PHY115_Session 1_2014-2015_Partie méca.

Université Joseph Fourier
UE PHY114 et PHY115
Examen terminal : mécanique du point
Mercredi 17 décembre 2014
durée : 1 heure 30 minutes
Numéro d’anonymat :
documents non autorisés
calculatrices autorisées
Les quatre exercices sont indépendants.
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Problème I : freinage d’urgence
Un automobiliste roule sur une portion de route rectiligne à une vitesse constante
v0 = 50 km/h. Soudain, un obstacle fixe apparait devant lui à une distance d = 20 m. Après un
temps de réaction noté tR, correspondant à la durée écoulée depuis le moment où il a aperçu
l’obstacle, le conducteur appuie sur la pédale de freins. Après une durée t1 = 1,0 s de freinage,
la voiture a une vitesse v1 = 20 km/h, et poursuit son mouvement jusqu’à arrêt complet.
I.1 : Déterminer, en justifiant, les équations temporelles de l’accélération a(t), de la vitesse
v(t) et de la position x(t) de la voiture avant la phase de freinage.
I.2 : Donner l’expression, en fonction des données du problème, de la distance dR parcourue
par l’automobiliste pendant la durée tR correspondant à son temps de réaction.
I.3 : Tracer l’évolution de la vitesse de la voiture en fonction du temps en considérant que sa
décélération est constante. Indiquer clairement sur ce graphe, v0, v1, tR et t1. Déterminer
l’expression de la décélération de la voiture a’ en fonction de v0, v1 et t1.
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I.4 : En déduire la durée totale t2 de la phase de freinage ainsi que la distance df parcourue par
la voiture jusqu’à son arrêt complet pendant la phase de freinage. On exprimera cette distance
en fonction des seules données de l’énoncé.
I.5 : En déduire l’expression de la distance totale dt parcourue entre le moment où le
conducteur a détecté l’obstacle et le moment où la voiture s’immobilise.
I.6 : Faire l’application numérique en considérant un temps de réaction typique pour un
conducteur attentif tR = 1s. Conclure : la voiture entrera-t-elle en collision avec l’obstacle ?
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Problème II : coup droit gagnant ou faute directe ?
Un joueur de tennis lance dans le plan (xOy) une balle de tennis depuis le point de
coordonnées (x0 = 0 ; y0 = 2m), en lui donnant une vitesse initiale
0 faisant
un angle α = 30°
avec l’horizontale et de norme v0 = 11 ms-1. On prendra l’accélération de la pesanteur
g = 10 ms-2.
II.1 : Etablir soigneusement les équations horaires x(t) et y(t) du mouvement de la balle.
II.2 : En déduire l’équation y(x) de sa trajectoire. Quel est le nom donné à ce type de courbe ?
II.3 : Le filet du court de tennis d’une hauteur h = 90 cm se trouve à x =12 m du joueur. La
balle passe-t-elle au-dessus du filet ? si oui, à quelle hauteur ?
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II.4 : La ligne de fond du court se trouve à une distance x = 24 m du joueur. La balle retombet-elle dans les limites du terrain ?
Problème III : le parachutiste
Un parachutiste de masse totale m = 100 kg se laisse tomber d’un hélicoptère considéré
comme immobile par rapport à la Terre, d’une altitude h = 3000 m. Durant la première phase
de son saut, la vitesse passe de 0 à 180 km/h. Puis, à l’ouverture du parachute, la vitesse
décroit jusqu’à 18 km/h, pour rester ensuite constante jusqu’à l’atterrissage qui a lieu sur un
plateau situé à une altitude h0 = 500 m. Les altitudes sont mesurées par rapport au niveau de
la mer et on considère que l’accélération de la pesanteur reste constante et égale à 10 ms-2. On
négligera la poussée d’Archimède qui s’exerce sur le parachutiste.
III.1 : Calculer l’énergie mécanique du parachutiste au moment où il quitte l’hélicoptère. Par
convention, l’origine de l’énergie potentielle dans le champ de pesanteur terrestre est choisie
au niveau de la mer.
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III.2 : Calculer l’énergie mécanique du parachutiste juste avant son atterrissage.
III.3 : En déduire le travail des forces de frottement de l’air sur le parachutiste sur l’ensemble
de sa trajectoire.
III.4 : discuter la variation de la norme de la force de frottement de l’air sur le parachutiste au
cours des 3 phases du mouvement :
1ère phase : chute libre (parachute fermé) :
2ème phase : décélération du parachutiste suite à l’ouverture du parachute :
3ème phase : chute à vitesse constante (v = 18 km/h) :
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III.5 : Déterminer la norme de la force de frottement dans la dernière phase du saut
correspondant au mouvement à la vitesse constante de 18 km/h.
Etudiants de PHY115 : l’exercice IV est facultatif : les points attribués à cet
exercice interviendront sous forme de bonus dans la notation.
Etudiants de PHY114 : l’exercice suivant fait partie intégrante de l’examen.
Problème IV : le pendule simple
On considère un pendule simple constitué d’un fil inextensible de longueur l = 50 cm et de
masse négligeable, et d’une bille d’acier de masse m =100 g liée à une extrémité du fil, l’autre
extrémité restant fixe. A l’instant initial t0, on écarte la bille de la verticale d’un angle θm =10°
et on la lâche sans vitesse initiale. Le pendule se met alors à osciller. Tous les frottements
seront négligés.
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IV.1 : En choisissant comme origine de l’énergie potentielle la position de la bille lorsque le
pendule est au repos, donner l’expression de l’énergie potentielle de la bille pour un angle θ(t)
quelconque.
IV.2 : Exprimer l’énergie mécanique du pendule en fonction de θ(t) et de v(t).
IV.3 : En déduire l’expression de la vitesse maximale atteinte par la bille en fonction de l et
θm.
IV.4 : En dérivant par rapport au temps l’expression de l’énergie mécanique obtenue en IV.2,
établir l’équation différentielle caractéristique du mouvement. Pour cela, on remarquera que la
vitesse de la bille se déplaçant selon une trajectoire circulaire de rayon l s’écrit v = l
.
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