représentations de groupes de nœuds dans su(2)

DIPL ˆ OME D’HABILITATION ` A DIRIGER DES RECHERCHES
Universit´e PAUL SABATIER
Laboratoire de math´ematiques
Emile PICARD
C.N.R.S – U.M.R. 5580
REPR´ ESENTATIONS DE GROUPES DE NŒUDS
DANS SU(2)
Habilitation `a diriger des recherches
soutenue le 25 f´evrier 1999
par
Michael HEUSENER
Daniel LINES Rapporteur
Composition du jury :
Michel BOILEAU
Gerhard BURDE
Thomas FIEDLER
Nathan HABEGGER Pr´esident
Alexis MARIN
Jos´e Mar´ıa MONTESINOS AMILIBIA Rapporteur
Pierre VOGEL Rapporteur

`
A mes parents,
`a Anke et Slah,
et `a Monika.

Je remercie de tout cœur Daniel Lines, Jos´e Montesinos et Pierre Vogel d’avoir
rapport´e sur mon travail. Ma reconnaissance va aussi `a Nathan Habegger qui a
pr´esid´e la soutenance.
Je remercie vivement Michel Boileau, Gerhard Burde, Thomas Fiedler, Nathan
Habegger, Alexis Marin, Jos´e Montesinos et Pierre Vogel de participer au jury.
Pendant mon s´ejour de recherche, j’ai beaucoup appr´eci´e l’accueil chaleureux
que r´eservent les membres du Laboratoire Emile Picard aux invit´es. Je remercie par-
ticuli`erement Michel Boileau, Julien Duval, John Guaschi, Claude Hayat–Legrand,
Greg McShane et Joan Porti avec qui j’ai souvent eu l’occasion de discuter.
Je suis reconnaissant envers la COMMISSION EUROPEAN, qui avec la bourse
ERBFMBICT961507 (programme TMR) a financ´e mon projet de recherche `a Tou-
louse.

REPR´ ESENTATIONS DE GROUPES DE NŒUDS
DANS SU(2)
MICHAEL HEUSENER
6 octobre 1998
R´esum´e
En 1985 A. Casson a d´ecouvert un nouvel invariant entier pour les sph`eres
d’homologie de dimension trois. La d´efinition de cet invariant de Casson est
bas´ee sur l’´etude des espaces de repr´esentations dans SU(2). Il a permis `a
Casson de r´esoudre des probl`emes anciens et difficiles en topologie de di-
mension trois. Ce texte pr´esente quelques r´esultats concernant l’espace des
repr´esentations du groupe d’un nœud dans SU(2).
Mots-cl´ es : Groupe de nœuds, espace de repr´esentations, SU(2)
A.M.S. subject classification : 57M05, 57M25

Table des mati`eres
1 Introduction 1
2 Notations 5
3 Les espaces de repr´esentations 6
4 L’invariant de Casson 8
5 L’invariant hα(k)8
6 Une orientation de Reg(k)12
7 Les applications 13
7.1 Une explication du th´eor`eme de Lin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
7.2 La d´eformation des repr´esentations ab´eliennes . . . . . . . . . . . . . 14
8 Nœuds toriques et nœuds `a deux ponts 15
8.1 Les nœuds toriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
8.2 Les nœuds `a deux ponts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8.3 Les courbes de repr´esentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
A Le polynˆome d’Alexander et la signature 23
A.1 Le polynˆome d’Alexander . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
A.2 La signature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
B Les tresses ferm´ees 24