3 Propagation d`ondes - Hachette

Physique PCSI
4
Sommaire
1. Réussir en physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Méthodes d’apprentissage ■ Méthodes de résolution ■ Utilisation de l’ouvrage ■ Conseils.
PARTIE 1 – SIGNAUX
2. L’oscillateur harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
■ Système masse-ressort ■ Équations différentielles ■ Équation aux dimensions ■ Énergies.
Exercices ..................... 22 Corrigés ...................... 24
3. Propagation d’ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
■ Signal ■ Période, fréquence ■ Analyse spectrale ■ Onde progressive ■ Longueur d’onde ■ Polarisation de la lumière.
Exercices ..................... 37 Corrigés ...................... 38
4. Superposition d’ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
■ Représentation de Fresnel ■ Interférences ■ Battements ■ Ondes stationnaires et modes propres d’une corde ■ Diffraction.
Exercices ..................... 54 Corrigés ...................... 56
5. Lois de l’optique géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
■ Sources ■ Indice, dispersion ■ Réflexion ■ Réfraction ■ Objet, image ■ Stigmatisme, aplanétisme ■ Conditions de Gauss.
Exercices ..................... 70 Corrigés ...................... 72
6. Lentilles et instruments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
■ Objet et image réels ou virtuels ■ Foyers ■ Grandissement, grossissement ■ Miroir plan ■ Lentilles, lentilles minces
■ Constructions ■ Lois de conjugaison ■ L’œil ■ Association de lentilles.
Exercices ..................... 87 Corrigés ...................... 89
7. Introduction au monde quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
■ Dualité onde-corpuscule ■ Effet photo-électrique ■ Relation de de Broglie ■ Fonction d’onde, probabilité de
présence
■ Inégalité de Heisenberg ■ Oscillateur harmonique quantique.
Exercices .................... 102 Corrigés .................... 104
8. Circuits dans l’ARQS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
■ Charge et intensité ■ Potentiel et tension ■ Caractéristique de dipôle ■ Lois de nœuds ■ Lois des mailles ■ Résistor,
condensateur, bobine
■ Générateur de Thévenin, de Norton ■ Associations série ou parallèle de dipôles.
Exercices .................... 123 Corrigés .................... 124
9. Régimes transitoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
■ Oscillateurs ■ Excitation, réponse, régime ■ Circuits du premier ordre RC et RL ■ Circuit du second ordre RLC
■ Oscillateur mécanique amorti ■ Analogie électro-mécanique ■ Portrait de phase.
Exercices .................... 146 Corrigés .................... 149
10. Oscillations forcées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
■ Régime sinusoïdal et résolution complexe ■ Résonances ■ Bande passante ■ Impédance ■ Méthode de Fresnel.
Exercices .................... 176 Corrigés .................... 178

11. Filtrage linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
■ Moyenne, valeur efficace ■ Filtre, fonction de transfert, gain, gain en décibel ■ Diagrammes de Bode ■ Filtres du
premier ordre
■ Filtres du second ordre ■ Moyenneur, dérivateur, intégrateur ■ Filtres en cascade ■ Gabarit.
Exercices .................... 201 Corrigés .................... 205
PARTIE 2 – MÉCANIQUE
12. Cinématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
■ Référentiels ■ Systèmes de coordonnées, déplacement élémentaire ■ Vitesse, accélération ■ Mouvement rectiligne
■ Mouvement parabolique ■ Mouvement circulaire ■ Translation et rotation d’un solide.
Exercices .................... 227 Corrigés .................... 229
13. Dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
■ Quantité de mouvement ■ Référentiel galiléen ■ Principe fondamental de la dynamique ■ Théorème de la résultante
cinétique
■ Forces de contact, forces à distance ■ Réactions, lois de Coulomb.
Exercices .................... 244 Corrigés .................... 246
14. Énergie en mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
■ Travail, puissance ■ Énergie cinétique ■ Force conservative, énergie potentielle ■ Théorèmes de l’énergie cinétique
et de la puissance cinétique
■ Théorème de l’énergie mécanique ■ Équilibre et stabilité.
Exercices .................... 270 Corrigés .................... 272
15. Particules chargées dans un champ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
■ Champ uniforme, stationnaire ■ Accélération d’une charge par un champ électrique ■ Déviation d’une charge par
un champ magnétique.
Exercices .................... 285 Corrigés .................... 290
16. Théorème du moment cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
■ Moment d’une force ■ Moment cinétique ■ Théorème du moment cinétique vectoriel et scalaire.
Exercices .................... 302 Corrigés .................... 303
17. Mouvements à forces centrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
■ Centre de force ■ Invariants du mouvement ■ Loi des Aires ■ Forces Newtoniennes ■ Lois de Kepler ■ Satellites.
Exercices .................... 319 Corrigés .................... 320
18. Mécanique des systèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
■ Quantité de mouvement ■ Centre d’inertie ■ Moment cinétique ■ Moment d’inertie ■ Action mécanique, couple,
liaison pivot
■ PFD ■ Conservation de la quantité de mouvement, du moment cinétique ■ Théorèmes énergétiques.
Exercices .................... 336 Corrigés .................... 337
PARTIE 3 – THERMODYNAMIQUE
19. Description des systèmes thermodynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
■ Grandeurs et fonctions d’état ■ Température, pression, volume ■ Équilibre thermodynamique ■ Énergie interne, capacité
thermique à volume constant
■ Gaz parfait, équation d’état ■ Température et pression cinétiques ■ Phase condensée.
Exercices .................... 306 Corrigés .................... 362
5

20. Échanges énergétiques au cours d’une transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
■ Transformation (réversible, isobare, isochore, isotherme, adiabatique) ■ Diagramme de Watt et de Clapeyron (P,V)
■ Transfert mécanique (travail) ■ Transfert thermique (chaleur) ■ Grandeurs d’échange et fonctions d’état ■ Thermostat.
Exercices .................... 375 Corrigés .................... 376
21. Premier principe de la thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
■ Énergie interne microscopique et énergie macroscopique ■ Conservation de l’énergie ■ Enthalpie, capacité thermique
à pression constante
■ Relation de Mayer, coefficient adiabatique ■ Détentes de Joule, lois de Joule.
Exercices .................... 389 Corrigés .................... 391
22. Second principe de la thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
■ Entropie ■ Identités thermodynamiques ■ Entropie créée, échangée, bilan entropique ■ Lois de Laplace ■ Diagrammes
entropiques (T,S)
■ Micro-état et macro-état, entropie statistique, définition de Boltzmann ■ Entropie et désordre.
Exercices .................... 412 Corrigés .................... 414
23. Machines thermiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421
■ Moteur, récepteur, schéma de principe ■ Diagramme de Raveau ■ Inégalité de Clausius ■ Efficacité et rendement
■ Cycles et rendements de Carnot ■ Premier principe industriel (machine à écoulement) ■ Diagramme de Mollier.
Exercices .................... 439 Corrigés .................... 441
24. Changements d’état du corps pur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445
■  Transitions de phase ■ Diagramme (P,T), point triple, point critique ■ Diagramme (P,v), courbes de saturation
■ Isothermes d’Andrews ■ Enthalpie et entropie massiques ■ Titre molaire, massique ■ Théorèmes des moments.
Exercices .................... 456 Corrigés .................... 459
25. Statique des fluides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467
■ Forces surfaciques et volumiques ■ Expression des forces de pression ■ Principe fondamental de l’hydrostatique
■ Pression dans un liquide ■ Pression dans un gaz, cas de l’atmosphère isotherme ■ Interprétation statistique de
Boltzmann
■ Poussée d’Archimède.
Exercices .................... 480 Corrigés .................... 482
PARTIE 4 – ELECTROMAGNÉTISME
26. Champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485
■ Spectres et lignes de champ ■ Flux d’un vecteur ■ Symétrie et antisymétrie ■ Aimants, pôles magnétiques ■ Champs
créés par un courant (fil, spire, bobine, solénoïde)
■ Dipôle magnétique, moment magnétique ■ Force de Laplace,
action sur une tige, sur un cadre
■ Dipôle magnétique dans un champ.
Exercices .................... 499 Corrigés .................... 501
27. Induction électromagnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509
■ Loi de Lenz, loi de Faraday ■ Induction de Neumann, de Lorentz ■ Auto-induction, induction mutuelle ■ Transformateur,
alternateur
■ Rails de Laplace ■ Conversion électro-mécanique ■ Haut-parleur ■ Machine à courant continu.
Exercices .................... 524 Corrigés .................... 527
ANNEXES
Base de données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537
■ Système international d’unités ■ Constantes physiques ■ Grandeurs astronomiques, atomiques, usuelles.
Index (mots-clés et points méthode) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541
6Physique PCSI

3
Partie 1 – Signaux 35
Propagation d’ondes
Un polariseur se présente comme un disque dont l’axe est généralement disposé selon l’axe de pro-
pagation (Oz) de la lumière, la direction de polarisation (Op) est en général réglable avec un curseur ou
simplement en tournant le polariseur.
On envoie de la lumière polarisée rectilignement selon
une direction (Op0) sur un polariseur de direction de pola-
risation (Op), telles que (Op0) et (Op) forment un angle a.
On peut décomposer le champ électrique incident (orienté
suivant (Op0)) en une composante parallèle à (Op) et une
composante orthogonale à (Op). Seule la première passe
le polariseur, la composante orthogonale est éliminée.
On peut choisir de noter (Ox) la direction (Op) du polari-
seur, (Oy) la direction orthogonale et ex
et ey leurs vecteurs
unitaires directeurs respectifs. Alors le champ électrique
incident se décompose suivant : EEeE
eE
e
xx yy
00
0
=+=
À la sortie du polariseur, le champ électrique est : EEeE e
sx
xx
==
0cosa
On note que :
EEE
Sx
==
0cosa
 Deux cas particuliers sont intéressants :
 Si (Op0) et (Op) sont confondues (a = 0), le champ incident est suivant
(Ox), toute la lumière passe, il n’y a pas de modification à la traversée du polariseur : EE
eE
sxx
  0
 Si (Op0) et (Op) sont orthogonales (a = p/2), le champ incident est suivant (Oy), le champ électrique
est arrêté, il n’y a pas de lumière à la sortie du polariseur : EEe
sxx
  0.
 Le polariseur permet ici de déterminer des caractéristiques de la lumière incidente, on l’appelle un
analyseur, la lumière incidente polarisée pouvant par ailleurs avoir été créée par un premier polariseur.
3. Loi de Malus
Avec les mêmes notations que dans le paragraphe précédent, l’intensité lumineuse incidente I0 et l’inten-
sité lumineuses IS sortant du polariseur s’écrivent respectivement :
IKE
00
2
et IKEKEKE
Ss
2
0
22
0
22
co
sc
os
aa
(a indépendant du temps)
D’où : IIcos
S0
2a=, relation qui confirme qu’on peut éteindre la lumière incidente (IS = 0) avec un
analyseur perpendiculaire à la polarisation incidente (a = 90°).
Énoncé
Loi de Malus : L’intensité lumineuse IS à la sortie d’un polariseur dépend de l’angle a entre la direc-
tion de polarisation de la lumière incidente et celle du polariseur ainsi que de l’intensité de la lumière
incidente I0 :
II
s
=
0
2
cosa
 Le cinéma 3D fonctionne selon ce principe : deux images correspondant à la vision qu’aurait chaque
œil du spectateur sont projetées en lumière polarisée différemment l’une de l’autre. Les lunettes sont
formées de polariseurs dont la direction de polarisation est liée à celle de l’image correspondante (œil
droit ou gauche). On peut le vérifier en regardant à travers un seul côté des lunettes et en faisant pivoter
la monture, on éteindra l’une ou l’autre image à chaque rotation de 90°.
p
y
x
a
p0
E
y
Ex
e
x
e
y
e0
E0
 À partir des expressions de k et de w ci-dessus et la relation entre les périodes T et l, on obtient :
wpl
p
l
kT Tc  
2
2
ainsi :
w=ck
IV Onde polarisée
1. Nature de l’onde lumineuse
Dans ce qui précède, on a supposé que l’onde pouvait être décrite par une grandeur scalaire s(M,t). Cela
n’est pas toujours possible. Par exemple, la lumière, et plus généralement toutes les ondes électromagné-
tiques, résultent de la propagation d’un champ électrique noté
E
et d’un champ magnétique noté
B
. On
peut montrer qu’une onde électromagnétique quelconque peut s’écrire comme la superposition d’ondes
plus simples unidirectionnelles et progressives (ondes planes progressives), telles que les champs sont
alors tous deux transverses par rapport à la direction de propagation (Oz) et ne dépendent que de z et t.
On ne considère que ce type d’onde dans ce qui suit. Les champs de l’onde sont vectoriels, donc leurs
directions, leurs sens et leurs normes sont a priori fonctions de z et t.
On sait déduire le champ magnétique du champ électrique, aussi la description du champ électrique
suffit-elle à décrire l’onde. L’intensité de la lumière est directement liée à la valeur du champ électrique.
Définition
L’intensité lumineuse est proportionnelle à la moyenne temporelle du carré de la norme du champ
électrique :
IKE= 2
où K est une constante. La moyenne est calculée sur un temps très grand devant la période des signaux
lumineux, laquelle est de l’ordre de 10–14 s pour la lumière visible.
2. Polarisation de la lumière
Définitions
 La lumière, et plus généralement l’onde électromagnétique plane progressive est dite polarisée
rectilignement si son champ électrique a une direction constante au cours du temps.
 La direction du champ électrique est appelée direction de polarisation.
 Cette direction peut aussi tourner régulièrement autour de la direction de propagation (polarisation
circulaire ou elliptique), ou avoir une direction variant aléatoirement pour une lumière non polarisée.
 La lumière naturelle du Soleil ou celle de la plupart des lampes est non polarisée. Par contre la lumière
réfléchie par une surface (eau, vitre) est partiellement polarisée, voire polarisée rectilignement dans cer-
tains cas, de même que la lumière diffusée par le ciel, contrairement à celle des nuages, ce qui permet
des effets en photographie à l’aide d’un polariseur.
 L’œil humain, contrairement à celui des insectes, est insensible à l’état de polarisation de la lumière.
 Il ne faut pas confondre direction de propagation et direction de polarisation.
Définition
 Un polariseur est un dispositif optique qui ne laisse passer qu’une direction de polarisation de la
lumière. Cette direction sera notée (Op), elle dépend de l’orientation du polariseur.
 La lumière sortant du polariseur est donc polarisée rectilignement selon (Op).
z
x
y
Direction
de propagation
de la lumière
Polariseur
Direction
de polarisation
de la lumière
Direction
de polarisation
du polariseur

3
Physique PCSI
36
Propagation d’ondes VERS LA COLLE
Questions de cours
 Que signifie « faire l’analyse spectrale d’un signal » ? Que signifie « réaliser la synthèse spectrale
d’un signal » ?
 Différentes expressions de l’onde progressive, de l’onde progressive unidirectionnelle.
 Définition d’une onde progressive périodique ; mise en évidence de sa double périodicité.
 Définition d’une onde progressive sinusoïdale ; mise en évidence de sa double périodicité.
 À partir de l’expression de l’onde progressive sinusoïdale, déterminer sa fréquence, sa période, sa
pulsation, son vecteur d’onde.
 Onde électromagnétique polarisée, intensité lumineuse, loi de Malus.
Erreurs à éviter
 Il faut bien lire l’énoncé pour partir sur le bon modèle de l’onde : une onde progressive n’est pas for-
cément sinusoïdale, une onde n’est pas nécessairement périodique…
 Attention au sens de propagation (vers les x positifs ou négatifs).
Quelques «trucs» utiles
 Pour étudier l’évolution temporelle d’un point au passage de l’onde, il est souvent commode de
représenter l’onde à un instant t, puis à un instant ultérieur proche, on voit alors comment évoluent
les points.
Onde
à l’instant
t2 = t1 + Dt
Onde
à l’instant t1
s
x
M
Le point M
descend entre
t1 et t2
P
Le point P
monte entre
t1 et t2
Sens de propagation
 D’une façon générale, il est commode de représenter les courbes en fonction du temps en utilisant la
période T comme unité de représentation et de représenter les courbes en fonction de la position x en
utilisant la longueur d’onde l comme unité de représentation, ce qui suppose de les déterminer dès le
départ. La double périodicité apparaît alors clairement et permet de représenter aisément les différentes
courbes. Il est également recommandé de représenter les signaux sur plus d’une période.
 Inutile d’apprendre de nombreuses formules par cœur, on retiendra par contre les 4 relations suivantes :
k=2
p
l
et w
p
=
2
T ;
l=cT
(définition de l) ; f
T
=1 (définition de la fréquence)
De nombreuses autres relations peuvent être nécessaires dans les calculs, il est inutile de les apprendre
par cœur, car elles se retrouvent aisément si l’on a mémorisé les 4 précédentes :
wp2f
;
wck
;
lp
w
c
f
c
2 …