≡ ±1 mod p.
En étudiant cette transformation pour les nœuds symétriques, on peut démontrer
la conjecture de Riley et Burde.
Théorème 35 ([Heu94b]) Si b(p, q) est un nœud symétrique, alors C(p, q) est
réductible.
De plus, pour tout nœud rationnel, il existe un application régulière ξ : R(b(p, q)) !
Zar
S(b(p, q)) → R2 telle que Im(ξ)
= C(p, q) (cf. [Heu94b]). Ici, pour un ensemble
Zar
N
la clôture de Zariski de M , c’est-à-dire l’enM ⊂ R , nous désignons par M
semble algébrique minimal de RN qui contient M . On obtient :
Corollaire 36 Si b(p, q) est un nœud symétrique, alors la variété des
représentations non abéliennes
R(b(p, q)) ! S(b(p, q))Zar
est réductible.
Remarquons que le théorème 35 a été aussi démontré par Ohtsuki (cf. [Oht94]).
Burde a conjecturé que toute composante algébrique de la courbe C(p, q) est
rationnelle (cf. [Bur90]). En étudiant la transformation !
h pour les nœuds équivalents
à leur image dans un miroir, on obtient :
Théorème 37 ([Heu94b]) Il existe un nœud à deux ponts b(p, q) qui est
équivalent à son image dans un miroir tel que la courbe C(p, q) est irréductible sans
être rationnelle. En effet, la courbe C(17, 13) est irréductible sans être rationnelle.
Remarque 38 Soit M une variété de dimension trois compacte, orientable et dont
le bord est un tore. Supposons que l’intérieur de M admet une structure hyperbolique complète à volume fini. Nous notons X(M ) l’ensemble algébrique complexe des caractères de π1 (M ) dans C (cf. [CS83, GAnMA93, Por97]). Les points
réels X R (M ) de X(M ) correspondent aux représentations de π1 (M ) dans SU(2)
et SL(2, R) (cf. [HKl97, lemma 1]). La composante irréductible X0 (M ) de X(M )
qui contient le caractère d’un relevé de l’holonomie de l’intérieur de M est appelée la composante distinguée (cf. [Por97, 3.1.4]). La composante X0 (M ) est une
courbe algébrique, c’est-à-dire une variété algébrique de dimension un. Les propriétés
algébriques, géométriques ou arithmétiques des composantes distinguées ne sont pas
connues en général (cf. [LR98]). On s’intéresse donc à des exemples : si q &≡ ±1 mod p
alors S 3 ! b(p, q) admet une structure hyperbolique à volume fini. La composante
distinguée X0 (p, q) d’un nœud rationnel a les propriétés suivantes : X0R (p, q) &= ∅, de
plus, X0R (p, q) contient des points réguliers. Peut-on démontrer les mêmes propriétés
pour toute paire (X0 (M ), X0R (M )) ?
22
Annexe
A
Le polynôme d’Alexander et la signature
Soit k ⊂ S 3 un nœud orienté et F ⊂ S 3 une surface de Seifert pour k , c’est-àdire une surface orientée plongée dans S 3 dont le bord ∂F est k (cf. [Sei34, BZ85,
Gor78]). Soit ι : F × I *→ S 3 un bicollier orienté autour F dans S 3 . La forme de
Seifert est la forme bilinéaire
B : H1 (F, Z) ⊗ H1 (F, Z) → Z définie par B : x ⊗ y )→ lk(x+ , y)
où x+ := ι(x, 1) et lk désigne le nombre d’enlacements dans S 3 . Une matrice de
Seifert V de F est une matrice de la forme B dans une base de H1 (F, Z). Notons
que la matrice antisymétrique V − V T est la matrice de la forme d’intersection de
F dans cette base (voir [BZ85]).
Remarque 39 En fait, une même nœud peut posséder plusieurs surfaces de Seifert. Deux surfaces de Seifert d’un même nœud sont isotopes après un nombre fini
de stabilisations (on ajoute des anses) (cf. [Gor78, Kai97]). Par conséquent deux
matrices de Seifert sont S –équivalentes, c’est-à-dire congruentes après un nombre
fini de stabilisations




S ∗ 0
S ∗ 0
S →  ∗ 0 0 ou S →  ∗ 0 1 .
0 1 0
0 0 0
A.1
Le polynôme d’Alexander
Le polynôme d’Alexander normalisé de k est
∆k (t) := det(t1/2 V − t−1/2 V T )
où V est une matrice de Seifert de k quelconque (V T est la matrice transposée de
V ). D’après la remarque ci-dessus ∆k (t) ne dépend pas du choix de V . Puisque le
rang de H1 (F, Z) est pair, on a que ∆k (t) est un polynôme en t et t−1 , de plus,
∆k (t) vérifie ∆k (1) = 1 et ∆k (t−1 ) = ∆k (t−1 ).
A.2
La signature
Soit k ⊂ S 3 un nœud et ω ∈ C un nombre complexe. On note H(ω) la matrice
hermitienne (1 − ω)V + (1 − ω̄)V T et σk (ω) := sign(H(ω)) sa signature. D’après
la remarque 39, σk (ω) ne dépend pas du choix de V . La signature équivariante
qui a été introduite par [Lev69] et [Tri69] est l’application σk : S 1 → Z définie par
23
σk : ω )→ σk (ω) pour ω &= 1 et σk (1) := 0. Si ω ∈ S 1 ! {1} est un nombre complexe
de norme un, on a alors :
H(ω) = (1 − ω)V + (1 − ω̄)V T
= (ω −1/2 − ω 1/2 )(ω 1/2 V − ω −1/2 V T ).
D’après la formule ci-dessus la signature est localement constante près d’un point
ω ∈ S 1 qui n’est pas un zéro de ∆k (t), de plus, la fonction σk est zéro dans un
voisinage 1.
La fonction de changement de signature fk : R → Z est définie par la formule
fk (α) =
1
(lim σk (e2it ) − lim σk (e2it )).
t↓α
2 t↑α
On a que ∆k (e2iα ) = 0, si fk (α) &= 0. Au contraire on a que la valeur fk (α) &= 0 si
e2iα ∈ S 1 est un zéro simple de ∆k (t).
B
Les tresses fermées
Nous notons ζ ∧ la clôture de la tresse ζ , appelée tresse fermée (cf. figure 2).
D’après Alexander [Ale23], tout entrelacs orienté peut être présenté sous forme de
tresse fermée. Il est bien claire que deux tresses ζ1 , ζ2 ∈ Bn conjuguées ont la même
clôture ζ1∧ ∼
= ζ2∧ . Le théorème de Markov (voir [Mor86]) dit, plus précisément, qu’une
suite finie de mouvements de Markov de type I et II relie deux tresses ayant la même
clôture :
··· ···
ζ1
··· ···
··· ···
ζ2
··· ···
ζ2
··· ···
I
↔
···
ζ
··· ···
··· ···
ζ1
··· ···
···
···
II
ζ
↔
···
···
24
···
Références
[Abd98]
[Ale23]
[AM90]
[BCR87]
[Bir76]
[BS34]
[Bur90]
[Bur97]
[BZ85]
[CS83]
[FK91]
L. Ben Abdelghani. « Espace des représentations du groupe d’un nœud dans
un groupe de Lie ». Thèse, Université de Bourgogne, 1998.
J. W. Alexander. « A lemma on a system of knotted curves ». Proc. Nat. Acad.
Sci. USA, 9 :93–95, 1923.
S. Akbulut et J. McCarthy. Casson’s Invariant for Homology 3–Spheres – An
Exposition, vol. 36 Mathematical Notes. Princeton University Press, 1990.
J. Bochnak, M. Coste, et M-F. Roy. Géométrie algébrique réelle. Ergebnisse
der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Springer Verlag, 1987.
J. S. Birman. « On the stable equivalence of plat representations of knots and
links ». Can. J. Math., 28 :264–290, 1976.
C. Bankwitz et H. G. Schumann. « Über Viergeflechte ». Abh. Math. Sem.
Univ. Hamburg, 10 :263–284, 1934.
G. Burde. « SU(2)–Representation Spaces for two–Bridge Knot Groups ».
Math. Ann., 288 :103–119, 1990.
G. Burde. « Real representation spaces of 2–bridge knot groups and isometries
of the hyperbolic plane ». Proceedings of Knots 96, 99–108. World Scientific
Publishing Co., 1997.
G. Burde et H. Zieschang. Knots. Walter de Gruyter, 1985.
M. Culler et P. B. Shalen. « Varieties of Group Representations and Splittings
of 3–Manifolds ». Annals of Mathematics, 117 :109–146, 1983.
C. D. Frohman et E. P. Klassen. « Deforming Representations of Knot Groups
in SU(2) ». Comment. Math. Helvetici, 66 :340–361, 1991.
[GAnMA93] F. González-Acuña et J. M. Montesinos-Amilibia. « On the character variety of
group representations in SL(2, C) and PSL(2, C) ». Math. Z., 214(4) :627–652,
1993.
[GM92]
L. Guillou et A. Marin. « Notes sur l’invariant de Casson des sphères d’homologie de dimension trois ». Enseign. Math. (2), 38 :233–290, 1992.
[Gol84]
[Gor78]
[Heu]
[Heu94a]
[Heu94b]
[Heu95]
[Heu97]
[Heu98]
W. Goldman. « The symplectic nature of the fundamental groups of surfaces ».
Adv. Math., 54 :200–225, 1984.
C. McA. Gordon. « Some aspects of classical knot theory ». Knot Theory, vol.
685 Lecture Notes in Mathematics. Springer, 1978.
M. Heusener. « The orientation of representation curves ». En préperation.
M. Heusener. « A polynomial invariant via representation spaces ». J. Knot
Theory Ramifications, 3(1) :11–23, 1994.
M. Heusener. « SO(3)–representation curves for two-bridge knot groups ».
Math. Ann., 298 :327–348, 1994.
M. Heusener. « Representations of palindromically presented groups onto finite
subgroups of SO3 (R) ». Math. Slovaca, 45(2) :193–212, 1995.
M. Heusener. « An orientation for the SU(2)-representation space of knot
groups ». Soumis.
M. Heusener. « Remarks to a computer program of Karl Johann Schmidt ».
À paraı̂tre au Math-CD
(voir http://topo.math.u-psud.fr/~lcs/MathCD.html), 1998.
25
[HKl97]
M. Heusener et E. P. Klassen. « Deformations of dihedral representations ».
Proc. Amer. Math. Soc., 125 :3039–3047, 1997.
[HKr98]
M. Heusener et J. Kroll. « Deforming abelian SU(2)-representations of knot
groups ». Comment. Math. Helv., 73 :480–498, 1998.
[HLMA92]
Hugh M. Hilden, Marı́a Teresa Lozano et José Marı́a Montesinos-Amilibia.
« On the character variety of group representations of a 2 -bridge link p/3 into
PSL(2, C) ». Bol. Soc. Mat. Mexicana (2), 37(1-2) :241–262, 1992.
[HLMA95]
H. H. Hilton, M. T. Lozano et J. M. Montesinos-Amilibia. « On the arithmetic
2-bridge knots and link orbifolds and a new knot invariant ». J. Knot Theory
Ramifications, 4 :81–114, 1995.
[Kai97]
U. Kaiser. Link theory in manifolds, vol. 1669 Lecture Notes in Mathematics.
Springer, 1997.
[Kaw96]
A. Kawauchi. A Survey of Knot Theory. Birkhäuser, 1996.
[Kir97]
R. Kirby. Problems in low-dimensional topology. Geometric topology (Athens,
GA, 1993), vol. 2 AMS/IP Stud. Adv. Math., 35–473. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1997.
[Kla91]
E. P. Klassen. « Representations of Knot Groups in SU(2) ». Transactions of
the AMS, 326(2) :795–828, 1991.
[Les96]
C. Lescop. A global surgery formula for the Casson–Walker invariant, vol. 140
Annals of Mathematics Studies. Princeton University Press, 1996.
[Lev69]
J. Levine. « Knot cobordism groups in codimension two ». Comment. Math.
Helv., 45 :185–198, 1969.
[Lin92]
X.-S. Lin. « A Knot Invariant via Representation Spaces ». J. Differential
Geometry, 35 :337–357, 1992.
[LR98]
D. D. Long et A. W. Reid. « Integral points on character varieties ». Preprint,
1998.
[Mar88]
A. Marin. Un nouvel invariant pour les sphères d’homologies de dimension
trois. Séminaire Bourbaki 1987/88, exposé 693. Astérsique 161–162, 1988.
[Mor86]
H. R. Morton. « Threading knot diagrams ». Math. Proc. Cambridge Philos.
Soc., 99(2) :247–260, 1986.
[Oht94]
T. Ohtsuki. « Ideal points and incompressible surfaces in two–bridge knot
complements ». J. Math. Soc. Japan, 46(1), 1994.
[Por97]
Joan Porti. « Torsion de Reidemeister pour les variétés hyperboliques ». Mem.
Amer. Math. Soc., 128(612) :x+139, 1997.
[Rei36]
K. Reidemeister. « Homotopieringe und Linsenräume ». Abh. Math. Sem.
Hamburg, 11 :102–109, 1936.
[Ril82]
R. Riley. Seven excellent knots. Low-dimensional topology (Bangor, 1979),
81–151. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1982.
[Ril84]
R. Riley. « Nonabelian representations of 2 -bridge knot groups ». Quart. J.
Math. Oxford Ser. (2), 35(138) :191–208, 1984.
[Ril92]
R. Riley. « Algebra for Heckoid Groups ». Trans. AMS, 334 :389–409, 1992.
[Sch24]
O. Schreier. « Über die Gruppen Aa = B b ». Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg,
3 :167–169, 1924.
[Sch56]
H. Schubert. « Knoten mit zwei Brücken ». Math. Z., 65 :133–170, 1956.
26
[Sch97]
K. J. Schmidt. « Chern–Simons Invarianten von Chirugien an Zwei-BrückenKnoten ». Diplomarbeit, Freie Universität Berlin, 1997.
[Sei34]
H. Seifert. « Über das Geschlecht von Knoten ». Math. Ann., 110 :571–592,
1934.
[Sei36]
H. Seifert. « La théorie des nœuds ». Enseign. Math., 35 :201–212, 1936.
[Sie75]
L. Siebenmann. « Exercises sur les nœuds rationnels ». Polycopie, Orsay, 1975.
[Tri69]
A. G. Tristram. « Some cobordism invariants for links ». Proc. Camb. Philos.
Soc., 66 :251–264, 1969.
27