Forces électromagnétiques Notes de cours - Alain Le Rille

physique
année scolaire 2016/2017
Forces électromagnétiques
Notes de cours
mardi 24 janvier 2017
Les forces électromagnétiques expérience de cours
Le déplacement d'un électron à proximité d'un condensateur ou d'une bobine est dévié.
à installer mardi 24 janvier 2017 en salle L111.
Figure 1 Les forces électromagnétiques
I-
Force et énergie électromagnétiques
1. Force de Lorentz appliquée sur une charge
Force de Lorentz : à retenir
~ et B
~ est sousmis à la force
un point matériel de charge q , de vitesse ~v en M , où règnent les champs E
~ + ~v ∧ B
~
f~ = q E
1 Déplacement d'une charge dans un champ électrostatique homogène exercice
B Quelle est la trajectoire d'une charge ponctuelle dans un champ électrostatique homogène ?
Une parabole
Puissance de la force de Lorentz : s'y retrouver
la partie magnétique de la force de Lorentz ne travaille pas, seule la partie électrique développe une
puissance
~ v
P = q.E.~
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2 Déplacement d'une charge dans un champ magnétostatique homogène exercice
B Quelle est la trajectoire d'une charge ponctuelle dans un champ magnétostatique homogène ? On
~ = Bz ~ez et une vitesse initiale ~v0 = v0 ~ex .
prendra B
Un cercle d'axe Oz .
3 Energie potentielle électrostatique : théorème
~
~ = −grad(V
en régime permanent, E
) où V est le potentiel scalaire. Aussi, le travail de la force de
Lorentz lors d'un déplacement ni de A en B est
WA→B = −q.∆V
où ∆V = VB − VA . ⇒
en électrostatique, puisque le champ magnétique est nul, la force de Lorentz dérive d'une énergie
~
potentielle f~ = −grad(E
p ) avec
Ep = q.V
4 Augmentation de la vitesse d'une charge dans un champ électrostatique
homogène exercice
Une charge q > 0 entre avec une vitesse initiale ~vi = vi ~ex dans une zone où règne un champ électrosta~ = E0 ~ex .
tique uniforme E
B Exprimer sa variation de vitesse entre l'entrée et la sortie de la zone où règne le champ électrostatique.
La variation d'énergie cinétique est égale à l'opposé de la variation d'énergie potentielle électrostatique.
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L'accélérateur linéaire photo
Dans un accélérateur linéaire, une particule chargée est accélérée à chaque passage entre les deux électrodes.
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Le cyclotron photo
Dans un cyclotron, une particule chargée est accélérée à chaque passage entre les deux "Dees", sa trajectoire
étant circulaire dans les "Dees".
A quoi sert d'exercer des forces sur les particules chargées ? s'y retrouver
Les particules chargées sont "manipulées" (déviées, accélérées, focalisées...) pour faire
- de la spectroscopie (de masse...)
- de la physique des particules (chocs pour sonder la matière)
- de la lumière (rayonnement synchrotron)
2. Propriétés du champ électromagnétique
Vrais et pseudo vecteurs : s'y retrouver
~ est un vrai vecteur (il ne dépend pas de l'orientation de l'espace), alors que B
~ est un pseudo vecteur
E
(il dépend de l'orientation de l'espace).
5 Changement de référentiel pour le champ électromagnétique : théorème
l'invariance des forces par changement de référentiel donne les relations entre les champs électromagnétiques en M ⇒
dans les référentiels R2 et R1
~
~
B(M
)/R2 = B(M
)/R1
~
~
~
E(M )/R2 = E(M )/R1 + ~v (M )R2 /R1 ∧ B(M
)/R1
où ~v (M )R2 /R1 est la vitesse d'entraînement locale (en M ) de R2 dans R1 .
3. Force et énergie électromagnétiques volumiques
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L'action du champ électromagnétique sur les charges et courants animation
La gure 2 représente les champs électrique et magnétique qui inuent sur les charges et courants..
Vous pouvez retrouver le schéma animé sur le site alain.lerille.free.fr.
Figure 2 L'action du champ électromagnétique sur les charges et courants
6 Densité volumique de force théorème
~ + ~vk ∧ B
~ . Dans d3 τ , il y a nk .d3 τ particules de type k .
Pour une particule de type k , f~k = qk E
Donc, globalement :
X
X
~ 3 τ + nk .qk .~vk ∧ B.d
~ 3τ
d3 f~ =
nk .f~k .d3 τ =
nk .qk .E.d
k
donc
k
!
d3 f~ =
X
nk .qk
!
~ 3τ +
E.d
k
X
nk .qk .~vk
~ 3 τ = ρ.E.d
~ 3 τ + ~j ∧ B.d
~ 3τ
∧ B.d
k
⇒
La densité volumique de force électromagnétique (en N · m−3 ) est
d3 f~
~ + ~j ∧ B
~
= ρE
d3 τ
7 Densité volumique de puissance : théorème
~ . Dans d3 τ , il y a nk .d3 τ particules de type k . Donc,
Pour une particule de type k , Pk = f~k .~vk = qk .~vk E
globalement :
!
X
X
X
3
3
3
~ τ =
~ 3 τ = ~j.E.d
~ 3τ
d P =
nk .Pk .d τ =
nk .qk .~vk .E.d
nk .qk .~vk E.d
k
k
k
⇒
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La densité volumique de puissance de l'interaction électromagnétique (en W · m−3 ) est
d3 P ~ ~
= j ·E
d3 τ
Le champ électromagnétique cède une puissance à la matière du fait des forces de Lorentz. C'est l'eet
Joule. Pour un volume V , la puissance dissipée est
ZZZ
~ d3 τ
~j · E
Pd =
8 Densité volumique d'énergie électromagnétique théorème
On admet ⇒
Localement (en M ), le champ électromagnétique a une énergie volumique (en J · m−3 )
eem (M ) =
II-
ε0 E(M )2
B(M )2
+
2
2 µ0
Conducteurs ohmiques en régime permanent
1. Loi d'Ohm
Actions subies par les électrons libres d'un conducteur ohmique s'y retrouver
Les électrons libres dans un métal xe subissent :
• l'action de l'agitation thermique et des défauts du réseau xe (les ions) sous la forme d'une force
v
phénoménologique de la forme −m~
où τ est le temps caractéristique de relaxation des électrons ;
τ
~ − e~v ∧ B
~ , la partie
• l'action du champ électromagnétique sous la forme de la force de Lorentz : −eE
~
E
~
magnétique étant bien souvent négligeable pour une onde car alors B = c , avec v c.
9 Démonstration de la loi d'Ohm locale exercice
B En étudiant le comportement des électrons, montrer qu'un conducteur plongé dans un champ électrique
~ 0 constant suit : ~j = γ.E
~ 0.
E
En régime permanent, pas d'accélération, donc
−m~v
~ 0 = ~0 ⇒ ~v = −τ e E
~0
− eE
τ
m
Or comme les ions sont xes,
2
~0
~j = −e ne ~v = ne τ e E
m
Loi d'Ohm locale dénition
~ 0 suit la loi d'Ohm locale :
Un conducteur en magnétostatique plongé dans un champ électrique E
~0
~j = γ E
où γ est la conductivité électrique du métal (en S · m−1 ).
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10 Loi d'Ohm globale exercice
B Déterminer la résistance d'un conducteur cylindrique de longueur `, de section S , de conductivité γ .
I=
→
RR −−
R −→ →
−
~j d2 S = γE0 .S et U = −
gradV d` = `.E0 . Donc : U = R.I avec R =
`
γ.S .
2. Eet Joule
11 De la puissance dissipée à l'eet Joule exercice
B Exprimer la puissance volumique dissipée par eet Joule dans un conducteur ohmique.
B Comparer la puissance totale dans un conducteur liforme de section S et de longueur ` à celle dissipée
par eet Joule dans ce même conducteur ohmique.
B La puissance volumique dissipée par eet Joule dans un conducteur ohmique est
2
~ = γ E2 = j
~j.E
γ
B La puissance totale dans un conducteur liforme de section S et de longueur ` est donc
Ptot = S `
j2
I2
` 2
=S`
=
I
γ
γ S2
γS
On retrouve bien la puissance dissipée par eet Joule dans ce même conducteur ohmique : R I 2 avec R =
`
γS.
Interprétation électrique de la puissance dissipée s'y retrouver
On peut associer :
• la puissance transférée du champ électromagnétique à la matière par des forces de Lorentz en électromagnétisme,
• et la puissance dissipée par eet Joule en électricité.
3. Eet Hall
Eet Hall animation
La gure 3 représente l'eet de l'application d'un champ magnétique perpendiculairement à la plus grande
face d'une plaquette dans laquelle circule un courant..
Vous pouvez retrouver le schéma animé sur le site alain.lerille.free.fr.
Loi de l'eet Hall s'y retrouver
Entre les bords d'une plaquette de Hall parcourue par un courant I plongée dans un champ magnétique
B existe une tension de Hall
UH =
I.B
I.B
= RH
n.e.b
b
avec la constante de Hall : RH =
1
n.e
La constante de Hall des conducteurs est très faible, par contre celle des semi-conducteur est plus grande.
Aussi, on utilise des sondes de Hall formée d'une plaquette de semi-conducteur qui permet, par la mesure
de la tension de Hall, de déduire le champ magnétique.
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Figure 3 Eet Hall
Technique à maîtriser
jeudi 26 janvier 2017
I-
Les capacités exigibles
1. Mouvements de particules chargées
ce qu'il faut savoir faire capacités
Évaluer les ordres de grandeur des forces électrique ou magnétique et les comparer à ceux des forces
gravitationnelles.
Savoir qu'un champ électrique peut modier l'énergie cinétique d'une particule alors qu'un champ magnétique peut courber la trajectoire sans fournir d'énergie à la particule.
Mettre en équation le mouvement dans un champ électrostatique homogène ou un champ magnétostatique homogène. Eectuer un bilan énergétique pour calculer la vitesse d'une particule chargée accélérée
par une diérence de potentiel.
2. Forces volumiques
ce qu'il faut savoir faire capacités
v
Déduire du modèle (force −m~
τ ) un ordre de grandeur de τ et en déduire un critère de validité du modèle
en régime variable. Déduire du modèle un ordre de grandeur de v et en déduire un critère pour savoir
s'il convient de prendre en compte un éventuel champ magnétique.
Interpréter qualitativement l'eet Hall dans une géométrie rectangulaire.
Exprimer la puissance volumique dissipée par eet Joule dans un conducteur ohmique.
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II-
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Méthodes
1. Mouvements de particules chargées
A) Mouvements de particules chargées méthode
Pour les mouvement dans un champ
Pour les mouvement dans un champ
Frénet.
Pour les mouvement dans un champ
~ est nul.
E
~ , tout se passe comme dans le cas de la chute libre.
E
~
B , il faut utiliser le théorème de l'énergie cinétique et le repère de
~ et un champ B
~ , il faut se placer dans le référentiel où le champ
E
2. Forces volumiques
B) Interaction dans un conducteur ohmique méthode
On prend comme système un électron. Il subit :
• l'action de l'agitation thermique et des défauts du réseau xe (les ions) sous la forme d'une force
v
où τ est le temps caractéristique de relaxation des électrons ;
phénoménologique de la forme −m~
τ
~ − e~v ∧ B
~.
• l'action du champ électromagnétique sous la forme de la force de Lorentz : −eE
• le poids est négligeable.
La densité volumique de courant peut s'écrire ~j = ne (−e) ~ve .
III-
Exercices
1. Mouvements de particules chargées
1.1) Mouvement d'une particule chargée dans un champ électrostatique uniforme et homogène
On considère une particule chargée (de charge q , de masse m), ponctuelle, initialement en O (origine du
repère (O, x, y, z)) avec la vitesse initiale ~v0 = v0x .~ux + v0y .~uy .
1) Déterminer sa trajectoire si elle est soumise à un champ électrique homogène et permanent E~ = E0 .~uy ;
1)
La projection du principe fondamental de la dynamique sur les trois axes donne :



dv
vx (t) = v0x
x(t) = v0x .t

 m dtx = 0

dvy
q.E0
0 2
v (t) = m t + v0y ⇒
y(t) = q.E
m dt = q.E0 ⇒
2.m t + v0y .t
 y


dvz
vz (t) = 0
z(t) = 0
m dt = 0
Il s'agit de l'équation d'une parabole (on peut supprimer le paramètre t) :
y=
q.E0 2 v0y
2 x + v x
2.m.v0x
0x
1.2) Mouvement d'une particule chargée dans un champ magnétostatique uniforme et homogène
On considère une particule chargée (de charge q , de masse m), ponctuelle, initialement en O (origine du
repère (O, x, y, z)) avec la vitesse initiale ~v0 = v0x .~ux + v0y .~uy .
1) Déterminer sa trajectoire si elle est soumise à un champ magnétique homogène et permanent B~ = B0 .~ux ;
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1)
Théorème de l'énergie
cinétique F~ ⊥ ~v ⇒ Ec = cste, par application du théorème de l'énergie
q
2 + v2 /
cinétique. Soit |~v | = v0 = v0x
0y
x
Mouvement parallèle : la projection du principe fondamental de la dynamique sur (Ox) donne : m dv
dt = 0 ⇒
vx (t) = v0x ⇒ x(t) = v0x .t/ Le mouvement suivant l'axe du champ magnétique est donc uniforme.
Mouvement perpendiculaire : la vitesse totale est décomposable v0 = v0// + v0⊥ en vitesses parallèle :
v0// = |v0x | et perpendiculaire : v0⊥ = |v0y | = cste.
Dans le repère de Frénet, l'accélération normale est aN =
2
v0⊥
R ,
où R est le rayon de courbure de la
trajectoire.
2
~
v0⊥
=
En applicant le principe fondamental de la dynamique dans ce repère, on trouve : m.aN = f ⇒ m R
m.|v
|
0y
~ soit un rayon de courbure constant : R =
q.v0⊥ .B
~ | / Il s'agit donc d'un cercle, de rayon R, parcouru
|q|.|B
2.π.m
à la vitesse |v0⊥ | = |v0y |, en un temps T = |q|. B~ . Le mouvement total est donc un mouvement hélicoïdal,
| |
d'axe parallèle au champ magnétique.
1.3) Mouvement d'une particule chargée dans un champ électrostatique et un champ magnétostatique uniformes et homogènes et orthogonaux
On considère une particule chargée (de charge q , de masse m), ponctuelle, initialement en O (origine du
repère (O, x, y, z)) avec la vitesse initiale ~v0 = v0x .~ux + v0y .~uy .
1) Déterminer sa trajectoire si elle est soumise à : un champ électromagnétique homogène et permanent
~ = E0 .~uy et B
~ = B0 .~ux .
E
1)
Champ électrique et champ magnétique : il faut changer de référentiel R, où les champs sont
~ =B
~ /R
B
~
~
E = E/R
et se ramener à un référentiel R0 où le champ électrique est nul :
~ /R0 = ~0
E
grâce aux formules de changement de référentiel pour le champ électromagnétique :
~ /R = B
~ /R0
B
~ /R = E
~ /R0 + ~vR/R0 ∧ B
~ /R0
E
où ~v (M )R/R0 est la vitesse d'entraînement de R dans R0 . Pour cela, il sut d'avoir :
~vR/R0 =
E0
~uz
B0
Dans R0 le mouvement est hélicoïdal, d'axe parallèle au champ magnétique, comme démontré précédement.
Dans R, le mouvement hélicoïdal, d'axe parallèle au champ magnétique, conjugué à une vitesse de dérive (la
vitesse d'entraînement de R dans R0 ).
1.4) Cyclotron de Lawrence
Le premier cyclotron fut construit en 1932 par Lawrence à Berkeley (Californie). L'appareil avait un rayon
R = 14cm et communiquait à des protons (de charge e = 1, 6.10−19 C et de masse m = 1, 67.10−27 kg ) une
énergie cinétique Ec = 1, 2M eV . La diérence de potentiel était ∆V = 4000V au moment du passage du
faisceau entre les dees.
1) Quelles étaient :
1.a) la vitesse maximum des protons ?
1.b) la tension accélératrice qu'il aurait fallu utiliser pour leur communiquer cette vitesse ?
1.c) la fréquence du champ accélérateur ?
1.d) le nombre de tours décrits par les protons ?
1.e) le champ magnétique ?
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On détermine :
1.a)
1.b)
1.c)
1.d)
1.e)
la vitesse maximum : vmax =
q
2.Ec
m
= 1, 52.107m.s−1
la tension accélératrice qu'il aurait fallu utiliser : U = Emc = 1, 2M V
vmax
la fréquence du champ accélérateur : f = 2.π.R
= 17, 3M Hz
Ec
le nombre de tours décrits par les protons : n = 2.e.∆V
= 150tours
2.π.m.f
=
1,
13T
.
le champ magnétique : B =
e
1.5) Expérience de J.J.Thomson (1897)
1) Un faisceau d'électrons homocinétiques de vitesse ~v = v0 .~uz
est détecté sur un écran (plan xOy ) en O.
Il transite dans une zone Z qui a une taille a le long de l'axe Oz , petite devant la distance D entre l'écran et Z .
1.a) Déterminer le temps ∆t pendant lequel le faisceau transite dans Z .
2) On dévie ce faisceau d'électrons à l'aide d'un champ électrique E~ = −E0 .~uy règnant dans Z , uniforme
et indépendant du temps, et on mesure la déviation y du spot sur l'écran.
2.a) Déterminer la projection de la vitesse ∆vy suivant ~uy des électrons au sortir de Z , en fonction de
y , D et v0 .
2.b) De même, déterminer ∆vy en fonction de me , E0 et ∆t.
3) Enn, on établit en plus dans Z un champ magnétique B~ = B0 .~ux , uniforme et indépendant du temps.
On règle la valeur de B0 de manière à ce que le spot soit ramené en O.
3.a) Exprimer alors l'expression de B0 en fonction de E0 et v0 .
3.b) En déduire l'expression de la charge massique me de l'électron en fonction des grandeurs intervenant
dans l'expérience : y , a, D, B0 et E0 .
1)
2)
3)
Transit dans Z
∆t = va0 .
1.a)
~ = −E0 .~uy :
Champ électrique E
y.v0
2.a) ∆vy = D .
2.b) ∆vy = me E0 .∆t.
~ = B0 .~ux et champ électrique E
~ = −E0 .~uy :
Champ magnétique B
3.a) B0 = Ev00 .
3.b) En remplaçant, on trouve :
e
y.E0
=
m
D.a.B02
1.6) Spectrographe de Bainbridge
Dans le spectrographe de Bainbridge, les ions de masse m et de charge q sortant d'un ioniseur sont préalablement accélérés sous une tension de valeur absolue U = 10kV qui leur impose une vitesse ~v = v0 .~uz .
1) Déterminer la vitesse v0 du cercle décrit par un ion.
~ = B0 .~uy uniforme et
Ils pénètrent ensuite en O dans une zone (z > 0) où règne un champ magnétique B
indépendant du temps (B0 = 0, 10T )
2) Déterminer le rayon R du cercle décrit par un ion.
3) Deux isotopes viennent impressionner une plaque photographique dans le plan xOy.
3.a) Déterminer la distance x séparant les traces laissées par sur la plaque.
3.b) Application numérique pour les isotopes 39 K + et 41 K + .
1)
2)
3)
q
v0 = 2.q.U
m .
0
R = m.v
q.B0 .
Deux isotopes : q
q
2.q.U
m1
2.m1 .U
3.a) R1 = q.B
et R2 =
m1 =
q.B 2
0
0
s
x=2
3.b)
spé PC
m2
q.B0
q
2.q.U
m2
=
q
2.m2 .U
.
q.B02
Or x = 2.R2 − 2.R1 , donc :
√
2.U √
( m2 − m1 )
q.B02
Application numérique : x = 4, 6cm.
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1.7) Mesure expérimentale de
e
m
Des électrons (de masse m et de charge −e) préalablement accélérés par une diérence de potentiel u =
2, 5kV , décrivent dans une ampoule où règne un vide poussé une trajectoire circulaire de rayon R = 3, 3cm.
Le champ magnétique créé par les bobines de Helmoltz, est quasi uniforme et sa valeur numérique égale à
B = 5, 1mT .
1) Exprimer la vitesse v0 des électrons en fonction de m, e et u.
2) Relier le rayon R de la trajectoire des électrons à v0 , m, e et B .
3) En déduire le rapport me en fonction de u, R et B .
4) Comparer à la valeur théorique : e = 1, 6.10−19 C et m = 9, 1.10−31 kg.
1)
2)
3)
4)
q
v0 = 2.e.u
m .
m.v0
R = e.B .
e
11
Expérimentalement : m
= R2.u
C.kg −1 .
2 .B 2 = 1, 77.10
e
11
−1
Théoriquement : m = 1, 76.10 C.kg .
1.8) Focalisation électrique d'un faisceau homocinétique d'électrons
Un faisceau homocinétique d'électrons (de masse m et de charge −e) de vitesse v0 pénètre en O par une
~
fente supposée très ne dans la région
y >
0 où règne un champ électrique uniforme E = E.~ey . Ce faisceau,
dans le plan (xOy ) fait un angle α ∈ 0; π2 avec ~ex .
1) Déterminer l'équation paramétrique du mouvement :
1.a) x(t) ;
1.b) y(t).
2) Déterminer l'abscisse xs de la position de sortie S des électrons de la région y > 0.
∆α
Le faisceau incident présente maintenant une faible dispersion angulaire ∆α (α ∈ α0 − ∆α
2 ; α0 + 2 ).
3) Déterminer α0 pour que tous les électrons soient récupérés en S .
1)
2)
3)
Equation paramétrique du mouvement :
x(t) = v0 . cos(α).t ;
2
y(t) = v0 . sin(α).t − e.E.t
2.m .
2
2.m.v
m.v 2
xs = e.E 0 sin(α). cos(α) = e.E0 sin α2 .
dxs
π
dα = 0 ⇔ α = α0 = 4 .
1.a)
1.b)
1.9) Focalisation magnétique d'un faisceau homocinétique d'électrons
Un faisceau homocinétique d'électrons (de masse m et de charge −e) de vitesse v0 pénètre en O par une
~ = −B.~ez . Ce faisceau,
fente supposée très ne dans la région y > 0 où règne un champ magnétique uniforme B
dans le plan (xOy ) fait un angle α ∈ ]0; π[ avec ~ex .
1) Déterminer les caractéristiques de la trajectoire circulaire du mouvement :
1.a) son rayon R ;
1.b) la position de son centre C .
2) Déterminer l'abscisse xs de la position de sortie S des électrons de la région y > 0.
∆α
Le faisceau incident présente maintenant une faible dispersion angulaire ∆α (α ∈ α0 − ∆α
2 ; α0 + 2 ).
3) Déterminer α0 pour que tous les électrons soient récupérés en S .
1)
2)
3)
Caractéristiques de la trajectoire circulaire du mouvement :
0
R = m.v
e.B ;
m.v0
0
xC = R. sin(α) = m.v
e.B sin(α) et yC = −R. cos(α) = − e.B cos(α).
2.m.v0
xs = 2.R. sin(α) = e.B sin(α).
dxs
π
dα = 0 ⇔ α = α0 = 2 .
1.a)
1.b)
2. Forces volumiques
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2.10) Justication microscopique de la loi d'Ohm
~ 0 et subissant de la part des ions
On s'intéresse à un électron de vitesse ~v plongé dans un champ électrique E
~
du réseau métallique une force équivalente à une force de frottement uide fi→e = −λ.~v .
1) Déterminer la vitesse ~v.
La densité des électrons est ne .
2) Montrer que la densité volumique de courant suit la loi d'Ohm locale. On exprimera la conductivité γ .
1)
2)
v
~
~
~
v , donc ~v = −e
me . d~
dt = 0 = −e.E0 − λ.~
λ E0 .
P
~j =
nk .qk .~vk = −e.n.~v car seuls les électrons se déplacent. Ainsi, ~j =
k
n.e2 ~
λ E0 .
Donc : γ =
n.e2
λ .
2.11) Justication microscopique de l'eet Hall
Soit une plaquette conductrice (de conductivité γ , de densité d'électrons n), parallélipipédique, de côté a
suivant x, b suivant z et de longueur L selon z . On y fait circuler un courant I , grâce au champ électrique
~ 0 = E0 .~ux .
E
1) Déterminer la vitesse moyenne des électrons en fonction de I et des caractéristiques de la plaquette.
~ = B.~uz .
On applique un champ magnétique B
2) Montrer qu'en régime stationnaire, existe un champ de Hall E~ H qu'on déterminera en fonction de I et
B et des caractéristiques de la plaquette.
3) En déduire alors la tension de Hall UH d'un bord à l'autre de la plaquette.
1)
Or ~j =
P
nk .qk .~vk = −e.n.~v car seuls les électrons se déplacent. D'autre part I = a.b.~j.~ux =
k
−a.b.e.n.~v .~ux , aussi
~v = −
2)
I
~ux
n.e.a.b
Le principe fondamental de la dynamique en stationnaire donne :
me .
d~v ~
~ 0 − λ.~v − e~v ∧ B
~ − e.E
~ H = −e.E0 .~ux − λ.vx .~ux − e.vx .~ux ∧ .B.~uz − e.E
~H
= 0 = −e.E
dt
Projeté suivant ~uy :
~ H = vx .B.~uy = − I.B ~uy
E
n.e.a.b
3)
UH =
R
−
~ H .→
E
d` = EH .a soit
UH =
I.B
n.e.b
2.12) Eet Hall dans une plaquette semiconductrice d'arséniure d'indium
Une sonde de Hall, à arséniure d'indium (InAs), d'épaisseur b = 1, 0mm suivant (Oz) et a suivant (Oy) est
parcourue par un courant I = 15mA suivant (Ox). On suppose que la conduction est assurée par des électrons
libres de charge −e = −1, 6.1019 C , de densité ne .
1) Exprimer la vitesse v des porteurs de charge en fonction de I , a, b, ne et e.
Plongée dans un champ magnétique B = 66mT suivant (Oz), la plaquette présente une tension de Hall
UH = 1, 0mV suivant (Oy).
2) Exprimer la vitesse v des porteurs de charge en fonction de UH , a, et B .
3) En déduire le nombre de porteurs de charge ne par unité de volume dans le matériau. Application
numérique.
1)
2)
3)
spé PC
I
I
j = ne .e.v = a.b
donc v = a.b.n
.
e .e
F = e.v.B = e.EH avec EH = UaH donc v =
B.I
21 −3
.
ne = UH
.b.e = 6, 2.10 m
UH
a.B .
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2.13) Eet Hall dans une plaquette conductrice de cuivre
Une plaquette de cuivre d'épaisseur b = 0, 5mm suivant (Oz) et a = 1, 5cm suivant (Oy) est parcouru, selon
(Ox), par un courant I = 60A.
On suppose que la conduction est assurée par des électrons libres de charge −e = −1, 6.1019 C , de densité ne et
on donne la conductivité : γ = 58.106 S.m−1 et la constante de Hall du cuivre : AH = ne1.e = −5, 3.10−11 m3 .C −1 .
1) Exprimer le champ électrique Ex assurant la conduction.
~ = B.~ez avec B = 2, 5T .
La plaquette de cuivre est maintenant soumise à l'action d'un champ magnétique B
2) Calculer le champ de Hall Ey .
3) Quel est l'angle θ (qu'on exprimera en degré, minute et secondes) que fait le champ électrique total E~ tot
avec la direction (Ox) ?
1)
2)
3)
spé PC
I
= 0, 14V.m−1 .
Ex = a.b.γ
−1
Ey = AH I.B
.
a.b = 1, 1mV.m
Ex
tan(θ) = Ey = AH .B.γ ⇒ θ = 260 .
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Travaux dirigés
vendredi 27 janvier 2017
Cet exercice sera fait en demi-groupe lors de la séance de travaux dirigés.
La vitesse des électrons
Le déplacement des électrons dans les ls électriques permet la conduction du
courant
Enoncé
1)
spé PC
Evaluer l'ordre de grandeur de la vitesse moyenne des électrons dans un l électrique.
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Correction
1) On peut partir du cours et faire l'étude mécanique d'un électron : En régime permanent, pas d'accélération, donc
−m~v
~ 0 = ~0 ⇒ ~v = −τ e E
~0
− eE
τ
m
Or comme les ions sont xes,
2
~ 0 = γ.E
~0
~j = −e ne ~v = ne τ e E
m
RR −−→
R −−→ →
−
`
Au niveau global, on a I = ~j d2 S = γE0 .S et U = gradV d` = `.E0 . Donc : U = R.I avec R = γ.S
.
Ainsi,
~0
γ.E
I
j
=
=
v=
e ne
e ne
e ne S
Par exemple, pour un conducteur cylindrique de section S ≈ 1 mm2 , parcouru par un courant I ≈ 30 mA,
en prenant e = 1, 6 × 10−19 C et ne ≈ 1030 m−3 , on trouve
v≈
30 × 10−3
≈ 10−10 m · s−1
1, 6 × 10−19 × 1030 × 10−3
ce qui est bien plus faible que la vitesse de la lumière, mais aussi que la vitesse d'agitation thermique vth
donnée par
s
r
3
3 kB T
3 × 1, 38 × 10−23 × 300
1
2
m vth = kB T ⇒ vth =
≈
= 1, 2 × 105 m · s−1
2
2
m
9, 11 × 10−31
spé PC
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Devoir non surveillé
vendredi 27 janvier 2017
Le document est à lire, l'exercice est à rendre.
La spectroscopie de masse
Disponible à l'adresse "www.icsn.cnrs-gif.fr/IMG/pdf/chapitre2.pdf".
Comment fonctionne un spectrographe de masse ?
L'information primordiale apportée par la spectrométrie de masse, à savoir la valeur de m/z des particules
chargées, découle de l'analyse d'un phénomène unique : la déviation de ces ions par des champs électromagnétiques. C'est d'ailleurs par la mise en évidence de l'eet de champs électriques et magnétiques sur la trajectoire
d'un faisceau de particules émises par des dé arges électriques dans un tube à faible pression que Wien pu
démontrer, en 1898, leur nature ionique.
Avant d'aborder la description des analyseurs de masse dans la suite, une mise au point doit être faite au
sujet d'un facteur instrumental important : la résolution.
Qu'est-ce que la résolution ?
La résolution est la capacité d'un instrument de mesure à distinguer entre eux deux signaux voisins. Plus la résolution est élevée, plus
la diérence entre deux signaux distincts est faible sur le paramètre
mesuré. En spectrométrie, la résolution correspond également à la nesse des pics. A chacune de ces dénitions correspond un mode de
calcul particulier. En considérant le pouvoir séparatif, on peut dénir
la résolution en spectrométrie de masse comme le rapport m/∆m où
m est la masse d'un ion considéré et ∆m la diérence minimale entre
le pic considéré et son voisin le plus proche dont il peut être distingué.
Selon cette dénition, un instrument qui est en mesure de distinguer
des ions de masses 100 et 100,1 possède une résolution de 100/(100,1 ?
100) = 1000.
Analyseur à temps de vol (Time-of-Flight, TOF)
Dans son principe, l'analyseur à temps de vol est le plus simple
de tous. C'est Dempster (1918) qui, le premier, introduisit l'usage de
faisceaux monoénergétiques en appliquant une diérence de potentiel
(V0 ) à la sortie de la source d'ions. Cette tension confère une énergie
cinétique au faisceau ionique ( 12 m v 2 ) homogénéisée à la valeur z V0 :
1
m v 2 = z V0 (1)
2
Cette simple égalité "contient" le rapport m/z que l'on peut déduire directement de la vitesse v , donc du
temps t (temps de vol) que met un ion à franchir une distance xe d.
m
t2
= 2 V0 2 (2)
z
d
Ainsi, après l'accélération due à V0 , les ions "volent" d'autant plus vite qu'ils sont plus légers. Les analyseurs à
temps de vol mesurent donc le temps que mettent les ions à franchir une distance xe. Le temps nal correspond
à l'arrivée sur le détecteur, le temps initial t0 étant déterminé de manière diérente selon les appareils et le
mode d'ionisation mis en ÷uvre. La qualité du résultat dépend de celle de la mesure de temps très courts (de
l'ordre de la microseconde) ce qui explique que cette instrumentation s'est développée parallèlement aux progrès
de l'électronique et de l'informatique.
Théoriquement, l'analyse par temps de vol ne pose pas de limite à la masse des ions. Par ailleurs, du fait
qu'aucun balayage de masse n'est eectué, elle présente l'intérêt de détecter tous les ions produits d'où mie
spé PC
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très grande sensibilité des expériences. En ce qui concerne la résolution, celle-ci est dénie par la distribution
du temps de vol d'une population d'ions de même masse. Diérents facteurs sont susceptibles d'altérer cette
résolution, notamment la distribution des énergies cinétiques initiales des ions au sortir de la source et la
dispersion angulaire du faisceau ionique. La mise au point de l'extraction retardée, qui consiste à homogénéiser
les énergies cinétiques des ions dans la source avant leur injection dans l'analyseur, a grandement amélioré
les performances instrumentales. 11 en est de même de l'interposition de miroirs électrostatiques sur le trajet
ionique. Ces miroirs, appelés aussi "réectrons" compensent les diérences de vitesse pour une valeur de ni/z
donnée en imposant des trajets à parcourir d'autant plus longs que les ions sont plus rapides. Ils permettent
aussi de s'aranchir des espèces neutres formées par dissociation métastable qui, en l'absence de réectron,
contribuent au signal des espèces ioniques dont elles sont issues et le dégradent. Désormais, les résolutions
obtenues sur les instruments à temps de vol modernes peuvent atteindre environ 20000 en routine dans une
gamme de masse compatible avec l'utilisation du réectron (m/z < 10 000).
Analyseur magnétique
La propriété des aimants à dévier les trajectoires ioniques d'abord mise à prot par Thomson (1913) puis
par Aston (1919) à des ns d'analyse de matériaux gazeux, ce qui permit à Thomson, après la découverte de
l'électron qui lui valut le prix Nobel, de prouver que certains éléments stables pouvaient exister sous diérentes
formes isotopiques.
Aston construisit ensuite ce qu'il dénit lui-même comme un "spectrographe de masse" (cf. ci-dessous). Sur
cet appareil étaient disposés, sur le trajet d'un faisceau issu du tube de décharge, deux fentes nes (S1, S2) puis
un champ électrique homogène (P1, P2) et enn, après un diaphragme (D), un champ magnétique sur le plan
focal duquel était placée une plaque photographique (plan G-B). L'obtention de raies distinctes pour des corps
de masses diérentes se déduisait simplement de l'équation de déviation de particules chargées dans un champ
magnétique.
Pour une particule de masse m et de charge q , possédant par surcroît une certaine énergie cinétique (Ec =
1/2 m v 2 ), la force centripète due au champ magnétique B et la force centrifuge qui l'équilibre font adopter à la
particule incidente une trajectoire circulaire uniforme de rayon r : d'où :
qvB =
m v2
mv
(3) et r =
(4)
r
qB
L'architecture choisie par Aston (direction inverse des champs électriques et magnétiques) permettant de réduire
la dispersion initiale de la vitesse v des ions issus de la source, y pouvait être considérée comme à peu près
constante et donc le rayon de la trajectoire comme directement proportionnel à m/q .
L'imposition par Dempster d'une tension d'accélération V0 en sortie de source (voir plus haut) se t sur un
instrument qui imposait à la fois le rayon de la trajectoire des ions (r xe sur un demi-cercle de trajectoire) et
la valeur du champ magnétique. Des équations (1) et (3) on peut en eet déduire facilement l'égalité suivante :
B 2 r2
m
=
(5)
q
2 V0
Par conséquent, en faisant varier le seul potentiel d'accélération V0 , Dempster était en mesure de détecter
spé PC
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sélectivement des espèces de diérentes valeurs de rapport m/q . Cette expérience lui permit, entre autres, de
caractériser les isotopes des ions lithium, potassium, magnésium, calcium et cadmium.
L'intérêt, évident si l'on considère ce qui précède, de disposer d'un faisceau monoénergétique
provient de la capacité à mesurer des valeurs de
m/q non plus par la position d'une raie sur une
plaque photosensible, avec tous les défauts de résolution que cela peut poser (dispersions en vitesse et en énergie cinétique), mais de calculer, à
partir d'une valeur de potentiel variable, les valeurs de m/q qui correspondent à la réception d'un
signal. D'une certaine façon, on peut considérer
que Dempster a introduit l'idée de réaliser des
spectres en balayant des tensions. Qu'il s'agisse
de balayages de V0 ou de B , la résolution du signal dépendra du fait que les autres paramètres de
l'équation (5) seront réellement constants (c'est à
dire avec le minimum de dispersion). C'est la raison pour laquelle on peut faire appel à l'eet des
champs électrostatiques sur la trajectoire des particules chargées. Si un ion incident de vitesse v , de
masse m, et de charge q , subit l'eet d'un champ
électrostatique E , il adoptera une trajectoire circulaire uniforme telle que la force centrifuge équilibre
la force centripète :
2 Ec
m v2
= qE (6) d'où : E =
(7)
r0
q r0
En conséquence, l'ajout d'un champ électrostatique sur le trajet ionique joue le rôle de ltre
d'énergie cinétique à la condition que r0 demeure
constant (on impose r0 par construction du tube
de vol). Par ailleurs, si le faisceau ionique est préalablement accéléré par une diérence de potentiel
V0 , ce qui est généralement le cas, le paramètre q n'intervient plus dans l'équation. En intégrant l'équation (1)
dans l'égalité (5), on obtient en eet :
2 V0
E = 0 (8)
r
L'asservissement de E à V0 permet donc de ltrer des ions de même énergie cinétique et ce, indépendamment de
leur charge. Dans certains cas, un champ E a été utilisé pour réaliser des ltres de vitesse (et non plus d'énergie
cinétique). Si l'on parvient, en eet, à faire en sorte qu'un champ magnétique s'exerce dans un sens opposé au
champ électrostatique, il faudra que leurs forces s'équilibrent pour qu'un faisceau incident ne subisse aucune
déviation. C'est le principe du "ltre de Wien" :
q v B = q E (9) soit v =
E
(10)
B
Dans ce cas, l'imposition d'un rapport E/B particulier permet de dénir la vitesse v des espèces ioniques issues
de la source. C'est ce que Bainbridge mis en ÷uvre en 1933 pour obtenir une échelle linéaire des masses en
fonction du rayon des trajectoires ioniques, amélioration importante du travail initial d'Aston.
Enoncé
Démontrer toutes les équations numérotées du document.
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Correction
1)
Dans la zone de champ électrique, accélératrice - Equation (1) :
Un ion de masse m et de charge z subit une diérence de potentiel V0 et passe d'une vitesse quasi-nulle à
une vitesse v à la sortie de la zone où règne une diérence de potentiel (donc un champ électrique). La seule
force qui s'applique est la force de Lorentz électrique qui dérive de l'énergie potentielle Ep = z V .
La conservation de l'énergie mécanique en absence de force non conservative donne :
∆Ec + ∆Ep = 0 =
1
1
m v 2 − 0 + z (0 − V0 ) ⇒ m v 2 = z V0 (1)
2
2
2)
Après la zone accélératrice - Equation (2) :
Dans cette zone, l'ion n'est plus soumis à aucune force : sa vitesse se conserve.
La vitesse v de l'ion est reliée à la durée t (temps de vol) que met un ion à franchir une distance xe d :
v=
m
1 d2
t2
d
⇒ (1) ⇒ m 2 = z V0 ⇒
= 2 V0 2 (2)
t
2 t
z
d
3)
Dans la zone de champ magnétique - Equations (3) et (4) :
~ = B ~uz . On peut se placer dans le repère de Frénet
Dans cette zone règne un champ magnétique B
(~ut , ±~un , ~uz ).
Dans le référentiel du sol (galiléen : il n'y a pas de forces d'inertie) la seule force qui s'applique est la
force de Lorentz magnétique (NB : maintenant la charge est notée q ) :
~ = q v ~ut ∧ B~uz = q v B~un
q ~v ∧ B
dont la puissance est nulle : v est constante. Le principe fondamental de la dynamique projeté suivant ~un
s'écrit :
v2
mv
m
= q v B (3) ⇒ r =
(4)
r
qB
Le mouvement de l'ion est donc circulaire uniforme de rayon r.
4) Liaison entre zone accélératrice et zone de champ magnétique - Equation (5) :
(1) ⇒
1
m v 2 = q V0 ⇒ m v 2 = 2 q V0
2
qu'on reporte dans (3) :
m
v2
= q v B ⇒ 2 q V0 = r q v B ⇒ v 2 =
r
Enn,
(1) ⇒
2 V0
rB
2
1
2 q V0
m v 2 = q V0 ⇒ v =
2
m
qu'on reporte dans la précédente équation :
2
2 V0
q
2 V0
m
B 2 r2
2 q V0
=
⇒
= 2 2 ⇒
=
(5)
m
rB
m
r B
q
2 V0
5)
Dans la zone de champ électrostatique - Equations (6) et (7) :
~ . La question est de savoir comment est ce champ
Dans cette zone règne un champ électrostatique E
électrostatique. On va partir des résultats :
m v2
2 Ec
= q E (6) d'où : E =
(7)
r0
q r0
Le mouvement de l'ion est donc circulaire uniforme de rayon r0 .
On peut se placer dans le repère cylindrique (~ur , ~uθ , ~uz ) : la vitesse est alors ~v = v ~uθ et l'accélération
2
~a = −v θ̇~ur = − vr0 ~ur .
Les trois projections du principe fondamental de la dynamique s'écrivent :

2
 −m vr0 = q Er
0 = q Eθ

0 = q Ez
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On en déduit donc que c'est possible ssi le champ électrostatique est à symétrie cylindrique :
2
~ = − m v ~ur
E
q r0
ce qui est réalisable avec un condensateur cylindrique, mais semble compliqué à mettre à la bonne valeur.
La suite va nous expliquer comment on fait...
6) Lien entre les deux zones de champ électrostatique - Equation 8
2
En intégrant l'équation (1) (m v 2 = 2 q V0 ) dans l'égalité (6) ( mrv0 = q E ), et pas l'égalité (5) comme le
dit le document (erreur), on obtient :
2 V0
E = 0 (8)
r
7) "ltre de Wien" - Equations (9) et (10)
On peut se placer dans le repère cartésien (~ux , ~uy , ~uz ). Dans cette zone règnent :
~ = B ~uz
- un champ magnétique B
~ = E ~uy
- un champ électrique E
Dans le référentiel du sol (galiléen : il n'y a pas de forces d'inertie) la seule force qui s'applique est la
force de Lorentz :
~ + q ~v ∧ B
~ = q E~uy + q (vx ~ux + vy ~uy + vz ~uz ) ∧ B~uz = (q E − q vx B) ~uy + q vy B~ux
qE
La projection du principe fondamental de la dynamique donne :

x
m dv

dt = q vy B
dvy
m dt = q E − q vx B

z
m dv
dt = 0
En ne sélectionnant que les ions se déplaçant suivant ~ux , vy = vz = 0 (dont les dérivées sont nulles) et vx = v ,
la seconde projection donne :
E
(10)
q v B = q E (9) soit v =
B
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