Introduction à l`arithmétique

Introduction à l'arithmétique
1. Divisibilité
Notation (rappel)
Soit (A,+,×) un anneau intègre.
Soit x∈A. On note xA = {xa où a∈A} et Ax = {ax où a∈A}.
Remarque
Si A est commutatif, xA = Ax et c'est l'idéal engendré par x dans A (c'est un idéal principal).
C'est pourquoi nous allons uniquement considérer des anneaux commutatifs.
Exemples
2 = {2p où p∈} = {entiers relatifs "pairs"} et −1 = −  = .
i = {iy où y∈} = {imaginaires purs} et 2 = .
Propriété
Si x est un élément inversible d'un anneau commutatif intègre (A,+,×), alors xA = A.
Démonstration
On a xA ⊂ A.
Il faut donc montrer que A ⊂ xA.
Soit x
−1
l'inverse de x.
Soit b∈A, on a b = 1.b = (x x
−1
)b = x (x
−1
b).
b peut donc se mettre sous la forme xa où a∈A. Donc b∈xA.
Définition
Soit (A,+,×) un anneau commutatif intègre. Soient a et b∈A.
On dit que a divise b ou que b est divisible par a ou que b est un multiple de a et on note a | b
si et seulement si b∈aA c'est-à-dire si et seulement si ∃ c∈A / b = a c.
Remarque
Si l'anneau n'était pas commutatif, on pourrait parler de divisibilité à droite et à gauche.
L'égalité b = a c signifie que a divise b à gauche.

Exemples
Dans , 2 divise 4 car 4 = 2 × 2 2 divise −8 car −8 = 2 × (−4)
−2 divise 6 car 6 = −2 × −3 0 divise 0 car 0 = 0 × 2
−7 divise 0 car 0 = −7 × 0
Dans [X], X + 1 divise X
2
− 1 car X
2
− 1 = (X + 1) (X − 1)
X + 1 divise 2X + 2 car 2X + 2 = 2 × (X + 1)
−2X − 2 divise 5X + 5 car 5X + 5 = (−2X − 2)
−5
2
Remarques
En particulier dans , on a
0 est multiple de tout nombre car ∀n∈, n.0 = 0.
1 est diviseur de tout nombre car, comme  est un anneau, ∀n∈, n.1 = n.
−1 est diviseur de tout nombre car (−1).(−1) = 1 donc ∀n∈, (−1).(−n) = n.
Si a ≠ 0 et a | b l'élément c∈A tel que b = ac est unique.
On suppose qu'il existe c et c' tels que b = ac et b = ac'
⇒ ac = ac' ⇒ ac − ac' = 0 ⇒ a (c − c' ) = 0 ⇒ c − c' = 0 ⇒ c = c'
Dans un anneau A, tout élément inversible divise tout élément de A.
car si x,y∈A et x inversible alors x
−1
existe et y = x (x
−1
y)
Dans un anneau A, tout élément divise 0
A
.
car si x∈A alors 0
A
= x.0
A
Rappel
Dans , les seuls éléments inversibles sont 1 et −1.
Dans [X], les seuls éléments inversibles sont les polynômes constants non nuls (identifiés à *).
Propriété
Soit (A,+,×) un anneau commutatif intègre et soient a et b∈A.
a | b⇔bA ⊂ aA
Démonstration
(⇒) On suppose ∃c∈A / b = a c.
Soit x∈bA ⇔ ∃ y∈A / x = b y
⇔ ∃ y∈A / x = a c y = a (c y) et on a c y∈A
⇒ x∈a A.
(⇐) On suppose b A ⊂ a A. On a b∈b A ⇒ b∈a A ⇒ ∃ c∈A / b = a c.
Remarque
2 = −2 et (X + 1)[X] = (−2X − 2)[X].
Propriété
Soit (A,+,×) un anneau commutatif intègre. Soient a et b∈A.
Si l'on a, à la fois, a | b et b | a c'est-à-dire si l'on a bA = aA, alors il existe un élément inversible γ de A tel
que b = aγ. Réciproquement si il existe un élément inversible γ de A tel que b = aγ alors bA = aA.

Démonstration
(⇒)a | b ⇔ ∃ c∈A / b = ac (1)
b | a ⇔ ∃ d∈A / a = bd (2)
Si a = 0, b = 0 et tout élément inversible convient.
Si a  0, (1) et (2) ⇒ a = acd ⇒ cd = e où e est l'élément unité de A.
⇒ c et d sont des unités de A.
(⇐)x∈bA ⇔ ∃ c∈A / x = bc
⇔ ∃ c∈A / x = aγcet on a γc∈A
⇒ x∈aA.
De la même façon :
x∈aA ⇔ ∃ c∈A / x = ac
⇔ ∃ c∈A / x = aγ(γ
−1
c) et on a γ
−1
c∈A
⇔ ∃ c∈A / x = b(γ
−1
c)
⇒ x∈bA.
Propriété
La relation de divisibilité dans un anneau est une relation de préordre c'est-à-dire réflexive et transitive.
Démonstration
a | acar a = a × 1
a | b ⇔ ∃λ∈A / b = aλ
b | c ⇔ ∃µ∈A / c = bµ⇒c = aλµ avec λµ∈A ⇒a|c.
Remarques
Etude de la symétrie et de l'antisymétrie dans .
Si a | b et b | a alors il existe c et d, deux entiers relatifs tels que a.c = b et b.d = a.
On a alors (a.c).d = a.(c.d) = a.
donc c.d = 1 ou encore, puisque c et d appartiennent à  : c = d = 1 ou c = d = −1
Sur , la restriction de la relation de divisibilité de  fournit une relation d'ordre mais qui n'est
pas total car :
# 1 est le seul inversible de  qui appartienne à  donc a|b et b|a ⇒ a = b.
# On a ni 2 | 3, ni 3 | 2.
La relation de divisibilité dans les polynômes unitaires est un relation d'ordre.
Propriété
Soit (A,+,×) un anneau commutatif intègre. Soient a,b et c∈A.
Si a | b et a | c alors a | (b + c).
Démonstration
a | b ⇔ ∃λ∈A / b = aλ et a | c ⇔ ∃µ∈A / c = aµ
Donc b + c = aλ + aµ = a (λ + µ).
Remarque

La réciproque est fausse en général mais intéressante à étudier.
Propriété
Soit (A,+,×) un anneau commutatif intègre. Soient (a
i
)
i∈I
et (b
i
)
i∈I
deux familles finies d'éléments de A.
Si a
i
| b
i
, pour tout i∈I, alors a
i
| b
i
.
icI icI
Remarques
Cela donne, par exemple, 2 | 4 et 3 | 12 donc 6 | 48.
On peut dire aussi que la relation de divisibilité est compatible avec la multiplication.
Démonstration
Pour tout i∈I, a
i
| b
i
⇔ ∃λ
i
∈A / b
i
= a
i
λ
i
Donc b
i
= a
i
λ
i
.
icI icI icI
2. Arithmétique
Rappel
Un anneau commutatif (<-- cette propriété est nécessaire pour les idéaux) intègre A est dit principal si et
seulement si ∀I idéal de A, ∃i∈A / I = iA.
On dit alors que i est un générateur de I.
Remarque
Ce i n'est pas unique mais tout autre j vérifiant I = jA est obtenue de i en le multipliant par un inversible.
Définition
Soit A un anneau principal. Soient a,b deux éléments de A.
On appelle plus petit multiple commun de a et de b et on note ppcm(a,b) tout générateur de aA∩bA.
Remarques
L'intersection de deux idéaux est un idéal.
x∈ aA∩bA ⇔ x∈aA et x∈bA
⇔ x est un multiple de a et x est un multiple de b.
⇔ x est un multiple commun à a et b.
c = ppcm(a,b)⇔ Tout multiple commun à a et b est un multiple de c.
Propriété
Soient I et J deux idéaux d'un anneau principal A.
L'ensemble I + J = {i + j où i∈I et j∈J} est un idéal de A.
Démonstration

I et J sont non-vides donc I
+
J est non vide.
Soient x,y∈I + J. Donc ∃x
i
∈I et ∃x
j
∈J / x = x
i
+ x
j
et
∃y
i
∈I et ∃y
j
∈J / y = y
i
+ y
j
.
D'où x − y = (x
i
+ x
j
) − (y
i
+ y
j
) = (x
i
− y
i
) + (x
j
− y
j
).
Or x
i
− y
i
∈I et x
j
− y
j
∈J car I et J sont des sous-groupes.
On a donc x − y∈I + J.
∀y∈A, ∀x∈I + J,
∃x
i
∈I et ∃x
j
∈J / x = x
i
+ x
j
x y = (x
i
+ x
j
) y = x
i
y + x
j
yor x
i
y∈I car I idéal et x
j
y∈J car J idéal. Donc x y ∈I + J
Définition
Soit A un anneau principal. Soient a,b deux éléments de A.
On appelle plus grand diviseur commun de a et de b et on note pgcd(a,b) tout générateur de aA + bA.
Propriété
Soient a,b deux éléments de A et d = pgcd(a,b).
On a : (i)d | a et d | b.
(ii)∀D∈A / D | a et D | b alors D | d.
Remarque
D'où la dénomination de plus grand diviseur commun.
Démonstration
a = a × 1 + b × 0 ∈aA+ bA = dA d'où le résultat.
De la même façon, b = a × 0 + b × 1 ∈ aA+ bA= dA
D | a ⇔ a = D × x avec x∈A.
D | b ⇔ b = D × y avec y∈A.
Or ∃ u,v∈A / d = a.u + b.v car d∈aA+ bA.
D'où d = D.x.u + D.y.v = D (x.u + y.v).
Remarque
On étend sans aucune difficulté toutes les définitions et toutes les propriétés au cas d'une famille non plus
réduite à deux éléments mais en possédant un nombre finis n.
3. Cas particulier des entiers relatifs
Propriété
Soient a∈* et b∈.
Alors ∃ q ≥ 0 et ∃ 0 ≤ r < a / b = a q + r.
On dit que l'on a effectuer la division euclidienne de b par a.
Remarques
C'est la division que l'on apprend à l'école primaire : 14 = 2 × 5 + 4.