3 Propagation d`ondes - Hachette

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Sommaire
1.Réussir en physique �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 7
Méthodes d’apprentissage ■ Méthodes de résolution ■ Utilisation de l’ouvrage ■ Conseils.
PARTIE 1 – SIGNAUX
2.L’oscillateur harmonique
■
13
Système masse-ressort ■ Équations différentielles ■ Équation aux dimensions ■ Énergies.
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.Propagation d’ondes
■
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���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
27
Signal ■ Période, fréquence ■ Analyse spectrale ■ Onde progressive ■ Longueur d’onde ■ Polarisation de la lumière.
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.Superposition d’ondes
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43
■ Représentation de Fresnel ■ Interférences ■ Battements ■ Ondes stationnaires et modes propres d’une corde ■ Diffraction.
Exercices
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.Lois de l’optique géométrique
■
Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
61
Sources ■ Indice, dispersion ■ Réflexion ■ Réfraction ■ Objet, image ■ Stigmatisme, aplanétisme ■ Conditions de Gauss.
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6.Lentilles et instruments
�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
77
Objet et image réels ou virtuels ■ Foyers ■ Grandissement, grossissement ■ Miroir plan ■ Lentilles, lentilles minces
■ Constructions ■ Lois de conjugaison ■ L’œil ■ Association de lentilles.
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
■
7.Introduction au monde quantique
�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 93
■ Dualité onde-corpuscule ■ Effet photo-électrique ■ Relation de de Broglie ■ Fonction d’onde, probabilité de
présence ■ Inégalité de Heisenberg ■ Oscillateur harmonique quantique.
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
8.Circuits dans l’ARQS
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
109
■ Charge et intensité ■ Potentiel et tension ■ Caractéristique de dipôle ■ Lois de nœuds ■ Lois des mailles ■ Résistor,
condensateur, bobine ■ Générateur de Thévenin, de Norton ■ Associations série ou parallèle de dipôles.
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
9.Régimes transitoires
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
129
Oscillateurs ■ Excitation, réponse, régime ■ Circuits du premier ordre RC et RL ■ Circuit du second ordre RLC
■ Oscillateur mécanique amorti ■ Analogie électro-mécanique ■ Portrait de phase.
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
■
10.Oscillations forcées
■
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
Régime sinusoïdal et résolution complexe ■ Résonances ■ Bande passante ■ Impédance ■ Méthode de Fresnel.
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
4 Physique PCSI
159
11.Filtrage linéaire
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
185
Moyenne, valeur efficace ■ Filtre, fonction de transfert, gain, gain en décibel ■ Diagrammes de Bode ■ Filtres du
premier ordre ■ Filtres du second ordre ■ Moyenneur, dérivateur, intégrateur ■ Filtres en cascade ■ Gabarit.
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
■
PARTIE 2 – MÉCANIQUE
12.Cinématique
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 215
Référentiels ■ Systèmes de coordonnées, déplacement élémentaire ■ Vitesse, accélération ■ Mouvement rectiligne
■ Mouvement parabolique ■ Mouvement circulaire ■ Translation et rotation d’un solide.
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
■
13.Dynamique
�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
235
Quantité de mouvement ■ Référentiel galiléen ■ Principe fondamental de la dynamique ■ Théorème de la résultante
cinétique ■ Forces de contact, forces à distance ■ Réactions, lois de Coulomb.
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
■
14.Énergie en mécanique
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
261
Travail, puissance ■ Énergie cinétique ■ Force conservative, énergie potentielle ■ Théorèmes de l’énergie cinétique
et de la puissance cinétique ■ Théorème de l’énergie mécanique ■ Équilibre et stabilité.
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
■
15.Particules chargées dans un champ
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
279
Champ uniforme, stationnaire ■ Accélération d’une charge par un champ électrique ■ Déviation d’une charge par
un champ magnétique.
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
■
16.Théorème du moment cinétique ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 297
■
Moment d’une force ■ Moment cinétique ■ Théorème du moment cinétique vectoriel et scalaire.
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
17.Mouvements à forces centrales
■
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
309
Centre de force ■ Invariants du mouvement ■ Loi des Aires ■ Forces Newtoniennes ■ Lois de Kepler ■ Satellites.
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
18.Mécanique des systèmes
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
327
Quantité de mouvement ■ Centre d’inertie ■ Moment cinétique ■ Moment d’inertie ■ Action mécanique, couple,
liaison pivot ■ PFD ■ Conservation de la quantité de mouvement, du moment cinétique ■ Théorèmes énergétiques.
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
■
PARTIE 3 – THERMODYNAMIQUE
19. Description des systèmes thermodynamiques
��������������������������������������������������������������������������������������������
345
■ Grandeurs et fonctions d’état ■ Température, pression, volume ■ Équilibre thermodynamique ■ Énergie interne, capacité
thermique à volume constant ■ Gaz parfait, équation d’état ■ Température et pression cinétiques ■ Phase condensée.
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
5
20. Échanges énergétiques au cours d’une transformation
�����������������������������������������������������������������������
365
■ Transformation
(réversible, isobare, isochore, isotherme, adiabatique) ■ Diagramme de Watt et de Clapeyron (P,V)
mécanique (travail) ■ Transfert thermique (chaleur) ■ Grandeurs d’échange et fonctions d’état ■ Thermostat.
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376
■ Transfert
21. Premier principe de la thermodynamique
������������������������������������������������������������������������������������������������������
379
■ Énergie interne microscopique et énergie macroscopique ■ Conservation de l’énergie ■ Enthalpie, capacité thermique
à pression constante ■ Relation de Mayer, coefficient adiabatique ■ Détentes de Joule, lois de Joule.
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
22. Second principe de la thermodynamique���������������������������������������������������������������������������������������������������������� 399
■ Entropie ■ Identités thermodynamiques ■ Entropie créée, échangée, bilan entropique ■ Lois de Laplace ■ Diagrammes
entropiques (T,S) ■ Micro-état et macro-état, entropie statistique, définition de Boltzmann ■ Entropie et désordre.
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412
Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
23. Machines thermiques�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 421
■ Moteur,
récepteur, schéma de principe ■ Diagramme de Raveau ■ Inégalité de Clausius ■ Efficacité et rendement
et rendements de Carnot ■ Premier principe industriel (machine à écoulement) ■ Diagramme de Mollier.
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439
Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441
■ Cycles
24. Changements d’état du corps pur �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 445
■ Transitions
de phase ■ Diagramme (P,T), point triple, point critique ■ Diagramme (P,v), courbes de saturation
d’Andrews ■ Enthalpie et entropie massiques ■ Titre molaire, massique ■ Théorèmes des moments.
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456
Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459
■ Isothermes
25. Statique des fluides������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 467
■ Forces
surfaciques et volumiques ■ Expression des forces de pression ■ Principe fondamental de l’hydrostatique
Pression dans un liquide ■ Pression dans un gaz, cas de l’atmosphère isotherme ■ Interprétation statistique de
Boltzmann ■ Poussée d’Archimède.
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480
Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482
■
PARTIE 4 – ELECTROMAGNÉTISME
26. Champ magnétique
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
485
■ Spectres et lignes de champ ■ Flux d’un vecteur ■ Symétrie et antisymétrie ■ Aimants, pôles magnétiques ■ Champs
créés par un courant (fil, spire, bobine, solénoïde) ■ Dipôle magnétique, moment magnétique ■ Force de Laplace,
action sur une tige, sur un cadre ■ Dipôle magnétique dans un champ.
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499
Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501
27. Induction électromagnétique
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
509
■ Loi de Lenz, loi de Faraday ■ Induction de Neumann, de Lorentz ■ Auto-induction, induction mutuelle ■ Transformateur,
alternateur ■ Rails de Laplace ■ Conversion électro-mécanique ■ Haut-parleur ■ Machine à courant continu.
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524
Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527
ANNEXES
Base de données
■
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
537
Système international d’unités ■ Constantes physiques ■ Grandeurs astronomiques, atomiques, usuelles.
Index (mots-clés et points méthode)������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 541
6 Physique PCSI
Propagation d’ondes
3
Un polariseur se présente comme un disque dont l’axe est généralement disposé selon l’axe de propagation (Oz) de la lumière, la direction de polarisation (Op) est en général réglable avec un curseur ou
simplement en tournant le polariseur.
On envoie de la lumière polarisée rectilignement selon
Direction
une direction (Op0) sur un polariseur de direction de polade polarisation
y
de la lumière
risation (Op), telles que (Op0) et (Op) forment un angle a.
Direction
On peut décomposer le champ électrique incident (orienté
de polarisation
du polariseur
suivant (Op0)) en une composante parallèle à (Op) et une
x
composante orthogonale à (Op). Seule la première passe
z
le polariseur, la composante orthogonale est éliminée.
Direction
On peut choisir de noter (Ox) la direction (Op) du polaride propagation
de la lumière
seur, (Oy) la direction orthogonale et ex et ey leurs vecteurs
Polariseur
unitaires directeurs respectifs. Alors le champ électrique
y
incident se décompose suivant : E0 = E x ex + E y ey = E0 e0
À la sortie du polariseur, le champ électrique est : Es = E x ex = E0 cos a ex
Ey
p0
E0
On note que : ES = Ex = E0 cosa
ey e0
a
Deux cas particuliers sont intéressants :
Ex x p
ex
➥ Si (Op0) et (Op) sont confondues (a = 0), le champ incident est suivant
Es E
e
E0
(Ox), toute la lumière passe, il n’y a pas de modification à la traversée du polariseur :
x x
est suivant (Oy), le champ électrique
➥ Si (Op0) et (Op) sont orthogonales (a = p/2), le champ incident
est arrêté, il n’y a pas de lumière à la sortie du polariseur : 
Es E
0.
x ex
■■ Le polariseur permet ici de déterminer des caractéristiques de la lumière incidente, on l’appelle un
analyseur, la lumière incidente polarisée pouvant par ailleurs avoir été créée par un premier polariseur.
■■
3. Loi de Malus
Avec les mêmes notations que dans le paragraphe précédent, l’intensité lumineuse incidente I0 et l’intensité lumineuses IS sortant du polariseur s’écrivent respectivement :
2
2
2
2
I 0  K E0 
Es
K E0 cos2 a  K E0 cos2 a (a indépendant du temps)
et I S K
D’où : I S = I 0 cos a, relation qui confirme qu’on peut éteindre la lumière incidente (IS = 0) avec un
analyseur perpendiculaire à la polarisation incidente (a = 90°).
2
Énoncé
Loi de Malus : L’intensité lumineuse IS à la sortie d’un polariseur dépend de l’angle a entre la direction de polarisation de la lumière incidente et celle du polariseur ainsi que de l’intensité de la lumière
incidente I0 :
I s = I0 cos 2 a
■■ Le cinéma 3D fonctionne selon ce principe : deux images correspondant à la vision qu’aurait chaque
œil du spectateur sont projetées en lumière polarisée différemment l’une de l’autre. Les lunettes sont
formées de polariseurs dont la direction de polarisation est liée à celle de l’image correspondante (œil
droit ou gauche). On peut le vérifier en regardant à travers un seul côté des lunettes et en faisant pivoter
la monture, on éteindra l’une ou l’autre image à chaque rotation de 90°.
Partie 1 – Signaux 35
3
Propagation d’ondes
VERS LA COLLE
Questions de cours
Que signifie « faire l’analyse spectrale d’un signal » ? Que signifie « réaliser la synthèse spectrale
d’un signal » ?
■■ Différentes expressions de l’onde progressive, de l’onde progressive unidirectionnelle.
■■ Définition d’une onde progressive périodique ; mise en évidence de sa double périodicité.
■■ Définition d’une onde progressive sinusoïdale ; mise en évidence de sa double périodicité.
■■ À partir de l’expression de l’onde progressive sinusoïdale, déterminer sa fréquence, sa période, sa
pulsation, son vecteur d’onde.
■■ Onde électromagnétique polarisée, intensité lumineuse, loi de Malus.
■■
Erreurs à éviter
Il faut bien lire l’énoncé pour partir sur le bon modèle de l’onde : une onde progressive n’est pas forcément sinusoïdale, une onde n’est pas nécessairement périodique…
■■ Attention au sens de propagation (vers les x positifs ou négatifs).
■■
Quelques « trucs » utiles
■■
Pour étudier l’évolution temporelle d’un point au passage de l’onde, il est souvent commode de
représenter l’onde à un instant t, puis à un instant ultérieur proche, on voit alors comment évoluent
les points.
Sens de propagation
s
Le point P
monte entre
t1 et t2
Onde
à l’instant
t2 = t1 + D t
Onde
à l’instant t1
M
x
P
Le point M
descend entre
t1 et t2
D’une façon générale, il est commode de représenter les courbes en fonction du temps en utilisant la
période T comme unité de représentation et de représenter les courbes en fonction de la position x en
utilisant la longueur d’onde l comme unité de représentation, ce qui suppose de les déterminer dès le
départ. La double périodicité apparaît alors clairement et permet de représenter aisément les différentes
courbes. Il est également recommandé de représenter les signaux sur plus d’une période.
■■ Inutile d’apprendre de nombreuses formules par cœur, on retiendra par contre les 4 relations suivantes :
2p
1
2p
k=
(définition de la fréquence)
 ; l = cT (définition de l)  ; f =
et w =
T
l
T
De nombreuses autres relations peuvent être nécessaires dans les calculs, il est inutile de les apprendre
par cœur, car elles se retrouvent aisément si l’on a mémorisé les 4 précédentes :
c
c
w  2p f ; w  ck ; l  2p
…
f
w
■■
36 Physique PCSI
Propagation d’ondes
EXERCICES
3
Conseils
L’exercice n° 1 est facile, mais nécessite de connaître ses formules de trigonométrie. Les exercices
n° 2, 3 et 5 sont des applications du cours. L’exercice n° 4 illustre les différentes façons de décrire
une onde progressive (fonction du temps ou fonction de la position).
1 Spectre d’un produit de fonctions sinusoïdales 
➔ corrigé p. 38
p

Faire l’analyse spectrale du signal f (t ) = 2 cos(100p t )cos  200p t + 
3

2 Onde progressive sinusoïdale 
➔ corrigé p. 38
Une onde progressive sinusoïdale se déplace sur l’axe (Ox) selon les x positifs. Son amplitude est de
10 cm, la longueur d’onde est de 0,50 m et la fréquence est de 10 Hz. À t = 0, une particule située en
x = 0 est à la position y = – 0,1 m. Déterminer la fonction y(x,t) qui représente l’onde.
3 Représentations d’une onde progressive sinusoïdale 
On a représenté une onde progressive unidirectionnelle
sinusoïdale à deux instants. Entre les deux dates, elle s’est
déplacée de 1 m vers la gauche.
1Donner l’expression de s(x,t) et préciser ses caractéristiques.
2Représenter l’évolution temporelle du déplacement des
points d’abscisse x = 0, x = 1 m et x = 2 m.
➔ corrigé p. 39
0.08
àt=0
0.06
àt=2s
0.04
0.02
0
-0.02
1
2
x
3
4 x (m)
-0.04
-0.06
-0.08
4 Train d’onde 
➔ corrigé p. 40
Une onde se propage selon (Ox) positif à la vitesse c = 3 m.s–1 (distances en mètres, temps en secondes).
 F ( x ) = 2 sin(2p x ) pour 0 ≤ x ≤ 1
À t = 0, elle est décrite par : 
 F ( x ) = 0 pour x > 1
1Représenter F(x).
2Déterminer le signal s(x,t) en x et à la date t.
3Représenter s(x,2) et s(3,t).
5 Modulation par polariseur tournant 
➔ corrigé p. 41
Un faisceau de lumière naturelle, non polarisée, d’intensité I0 est dirigé vers deux polariseurs P1 et P2,
tous deux orthogonaux à la direction de propagation du faisceau incident (axes des disques colinéaires à
la direction de propagation de la lumière). Le premier est fixe, le second tourne à la vitesse angulaire w
autour de son axe. Déterminer l’intensité lumineuse IS à la sortie du second polariseur. (On admettra que
le temps caractéristique du mouvement du polariseur est très grand devant le temps caractéristique de
calcul de la moyenne de l’intensité lumineuse, ce qui permet d’utiliser la loi de Malus). En déduire la
fréquence d’extinction de la lumière sortante.
Partie 1 – Signaux 37
3
Propagation d’ondes
CORRIGÉS
N. B. : Sauf indications contraires, dans les expressions numériques des signaux, les distances sont en
mètres et les temps en secondes.
1 Spectre d’un produit de fonctions sinusoïdales
➔ énoncé p. 37
Bien comprendre
Faire l’analyse spectrale nécessite d’écrire le signal comme une somme de termes sinusoïdaux. Il suffit
alors d’identifier pour chaque terme sa fréquence, son amplitude et sa phase.
p

Il faut écrire f (t ) = 2 cos(100p t )cos  200p t +  comme une somme de termes sinusoïdaux.
3

1
➥ Outils : Un peu de trigonométrie : cos a.cos b = ( cos(a + b) + cos(a − b) )
2
p
p


f ( t ) = cos  100p t +  + cos  300p t +  On rappelle : cos(–x) = cos(x)


3
3
D’où :
On voit que f(t) s’écrit comme la somme de deux signaux sinusoïdaux ; le premier est d’amplitude 1, de pulp
100p
sation 100p et donc de fréquence

f
 50 Hz, de phase initiale  ; le second est aussi d’amplitude 1
3
2p
p
, mais de pulsation trois fois plus grande, donc de fréquence trois fois plus grande
et de phase initiale
3
(150 Hz). D’où les spectres en amplitude et en phase.
Amplitude
Phase
p
3
1
50
150 Fréquence (Hz)
50
150
Fréquence (Hz)
2 Onde progressive sinusoïdale
➔ énoncé p. 37
L’onde correspond à un déplacement selon l’axe des y qui se propage suivant x. On rappelle la forme générale
d’une onde progressive sinusoïdale, puis on reconnaît les différents termes :
y( x, t ) = A cos ( wt ± kx + f )
L’onde se déplace vers les x positifs, c’est donc la solution suivante qui convient :
y( x, t ) = A cos ( wt − kx + f )
L’énoncé donne l’amplitude A = 10 cm = 0,10 m. La longueur d’onde vaut l = 0,50 m, donc :
k=
2p 2p
=
= 4p rad.m −1
0, 5
l
La fréquence est f = 10 Hz, donc : w = 2p f = 20p rad.s -1  ; T = 1/f = 0,1 s ; c = w/k = 5 m.s–1
Finalement :
y( x, t ) = 0,10 cos ( 20p t − 4p x + f ) .
L’énoncé précise qu’à t = 0 et en x = 0, le déplacement vaut – 0,1 m, donc y(0,0) = – 0,1.
38 Physique PCSI
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