Chapitre 2

Chapitre 2
La structure euclidienne de
Rd
1 Définition
Définition 1.1. Le produit scalaire usuel sur Rdest l’application prenant
comme argument deux vecteurs x= (x1, . . . , xd)et y= (y1, . . . , yd)de Rd
et rendant comme valeur le réel :
hx, yi:=
d
X
i=1
xiyi.
On dit que cette application est un produit scalaire car on peut vérifier
qu’elle satisfait les propriétés suivantes.
— C’est une application de Rd×Rddans Rqui a pour particularité d’être
linéaire en chacune de ses coodonnées : pour tous x,yet zdes vecteurs
de Rdet tous λet µréels :
hλx +µy, zi=λhx, zi+µhy, zi,
hx, λy +µzi=λhx, yi+µhx, zi.
On dit que cette application est une forme bilinéaire sur Rd.
— Elle est symétrique, c’est à dire que pour tous vecteurs de Rdxet y:
hx, yi=hy, xi.
— Elle est positive, c’est à dire que pour tout vecteur xde Rd:
hx, xi ≥ 0.
— Et enfin elle est définie, c’est à dire que l’égalité :
hx, xi= 0
1

n’est vraie que pour x= 0. En d’autres termes, pour tout x∈Rdnon
nul :
hx, xi>0.
Le produit scalaire usuel défini plus haut n’est pas la seule application à
satisfaire ces propriétés. Ce n’est pas le seul produit scalaire. Ce sera le seul que
l’on utilisera dans ce cours, mais le lecteur motivé pourra remarquer que tous
les résultats sont vrais pour tous les produits scalaires sur Rd, c’est à dire que
dans les preuves, on n’utilisera que les quatres propriétés listées.
Une fois qu’on a un produit scalaire, on peut définir une norme euclidienne
de la façon suivante.
Définition 1.2. On définit la norme euclidienne d’un vecteur xde Rdpar :
kxk:= phx, xi.
Pour le produit scalaire standard, on retrouve bien la formule usuelle :
kxk=v
u
u
t
d
X
i=1
x2
i.
La norme euclidienne est une application de Rddans R+satisfaisant les
propriété suivantes.
— Elle est séparante, c’est à dire que pour tout x∈Rd:
kxk= 0 ⇒x= 0.
— Elle est homogène, c’est à dire que pour tout vecteur x∈Rdet tout réel
λ:
kλxk=|λ|kxk.
De plus, la bilinéarité nous assure les identités remarquables suivantes :
Proposition 1.3 (Identités remarquables).Pour tous xet ydans Rd:
kx+yk2=kxk2+ 2hx, yi+kyk2,
kx−yk2=kxk2−2hx, yi+kyk2,
hx+y, x −yi=kxk2− kyk2,
hx, yi=1
4(kx+yk2− kx−yk2).
Un théorème bien connu est l’inégalité de Cauchy-Schwarz : le produit sca-
laire entre deux vecteurs est inférieur au produit des normes de ces vecteurs.
Théorème 1.4 (Inégalité de Cauchy-Schwarz).Soient xet ydeux vecteurs de
Rd.
|hx, yi| ≤ kxkkyk.
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Démonstration. D’abord, le théorème est vrai quand xou yest nul, puisque
alors on a 0de chaque côté. On peut donc supposer xet ynon nuls.
Ensuite, si kxk=kyk= 1, par positivité :
0≤ hx−y, x −yi=kxk2−2hx, yi+kyk2
= 2 −2hx, yi.
Donc :
hx, yi ≤ 1.
Enfin, si xet ysont deux vecteurs quelconques non-nuls de Rd, les deux vecteurs :
x
kxket y kyk
sont de norme euclidienne 1. Donc par ce qu’on vient de démontrer :
x
kxk,y kyk≤1.
Mais par bilinéarité :
x
kxk,y kyk=1 kxkx, y kyk=1 kxkkykhx, yi ≤ 1.
Donc on a :
hx, yi ≤ kxkkyk.
Comme kyk=k − yk, la même inégalité appliquée à xet −ydonne :
hx, −yi=−hx, yi≤kxkkyk.
En combinant ces deux inégalité, on obtient bien :
|hx, yi| ≤ kxkkyk.
En conséquence, on démontre l’inégalité triangulaire.
Corollaire 1.1 (Inégalité triangulaire).Pour tous xet ydans Rd:
kx+yk≤kxk+kyk.
a
b
c
Figure 2.1 – Dans le dessin ci-dessus, l’inégalité triangulaire énonce que la
norme euclidienne du vecteur cest plus petite que la norme euclidienne du
vecteur aplus la norme euclidienne du vecteur b.
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Démonstration. Soient xet ydans Rd:
kx+yk2=kxk2+ 2hx, yi+kyk2
≤ kxk2+ 2kxkkyk+kyk2
= (kxk+kyk)2.
On conclut alors grâce à la positivité de la norme euclidienne.
On dit qu’une application de Rddans R+est une norme d’espace vecto-
riel si elle est homogène, séparante et si elle satisfait l’inégalité triangulaire. On
a donc vu qu’une norme euclidienne est une norme d’espace vectoriel. Mais il y
en a plein d’autres qui ne sont pas issues d’un produit scalaire...
2 Orthogonalité, théorème de Pythagore
Définition 2.1. On dit que deux vecteurs xet yde Rdsont orthogonaux si :
hx, yi= 0.
On peut alors démontrer le théorème de Pythagore.
Théorème 2.2 (Pythagore).Si xet ysont deux vecteurs orthogonaux de Rd:
kx+yk2=kxk2+kyk2.
Démonstration. Soient xet ydeux vecteurs orthogonaux de Rd. On a :
kx+yk2=kxk2+ 2hx, yi+kyk2
=kxk2+kyk2.
Définition 2.3. Soit p∈Net (x1, . . . , xp)une famille de vecteurs de Rd. On dit
que c’est une famille orthogonale si pour tous iet jdistincts dans {1, . . . , p},
xiet xjsont orthogonaux. On dit que c’est une famille orthonormale si en
plus, chacun des vecteurs qui la composent est de norme euclidienne égale à 1.
En particulier, on peut parler de bases orthogonales et de bases ortho-
normales si la famille considérée est une base de Rd.
Exemple 2.4.La base canonique de Rd, c’est à dire celle composée des vecteurs :
∀i∈ {1, . . . , d}, ei= (0,...,0,1,0. . . , 0) où le 1, est à la i-ème position
est orthonormale.
Proposition 2.5. Toute famille orthogonale de vecteur non-nuls est libre. En
particulier, toute famille orthonormale est libre.
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Démonstration. Soit p∈Net (x1, . . . , xp)une famille orthogonale de vecteurs
non-nuls. Soient (λ1, . . . , λp)une famille de réels tels que :
λ1x1+· · · +λpxp= 0.
Soit i∈ {1, . . . , p}. Faisons le produit scalaire de cette égalité avec xi.
0 = hxi, λ1x1+· · · +λpxpi
=
p
X
j=1
λjhxi, xjipar bilinéarité,
=λihxi, xiipar orthogonalité,
=λikxik2.
Or xiest non nul, donc λi= 0. Comme on peut le faire pour chaque i, tous les
λsont nuls, et la famille est libre.
On ne va pas le démontrer, sauf peut être un jour en DM, mais on a les
propriétés d’existence suivantes des bases orthogonales et orthonormales.
Théorème 2.6. — Toute famille orhtogonale (resp. orthonormale) de vec-
teurs non nuls de Rdpeut être complétée en une base orthogonale (resp. or-
thonormale). C’est à dire que si p∈Net si (x1, . . . , xp)est une famille or-
thogonale (resp. orthonormale) de vecteur non nuls, il existe (xp+1, . . . , xd)
des vecteurs de Rdtels que (x1, . . . , xd)soit une base orthogonale (resp.
orthonormale).
— Ce résultat est encore vrai dans les sous-espaces vectoriels : toute famille
orthogonale (resp. orthonormale) d’un sous-espace vectoriel Ede Rdpeut
être complétée en une base orthogonale (resp. orthonormale) de E.
— En particulier, tout sous-espace vectoriel de Rdadmet une base orthonor-
male.
Dans les bases orthonormales, beaucoup de calculs sont simplifiés parce qu’on
a les propositions suivantes.
Proposition 2.7. Si (e1, . . . , ed)est une base orthonormale de Rd, alors pour
tout x∈Rd:
x=
d
X
i=1
hei, xiei,
c’est à dire que les coordonnées de xdans cette base sont simplement données
par le produit scalaire de xavec les vecteurs de base.
En particulier, le vecteur colonne représentant les coordonnées de xdans
cette base est :
X=
he1, xi
.
.
.
hed, xi
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