Evolution d`une singularit e de type cusp dans une poche de tourbillon
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Revista Matematica Iberoamericana Vol. 16, N.o 2, 2000 Evolution d'une singularite de type cusp dans une poche de tourbillon Raphael Danchin Resume. Dans cet article, on etudie l'evolution de singularites dans la frontiere de poches de tourbillon pour les equations de la mecanique des uides incompressible en dimension deux. On s'interesse en particulier aux singularites de type cusp qui, d'apres des simulations numeriques recentes, semblent stables. On prouve ici que le champ de vitesse engendre par une poche de tourbillon ayant un cusp, est lipschitzien (ce qui n' est pas le cas pour une singularite de type coin par exemple). On etablit alors un resultat de persistance globale en temps d'un certain type de regularite conormale du tourbillon, par rapport a une famille de champs de vecteurs s'annulant en un point singulier, et qui generalise la structure de cusp. On en deduit en particulier la stabilite pour tout temps du cusp avec conservation de l'ordre d'element. Abstract. We investigate the evolution of singularities in the boundary of a vortex patch for two-dimensional incompressible Euler equations. We are particularly interested in cusp-like singularities which, according to numerical simulations, are stable. In this paper, we rst prove that, unlike the case of a corner-like singularity, the cusp-like singularity generates a lipschitzian velocity. We then state a global result of persistence of conormal regularity with respect to vector elds vanish281 282 R. Danchin ing at a singular point, which generalizes the structure of cusp. This entails the stability of cusp-like structures for all time with conservation of the order of the cusp. 0. Introduction. Le systeme d'Euler decrit l'evolution de la vitesse et de la pression d'un uide parfait incompressible. Si t 2 R et x 2 R d , on note v(t; x) la vitesse au point x a l'instant t et p(t; x), la pression. Le couple (v; p) verie alors 8 (@t + v r) v = ;rp ; > < (E) div v = 0 ; > : vjt = v0 ; ou v0 est donnee. On s'interesse ici au cas d = 2. Au champ v on associe le tourbillon ! = @1 v2 ; @2 v1 qui verie une simple equation de transport (@t + v r) ! = 0 ; (T) !jt = !0 : Connaissant ! et sous des conditions d'integrabilite susantes, on peut alors retrouver la vitesse gr^ace a la relation de Biot-Savart Z 2 2 1 1 v (t; x) = ; 2 jxx ;;yyj2 !(y) dy ; R (BS) Z 1 1 v2(t; x) = 21 jxx ;;yyj2 !(y) dy : R Designons par le ot de v, c'est-a-dire la solution de =0 =0 2 2 (t; x) = x + t Z 0 v(s; (s; x)) ds : Formellement, l'equation (T) assure donc que !(t; x) = !0( t;1(x)). Le theoreme suivant demontre par V. Yudovitch en 1963 (voir [Yu]) donne un cadre rigoureux au raisonnement precedent. En eet, introduisons l'espace E des perturbations d'energie nie des solutions stationnaires regulieres de (E) dont le tourbillon est a support compact n o ? Z jxj x 2 1 E = u + : u 2 L et = jx2j g() d ; g 2 C0 (R nf0g) : 0 Evolution d'une singularite de type cusp 283 Theoreme 0.1. Supposons que v0 2 E , div v0 = 0 et !0 2 La \ L1 pour un a 2 [1; +1[ . Alors (E) admet une unique solution (v; p) dans C (R ; E ) L1 (R ; L2 ) telle que ! 2 L1 (R ; La \ L1 ). De plus v est dans loc L1 loc (R ; L1 ) et est quasi-lipschitzien : il existe K 2 L1 loc (R ) telle que jv(t; x) ; v(t; y)j K (t) jx ; yj (1 ; log jx ; yj) ; si 0 < jx ; yj 1 : Enn, v admet un ot continu unique et on a !(t; x) = !0 ( t;1(x)). Le champ v n'est pas lipschitzien, mais un resultat d^u a Wolibner (voir [W]) assure cependant que t appartient a la classe de Holder C exp (;C tk! kL1\La ) ou C1 est une constante universelle. On sait depuis que ce resultat est optimal en general (voir [BCh]). L'etude des poches de tourbillon est un probleme classique lie au systeme d'Euler incompressible en dimension deux. Il s'agit de decrire l'evolution des solutions de (E) dont la donnee initiale a pour tourbillon la fonction caracteristique d'un ouvert borne 0. Le theoreme de Yudovitch donne l'existence et l'unicite d'une solution dont le tourbillon a l'instant t est la fonction caracteristique de l'ouvert t = t ( 0 ), l'incompressibilite assurant que t et 0 ont m^eme mesure. Toutefois, on ne peut rien dire a priori sur l'evolution de la regularite de la frontiere a l'aide du seul theoreme de Yudovitch. Une premiere reponse a cette question est donnee par J.-Y. Chemin en 1990 (voir par exemple [Ch2, Chapitre 5]). Il obtient le resultat suivant: 1 0 Theoreme 0.2. Supposons que @ 0 soit une courbe simple de classe C r avec r 2 ]1; +1[ nN . Alors la solution v de Yudovitch associee au tourbillon initial 1 reste lipschitzienne pour tout temps et verie krv(t)kL1 CeCt : 0 De plus, pour tout temps, @ t reste de classe C r . Signalons que ce resultat a ete redemontre a l'aide de techniques dierentes dans [BeC] et [S]. Lorsque la frontiere initiale a des singularites, la solution n'est plus lipschitzienne en generale, mais la regularite locale de la frontiere est neanmoins preservee comme l'indique le theoreme suivant: Theoreme 0.3. Supposons que @ 0 soit une courbe simple de classe C r avec r 2 ]1; +1[ nN , en dehors d'un ferme 0 . Alors pour tout 284 R. Danchin temps, @ t reste une courbe simple de classe C r en dehors du ferme t = t (0). On renvoie a [Ch2, Chapitre 9] pour la preuve originale dans le cas r 2 ]1; 2[ , et a [Da] pour la preuve dans le cas general. Le sujet n'est pas clos pour autant. Certes, aucune singularite ne peut appara^tre dans les parties initialement regulieres d'une poche de tourbillon, mais les simulations persistent a nous montrer l'emergence de structures lamentaires qui deviennent vite indiscernables d'un cusp (voir par exemple [ZHR], [Bu] ou [Dr]). Generiquement, tout se passe comme si la singularite de type cusp etait un \attracteur" pour les structures regulieres (ce phenomene ne se limite d'ailleurs pas aux poches de tourbillon: il est assez general en mecanique des uides). Ceci ne contredit pas les resultats de regularite globale cites precedemment: les seules estimations connues sur les quantites geometriques liees a la frontiere croissent doublement exponentiellement en temps. Des simulations numeriques recentes reposant sur un algorithme adaptatif multi-echelle et le principe d'interpolation dyadique de Deslauriers-Dubuc [DD] ont permis d'etudier de plus pres le cas de singularites de type cusp ou coin (voir [CD]). Au vu des resultats obtenus, la singularite de type cusp semble stable alors que le coin est instable. Dans cet article, nous nous proposons de montrer le resultat suivant. Theoreme 0.4. Si @ 0 est reguliere en dehors d'un point x0 et presente un cusp en x0 , alors la solution v de Yudovitch est dans L1 loc (R ; Lip(R 2 )) et verie krv(t)kL1 CeCt pour une constante C ne dependant que des donnees initiales. De plus, pour tout temps @ t reste reguliere en dehors de xt et presente un cusp xt = t (x0). Enn, l'ordre d'element du cusp est preserve. C'esta-dire que, s'il existe > 0 tel que j 0 \ B (x0; h)j = O(h2+ ), alors j t \ B (xt ; h)j = O(h2+ ) pour tout t 2 R . Nous prouverons en fait un resultat de propagation de structures geometriques elees un peu plus generales que le \cusp ordinaire", et le cusp dans le theoreme precedent doit ^etre entendu comme une singularite veriant j 0 \ B (x0; h)j = O(h2+ ) pour un > 0 mais ne possedant pas necessairement de demi-tangente. En fait, nous verrons Evolution d'une singularite de type cusp 285 qu'un analogue du Theoreme 0.4 s'applique egalement pour un tourbillon initial du type !0 = !0 1 avec 0 presentant un coin, a condition que !0 soit susamment regulier et s'annule au niveau du coin. Tout ceci sera precise dans la premiere section de l'article. Notons ici que l'hypothese d'element > 0 est essentielle puisque l'on sait par exemple que le champ de vitesse associe a un tourbillon fonction caracteristique d'un ouvert borne ayant un coin, n'est pas lipschitzien (voir [Ch2]). Signalons enn que N. Depauw a prouve recemment un resultat geometrique plus precis sur la stabilite du cusp, mais qui n'est que local en temps (voir [De]). Avant d'enoncer le resultat de stabilite dans toute sa generalite, ce qui fera l'objet de la premiere section, donnons ici une idee succincte de sa preuve et des principales dicultes rencontrees. Il convient d'abord de remarquer que les hypotheses d'element de type cusp (cela appara^tra plus clairement dans la Section 1) sont stables par le ot de v des que rv est borne. La premiere partie de la demonstration consiste donc a obtenir une estimation stationnaire de rv sachant que le tourbillon ! a une structure elee. Cette estimation stationnaire fait l'objet de la troisieme section de l'article. On pourrait croire alors qu'a partir de cette estimation, le theoreme s'obtient par l'habituelle procedure consistant a regulariser la donnee initiale, demontrer des estimations uniformes en grande norme sur la solution regularisee puis passer a la limite en petite norme. Mais les hypotheses faites ici sur la donnee initiale ne sont pas stables par convolution: ceci appara^t de facon evidente dans le cas de la fonction caracteristique d 'un cusp, par exemple. Tout le probleme consiste donc a demontrer le Theoreme 0.4 sans regulariser la donnee initiale. Dans la Section 4, nous serons amenes a prouver d'abord une version pauvre du theoreme a temps petit et avec perte de regularite en utilisant uniquement les resultats de [Ch2] pour des singularites generales, et des estimations a perte qui font l'objet de la Section 2. L'estimation stationnaire de la troisieme partie pour le gradient de la vitesse servira ensuite a montrer a posteriori que la vitesse reste lipschitzienne et que la geometrie elee est, de ce fait, transportee sans perte de regularite par le ot de la solution. De proche en proche, on montre alors un resultat global en temps. Dans tout l'article, on adoptera la convention d'Einstein pour la sommation sur les indices repetes. Par ailleurs, sauf mention contraire, 0 286 R. Danchin v designera un champ de vitesse de R 2 a divergence nulle. 1. Denitions, notations et enonce des resultats. Dans cette partie, on enonce un theoreme de propagation de structures geometriques degenerees en un point, de type \ele", pour le systeme d'Euler incompressible en dimension deux. Nous verrons que ce type de structure comprend le cas des poches de tourbillon avec singularite de type cusp. L'enonce du theoreme de propagation reprend largement le concept de regularite conormale par rapport a une famille de champs de vecteurs (voir [Bo1], [A] et [Ch1]). Cependant, pour pouvoir caracteriser les structures singulieres qui nous interessent a l'aide de champs de vecteurs au moins continus (plus precisement a coecients dans une classe de Holder C " avec " 2 ]0; 1[ ), nous avons ete amenes a utiliser des champs s'annulant au point singulier et a imposer au tourbillon une condition de support ele pres de ce point. 1.1. Espaces fonctionnels a geometrie singuliere de type ele. L'objet de la denition suivante et de preciser le type de geometries singulieres qui nous interesse. Pour la denition des espaces de Holder, on renvoie a la Section 2.1. Denition 1.1. Soit x0 2 R 2 , " 2 ]0; 1[ et > 0. On appellera geometrie (; ")-elee en x0 la donnee d'un couple (; X ) ou = fh gh>0 est une famille de fonctions de R 2 dans R et X = fXg2 est une famille de champs de vecteurs sur R 2 , ces deux familles veriant en outre : i) il existe inversible bilipschitzienne de R 2 dans R 2 avec (0) = x0 et g 2 C01 (R 2 ) valant 1 pres de 0, telles que si gh(x) = g(x=h) pour h > 0, on ait h = gh ;1 , ii) chaque champ X est a coecients et a divergence dans C " , iii) 0 < I (X ) d=ef x2 supp inf sup jxjX;(xx)jj < +1 , 0 2 iv) 0 < J (X ) d=ef x62 supp inf sup jX (x)j < +1 . 2 1 1 Evolution d'une singularite de type cusp 287 On pose alors kX k" = kX k" + kdiv Xk" e et I (X ) = min fI (X ); J (X )g : Remarque 1.1. Pour des raisons techniques qui appara^tront dans la derniere partie, nous denissons egalement une notion de geometrie (; ; ")-elee en x0 pour 2 ]0; 1]. Lorsque = 1, cette denition concide avec la precedente. Si 2 ]0; 1[ , on remplace la condition i) par la condition suivante: i') il existe bijective de R 2 dans R 2 avec (0) = x0 , de classe C ainsi que son inverse et g 2 C01 (R 2 ) valant 1 pres de 0, telles que, si gh(x) = g(x=h) pour h > 0, on ait h = gh ;1 . Denition 1.2. Soit X un champ de vecteurs. On denit formellement l'action de X sur u par la formule X (x; D) u = @i (X iu) ; u div X: Nous allons maintenant construire des espaces de distributions lies aux geometries elees que nous venons de denir. Nous verrons dans la Section 1.3 que ces espaces contiennent notamment les fonctions caracteristiques de domaines simplement connexes presentant une singularite de type cusp. Denition 1.3. Soit x0 2 R 2 , > 0, > 0, a 2 [1; +1[ , 2 ]0; 1], " 2 ]0; 1[ et 2 ]0; "[ . Posons = 2=(2 + ). Soit (; X ) une geometrie (; ; ")-elee en x0 . On dira que ! appartient a l'espace C;" (X ) (on omet la dependance en a et ) si et seulement si les quatre conditions suivantes sont veriees : i) k!k d=ef k!kL1\La < +1 , ii) sup kX (x; D) !k";1 < +1 , 2 iii) N (X; !) d=ef sup h(;")= kX(x; D)(h!)k;1 < +1 , 2 h2 ]0;1] iv) N(!) d=ef sup h;(2+) kh!kL1 < +1 . h2 ]0;1] 288 R. Danchin On pose alors N (X; !) = N (X; !) + sup kX(x; D) !k";1 ; 2 N (!) = N(!) + k!k ; et N(!) sup ekXk" + N (X; !) 2 k! k;" : ;X = I (X ) Remarque 1.2. En pratique, on choisit = 1 si bien que est bilipschitzienne. L'utilisation de fonctions h = gh ;1 pour ex- primer la petitesse du support du tourbillon pres du point singulier peut para^tre inutilement compliquee. Cependant, cette denition a l'avantage de pouvoir se propager a l'aide du ot de la solution si l'on pose t;h = h t;1 . On obtient alors des valeurs de Nt (!t ) et de N (Xt ; !t) constantes au cours du temps. Ce fait est tres important car il permet une majoration de rv par une quantite constante multipliee par un logarithme de quantites qui, elles, sont susceptibles de cro^tre rapidement au cours du temps (voir le Theoreme 3.1). Remarque 1.3. Supposons que = 1. Si la condition i) est veriee, la condition iv) est alors equivalente a l'existence d'une constante K telle que k!kL (B(x ;h)) Kh2+ pour h 2 ]0; 1]. Cette condition signie que le support de ! est ele pres de x0 ou que !(x) est domine par une puissance strictement positive de jx ; x0j lorsque x est proche de x0. En particulier, lorsque ! est la fonction caracteristique d'un ouvert borne, cette condition est veriee si la frontiere est susamment reguliere au voisinage de x0 et presente un cusp en x0 . Elle ne l'est pas en revanche si la frontiere presente un coin en x0 car il existe alors une constante c > 0 telle que kh!kL c h2 . Quant a la condition iii), nous verrons dans la Section 1.3 que, dans les cas pratiques, elle est une consequence des injections de Lp dans C ;2=p , de la structure (1; ")-elee de la geometrie et de la condition iv). 1 0 1 Evolution d'une singularite de type cusp 289 1.2. E nonce du resultat principal. Denissons d'abord la notion de champ de vecteurs transporte par le ot. Proposition 1.1. Soit v un champ de vecteurs lipschitzien et son ot. Soit " 2 ]0; 1[ et X0 un champ de vecteurs a coecients et divergence dans C " . On note Xt le champ transporte de X0 par le ot a l'instant t, deni par Xt(x) = X0(x; D) t( t;1 (x)). Alors Xt est solution de ( (@t + v r) X = X (x; D) v ; (TG) Xjt = X0 : =0 Demonstration. Il sut de deriver en temps la relation Xt ( t (x)) = X0(x; D) t(x) et de revenir a la denition du ot. On peut maintenant enoncer le theoreme de propagation de structures elees. Theoreme 1.1. Soit x0 2 R 2 , " 2 ]0; 1[ , > 0, 2 ]0; "[ , a 2 [1; +1[ et (0 ; X0) une geometrie (1; ")-elee en x0 . Soit v0 2 E tel que div v0 = 0. Supposons de plus que le tourbillon initial !0 appartienne a C;" (X0) et que l'on ait i ; h ; avec = 2 : (1.1) " 2 ]; 1[ et 2 0; " "" + 2+ Notons v la solution de (E) de donnee initiale v0 et son ot. Alors on a rv 2 L1 (t ; Xt) loc (R ; L1 (R 2 )). De plus, pour tout temps t, le couple reste une geometrie (1; ")-elee en xt ou t;h = 0;h t;1, fXt; g2 est la famille transportee de fX0;g2 par le ot de v et xt = t (x0 ), et !(t) 2 C;" (Xt ). Plus precisement, il existe une constante L0 ne dependant que des conditions initiales et une constante C ne dependant que de ", , a et , telles que (1.2) krv(t)kL1 CL0 N (!0) eCtN (! ) ; (1.3) ;" CtN (! ) ; 1)) : k!t k;" ;Xt C k!0 k;X exp (CL0 (e 0 0 0 0 0 0 290 R. Danchin Remarque 1.4. En reprenant les resultats de [Ch2, Chapitre 9] sur les poches de tourbillon singulieres, on montre aisement que, sous les hypotheses du Theoreme 1.1, rv(t) est dans L1 loc (R 2 nfxt g) pour tout temps. On prouve en fait l'existence d'une constante C0 ne dependant que des donnees initiales et d'une constante C ne dependant que des parametres de regularite, telles que pour tout h 2 ]0; 1] C k!0 k t (1.4) jrv(t; x)j C (1 ; log h) k!0 k eC e 0 ; si jx ; xt j h : Cependant il ne semble pas raisonnable d'essayer de propager les hypotheses geometriques faites dans le Theoreme 1.1 sans perte de regularite et en utilisant uniquement l'inegalite (1.4). L'exemple donne dans [BCh] et qui montre que la regularite du ot associe a une poche de tourbillon singuliere peut se degrader de maniere exponentielle en temps semble indiquer qu'une telle entreprise serait vouee a l'echec. 1.3. Deux exemples d'application du Theoreme 1.1. Dans cette partie, on montre que les hypotheses du Theoreme 1.1 sont satisfaites pour une large classe de donnees initiales !0 . Le premier exemple correspond au cas ou !0 = !0 1 avec 0 ayant une frontiere reguliere en dehors d'un point ou elle a une singularite de type cusp, et !0 fonction de classe C " pour un " 2 ]0; 1[. On suppose que la singularite se trouve a l'origine, que le cusp est oriente suivant l'axe des abscisses et que le contact entre les deux branches est d'ordre ni. 0 Proposition 1.2. Soit > 0, " 2 ]0; 1[ , 0 un ouvert borne tel que 0 2 @ 0 et que @ 0nf0g soit de classe C 1+" . Supposons plus precisement qu'il existe > 0 et deux fonctions f1 et f2 denies sur [0; ] et telles que 0 concide localement avec f(x1; x2); f1(x1 ) < x2 < f2(x1 )g. Posons l(x) = (f2(x) ; f1 (x))=2 et g(x) = (f1(x) + f2 (x))=2 et supposons enn que l et g verient les proprietes suivantes : i) l et g sont de classe C 1+" sur ]0; ], ii) l(0) = l0(0) = g(0) = g0(0) = 0 et les applications h 7;! h g0(h) et h 7;! h (l0=l)(h) sont prolongeables en 0 par continuite, le prolongement obtenu etant de classe C " sur [0; ], iii) il existe C > 0 tel que C ;1 h1+ l(h) C h1+ sur [0; ]. Evolution d'une singularite de type cusp 291 Donnons-nous par ailleurs !0 2 C " (R 2 ) et posons !0 = !0 1 . Alors il existe une geometrie (; X ) (1; ")-elee en 0 telle que !0 2 C;" (X ) pour tout 2 ]0; "[ . En particulier, si " > 2=(2 + ), !0 verie les hypotheses du Theoreme 1:1. 0 Preuve. Remarquons que, d'apres iii), la limite de h (l0 =l)(h) en 0 est forcement egale a 1 + . On prolonge alors les fi sur [;; ] par parite et on pose et X (0; x2) = (1 + ) x2 @2 0 X (x) = x1 @1 + x1l(lx(x)1 ) (x2 ;g(x1))+x1 g0(x1 ) @2 ; si 0 < jx1j : 1 Soit 2 C01 (B (0; )) valant 1 sur B (0; =2). On pose alors X1(x) = (x) X (x) si jxj et on prolonge X1 par 0 en dehors de B (0; ). Il est clair que, pour 0 < x1 et i 2 f1; 2g, on a X (x1; fi(x1)) = x1 (@1 + fi0 (x1) @2) ; donc X1 est tangent a @ 0. De plus, X1 est clairement de classe C " et div X (x1; x2) = 1 + x1 (l0=l)(x1) donc div X1 est de classe C " gr^ace a ii). On considere ensuite une equation F de classe C 1+" de @ 0 telle que sur un voisinage V0 de @ 0nB (0; =2), on ait jrF (x)j c > 0. Soit e 2 C01 (V0 ) valant 1 sur @ 0nB (0; =2). On pose alors X2 =(1 ; ) e r?F ; X3 =(1 ; ) (1 ; e) @1 et X4 =(1 ; ) (1 ; e) @2 : Ces trois champs sont visiblement a coecients et divergence dans C " et il est clair que pour x 62 B (0; =2), max fjX2(x)j; jX3(x)j; jX4(x)jg c=2. Posons = f1; 2; 3; 4g et h (x) = (x=h). Pour montrer que (; X ) est une geometrie (1; ")-elee en 0, il faut prouver que jX (x)j < +1 : 0 < xinf sup 2 2 jxj 1 Ceci resulte visiblement de la denition de X1 et de l'hypothese ii). Il ne reste plus qu'a montrer que !0 2 C;" (X ). Il est clair que i) est veriee puisque !0 2 L1 \ L1 . Par construction des champs X, on 292 R. Danchin a X (x; D) !0 = 0 pour 2 f3; 4g. Par ailleurs, comme X1 et X2 sont tangents a @ 0, le Lemme 1 de l'appendice applique avec a = !0 et b = 1 nous assure que X(x; D) !0 2 C ";1 pour 2 f1; 2g. Donc ii) est veriee. Enn, l'hypothese iii) entra^ne immediatement la nitude de N (!0). Comme les champs X2, X3 et X4 sont nuls au voisinage de 0, il ne reste plus qu'a prouver que pour 2 ]0; "[ , on a kX1 (x; D) !0 h k;1 Ch(";)= . En appliquant a nouveau le Lemme 1 de l'appendice avec cette fois-ci a = !0 et b = h 1 , il vient X1 (x; D) !0 2 C ";1 , X1(x; D) h !0 2 C ;1 et 0 0 kX1(x; D) h !0 k;1 C (kh 1 k;" (ekX1k" k!0 k" + kX1(x; D) !0 k";1 ) + k!0 kL1 kX1(x; D) (h 1 )k;1 ) : 0 0 En utilisant les injections L2=(";) ,! C ;" et L2=(1;) ,! C ;1 (voir [T] par exemple), on obtient kh 1 k;" C kh 1 kL = "; Ch(";)= ; kX1(x; D) (h 1 )k;1 C k2h 1 kL = ; kX1(x; D) hkL1 Ch(1;)= Ch(";)= : 0 0 0 2 ( ) 0 2 (1 ) La condition iii) est donc veriee. Remarque 1.5. La Proposition 1.2 s'applique en particulier au cas ou 0 concide localement avec f(x1; x2) : jx2j < x1+g pour un > 0. 1 Le champ X est alors egal a x1 @1 + ( + 1) x2 @2 . Remarque 1.6. En utilisant l'incompressibilite, il n'est pas dicile de montrer qu'avec les hypotheses de la Proposition 1.2, on a pour tout temps t, (1.5) N (!0) = Nt (!t ) : 0 Comme est de plus lipschitzien puisque v l'est, il y a visiblement conservation de l'ordre d'element de la poche pres de la singularite. Evolution d'une singularite de type cusp 293 Si !0 est la fonction caracteristique d'un domaine borne regulier en dehors de x0 , la propriete (1.5) signie que l'intersection de 0 avec des boules B (x0; h) a une mesure de l'ordre de h2+ et que t jouit de la m^eme propriete en xt = t (x0 ). Les resultats du Theoreme 1.1 sont en revanche insusants pour assurer la conservation des hypotheses faites a la Proposition 1.2. En particulier, si @ 0 admet une demi-tangente en x0, rien ne garantit l'existence d'une demi-tangente en xt pour @ t . Nous donnons un deuxieme exemple d'application du Theoreme 1.1. On suppose encore que !0 = !0 1 mais, cette fois-ci @ 0 a un coin. Nous montrons dans la proposition suivante que l'on peut encore avoir !0 2 C;" (X ) si !0 a de bonnes proprietes d'annulation au voisinage de l'origine. 0 Proposition 1.3. Soit " 2 ]0; 1[ , 0 un ouvert borne tel que 0 2 @ 0 et que @ 0nf0g soit de classe C 1+" en dehors de 0. Supposons qu'il existe > 0 et deux fonctions f1 et f2 denies sur [0; ], de classe C 1+" et telles que 0 concide localement avec f(x1; x2) : f1(x1) <x2 <f2 (x2)g. Posons l(x) = (f2(x);f1(x))=2 et g(x) = (f1(x)+f2(x))=2 et supposons en outre que l0 (0) > 0. Donnons-nous par ailleurs !0 2 C " (R 2 ) telle que de plus r!0 2 L2=(1;") au voisinage de 0 et !0 (0) = 0. Posons !0 = !0 1 . Alors il existe une geometrie (; X ) (1; ")-elee enp0 telle que !0 2 C";" (X ) pour tout 2 ]0; "[ . En particulier, si " > 3 ; 1, !0 verie les hypotheses du Theoreme 1.1. 0 Preuve. Elle ressemble beaucoup a celle de la proposition precedente, aussi n'en donne-t-on pas tous les details. Apres avoir prolonge les fi sur [;; ], on pose cette fois-ci x ; f ( x ) x ; f ( x ) 2 2 1 2 1 1 0 0 ; f1(x1) @2 : X (x) = l(x1) @1 + f2 (x1) 2 2 En remarquant que div X = 2 l0(x) et en posant encore X1 = X , on obtient un champ tangent a @ 0, a coecients et divergence dans C " . On peut alors denir comme precedemment des champs X2, X3 et X4 ainsi qu'une geometrie (1; ")-elee en 0. On a clairement !0 2 L1 \ L1 et l'appartenance de X (x; D) !0 a C ";1 resulte toujours du Lemme 1 de l'appendice. De plus, les hypotheses !0 (0) = 0 et !0 2 C " entra^nent j!0 (x)j = O(jxj") et donc la nitude de N" (!0). 294 R. Danchin Enn, X1(x; D) (h !0 ) = !0 X1(x; D) h + 1 h X1(x; D) !0. Donc, en utilisant encore les injections de Sobolev, puis l'inegalite de Holder, on a kX1(x; D) (h !0)k;1 C (k!0 2h kL = ; kX1(x; D) hkL1 + k2h r!0 kL = ;" kh X1kL = "; ) Ch1+"; Ch(";)= : 0 2 (1 ) 2 (1 ) 2 ( ) Remarque 1.7. Plus generalement, le Theoreme 1.1 peut s'appliquer a un certain nombre de donnees initiales utilisees dans [Ch2, Chapitre 9] ou dans [Da]: il convient simplement d'imposer au tourbillon une condition d'annulation a un ordre susamment eleve pres de la singularite. 2. Estimations a perte pour les equations de transport. Apres un bref rappel sur la theorie de Littlewood-Paley inhomogene, on demontre dans cette partie une estimation a perte pour les equations de transport par un champ de vitesse quasi-lipschitzien. L'estimation obtenue servira dans la derniere partie a propager des geometries elees avec perte de regularite et a temps petit, etape preliminaire a la preuve du Theoreme 1.1. 2.1. Theorie de Littlewood-Paley. On rappelle ici les bases de la theorie de Littlewood-Paley. Pour plus de details, on pourra par exemple consulter [Ch2]. Proposition 2.1. Soit C R d , la couronne de centre 0 de petit rayon 3=4, de grand rayon 8=3 et B R d , la boule de centre 0 et de rayon 4=3. Il existe deux applications 2 C01 (B) et ' 2 C01 (C ) telles que X ( ) + '(2;q ) = 1 ; pour tout 2 R d ; q 2N 1 2 ( ) + X '2 (2;q ) 1 ; 3 q 2N pour tout 2 R d : Evolution d'une singularite de type cusp 295 On denit alors des operateurs p et Sp de L(S 0 (R d ); C 1(R d )) qui correspondent a des decoupages des distributions en morceaux de frequences voisines de 2p pour p et plus petites que 2p pour Sp . Plus precisement, posons h = F ;1 ', eh = F ;1 et p u = 0 ; si p ;2 ; ;1 u = (D) u = eh ? u ; p u = '(2;p D) u = 2pd Sp u = (2;p D) u = Z X qp;1 h(2p y) u(x ; y) dy ; q u = 2pd Z si p 0 ; h(2p y) u(x ; y) dy : e On montre la convergence de Sp vers l'identite au sens des distributions temperees. Le lemme suivant, qui exprime la quasi-orthogonalite des termes P de la serie p u, est une consequence immediate de la Proposition 2.1. Lemme 2.1. Soient u et v, deux elements de S 0 (R d ). On a alors p q u 0 ; si jp ; qj 2 ; q (Sp;1 u pv) 0 ; si jp ; qj 5 ; p (q u r v) 0 ; si q r ; 5 et jp ; rj 2 : On peut maintenant donner une caracterisation des espaces de Holder a l'aide de la decomposition de Littlewood-Paley. Cette caracterisation permet d'etendre de maniere naturelle la denition des espaces de Holder a tout reel. Denition 2.1. Soit r 2 R . On note C r (R d ), l'espace des distributions temperees u telles que kukr d=ef sup 2qr kq ukL1 < 1 : q;1 296 R. Danchin Remarque 2.1. Lorsque r 2 R + nN , cette denition redonne les es- paces de Holder usuels avec des normes equivalentes. Par exemple, si r 2 ]0; 1[ , il existe une constante C universelle telle que, pour tout u 2 C r (R d ), on ait kukr kuk 1 + sup ju(x) ; u(y)j C kuk : L C jx ; yjr r (1 ; r) r x6=y On prendra garde au fait que, lorsque r 2 N , l'espace C r (Rd ) ainsi deni contient strictement l'ensemble des fonctions bornees a derivees d'ordre r bornees. Pour eviter les confusions, on le notera alors C?r (R d ). Denition 2.2. On dira qu'une suite fuq gq2N est a frequences dans des boules dyadiques s'il existe R 0 tel que pour tout q 2 N , supp fuq g B (0; 2q R). On dira qu'elle est a frequences dans des couronnes dyadiques s'il existe 0 r r0 tels que pour tout q 2 N , supp fuq g C (0; 2q r; 2q r0 ). Le lemme suivant sera fort utile dans les parties suivantes: Lemme 2.2. Soit fuq gq;1 a frequences dans des boules dyadiques. On suppose qu'il existe r > 0 et une constante K 0 telle que pour tout P ; qr 1 q ;1, kuq kL K 2 . Posons u = q;1 uq . Alors u 2 C r (R d ) et il existe une constante C 0 independante des uq et de r telle que 1+r kukr C r K : Soit fuq gq;1 a frequences dans des couronnes dyadiques. On suppose qu'il existe r 2 R et une constantePK 0 telle que pour tout q ;1, kuq kL1 K 2;qr . Posons u = q;1 uq . Alors u 2 C r (R d ) et il existe une constante C 0 independante des uq et de r telle que kukr C 1+jrj K : Denissons maintenant, d'apres [Bo2], le paraproduit. Denition 2.3. Soient u 2 S (R d ) et v 2 S (R d ). On appelle paraproP d duit de u par v, l'element Tu v 2 S (R ) deni par Tu v = q Sq;1u q v. On notera par ailleurs R(u; v), le reste de u et v, deni par R(u; v) = Evolution d'une singularite de type cusp 297 e v o e q u q = q;1 + q + q+1 . Enn, on posera Tu0 v = q q u P Tu v + R(u; v). Remarque 2.2. On a pour tout (u; v ) 2 (S (R d ))2 , u v = Tu v + Tv u + R(u; v). Remarque 2.3. Si Y est un champ de vecteurs, on appellera parachamp l'operateur TY i @i et on le notera TY par souci de concision. Il est clair que la Denition 2.3 garde un sens dans un grand nombre d'espaces fonctionnels. Nous aurons besoin du lemme suivant: Lemme 2.3. L'operateur T est bilineaire continu de L1 C r dans C r . Si t < 0, il est egalement continu de C t C r dans C r+t . L'operateur R est continu de C t C r dans C r+t des que r + t > 0. De plus, il existe des constantes C universelles telles que (2.1) kTu vk C jrj+1 kukL1 kvk ; r jr+tj+1 (2.2) kTu vkr+t C ;t (2.3) r pour tout r 2 R ; kukt kvkr ; pour tous r 2 R ; t < 0 ; r+t+1 kR(u; v)kr+t Cr + t kukt kvkr ; pour tous (r; t) 2 R 2 ; r + t > 0 : Le lemme suivant clarie le comportement des operateurs de Fourier homogenes dans les espaces de Holder et les proprietes de commutation du paraproduit avec de tels operateurs. Lemme 2.4. Soit m 2 R et R > 0. Soit f une application de C 1 (R d ) homogene de degre m en dehors de la boule B (0; R). Il existe alors une constante C ne dependant que de R telle que, pour tout reel r et pour tout t < 1, on ait (2.4) kf (D) uk C jrj+jmj+1 kuk ; r;m (2.5) (2.6) jrj+jmj+1 r k[Tu ; f (D)] vkr;m+t C 1 ; t krukt;1 kvkr ; k[Tu ; f (D)] vkr;m+1 C jrj+jmj+1 krukL1 kvkr : 298 R. Danchin 2.2. E quations de transport avec perte. Le lemme suivant generalise un lemme de [BCh] sur les equations de transport. Cette generalisation porte sur le second membre de l'equation que l'on suppose un peu moins regulier que la quantite transportee. Lemme 2.5. Soit 2 ]0; 1[ , s 2 [ ; 1; 1 ; ] et (V; G) un couple de fonctions positives et localement integrables sur R + . Il existe alors une constante C universelle veriant les proprietes suivantes : Posons Z t C t = s ; V ( ) (1 + G( )) d 0 et soit T un reel tel que T ; 1. Soit v un champ de vecteurs a divergence nulle tel que rv 2 1 L ([0; T ]; C?0) et krv(t)k0 V (t) pour t 2 [0; T ], et f0 une fonction de classe C s. Soient f , g1 et g2 trois fonctions telles que sup kf (t)kt < +1 ; t2[0;T ] sup kg1(t)kt < +1 ; t2[0;T ] et kq g2(t)kL1 (q + 2) 2;qt G(t) V (t) kf (t)kt : Supposons que, sur l'intervalle [0; T ], on ait @t f + div (fv) = g1 + g2 ; (T ) fjt = f0 : Alors on a =0 kf (t)kt 2 kf0ks + (2.7) pour tout t 2 [0; T ]. t Z 0 kg1( )k d ; Preuve. Commencons par supposer que v est C 1 a derivees veriant les hypotheses du lemme. En appliquant l'operateur q a (T ), il vient (Tq ) (@t + v r) q f = q g1 + q g2 + [v r; q ] f ; q fjt = q f0 : =0 Evolution d'une singularite de type cusp 299 Pour estimer le commutateur, on fait une decomposition en paraproduit et reste [v r; q ] f = R1 + R2 + R3 ; avec R1 = [Tvj ; q ] @j f ; R2 = T@j q f vj ; q T@j f vj ; R3 = @j (R(vj ; q f ) ; q R(vj ; f )) : Ces dierents termes se majorent a l'aide des lemmes 2.3 et 2.4. Dans [Ch2, Chapitre 4], il est montre que C 1 kR2kL 1 ; 2;qt krvk0 kf kt t et C 1 kR3kL 1 + 2;qt krvk0 kf kt : t Pour majorer kR1kL1 , on ne peut pas utiliser (2.6) puisque rv 62 L1 . En revenant a la denition du paraproduit, on trouve que R1 = X [Sq0;1 vj ; q ] @j q0 f : jq;q0j4 Or [Sq0;1 vj ; q ] @j q0 f (x) Z = h(y) (Sq0;1 vj (x) ; Sq0;1 vj (x ; 2;q y)) @j q0 f (y) dy : Rd Donc, en utilisant la formule de Taylor avec reste integral a l'ordre 1, on obtient k[Sq0;1 vj ; q ] @j q0 f kL1 C 2;q kSq0;1 rvkL1 kq0 rf kL1 C (q + 2) V (t) 2;qt kf kt ; d'ou (2.8) k[v r; q ] f kL1 ( q + 2) V ( t ) C 1 ; 2 2;qt kf kt : t 300 R. Danchin Par ailleurs, en integrant (Tq ), on trouve q f (t; x) = q f0(t; t;1(x)) Z t (q g1 + q g2 + [v r; q ] f )(; ( t;1(x))) d : 0 Donc, en utilisant (2.8), il vient + t Z kq f (t; )kL1 kq f0 kL1 + 0 2;q kg1( )k d Z t 1 + G( ) Z t (q + 2) 2;q V ( ) kf ( )k d : 2 1 ; 0 En multipliant les deux membres par 2qt et en prenant la borne superieure par rapport a q, on obtient +C kf (t)kt kf0kt + 0 kg1( )k + C sup kf ( )k 2[0;t] Z t sup 2(q+2)t V ( ) (q + 2) 2;(q+2) (1 + G( )) d : q;1 0 En posant C = 2 C= log 2, on trouve l'inegalite desiree. Dans le cas ou v n'est plus suppose regulier, on pose vn = Sn v. On montre alors aisement des estimations independantes de n sur les quantites voulues et une propriete de convergence dans des espaces plus grossiers (voir [BCh]). On en deduit encore (2.7). Remarque 2.4. Lorsque le champ v est lipschitzien et que le second membre est aussi regulier que la quantite transportee, on obtient bien s^ur des estimations sans perte (voir par exemple [Ch2]): pour tout r 2 ] ; 1; 1[ , il existe une constante C ne dependant que de r et telle que, si T > 0 et si @t f + div (fv) = g ; fjt = f0 ; pour t 2 [0; T ], alors on ait =0 (2.9) kf (t)kr kf0kr + Z t R kg( )kr e;C krv( 0)kL1 d 0 d 0 eC 0 krv( )kL1 d : Rt 0 Evolution d'une singularite de type cusp 301 3. Une estimation stationnaire pour le gradient de la vitesse. Le but de cette partie est de prouver une estimation de la norme lipschitzienne de la vitesse pour des champs de vitesse v de R 2 veriant les hypotheses du Theoreme 1.1. Le theoreme obtenu ici est en fait encore valable avec des hypotheses un peu plus generales et autorise notamment des geometries (; ; ")-elees avec et pouvant ^etre distincts de 1. Cette generalisation n'est pas un \luxe inutile" comme nous le verrons dans la derniere partie lorsqu'il s'agira de propager cette estimation stationnaire. De m^eme, observer que la constante de l'estimation est continue par rapport aux parametres de regularite et d'element s'averera indispensable. On remarquera que l'estimation obtenue ne fait intervenir des quantites liees a la geometrie elee et non conservees par le ot que de maniere logarithmique. C'est cette propriete qui, comme dans le cas de poches de tourbillons regulieres, permettra de propager la structure singuliere initiale pour tout temps et d'obtenir encore une croissance de krv(t)kL1 au plus exponentielle en temps. Soit x0 2 R 2 . Dorenavant, on dira que fhgh>0 est une famille concentree en x0 si et seulement si il existe deux applications g et veriant la condition i) de la Denition 1.1 (ou la condition i') de la Remarque 1.1 si < 1), et telles que h (x) = g(;1(x)=h). On posera alors !h = h !. Dans cette partie, on conviendra que k;1 k = kr;1 kL1 si = 1. En utilisant la continuite de l'inclusion de Lp (R 2 ) dans C ;2=p (R 2 ) (voir [T]) et le fait que ;1 @i @j est un operateur continu de Lp dans Lp pour p 2 ]1; +1[ (voir [Ch2] par exemple), on montre facilement que le gradient de la vitesse garde un \souvenir" du caractere ele du tourbillon pres d'un point. Plus precisement, on obtient le lemme suivant: Lemme 3.1. Soit x0 2 R 2 , fh gh>0 une famille concentree en x0 et > 0. Supposons que ! 2 L1 loc . Soit enn h > 0 et 2 ]0; 2[ . Alors il existe une constante C universelle telle que, si l'on pose vh = ;1 r? !h , on ait krvhk; C h= N(!) (2 ; ) ; avec = 2 : 2+ Le resultat principal de cette section est le theoreme suivant: 302 R. Danchin Theoreme 3.1. Soit a 2 [1; +1[ et D l'ensemble des quintuplets (; ; ; "; ) veriant l'hypothese suivante > 0; < 1; < " < 1; (H) " ; " " ; 0< <" "+ et 0< "+ : ou l'on a pose = 2=(2 + ). Soit x0 2 R 2 et (; X ) une geometrie (; ; ")-elee en x0 . Soient g et deux applications veriant la condition i) de la Denition 1:1 si = 1 ou la condition i') de la Remarque 1:1 si < 1 et R0 k;1 k tel que g 1 sur B (0; R0). Soit enn v un champ de vecteurs a divergence nulle, a gradient dans La et a tourbillon ! 2 C;" (X ). Alors on a N(!) sup2 ekX k" + N (X; !) e+ k;1 k; 1 R0 I (X ) N(!) ou C est une fonction continue de (; ; ; "; ) sur le domaine D. krvkL1 C a N(!) log Remarque 3.1. Le lecteur veriera aisement que, si = 1, = 1, et " et verient les hypotheses du Theoreme 1.1, alors (; ; ; "; ) 2 D. La demonstration du Theoreme 3.1 reprend les idees principales du [Ch2, Theoreme 3.3.2] que nous enoncons ici. Proposition 3.1. Il existe une constante C telle que pour tout " 2 ]0; 1[ , pour tout a 2 [1; +1[ et pour tout ferme du plan, on ait la propriete suivante. Soit fX g2 une famille de champs de vecteurs a coecients et divergence dans C " et telle que de plus I (; X ) d=ef xinf sup jX (x)j > 0 : 62 2 Alors si v est un champ de vecteurs a divergence nulle, a gradient dans La et a tourbillon ! dans L1 tel que de plus sup2 kX(x; D) !k";1 < +1, on a krvkL1 (c ) 1 + k! k sup2 kX k" : C"a k!k log e + sup2 kX(x; D")k!!kk"I;( ; X) e Evolution d'une singularite de type cusp 303 Ce resultat joint au lemme suivant qui montre que la contribution de la partie elee du tourbillon dans le calcul du gradient de la vitesse reste bornee lorsqu'on s'approche de la singularite, permettront de prouver le Theoreme 3.1. Lemme 3.2. Sous les hypotheses du Theoreme 3:1, il existe un polyn^ome P (x; y; z) ne s'annulant que pour x y z = 0, z = 1, x = y ou y = z et tel que pour 0 < h 1, c1 > 0 et vh = ;1 r? !h , on ait krvhkL1 (supp nB(x ;c h = )) 1 0 1 1 N (!) sup2 ekX k" + N (X; !) N (!) : P (; =; ") log e + c1 I (X ) N(!) Pour demontrer ce resultat, nous aurons besoin du lemme suivant qui est un ranement du [Ch2, Lemme 3.3.1] prenant en compte le caractere ele du support du tourbillon. Ce lemme peut-^etre vu comme un resultat d'interpolation logarithmique entre les espaces C?0 et C . Lemme 3.3. Soit Y un champ de vecteurs a coecients C " (" 2 ]0; 1[) non identiquement nul sur R 2 et h > 0. On suppose de plus qu'il existe 2 ]0; 1[ tel que Y (x; D)vh 2 C (R 2 ). Alors il existe une constante C universelle telle que, pour 0 < "0 < ", on ait kY (x; D) vhkL1 min f;C" ; "0 g kY kL1 krvh k0 kY (x; D)vhk + h"0 = N(!) kY k" log e + "0 (" ; "0 ) kY k 1 krv k : L h 0 Demonstration. On commence par decouper le terme Y (x; D) vh en basses et hautes frequences Y (x; D) vh = SN (Y (x; D) vh) + X qN q (Y (x; D) vh) : Pour la partie hautes frequences, on a simplement (3.1) X q N q (Y (x; D) vh) C 2;N kY (x; D) vhk : 304 R. Danchin Par ailleurs, SN (Y (x; D)vh) = SN (TY j @j vh ) + SN (T@j vh Y j + R(Y j ; @j vh )) : En utilisant la continuite du paraproduit de L1 C?0 dans C?0 , on a (3:2) kSN (TY j @j vh )kL1 C N kY kL1 krvh k0 : Pour le dernier terme, on ecrit SN (T@j vh Y j + R(Y j ; @j vh)) = SN X qN +2 Sq+2 @j vh q Y j + SN X qN +3 e q @j vh q Y j : En utilisant une transformation d'Abel, on montre que SN X qN +2 Sq+2 @j vh q Y j = SN +3 Y j SN +4 @j vh ; X qN +1 Sq+1 Y j q+1 @j vh ; ce qui donne (3.3) SN X qN +2 Sq+2 @j vh q Y j C N kY kL1 krvhk0 : Le Lemme 3.1 nous permet alors d'ecrire les inegalites suivantes SN X qN +3 e q @j vh q Y j C C X qN +3 X ke q @j vhkL1 kq Y j kL1 0 2;q(";" ) krvh k;"0 kY k" qN +3 C 2;N (";"0 ) h"0 = N (!) kY k : " "0 (" ; "0 ) En utilisant cette derniere inegalite ainsi que (3.1), (3.2) et (3.3), on obtient kY (x; D) vhkL1 C N kY kL1 krvh k0 0 h" = N (! ) k Y ( x; D ) v k h ; N" +2 ; "0 (" ; "0 ) kY k" + 3 Evolution d'une singularite de type cusp 305 avec "3 = min f";"0 ; g. On trouve alors le resultat desire en choisissant 0 h" = N (! ) kY k + kY (x; D ) v k 1 h " : N = 1 + " log 0 0 " (" ; " ) kY kL1 krvh k0 3 Demonstration du Lemme 3.2. Une simple application de la Proposition 3.1 permet d'armer que pour tous h > 0 et c1 > 0, on a rvh 2 L1 (supp 1 nB (x0; c1h1= )). Malheureusement, l'estimation obtenue a un comportement en log h pour h tendant vers 0. Nous allons montrer ici que l'on peut obtenir une estimation independante de h en contr^olant soigneusement toutes les puissances de h gr^ace aux lemmes 3.1 et 3.3. Soit donc y0 2 supp 1 nB (x0; c1h1= ). Quitte a translater les dierentes quantites manipulees, on peut toujours supposer que x0 = 0. On xe alors une fois pourR toutes une approximation de l'identite 2 C01 (B (0; 1)) telle que = 1. Il existe par ailleurs 2 tel que 2 jX(y0)j jy0j I (X ). On xe et on omettra l'indice dans le reste de la demonstration du Lemme 3.2. Posons n 1 o j X ( y ) j 2 U = y 2 R : jX (y )j 2 : 0 Soit = ;2 (;1 ) ? 1U avec = (jX (y0)j=(4 kX k" ))1=". Il est clair que 3 jX (y )j jX (y)j 7 jX (y )j ) ((y) = 1) : (3.4) 0 0 4 4 De m^eme, on a j X ( y ) j 9 0 ou jX (y)j 4 jX (y0)j ) ((y) = 0) : (3.5) jX (y)j 4 Posons Y = X . De (3.4) et (3.5), on deduit (3.6) kY kL1 94 jX (y0)j et Y (y0) = X (y0) : Remarquons maintenant que jY (y0)j2 @12 = Y 1(y0 ) Y (x; D) @1 ; Y 2 (y0) Y (x; D) @2 + (Y 2 (y0))2 ; jY (y0)j2 @22 = Y 2(y0 ) Y (x; D) @2 ; Y 1 (y0) Y (x; D) @1 + (Y 1 (y0))2 ; jY (y0)j2 @1 @2 = Y 1 (y0) Y (x; D) @2 + Y 2(y0 ) Y (x; D) @1 ; Y 1 (y0) Y 2 (y0) : 306 R. Danchin Comme vh = ;1 r? !h, ceci entra^ne gr^ace au Lemme 3.3 et a (3.6), jrvh (y0)j vh k0 C k!h kL1 + minkr f; " ; "0 g (3.7) kY (x; D) vhk + h"0 = N(!) kY k" log e + "0 (" ; "0 ) jX (y )j krv k ; 0 h 0 pour tout "0 tel que 0 < "0 < ". Estimation de kY k" . On utilise le fait que k k" et k kL1 +sup0<jx;yj<1 (j (y) ; (x)j)=jx ; yj" sont des normes equivalentes dans C " , d'apres la Remarque 2.1. Supposons que x soit dans supp (Y ). E crivons (3.8) Y (y) ; Y (x) = (y) (X (y) ; X (x)) + ((y) ; (x)) X (x) : On obtient alors (3.9) jY (y) ; Y (x)j C jx ; yj" (kX k" + jX (x)j ;") : Par ailleurs, en utilisant (3.5), on voit que x 2 supp (Y ) entra^ne jX (x)j 9 jX (y0)j=4. Donc d'apres (3.9) et la denition de , on a jY (y) ; Y (x)j C jx ; yj" kX k" : Finalement, comme kY kL1 kX kL1 , on obtient donc (3.10) kY k" C kX k" : Estimation de kY (x; D) vhk . On a Y (x; D) vh = X (x; D) vh, donc kY (x; D) vhk kk kX (x; D) vhk : En revenant a la denition de , on en deduit que (3.11) =" k X k " kY (x; D) vhk C jX (y )j kX (x; D) vhk : 0 Evolution d'une singularite de type cusp 307 Il s'agit donc maintenant de majorer kX (x; D) vhk . Posons ;1 (D) = (1 ; (D)) ;1 r? . De la denition du paraproduit, on deduit que Tu w = Tu (1 ; (D)) w. Ceci permet decrire (3.12) X (x; D) vh = R1 + R2 + R3 + R4 + R5 avec R1 = ;1 (D) X (x; D) !h ; R2 = [TX j ; ;1(D)] @j !h ; R3 = ;1 (D) R(!h; div X ) ; R4 = ;;1 (D) (T@j !h X j + @j R(!h; X j )) ; R5 = T@j vh X j + R(@j vh ; X j ) : Comme ;1 (D) est un operateur pseudo-dierentiel de degre ;1, l'inegalite (2.4) entra^ne immediatement (3.13) kR1 k Ch(";)= N (X; !) : En utilisant les lemmes 2.3 et 2.4, on montre aisement que, kR2k 1 C; " krvh k;" kX k" ; kR4k C" krvh k;" kX k" ; kR5k ("C; ) krvh k;" kX k" : Le Lemme 3.1 donne donc (3.14) (";)= kRi k " (1Ch; ") (" ; )2 N(!) kX k" ; pour i 2 f2; 4; 5g. Quant a R3 , il verie (3.15) (";)= Ch kR3k (" ; ) N (!) kdiv X k" : 308 R. Danchin Finalement, en reunissant les relations (3.12), (3.13), (3.14) et (3.15), on obtient Ch(";)= (N (X; !) + N(!) ekX k" ) kX (x; D) vhk : " (1 ; ") (" ; )2 On en deduit d'apres (3.11) que Ch(";)= (N (X; !) + N(!) ekX k" ) kY (x; D) vhk " (1 ; ") (" ; )2 (3.16) =" jXkX(yk")j : 0 En prenant "0 = = dans (3.7) puis en y injectant les inegalites (3.10) et (3.16), on trouve apres quelques majorations faciles, jrvh (y0)j C k!hkL1 + krvh k0 P (; =; ") = N (! ) kX k" h log e + jX (y )j krv k 0 h 0 e ("+ )=" N (X; ! )+ N (! ) e kX k" k X k ( " ; ) = " +h : e jX (y0)j kX k" krvhk0 Compte tenu des hypotheses sur et , de h 1 et de jX (y0)j I (X ) jy0j c1 I (X ) h= ; on obtient jrvh(y0 )j C k!hkL1 h k0 + P (;krv=; ") N (! ) e kX k" + N (X; !) log e + krvh k0 ekX k" e ("+ )=" e " ckIX (kX" ) + ckIX k(X : 1 1 ) Evolution d'une singularite de type cusp 309 On en deduit que, si c1 I (X ) ekX k" , on a jrvh (y0 )j P (; C=; ") k!hkL1 + krvh k0 (3.17) N (! ) e e kX k" + N (X; !) k X k " log e + c I (X ) : krvh k0 ekX k" 1 Si c1 I (X ) ekX k" , on majore e kX k" c1 I (X ) par e kX k" ("+)=" : c1 I (X ) Il s'agit ensuite de remarquer que (3.18) log (e + x y ) max f1; g log (e + x y) ; pour tout 0, (x; y) 2 ([1; +1[ )2. Ceci permet encore d'obtenir (3.17). Comme de plus krvh k0 C k!hk C k!k, des majorations elementaires permettent alors d'obtenir l'estimation voulue. Lemme 3.4. Soit p 2 [1; +1[ et v un champ de vitesse a divergence nulle et a tourbillon ! dans Lp . Alors il existe une constante C universelle telle que, si x 62 supp (!), jrv(x)j C p k!kLp (d(x; supp (!)));2=p : Demonstration. Supposons p > 1 et posons p0 = p=(p ; 1). D'apres la loi de Biot-Savart (BS), puis des majorations elementaires, Z 1 jrv(x)j 2 jxj!;(yy)jj2 dy Z 1=p0 dy 1 2 k!kLp 0 supp (!) jx ; y j2p Z +1 1=p0 dr ; 1 =p (2) k!kLp 0 d(x;supp (!)) r2p ;1 C p k!kLp (d(x; supp (!)));2=p : 310 R. Danchin Lorsque p = 1, la majoration est immediate a partir de la loi de BiotSavart. Demonstration du Theoreme 3.1. D'apres la Proposition 3.1, si x0 = 0, on a rv 2 L1 (R2 nf0g), ce qui donne un sens aux calculs qui loc suivent, pour presque tout x. Soit donc x 2 R2 nf0g. Posons R = (k;1 k; 1 R0)1= et h1 = R =(;) . Par hypothese, on a donc h1 1. Cas ou x est proche de la singularite. Supposons que jxj h11= R=2. On pose alors h = (2 jxj=R) de telle sorte que h h1 . Pour estimer jrv(x)j, on utilise la decomposition suivante rv(x) = rvh (x) + r(v ; vh )(x) : Le premier terme s'estime gr^ace au Lemme 3.2 applique avec c1 = R=4 et a l'inegalite (3.18) pour remplacer (R=4) par R. On obtient jrvh (x)j P (; C=; ") N(!) (3.19) N (!) sup2 ekXk" + N (X; !) log e + : R I (X ) N(!) Majoration de r(v ; vh )(x). Posons q1 = [(log2 h1 ; log2 h)= ] de telle sorte que 2q h h1 2(q +1) h. On ecrit ensuite qX ;1 (3.20) r(v ; vh )(x) = r(v2 q h ; v2q h)(x)+ r(v ; v2q h )(x) : q=0 1 1 1 ( +1) 1 Le premier terme pourra ^etre estime a l'aide du Lemme 3.4. En eet, on a jr(v2 q h ( +1) (3.21) ; v2q h )(x)j C k2 q h! ; 2q h !kL (d(x; supp (2 q h ; 2q h)));2 : 1 ( +1) ( +1) Comme et ;1 sont dans C , on a (3.22) B (z0 ); k;r1 k 1= (B (z0; r)) ; Evolution d'une singularite de type cusp 311 pour tous z0 2 R 2 , r > 0. Il est clair que supp (2 q h ; 2q h ) R 2 n(B (0; 2q h R0 )). Donc en utilisant (3.22), on obtient ( +1) supp (2 q ( +1) h ; 2q h) R 2 nB (0; 2q h1= R) : De plus, par denition de h, on a 2q h1= R = 2q+1 jxj. Donc d(x; supp (2 q h ( +1) ; 2q h)) 2q jxj ; pour q 2 N . D'apres (3.21) et la denition de N (!), il vient jr(v2 q ( +1) h ; v2q h )(x)j C (2(q+1) h)2+ N(!) (2q jxj);2 q+2 j)(2+) ;2 N (!) : C (2 Rjx(2+ ) En revenant a la denition de q1 et de h1 , on trouve donc q ;1 1 X q=0 r(v2 q h ( +1) ; v2q h)(x) 2+;2= (2+);2 (2+) ;2 4 h j x j 1 C ; N (!) h R(2+) (2+);2= C;2 N (!) h1 R2 C;2 N (!) : (3.23) Majoration de r(v ; v2q h )(x). Elle repose sur la Proposition 3.1. On adjoint a la famille fX g2 un champ Y de classe C 1 , supporte dans (B (0; 2q h R0 )) et a composantes valant sup2 ekX k sur (B (0; 2(q ;1) h R0 )). Comme 1 1 1 d((B (0; 2(q ;1) h R0)); R2 n(B (0; 2q h R0))) 2q ;1 h1= R ; 1 1 1 un tel champ peut ^etre choisi de telle sorte que kY kr C r (2q h1= R);r sup ekX k ; 1 2 pour tout r > 0 : 312 R. Danchin Notons fX0 g0 20 la famille obtenue en adjoignant a la precedente le champ Y . On applique alors la Proposition 3.1 avec cette nouvelle famille et le champ de vecteurs ve a divergence nulle et a tourbillon egal a !e d=ef (1 ; 2q h ) !. On obtient 1 krvekL1 C ak!e k 0 20 ekX0 k + sup0 20 kX0 (x; D) !e k;1 : log e + k!e k sup k!e k inf fJ (X ); (2q R h1= ) I (X )g 1 E tant donnees les hypotheses de support sur !e et Y , on a Y (x; D) !e 0. Par ailleurs, il est clair que k!e k k!k. Enn, X (x; D) !e = X (x; D) ! ; X (x; D) !2q h : 1 Donc kX(x; D) !e k;1 kX(x; D) !k;1 + (2q h)(";)= N (X; !) : 1 Comme par denition de q1 , on a 2q h h1 1 et 2q h1= h11= 2q +1 h1= , on obtient 1 1 1 krvekL1 1= R);1; sup ekX k + N (X; ! ) k ! k ( h C a 2 1 : 2 k!k log e + 1 = k!k inf fJ (X ); Rh1 I (X )g En revenant a la denition de R et de h1 , on obtient h11= R = (k ;1k; 1 R0)1=(;) : Il ne reste plus qu'a utiliser (3.18) pour eliminer les puissances de R0 k ;1k; 1 dans le logarithme. On trouve e N (X; !) : (3.24) krvekL1 C2a k!k log e + k!k sup20 kX;1k;+ k!k R k k 1 I (X ) Evolution d'une singularite de type cusp 313 Les relations (3.19), (3.23) et (3.24) donnent nalement, pour jxj R=(;) =2, (3.25) jrv(x)j (C;a2) 2 N(!) log e + N (!) sup2 ekXk" + N (X; !) : R0 k ;1k; 1 I (X ) N(!) La majoration de rv sur R 2 nB (0; R=(;) =2) est une simple consequence de la Proposition 3.1. Pour trouver l'estimation voulue, on elimine les puissances de R0 k ;1k; 1 indesirables dans le logarithme a l'aide de (3.18). 4. Un resultat de propagation de structures elees. Cette partie est consacree a la demonstration du Theoreme 1.1. Sachant qu'avec le type de geometrie qui nous interesse, le gradient de la vitesse est borne, il serait tentant d'appliquer les methodes que l'on utilise habituellement pour demontrer des resultats de propagation de geometries singulieres dans les E.D.P. hyperboliques. Schematiquement, ces methodes consistent a regulariser les donnees initiales par convolution avec des approximations de l'identite, a demontrer des estimations uniformes pour ces solutions regularisees portant notamment sur la geometrie que l'on veut propager (c'est ici qu'interviennent les estimations uniformes sur le gradient de la vitesse), puis a passer a la limite. Dans le cas qui nous interesse, ce genre de methode para^t dicile a appliquer. En particulier, l'etape de contr^ole des normes des solutions regularisees semble delicate. En eet, les elements de C;" (X ) se pr^etent mal a la regularisation car, conformement au principe d'incertitude, on perd alors les proprietes d'element pres d'un point, ce qui emp^eche donc de contr^oler le gradient de la vitesse regularisee via le Theoreme 3.1, a l'aide de quantites ne portant que sur la geometrie elee. C'est pourquoi nous avons opte pour une autre approche. La premiere chose a remarquer est que l'existence et l'unicite d'une solution est assuree par le theoreme de Yudovitch et que, comme on l'a deja mentionne dans la Remarque 1.4, cette solution est en fait quasilipschitzienne et a gradient borne localement en dehors de la singularite. 314 R. Danchin Tout se ramene donc a montrer que cette solution est a gradient borne et propage la geometrie elee initiale. La premiere etape de la demonstration consiste a prouver que cette geometrie est eectivement transportee sans perte de regularite et jusqu'au temps T si l'on sait de plus que rv 2 L1 ([0; T ] R2 ). Ceci fait l'objet de la Proposition 4.1. Nous demontrons ensuite, dans le Lemme 4.1, l'existence d'un > 0 que l'on peut minorer a l'aide des donnees initiales, et tel que rv 2 L1 ([0; ] R2 ). Pour cela, on remarque que, comme le tourbillon est dans La \ L1 , on peut obtenir des estimations uniformes de la norme C?0 des solutions regularisees. Gr^ace aux estimations a perte de la partie 2, on peut donc esperer obtenir des estimations uniformes a temps petit et avec perte de la solution regularisee et donc appliquer le Theoreme 3.1 sur un petit intervalle de temps. La derniere etape consiste alors a conjuguer la Proposition 4.1 et le Lemme 4.1 pour \pousser" le temps de persistance de la geometrie elee initiale. Premiere etape. Il s'agit de prouver la proposition suivante. Proposition 4.1. Soit T > 0 et v0 un champ de vecteurs veriant les hypotheses du Theoreme 1:1. Supposons que la solution v de (E) verie rv 2 L1 ([0; T ] R 2 ). Soit fXt;g2 la famille transportee de fX0;g2 par le ot de v, t;h = 0;h t;1 et xt = t (x0 ). Alors pour tout temps t 2 [0; T ], la geometrie (t ; Xt) reste (1; ")-elee en xt , et !t 2 C;" (Xt). De plus, il existe une constante C ne dependant que de ", de , de et de a, et telle que pour tout t 2 [0; T ], on ait (4.1) (4.2) krv(t)kL1 C L0 N (!0 ) eCtN (! ) ; kX (x; D) ! k e kXt; k" C ekX0;k" + 0;k! k 1 0 ";1 0 L CtN ! eCL (e ;1) ; kXt;(x; D) !tk";1 0 (4.3) (4.4) 0 0 0 0 ( 0) C kX0;(x; D) !0k";1 eCL (e 0 CtN0 (!0 ) ;1) I1(Xt ) I1 (X0) e;CL (e 0 CtN0 (!0 ) ; ;1) ; Evolution d'une singularite de type cusp (4.5) avec CtN0 (!0 ) ;" CL (e k!t k;" ;Xt C k!0 k;X e 0 L0 = log e + 0 kr;1 kL1 k!0 k;" ;X R0N (!0 ) et R0; veriant les conditions du Theoreme 3.1. 0 315 ;1) ; 0 Demonstration. En revenant a la denition de Xt et en utilisant l'equation du tourbillon, on montre aisement que (@t + v r) Xt;(x; D) ! = 0 ; (@t + v r) div Xt; = 0 ; (@t + v r) Xt; = Xt; (x; D) v : On se sert alors des estimations sur les equations de transport de la Remarque 2.4 et de l'inegalite suivante (4.6) kXt; (x; D) vk" C (k!k0 kdiv Xt;k" + krvkL1 kXt;k" + kXt; (x; D) !k";1) qui se demontre facilement a l'aide de la decomposition (3.12) et des lemmes 2.3 et 2.4. On obtient (4.7) (4.8) kXt;k" (kX0;k" + C t (kX0;(x; D) !0k";1 Rt + k!0 kL1 kdiv X0;k")) eC krv( )kL1 d ; 0 R kdiv Xt; k" kdiv X0;k" eC t krv( )kL1 d ; 0 Rt (4.9) kXt;(x; D) !tk";1 kX0;(x; D) !0k";1 eC krv( )kL1 d : 0 Conservation de la geometrie. Comme v(t) est lipschitzienne pour t 2 [0; T ], t est bilipschitzienne de R2 dans R 2 . On en deduit que t verie la condition i) de la Denition 1.1. Montrons que (t ; Xt) est une geometrie (1; ")-elee en xt : En revenant a la denition du ot, on obtient pour tout y 2 R 2 , (4.10) @t X0;(x; D) t(y) = rv(t; t(y)) X0;(x; D) t(y) : 316 R. Danchin En integrant cette expression entre les instants t et 0 puis en appliquant le lemme de Gronwall, il vient R jX0;(y)j jX0;(x; D) t(y)j e t krv( )kL1 d : 0 En appliquant cette derniere relation en y = t;1(x) et en remarquant que x 2 supp t;1 entra^ne t;1(x) 2 supp 0;1, on obtient R J (Xt) J (X0) e; t krv( )kL1 d : (4.11) 0 Par ailleurs, jx ; xt j kr t kL1 j t;1(x) ; x0j ; et en revenant a la denition du ot, il est facile de prouver que R kr t1kL1 e t krv( ) d kL1 : (4.12) 0 On en deduit que jXt;(x)j jX0;( t;1 (x))j e;2 R t krv( )kL1 d : jx ; xt j j t;1(x) ; x0 j 0 En regroupant ce dernier resultat avec (4.10), on obtient nalement (4.13) Rt I1(Xt ) I1 (X0) e;2 krv( )kL1 d : 0 E tude du tourbillon. Comme, par denition, les fonctions t;h sont constantes le long des lignes de ot, et qu'il en est de m^eme pour le tourbillon, on a (@t + v r) t;h ! = 0. L'incompressibilite assure alors la conservation des normes Lr de ! et de ! t;h. On en deduit que (4.14) Nt (!t ) = N (!0) ; 0 por tout t 2 [0; T ] : De m^eme, comme Xt; (x; D) !t;h = ! Xt;(x; D) t;h + t;h Xt;(x; D) ! et comme Xt; (x; D) t;h est aussi constante le long des lignes de ot (il sut d'utiliser la commutation entre @t + v r et Xt; (x; D) pour le voir), on en deduit que (@t + v r) Xt;(x; D) !t;h = 0. Evolution d'une singularite de type cusp 317 En utilisant la Remarque 2.4 puis en regroupant avec (4.9), on obtient Rt N (Xt; !t ) N (X0; !0) eC krv( )kL1 d : Cette derniere inegalite combinee avec (4.7), (4.8), (4.13) et (4.14) et le fait que C t N (!0 ) eCtN (! ) ; entra^ne 0 0 0 (4.15) 0 ;" eC R t (krv( )kL1 +N (! )) d : k!tk;" C k ! k 0 ;X ;Xt 0 0 0 0 D'apres le Theoreme 3.1, on a krv(t)kL1 CNt (!t ) log e+ kr;1 kL1 kr t;1 kL1 k!t k;" ;Xt R0 Nt (!t ) : Donc, d'apres (4.12), (4.14) et (4.15), des majorations immediates donnent Z t 1 1 krv(t)kL CN (!0) L0 + krv( )kL d : 0 0 Une simple application du lemme de Gronwall donne (4.1) puis la relation suivante (4.16) t Z 0 krv( )kL1 d L0 (eCtN (! ) ; 1) : 0 0 Un report de cette inegalite dans (4.7), (4.8), (4.9), (4.11) et (4.15) acheve la preuve de la proposition. Deuxieme etape. Il existe > 0 tel que rv 2 L1 ([0; ] R 2 ). Ce resultat est assure par la Remarque 1.4 et le lemme suivant. Lemme 4.1. Soit v0 un champ de vecteurs de E veriant les hypotheses du Theoreme 1:1. Notons v la solution de Yudovitch de (E) avec donnee initiale v0 . Soit K une fonction croissante continue positive telle que, si xt = t (x0), on ait pour tout temps t, krv(t; )kL1 (R nB(xt ;h)) C1 k!0k K (t) : 1 ; log h h2 ]0;1] (4.17) kv(t; )kL1 + sup 2 318 R. Danchin Alors il existe une constante universelle C telle que si l'on pose T = 2 (1 ; )=C k!0k , on ait rv 2 L1 ([0; ] R 2 ) pour o n 2 = min T; 2 C 1k! k log 1 + ("" +;) "(1;+K(;T )) " : 1 0 Preuve. Remarquons tout d'abord que m^eme si, a priori, v n'est pas lipschitzien, la relation (4.17) assure que r t est localement borne en dehors de xt et, d'apres (4.26) ci-apres, t1 ; Id 2 C exp(;C k! tk ) . Ceci permet donc de denir, selon la Proposition 1.1, une notion de famille de champ de vecteurs transportee par le ot, en dehors des points singuliers xt . On prolonge les champs obtenus par 0 en xt . La denition t;h = 0;h t;1 est egalement licite. La premiere partie de la preuve du Lemme 4.1 consiste a montrer que, sur un intervalle de temps [0; T ] avec T susamment petit, la geometrie (t ; Xt) est (t ; t; "t )-elee en xt avec des parametres d'element t et de regularite t et "t qui se degradent au cours du temps (plus precisement, t est une fonction croissante et continue de t valant 1 en 0, t est decroissante continue valant 1 en 0 et "t est decroissante continue et vaut " en 0). En outre, !t 2 Ct ;"t (Xt ). Ces resultats font l'objet du Lemme 4.2 et permettront ensuite de montrer, via le Theoreme 3.1, que rv(t) est borne, tant que les conditions 1 (4.19) "t > ; 0 < t 1 "t ; tt t 1+ " t ! 0 " ; t et 0 < t < "t " + t sont satisfaites, donc sur un petit intervalle de temps non vide. Lemme 4.2. Sous les hypotheses du lemme precedent, il existe une constante universelle C telle que, si l'on pose T = 2 (1 ; )=(C k!0k ) et t = e;C k! k t ; 1 (4.20) 0 t = 1 + (K (t) + 1) (eC k! k t ; 1) ; "t = " ; 1 ;C k!0 k t 1 et 0 t = ; 1 ;C k!0 k t ; la geometrie (t ; Xt) reste (t ; t; "t )-elee pour tout t 2 [0; T ]. De Evolution d'une singularite de type cusp 319 plus, on a (4.21) (4.22) (4.23) (4.24) kX0;(x; D) !0k";1 ; k!0k kXt;(x; D) !tk"t ;1 2 kX0;(x; D) !0k";1 ; Nt (Xt ; !t) 2 N (X0; !0) ; Nt (!t ) = N (!0 ) ; kXt;k"t C ekX0;k" + e 0 It (Xt) I1L((Xt)0) ; (4.25) avec (1+K (t))(e C k! k t ;1) e L(t) = (max f1; diam (supp ) + 2 t C k! k K (t)g)t 0 1 0 ou C est une constante ne dependant que de " et de . 3 1 0 Demonstration. Elle exploite d'une part que jrv (t; x)j cro^t comme (1 ; log jx ; xtj), ce qui entra^ne une degradation de l'indice t, d'autre part que v est seulement quasi-lipschitzien a priori, ce qui, d'apres le Lemme 2.5, provoque une perte lineaire de regularite dans les estimations sur les champs de vecteurs transportes. Comme de plus le ot de v perd aussi de la regularite au cours du temps (voir la relation (4.26) ci-dessous), on a egalement une decroissance de l'indice . 1) Conservation des hypotheses de type ele. Rappelons d'abord que, d'apres [Ch2] par exemple, le ot de v verie (4.26) jz1 ; z2 j e;eC k! kt e 1 0 1 (z1 ) ; 1 (z2 )j jz1 ; z2 j e;C k! k t j t t ; impliquement 1 0 e e ou C1 est une constante universelle et z1 , z2 sont dans R 2 . En integrant l'expression (4.10) entre t et 0 puis en appliquant le lemme de Gronwall, on obtient (4.27) R jX0;(y)j jX0;(x; D) t(y)j e t jrv(; (y))j d : 0 320 R. Danchin Soit x tel que jx ; xt j e1;e C k! kt . En appliquant (4.26) a ;01 avec z1 = x et z2 = xt , on constate que pour tout 0 2 [0; t], on a 0 j ;01(x) ; ;01(xt )j e1;eC k! k . Ceci permet d'appliquer a nouveau (4.26) a 0 , z1 = ;01 (x) et z2 = ;01 (xt ). On trouve nalement 2 1 1 j 0 0 0 C k! k ;01 (x) ; ;01 (xt )j e jx ; xt j e 1 0 ; e pour tout 0 2 [0; t] : D'apres (4.17), on a jrv(; ( t;1(x)))j C1 k!0k K ( ) (1 ; log j ( t;1 (x)) ; x j) : D'ou R jX0;( t;1(x))j jXt;(x)j eC k! k K (t) t (1;log(j ;0 (x); ;0 (xt )j) d 0 R 0 jXt;(x)j eC k! k K (t) t eC k! k (1;log jx;xt j) d 0 jXt;(x)j eK (t)(1;log jx;xt j)(eC k! kt ;1) : 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 Enn, j donc jX0;( t;1 (x))j j t;1(x) ; x0 j 1 0 C k! k t ;1 (x) ; x0 j e jx ; xt j e 1 0 ; t e jXt;(x)j K (t)(eC1 k!0 k t ;1)+eC1 k!0 k t jx ; xt j e(K (t)+1)(eC k! k t ;1) : 1 0 En revenant a la denition de I1 (X0), de t;1 et de t , on en deduit (4.28) I1 (X0) inf x2supp t;1 jx;xt jexp(1;exp(2C1 k!0 k t)) j X ( x ) j t; sup jx ; x jt e(t ;1) : t 2 D'apres (4.26), on a, pour 2 [0; t], si j ;1(x) ; ;1(xt )j e1;eC k! k 1 alors jx ; xt j e1;e C k! kt : 2 1 0 t 0 (2 + ) Evolution d'une singularite de type cusp 321 Pour x 2 R d tel que jx ; xt j > e1;e C k! k t , on a donc 2 1 0 j ;1(x) ; ;1 (xt )j > e1;eC k! k t : En revenant aux relations (4.17) et (4.27), et en procedant comme dans le cas jx ; xt j e1;e C k! k t on montre alors que 1 2 1 0 (2 + ) 0 jX0;( t;1(x))j jXt;(x)j eK (t)e C k! k t (eC k! k t ;1) : 2 1 0 1 0 En revenant a la denition de It et en utilisant (4.28), on en deduit nalement l'inegalite (4.25). 2) E volution de la regularite de la famille Xt;. i) Regularisation. On regularise la donnee initiale en posant vn;0 = Sn v0 . Soit vn la solution correspondante de (E) et n son ot. On xe 2 et, pour alleger les notations, on omet l'indice dans cette partie. On note alors Xn le champ de vecteurs transporte de X0; par n . Rappelons que les hypotheses !0 2 La \ L1 et v0 2 + L2 susent 2 pour assurer que vn est une suite de Cauchy de L1 loc (R ; + L ). Comme par ailleurs il existe une constante universelle C1 telle que krvn (t)k0 C1 k!0k , on obtient v 2 L1 (R ; C?1 ) avec convergence de vn vers v dans loc tous les espaces L1 loc (R ; C 1; ) tels que > 0. Une application de [Ch2, Lemme 5.5.2] entra^ne alors que, pour tout T > 0, f n gn2N est bornee dans L1 ([0; T ]; Id + C exp(;C k! k T ) ) et converge dans tous les espaces L1 ([0; T ]; Id + C exp(;C k! k T ); ) avec > 0. 1 1 0 0 ii) Estimations uniformes avec perte de regularite. Nous allons maintenant montrer des estimations a perte pour Xn , div Xn et Xn (x; D) !n. En utilisant le Lemme 2.5 et les relations (@t + vn r) Xn(x; D) !n = 0 et (@t + vn r) div Xn = 0 ; on obtient directement l'existence d'une constante universelle C telle que, en denissant T et "t selon l'enonce du lemme, on ait (4.29) kdiv Xt;nk"t 2 kdiv X0k" ; kXt;n(x; D) !t;nk"t ;1 2 kX0(x; D) !0k";1 : (4.30) Pour estimer Xn , on part de la relation (@t + vn r) Xn = Xn(x; D) vn 322 R. Danchin et on ecrit Xn(x; D) vn = R1 + R2 + R3 + R4 + R5 comme en (3.12). En utilisant les lemmes 2.3 et 2.4, et en remarquant que =2 "t " pour t 2 [0; T ], on obtient kR1k"t C kXn(x; D) !nk"t;1 ; C k!n k0 kXnk"t ; kR2k"t 1;" C k!n k0 kdiv Xn k"t kR3k"t ; C k!n k0 kXnk"t : P Enn, R5 = R(@j vn ; X j ) + q Sq;1 @j vn q Xnj et kR4k"t kR(@j vn ; X j )k"t C krvn k0 kXn k"t et kSq;1 @j vn q Xnj kL1 q 2;q"t krvn k0 kXn k"t : On a donc (@t + vn r) Xn = g1;n + g2;n avec kg1;nk"t (1C; ") (k!0k ekXn k"t + kXn(x; D) !nk"t;1 ) ; kq g2;nkL1 C (q + 2) 2;q"t k!0 k kXn k"t : Le Lemme 2.5 applique avec = 1 ; donne donc l'estimation suivante Z t C kXt;nk"t 2 kX0k" + (1 ; ") k!0k (kX;nk" + kdiv X;nk" ) 0 + kX;n(x; D) !;nk" ;1 d : En remarquant que T C=k!0 k et en utilisant les inegalites (4.29) et (4.30), il vient kX0(x; D) !0k";1 + k! k Z t kX k d : kXt;nk"t C kX0k" + 0 ;n " k!0 k 0 e Evolution d'une singularite de type cusp 323 Une application du lemme de Gronwall permet alors d'obtenir l'estimation kX0 (x; D) !0k";1 ; e (4.31) kXn (t)k"t C kX0k" + k!0 k pour t 2 [0; T ]. iii) Convergence. Rappelons que X0(x; D) t;n = Xt;n t;n . On vient de montrer que fXn gn2N est bornee dans L1 ([0; T ]; C T ) et on sait que f n gn2N est bornee dans L1 ([0; T ]; Id + C e;C k! kT ), donc 1 (4.32) 0 X0 (x; D) n est bornee dans L1 ([0; T ]; C T e;C k! k T ) : 1 0 D'autre part, X0(x; D) t;n ; X0 (x; D) t = div (X0 ( t;n ; t )) ; ( t;n ; t ) div X0 : Comme n ; Id converge vers ; Id dans L1 ([0; T ] R2 ), on en deduit que X0 (x; D) n converge vers X0(x; D) dans L1 ([0; T ]; C ;1). Une interpolation avec (4.32) donne, pour tout > 0, X0 (x; D) n converge vers X0 (x; D) ;C k! k T ; dans L1 ([0; T ]; C T e ): 1 0 E tudions maintenant la convergence de fXngn2N . On a ;1 (x)) ; X0 (x; D) t;n( ;1 (x)) Xt;n (x) ; Xt (x) = X0(x; D) t;n( t;n t ; 1 + X0(x; D) ( t;n ; t )( t (x)) : D'apres (4.32), le dernier terme converge vers 0 dans L1 ([0; T ] R 2 ). De plus, ;1 (x)) ; X0 (x; D) t;n ( ;1 (x))j jX0(x; D) t;n( t;n t ;1 (x) ; ;1 (x)jT e;C k! k T : kX0 (x; D) t;nkT e;C k! k T j t;n t 1 1 0 0 De (4.32) et des proprietes de convergence du ot, on deduit que Xn tend vers X dans L1 ([0; T ] R 2 ). Par interpolation avec (4.29) et (4.31), on trouve l'inegalite (4.21). 324 R. Danchin Il reste a prouver l'estimation (4.22). On ecrit Xn(x; D) !n ; X (x; D) ! = div (!n (Xn ; X )) ; !n div (Xn ; X ) + div (X (!n ; !)) ; (!n ; !) div X : Au vu des resultats precedents, la convergence des deux premiers termes vers 0 dans L1 ([0; T ]; C ;1) est claire. En decomposant les deux derniers en paraproduit et reste, on montre nalement que Xn (x; D) !n tend vers X (x; D) ! dans L1 ([0; T ]; C ;1). Gr^ace a l'estimation uniforme (4.30), on obtient donc l'inegalite (4.22). 3) Evolution de la regularite de la famille ft;h gh>0. Soient et g, deux applications veriant la condition i) de la Denition 1.1 pour f0;hgh>0 . L'application est donc bilipschitzienne, verie (0) = x0 et on a 0;h(x) = g(;1 (x)=h). Si l'on pose t = t , t est visiblement bijective de R 2 dans 2 R , de classe C exp(;C k! k t) ainsi que son inverse, verie t (0) = xt et t;h (x) = g(;t 1(x)=h). On en deduit que ft;h gh>0 verie la condition i') de la Remarque 1.1 avec l'indice t = e;C k! k t . La geometrie (t ; Xt) est donc (t ; t; "t )-elee en xt . 1 0 1 0 4) Conservation des hypotheses d'element sur le tourbillon. Comme par hypothese, les fonctions t;h sont transportees par le ot et comme le tourbillon est constant le long des lignes de ot, on a !t;h = !0;h t;1 . L'incompressibilite assure donc que Nt (!t ) = N (!0 ). De m^eme, en remarquant que les champs @t +v r et Xt commutent, on prouve que (@t + v r)(Xt (x; D) !t;h) = 0, ce qui assure d'apres le Lemme 2.5, que Nt (Xt ; !t) 2 N (X0; !0) : Ceci acheve la demonstration du Lemme 4.2. 0 Fin de la preuve du Lemme 4.1. Gr^ace au Lemme 4.2, on peut appliquer le Theoreme 3.1 et donc prouver que rv(t) est borne pour tout temps t 2 [0; T ] tel que la condition (4.19) soit satisfaite. En remarquant que "t ; t = " ; , on constate que la condition (4.19) est satisfaite tant que "t > ; t 1 + t " ; t "t et 1 + " t < " 2+"t : t t 325 Evolution d'une singularite de type cusp Il n'est pas dicile de verier que, etant donnees les hypotheses faites sur et ", la premiere et la troisieme relations sont automatiques sur [0; T ]. Comme pour t 2 [0; T ], on a 1 + t ="t 1 + =", on en deduit que (4.19) est satisfaite tant que (4.33) t 2 [0; T ] et t 1 + " " ; : t Comme K est croissante, on a t=t 1 + (1 + K (T ) (e2C k! k t ; 1)) ; sur [0; T ]. On etablit facilement qu'en denissant comme en (4.18), la relation (4.33) est veriee. On peut alors conclure a l'aide du Theoreme 3.1 en observant en particulier que sur [0; ], le quintuplet (; t ; t; "t ; t ) reste dans un compact de D, ce qui permet d'avoir une constante C independante du temps dans le Theoreme 3.1, puis en appliquant les estimations du Lemme 4.2. 1 0 Remarque 4.1. Les hypotheses du Theoreme 1.1 assurent que "2 ; " ; ; " > 0. On a donc bien > 0 dans le Lemme 4.1. Troisieme etape. On pousse le temps de persistance de la geometrie elee. Il sut simplement de prouver que rv 2 L1 loc (R ; R 2 ), la Proposition 4.1 entra^nant alors la conclusion du Theoreme 1.1. Gr^ace a la reversibilite en temps de (E), il sut en fait de montrer que rv 2 L1 loc (R + ; R 2 ). Supposons par l'absurde que rv 62 L1 (R; L1 (R 2 )). Soit T ? , le loc plus petit temps tel que rv 62 L1 ([0; T ?] R 2 ). Rappelons que d'apres (1.4), la condition (4.17) est satisfaite avec K (t) = C eC eCk! k t . On a donc T ? > 0. Denissons n 2 " ; ; " o : e = min T; T ? ; 2 C 1k! k log 1 + (1 +" K;(T + T ? )) (" + ) 1 0 0 0 Posons T0 = T ? ; e=2, ve(t; x) = v(t + T0 ; x) et Ke (t) = K (t + T0 ). En posant Xe0; = XT ; et en utilisant la Proposition 4.1, on constate que les hypotheses du Lemme 4.1 sont veriees: on a bien !e0 2 C;" (Xe0). Une simple application du Lemme 4.1 donne donc rve 2 L1 ([0; ] R2 ) avec o n 2 = min T; 2 C 1k! k log 1 + " ; e " ; ; " : 1 0 (1 + K (T )) (" + ) 0 326 R. Danchin Comme Ke (T ) K (T + T ? ), on a e, et donc en particulier rv 2 L1 ([0; T ? + =2] R 2 ). Ceci contredit rv 62 L1 ([0; T ?]; L1(R 2 )). On en deduit donc que rv 2 L1 loc (R ; L1 (R 2 )), ce qui acheve la demonstration du Theoreme 1.1. Remarque 4.2. Le Theoreme 1.1 est egalement valable pour une geometrie initiale (0; X0) (; ; ")-elee et un tourbillon initial !0 2 Cp;" (X0) a condition que 2 ]; 1] ; " 2 ]; 1[ ; i h et 2 i0; " " ; h ; 2 0; " "" ; + "+ avec = 2=2 + . La preuve est exactement la m^eme. Remarque 4.3. Il va de soi qu'au prix d'une surcharge technique supplementaire, le Theoreme 1.1 peut ^etre generalise a des geometries elees en un nombre ni de points. Appendice. Dans cet appendice, on prouve quelques resultats admis dans la Section 1.3. On montre entre autres que, si !0 = !0 1 ou !0 est de classe C " et 0 est un ouvert a frontiere C 1+" , et si X0 est un champ tangent a @ 0 a coecients et a divergence dans C " , alors X0 (x; D) !0 2 C ";1 . C'est une consequence immediate du lemme suivant. 0 Lemme 1. Soit " 2 ]0; 1[ , 2 ]0; "[ et X un champ de vecteurs a coecients et divergence dans C " (R d ). Si a 2 C " (R d ) et b 2 C ;" (R d ) avec en outre X (x; D) b 2 C ;1 (R d ), alors on a X (x; D) a 2 C ";1 (R d ) et X (x; D) a b 2 C ;1 (R d ). Plus precisement, il existe une constante C ne dependant que de " et et telle que (1) kX (x; D) ak";1 C (ekX k" kak0 + kX kL1 kak") ; kX (x; D) a bk;1 C (ekX k" kak" kbk;" + kakL1 kX (x; D) bk;1 (2) + kbk;"kX (x; D) ak";1 ) : De plus, la deuxieme inegalite reste valable lorsque = " a condition de supposer b 2 L1 et de remplacer kbk;" par kbkL1 . Evolution d'une singularite de type cusp 327 Preuve. La premiere inegalite est immediate. On ecrit (3) X (x; D) a = TX a + T@i a X i + @i R(X i; a) ; R(div X; a) et on applique le Lemme 2.3. Supposons 2 ]0; "[ . Pour demontrer la deuxieme inegalite, on commence par remarquer que, en vertu du Lemme 2.3, on a Ta b 2 C?0 et Tb0 a 2 C avec kTa bk0 C kakL1 kbk0 et kTb0 ak C kbk;" kak" : On ecrit alors X (x; D) a b = X (x; D) Tab + X (x; D) Tb0a. En reprenant la decomposition (3) avec Tb0 a au lieu de a, on obtient (4) kX (x; D) Tb0ak;1 C ekX k" kbk;" kak" : Le terme X (x; D) Tab est plus delicat a traiter. On ecrit (5) X (x; D) Tab = TX Ta b + T@iTab X i + @i R(X i; Tab) ; R(div X; Tab) : Gr^ace au Lemme 2.3, les trois derniers termes sont dans C ";1 et verient l'estimation voulue. Pour montrer que TX Ta b 2 C ";1 , il faut remarquer d'une part que TX a 2 C ";1 et TX b 2 C ;1 , d'autre part que le parachamp TX verie \presque" l'identite de Leibniz, c'est-a-dire que TX Ta b = TTX a b + Ta TX b + R ou le terme de reste R appartient a C ;1 . Pour un enonce rigoureux de ce dernier resultat, on pourra par exemple se referer a [Da, Corollaire 2.2] qui donne (6) kTX Ta bk;1 C (kX k" kakL1 kbk;" + kakL1 kTX bk;1 + kbk;" kTX ak";1 ) : En decomposant en paraproduit et reste, on montre que kTX a ; X (x; D) ak";1 C ekX k" kak0 et kTX b ; X (x; D) bk;1 C ekX k" kbk;" : 328 R. Danchin D'apres (6), on a donc kTX Ta bk;1 C (ekX k" kakL1 kbk;" + kakL1 kX (x; D) bk;1 + kbk;" kX (x; D) ak";1 ) : Il ne reste plus qu'a revenir a (4) et (5) pour conclure. Dans le cas = ", le raisonnement precedent reste valable a condition de remplacer partout kbk;" par kbkL1 : c' est une consequence de l'inegalite (2.1) et de [Da, Corollaire 2.2]. Remerciements. L'auteur exprime toute sa gratitude a J.-Y. Chemin et P. Gerard pour leurs nombreuses suggestions a propos de ce travail. References. [A] Alinhac, S., Interaction d'ondes simples pour des equations complete Norm. Sup. 21 (1988), 91-133. ment non lineaires. Ann. Sci. Ecole [BCh] Bahouri, H., Chemin, J.-Y., E quations de transport relatives a des champs de vecteurs non lipschitziens et mecanique des uides. Arch. Rational Mech. Anal. 127 (1994), 159-182. [BeC] Bertozzi, A., Constantin, P., Global regularity for vortex patches. Comm. Math. Phys. 152 (1993), 19-28. [Bo1] Bony, J.-M., Propagation des singularites pour les equations aux derivees partielles non lineaires. Seminaire E.D.P. de l'E cole Polytechnique, 1979-1980. 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Recibido: 27 de octubre de 1.998 Raphael Danchin Laboratoire d'Analyse Numerique, Paris 6 175 rue du Chevaleret 75013 Paris, FRANCE [email protected]
