Introduction à l'arithmétique
1. Divisibili
Notation
(rappel)
Soit (A,+,×) un anneau intègre.
Soit xA. On note xA = {xaaA} et Ax = {axaA}.
Remarque
Si A est commutatif, xA = Ax et c'est l'idéal engendré par x dans A (c'est un idéal principal).
C'est pourquoi nous allons uniquement considérer des anneaux commutatifs.
Exemples
2 = {2pp} = {entiers relatifs "pairs"} et 1 = −
= .
i = {iyy} = {imaginaires purs} et 2 = .
Propriété
Si x est un élément inversible d'un anneau commutatif intègre (A,+,×), alors xA = A.
Démonstration
On a xA A.
Il faut donc montrer que A xA.
Soit x
1
l'inverse de x.
Soit bA, on a b = 1.b = (x
x
1
)b
=
x
(x
1
b).
b peut donc se mettre sous la forme xaaA. Donc bxA.
Définition
Soit (A,+,×) un anneau commutatif intègre. Soient a et bA.
On dit que a divise b ou que b est divisible par a ou que b est un multiple de a et on note a
|
b
si et seulement si baA c'est-à-dire si et seulement si
cA / b = a
c.
Remarque
Si l'anneau n'était pas commutatif, on pourrait parler de divisibilité à droite et à gauche.
L'égalité b = a
c signifie que a divise b à gauche.
Exemples
Dans , 2 divise 4 car 4 = 2 × 2 2 divise 8 car 8 = 2 × (4)
2 divise 6 car 6 = 2 × 3 0 divise 0 car 0 = 0 × 2
7 divise 0 car 0 = 7 × 0
Dans [X], X + 1 divise X
2
1 car X
2
1 = (X + 1) (X 1)
X + 1 divise 2X + 2 car 2X + 2 = 2 × (X + 1)
2X 2 divise 5X + 5 car 5X + 5 = (2X 2)
5
2
Remarques
En particulier dans , on a
0 est multiple de tout nombre car n, n.0 = 0.
1 est diviseur de tout nombre car, comme est un anneau, n, n.1 = n.
1 est diviseur de tout nombre car (1).(1) = 1 donc n, (1).(n) = n.
Si a 0 et a
|
b l'élément cA tel que b = ac est unique.
On suppose qu'il existe c et c' tels que b = ac et b = ac'
ac = ac' ac ac' = 0 a
(c c'
) = 0 c c' = 0 c = c'
Dans un anneau A, tout élément inversible divise tout élément de A.
car si x,yA et x inversible alors x
1
existe et y = x
(x
1
y)
Dans un anneau A, tout élément divise 0
A
.
car si xA alors 0
A
= x.0
A
Rappel
Dans , les seuls éléments inversibles sont 1 et 1.
Dans [X], les seuls éléments inversibles sont les polynômes constants non nuls (identifiés à *).
Propriété
Soit (A,+,×) un anneau commutatif intègre et soient a et bA.
a
|
bbA aA
Démonstration
() On suppose cA / b = a
c.
Soit xbA
yA / x = b
y
yA / x = a
c
y = a
(c
y) et on a c
yA
xa
A.
() On suppose b
A a
A. On a bb
A ba
A
cA / b = a
c.
Remarque
2 = 2 et (X + 1)[X] = (2X 2)[X].
Propriété
Soit (A,+,×) un anneau commutatif intègre. Soient a et bA.
Si l'on a, à la fois, a
|
b et b
|
a c'est-à-dire si l'on a bA = aA, alors il existe un élément inversible γ de A tel
que b = aγ. Réciproquement si il existe un élément inversible γ de A tel que b = aγ alors bA = aA.
Démonstration
()a
|
b
cA / b = ac (1)
b
|
a
dA / a = bd (2)
Si a = 0, b = 0 et tout élément inversible convient.
Si a 0, (1) et (2) a = acd cd = ee est l'élément unité de A.
c et d sont des unités de A.
()xbA
cA / x = bc
cA / x = aγcet on a γcA
xaA.
De la même façon :
xaA
cA / x = ac
cA / x = aγ(γ
1
c) et on a γ
1
cA
cA / x = b(γ
1
c)
xbA.
Propriété
La relation de divisibilité dans un anneau est une relation de préordre c'est-à-dire réflexive et transitive.
Démonstration
a
|
acar a = a × 1
a
|
b ∃λ∈A / b = aλ
b
|
c ∃µ∈A / c = bµc = aλµ avec λµ∈A a|c.
Remarques
Etude de la symétrie et de l'antisymétrie dans .
Si a
|
b et b
|
a alors il existe c et d, deux entiers relatifs tels que a.c = b et b.d = a.
On a alors (a.c).d = a.(c.d) = a.
donc c.d = 1 ou encore, puisque c et d appartiennent à : c = d = 1 ou c = d = 1
Sur , la restriction de la relation de divisibilité de fournit une relation d'ordre mais qui n'est
pas total car :
# 1 est le seul inversible de qui appartienne à donc a|b et b|a a = b.
# On a ni 2
|
3, ni 3
|
2.
La relation de divisibilité dans les polynômes unitaires est un relation d'ordre.
Propriété
Soit (A,+,×) un anneau commutatif intègre. Soient a,b et cA.
Si a
|
b et a
|
c alors a
|
(b + c).
Démonstration
a
|
b ∃λ∈A / b = aλ et a
|
c ∃µ∈A / c = aµ
Donc b + c = aλ + aµ = a (λ + µ).
Remarque
La réciproque est fausse en général mais intéressante à étudier.
Propriété
Soit (A,+,×) un anneau commutatif intègre. Soient (a
i
)
iI
et (b
i
)
iI
deux familles finies d'éléments de A.
Si a
i
|
b
i
, pour tout iI, alors a
i
|
b
i
.
icI
icI
Remarques
Cela donne, par exemple, 2
|
4 et 3
|
12 donc 6
|
48.
On peut dire aussi que la relation de divisibilité est compatible avec la multiplication.
Démonstration
Pour tout iI, a
i
|
b
i
∃λ
i
A / b
i
= a
i
λ
i
Donc b
i
= a
i
λ
i
.
icI
icI
icI
2. Arithmétique
Rappel
Un anneau commutatif (<-- cette propriété est nécessaire pour les idéaux) intègre A est dit principal si et
seulement si I idéal de A, iA / I = iA.
On dit alors que i est un générateur de I.
Remarque
Ce i n'est pas unique mais tout autre j vérifiant I = jA est obtenue de i en le multipliant par un inversible.
Définition
Soit A un anneau principal. Soient a,b deux éléments de A.
On appelle plus petit multiple commun de a et de b et on note ppcm(a,b) tout générateur de aAbA.
Remarques
L'intersection de deux idéaux est un idéal.
xaAbA xaA et xbA
x est un multiple de a et x est un multiple de b.
x est un multiple commun à a et b.
c = ppcm(a,b) Tout multiple commun à a et b est un multiple de c.
Propriété
Soient I et J deux idéaux d'un anneau principal A.
L'ensemble I + J = {i + jiI et jJ} est un idéal de A.
Démonstration
I et J sont non-vides donc I
+
J est non vide.
Soient x,yI + J. Doncx
i
I et x
j
J / x = x
i
+ x
j
et
y
i
I et y
j
J / y = y
i
+ y
j
.
D'où x y = (x
i
+ x
j
) (y
i
+ y
j
) = (x
i
y
i
) + (x
j
y
j
).
Or x
i
y
i
I et x
j
y
j
J car I et J sont des sous-groupes.
On a donc x yI + J.
yA, xI + J,
x
i
I et x
j
J / x = x
i
+ x
j
x
y = (x
i
+ x
j
)
y = x
i
y + x
j
yor x
i
yI car I idéal et x
j
yJ car J idéal. Donc x
yI + J
Définition
Soit A un anneau principal. Soient a,b deux éléments de A.
On appelle plus grand diviseur commun de a et de b et on note pgcd(a,b) tout générateur de aA + bA.
Propriété
Soient a,b deux éléments de A et d = pgcd(a,b).
On a : (i)d | a et d | b.
(ii)DA / D | a et D | b alors D | d.
Remarque
D'où la dénomination de plus grand diviseur commun.
Démonstration
a = a × 1 + b × 0 aA+ bA = dA d'où le résultat.
De la même façon, b = a × 0 + b × 1 aA+ bA= dA
D | a a = D × x avec xA.
D | b b = D × y avec yA.
Or
u,vA / d = a.u + b.v car daA+ bA.
D'où d = D.x.u + D.y.v = D
(x.u + y.v).
Remarque
On étend sans aucune difficulté toutes les définitions et toutes les propriétés au cas d'une famille non plus
réduite à deux éléments mais en possédant un nombre finis n.
3. Cas particulier des entiers relatifs
Propriété
Soient a* et b.
Alors q 0 et 0 r < a / b = a
q + r.
On dit que l'on a effectuer la division euclidienne de b par a.
Remarques
C'est la division que l'on apprend à l'école primaire : 14 = 2 × 5 + 4.
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