Chap.3 – Traînée d`une sphère solide dans un fluide

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Chap.3 – Traînée d’une sphère solide dans un fluide
1. Etude de la traînée sur une sphère
1.1. Dispositif étudié
1.2. Courbe du coefficient de traînée en fonction de Re
1.3. Distinction écoulements laminaire / turbulent
2. Ecoulement parfait et couche limite
2.1. Notion de couche limite
2.2. Définition d’un écoulement parfait
Intro :
Ce chapitre est uniquement descriptif, et permet d’introduire les notions d’écoulement laminaire et turbulent à
partir de l’étude de l’écoulement d’un fluide autour d’une sphère. Ces deux types d’écoulements limites se
distinguent par leur nombre de Reynolds : faible si laminaire, grand si turbulent. Ces deux cas limites
correspondent à deux expressions différentes de la force de traînée : proportionnelle à la vitesse si laminaire,
proportionnelle au carré de la vitesse sinon.
Dans les cas où la convection l’emporte sur la viscosité (grand ), on peut qualifier l’écoulement de parfait et
ainsi négliger les effets de la viscosité hors de la couche limite.
1. Etude de la traînée sur une sphère
1.1. Dispositif étudié
Considérons l'écoulement engendré par le mouvement rectiligne uniforme d'une sphère de rayon R dans un fluide,
à la vitesse
V
.
Le problème est équivalent à celui d’un écoulement autour d’une sphère immobile. La vitesse du fluide, loin en
amont et loin en aval de la sphère, est donc -
V
.
V
-
V

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L’expérience montre que la sphère atteint une vitesse limite constante. Cela suggère l’existence d’une force autre
que le poids et la poussée d’Archimède, et associée aux frottements du fluide sur la sphère (effet viscosité).
Avec les notations du schéma, le fluide exerce sur la sphère de diamètre d = 2R une force 
 dirigée selon le sens
de l’écoulement, appelée trainée.
1.2. Courbe du coefficient de traînée en fonction de Re
Le nombre de Reynolds vaut ici Re = VL /  avec L = d = 2R.
L’expérience montre que l’évolution de la force de traînée avec la vitesse du fluide est universelle (indépendante
du fluide et du matériau constitutif de la sphère) si elle est exprimée sous la forme  .
Définition du coefficient de traînée
S est la surface frontale de l'obstacle appelé maître-couple, ici   
Cette courbe dépend de la géométrie de l’objet, mais toutes les courbes de traînée ont globalement le même
aspect. On peut repérer les deux comportements limites suivants.
 Pour des petits nombres de Reynolds   , Cd est inversement proportionnel à Re, par lecture graphique :
. On en déduit l’expression de la traînée à faible  (formule de Stokes) :
 Pour de plus grands nombres de Reynolds, 103  Re  105, Cd est constant, ce qui traduit le fait que la traînée
se stabilise. On a alors une dépendance quadratique avec la vitesse ( :
NB : Pour Re  2.105, la traînée chute brutalement (crise de traînée).

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1.3. Distinction écoulements laminaire / turbulent
Les deux comportements limites ci-dessous suggèrent une sorte de transition entre deux types d’écoulements. Ce
que confirment les vidéos de tels écoulements.
Un écoulement est laminaire lorsque le mouvement des particules fluides se fait de manière régulière et
ordonnée. Elles glissent les unes sur les autres, comme des lames de fluide. La viscosité y domine Re < 1.
Il est turbulent lorsque le déplacement est irrégulier et que des fluctuations aléatoires de vitesse se superposent
au mouvement moyen du fluide. La convection y domine Re >> 1.
Remarques :
 pour un même fluide, on peut observer la transition laminaire à turbulent en augmentant la vitesse
d'écoulement (robinet)
 la nature du fluide joue un rôle important : pour un même débit, un écoulement d'huile sera laminaire
alors que celui d'eau sera turbulent. (ex. de la vidange)
R < 1 : les effets de la viscosité sont prépondérants. L'écoulement est laminaire.
R > 103 : les effets de la convection sont prépondérants. L'écoulement est turbulent.
Remarque : La crise de traînée s’explique par une couche limite qui devient turbulente. Cet effet est recherché sur
les balles de golf : elles ne sont pas parfaitement lisses pour que la traînée soit faible sur la gamme de vitesse utile
pour ce sport.
2. Ecoulement parfait et couche limite
2.1. Notion de couche limite
Dans un écoulement à grand nombre de Reynolds, la convection l’emporte sur la viscosité. Cependant, les termes
de viscosité ne peuvent pas être complètement négligés. Proche des parois délimitant l’écoulement, la vitesse
varie rapidement dans une petite zone de l’espace, appelée couche limite. D’une vitesse nulle sur la paroi, celle-ci
devient égale à celle de l’écoulement d’autant plus rapidement que  est grand. Cette rapide variation spatiale de
la vitesse rend les effets de la viscosité importants dans la couche limite.
L’écoulement du fluide dans cette couche peut être laminaire ou turbulent ; lors de la transition vers la turbulence
( ex : Re = 2.105 pour une sphère ), les phénomènes de convection deviennent prépondérants dans la couche limite
et la traînée chute brutalement (crise de trainée).
Lorsque la couche limite est laminaire, son épaisseur caractéristique  est de l’ordre de   
, où  est la
dimension de l’obstacle dans le sens de l’écoulement.
Démonstration en raisonnant « par ordre de grandeur » (« par analyse dimensionnelle ») (cf. chap.2)
On considère une plaque d’épaisseur négligeable de longueur L. Le fluide s’écoule parallèlement à la plaque. La
couche limite se forme progressivement lors de l’écoulement le long de la plaque : à dessiner.
 En remarquant que la viscosité domine la convection dans la couche limite, donner l’expression
approchée de Navier-Stokes dans la couche limite (on négligera le poids et les variations de pression, car
couche de petite dimension)
 Dans la couche limite, en introduisant des ordres de grandeur de : la vitesse U, l’épaisseur de la couche
limite  et du temps mis par la couche limite pour se former T, déterminer une relation entre ces trois
paramètres et .
 Evaluons l’épaisseur de la couche limite lorsque l’on arrive au bout de la plaque : le temps T doit alors
être égal au temps mis par le fluide pour parcourir la plaque. L’exprimer en fonction de L et de l’ordre de
grandeur de la vitesse hors de la couche limite . Conclure.

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2.2. Définition d’un écoulement parfait
Définition d’un écoulement parfait
Un écoulement parfait est un écoulement dans lequel tous les phénomènes diffusifs, en particulier la viscosité,
sont négligeables ; les particules de fluides évoluent de manière adiabatique et réversible, donc isentropique.
Les autres phénomènes de diffusion, la diffusion thermique et la diffusion particulaire, n’ont pas encore été traités
en cours, mais il faut comprendre « phénomène diffusif » par « transport d’une quantité physique à l’échelle
microscopique » (transport quantité de mouvement : viscosité ; transport d’énergie thermique : diffusion
thermique ; transport de particules : diffusion de particules).
Il est cohérent de négliger conjointement tous les phénomènes diffusifs, car ils ont en commun le même moteur :
l’agitation thermique et le transport d’une grandeur physique (énergie, quantité de mouvement, molécules) par les
molécules du fluide, transport invisible à l’échelle macroscopique.
On ne confondra pas « écoulement parfait » et « fluide parfait ». Dans ce dernier cas, on suppose que le fluide a
une viscosité nulle. C’est un modèle simplifié qui revient à considérer la couche limite comme étant d’épaisseur
nulle. Ce modèle ne permet pas d’expliquer pourquoi un fluide initialement en mouvement s’immobilise de lui-
même. Le modèle de l’écoulement parfait, qui ne néglige la viscosité qu’en-dehors de la couche limite, peut
expliquer cette observation. Cette distinction écoulement/fluide parfait n’apparaît pas dans tous les ouvrages.
Notions clefs
Savoirs :
 Définition force traînée, coefficient de traînée
 Evolution (qualitative) du coefficient de traînée avec 
 Définition laminaire / turbulent
 Critère sur  permettant de prédire si un écoulement est laminaire ou turbulent (odg pour la sphère)
 Définition écoulement parfait + notion couche limite (qualitatif)
Savoirs faire :
 Retrouver l’expression de la traînée en fonction de la vitesse dans les cas limites : petit Re / grand Re