Sommaire 1.Réussir en physique �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 7 Méthodes d’apprentissage ■ Méthodes de résolution ■ Utilisation de l’ouvrage ■ Conseils. PARTIE 1 – SIGNAUX 2.L’oscillateur harmonique ■ 13 Système masse-ressort ■ Équations différentielles ■ Équation aux dimensions ■ Énergies. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.Propagation d’ondes ■ ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 27 Signal ■ Période, fréquence ■ Analyse spectrale ■ Onde progressive ■ Longueur d’onde ■ Polarisation de la lumière. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.Superposition d’ondes ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 43 ■ Représentation de Fresnel ■ Interférences ■ Battements ■ Ondes stationnaires et modes propres d’une corde ■ Diffraction. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 5.Lois de l’optique géométrique ■ Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 61 Sources ■ Indice, dispersion ■ Réflexion ■ Réfraction ■ Objet, image ■ Stigmatisme, aplanétisme ■ Conditions de Gauss. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 6.Lentilles et instruments ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 77 Objet et image réels ou virtuels ■ Foyers ■ Grandissement, grossissement ■ Miroir plan ■ Lentilles, lentilles minces ■ Constructions ■ Lois de conjugaison ■ L’œil ■ Association de lentilles. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 ■ 7.Introduction au monde quantique �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 93 ■ Dualité onde-corpuscule ■ Effet photo-électrique ■ Relation de de Broglie ■ Fonction d’onde, probabilité de présence ■ Inégalité de Heisenberg ■ Oscillateur harmonique quantique. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 8.Circuits dans l’ARQS ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 109 ■ Charge et intensité ■ Potentiel et tension ■ Caractéristique de dipôle ■ Lois de nœuds ■ Lois des mailles ■ Résistor, condensateur, bobine ■ Générateur de Thévenin, de Norton ■ Associations série ou parallèle de dipôles. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 9.Régimes transitoires ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 129 Oscillateurs ■ Excitation, réponse, régime ■ Circuits du premier ordre RC et RL ■ Circuit du second ordre RLC ■ Oscillateur mécanique amorti ■ Analogie électro-mécanique ■ Portrait de phase. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 ■ 10.Oscillations forcées ■ ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ Régime sinusoïdal et résolution complexe ■ Résonances ■ Bande passante ■ Impédance ■ Méthode de Fresnel. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 4 Physique PCSI 159 11.Filtrage linéaire �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 185 Moyenne, valeur efficace ■ Filtre, fonction de transfert, gain, gain en décibel ■ Diagrammes de Bode ■ Filtres du premier ordre ■ Filtres du second ordre ■ Moyenneur, dérivateur, intégrateur ■ Filtres en cascade ■ Gabarit. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 ■ PARTIE 2 – MÉCANIQUE 12.Cinématique ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 215 Référentiels ■ Systèmes de coordonnées, déplacement élémentaire ■ Vitesse, accélération ■ Mouvement rectiligne ■ Mouvement parabolique ■ Mouvement circulaire ■ Translation et rotation d’un solide. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 ■ 13.Dynamique ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 235 Quantité de mouvement ■ Référentiel galiléen ■ Principe fondamental de la dynamique ■ Théorème de la résultante cinétique ■ Forces de contact, forces à distance ■ Réactions, lois de Coulomb. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 ■ 14.Énergie en mécanique ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 261 Travail, puissance ■ Énergie cinétique ■ Force conservative, énergie potentielle ■ Théorèmes de l’énergie cinétique et de la puissance cinétique ■ Théorème de l’énergie mécanique ■ Équilibre et stabilité. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 ■ 15.Particules chargées dans un champ ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 279 Champ uniforme, stationnaire ■ Accélération d’une charge par un champ électrique ■ Déviation d’une charge par un champ magnétique. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290 ■ 16.Théorème du moment cinétique ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 297 ■ Moment d’une force ■ Moment cinétique ■ Théorème du moment cinétique vectoriel et scalaire. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 17.Mouvements à forces centrales ■ �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 309 Centre de force ■ Invariants du mouvement ■ Loi des Aires ■ Forces Newtoniennes ■ Lois de Kepler ■ Satellites. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320 18.Mécanique des systèmes ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 327 Quantité de mouvement ■ Centre d’inertie ■ Moment cinétique ■ Moment d’inertie ■ Action mécanique, couple, liaison pivot ■ PFD ■ Conservation de la quantité de mouvement, du moment cinétique ■ Théorèmes énergétiques. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336 Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337 ■ PARTIE 3 – THERMODYNAMIQUE 19. Description des systèmes thermodynamiques �������������������������������������������������������������������������������������������� 345 ■ Grandeurs et fonctions d’état ■ Température, pression, volume ■ Équilibre thermodynamique ■ Énergie interne, capacité thermique à volume constant ■ Gaz parfait, équation d’état ■ Température et pression cinétiques ■ Phase condensée. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362 5 20. Échanges énergétiques au cours d’une transformation ����������������������������������������������������������������������� 365 ■ Transformation (réversible, isobare, isochore, isotherme, adiabatique) ■ Diagramme de Watt et de Clapeyron (P,V) mécanique (travail) ■ Transfert thermique (chaleur) ■ Grandeurs d’échange et fonctions d’état ■ Thermostat. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375 Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376 ■ Transfert 21. Premier principe de la thermodynamique ������������������������������������������������������������������������������������������������������ 379 ■ Énergie interne microscopique et énergie macroscopique ■ Conservation de l’énergie ■ Enthalpie, capacité thermique à pression constante ■ Relation de Mayer, coefficient adiabatique ■ Détentes de Joule, lois de Joule. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389 Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391 22. Second principe de la thermodynamique���������������������������������������������������������������������������������������������������������� 399 ■ Entropie ■ Identités thermodynamiques ■ Entropie créée, échangée, bilan entropique ■ Lois de Laplace ■ Diagrammes entropiques (T,S) ■ Micro-état et macro-état, entropie statistique, définition de Boltzmann ■ Entropie et désordre. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412 Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414 23. Machines thermiques�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 421 ■ Moteur, récepteur, schéma de principe ■ Diagramme de Raveau ■ Inégalité de Clausius ■ Efficacité et rendement et rendements de Carnot ■ Premier principe industriel (machine à écoulement) ■ Diagramme de Mollier. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439 Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441 ■ Cycles 24. Changements d’état du corps pur �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 445 ■ Transitions de phase ■ Diagramme (P,T), point triple, point critique ■ Diagramme (P,v), courbes de saturation d’Andrews ■ Enthalpie et entropie massiques ■ Titre molaire, massique ■ Théorèmes des moments. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456 Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459 ■ Isothermes 25. Statique des fluides������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 467 ■ Forces surfaciques et volumiques ■ Expression des forces de pression ■ Principe fondamental de l’hydrostatique Pression dans un liquide ■ Pression dans un gaz, cas de l’atmosphère isotherme ■ Interprétation statistique de Boltzmann ■ Poussée d’Archimède. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480 Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482 ■ PARTIE 4 – ELECTROMAGNÉTISME 26. Champ magnétique ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 485 ■ Spectres et lignes de champ ■ Flux d’un vecteur ■ Symétrie et antisymétrie ■ Aimants, pôles magnétiques ■ Champs créés par un courant (fil, spire, bobine, solénoïde) ■ Dipôle magnétique, moment magnétique ■ Force de Laplace, action sur une tige, sur un cadre ■ Dipôle magnétique dans un champ. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499 Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501 27. Induction électromagnétique ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 509 ■ Loi de Lenz, loi de Faraday ■ Induction de Neumann, de Lorentz ■ Auto-induction, induction mutuelle ■ Transformateur, alternateur ■ Rails de Laplace ■ Conversion électro-mécanique ■ Haut-parleur ■ Machine à courant continu. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524 Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527 ANNEXES Base de données ■ �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 537 Système international d’unités ■ Constantes physiques ■ Grandeurs astronomiques, atomiques, usuelles. Index (mots-clés et points méthode)������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 541 6 Physique PCSI Propagation d’ondes 3 Un polariseur se présente comme un disque dont l’axe est généralement disposé selon l’axe de propagation (Oz) de la lumière, la direction de polarisation (Op) est en général réglable avec un curseur ou simplement en tournant le polariseur. On envoie de la lumière polarisée rectilignement selon Direction une direction (Op0) sur un polariseur de direction de polade polarisation y de la lumière risation (Op), telles que (Op0) et (Op) forment un angle a. Direction On peut décomposer le champ électrique incident (orienté de polarisation du polariseur suivant (Op0)) en une composante parallèle à (Op) et une x composante orthogonale à (Op). Seule la première passe z le polariseur, la composante orthogonale est éliminée. Direction On peut choisir de noter (Ox) la direction (Op) du polaride propagation de la lumière seur, (Oy) la direction orthogonale et ex et ey leurs vecteurs Polariseur unitaires directeurs respectifs. Alors le champ électrique y incident se décompose suivant : E0 = E x ex + E y ey = E0 e0 À la sortie du polariseur, le champ électrique est : Es = E x ex = E0 cos a ex Ey p0 E0 On note que : ES = Ex = E0 cosa ey e0 a Deux cas particuliers sont intéressants : Ex x p ex ➥ Si (Op0) et (Op) sont confondues (a = 0), le champ incident est suivant Es E e E0 (Ox), toute la lumière passe, il n’y a pas de modification à la traversée du polariseur : x x est suivant (Oy), le champ électrique ➥ Si (Op0) et (Op) sont orthogonales (a = p/2), le champ incident est arrêté, il n’y a pas de lumière à la sortie du polariseur : Es E 0. x ex ■■ Le polariseur permet ici de déterminer des caractéristiques de la lumière incidente, on l’appelle un analyseur, la lumière incidente polarisée pouvant par ailleurs avoir été créée par un premier polariseur. ■■ 3. Loi de Malus Avec les mêmes notations que dans le paragraphe précédent, l’intensité lumineuse incidente I0 et l’intensité lumineuses IS sortant du polariseur s’écrivent respectivement : 2 2 2 2 I 0 K E0 Es K E0 cos2 a K E0 cos2 a (a indépendant du temps) et I S K D’où : I S = I 0 cos a, relation qui confirme qu’on peut éteindre la lumière incidente (IS = 0) avec un analyseur perpendiculaire à la polarisation incidente (a = 90°). 2 Énoncé Loi de Malus : L’intensité lumineuse IS à la sortie d’un polariseur dépend de l’angle a entre la direction de polarisation de la lumière incidente et celle du polariseur ainsi que de l’intensité de la lumière incidente I0 : I s = I0 cos 2 a ■■ Le cinéma 3D fonctionne selon ce principe : deux images correspondant à la vision qu’aurait chaque œil du spectateur sont projetées en lumière polarisée différemment l’une de l’autre. Les lunettes sont formées de polariseurs dont la direction de polarisation est liée à celle de l’image correspondante (œil droit ou gauche). On peut le vérifier en regardant à travers un seul côté des lunettes et en faisant pivoter la monture, on éteindra l’une ou l’autre image à chaque rotation de 90°. Partie 1 – Signaux 35 3 Propagation d’ondes VERS LA COLLE Questions de cours Que signifie « faire l’analyse spectrale d’un signal » ? Que signifie « réaliser la synthèse spectrale d’un signal » ? ■■ Différentes expressions de l’onde progressive, de l’onde progressive unidirectionnelle. ■■ Définition d’une onde progressive périodique ; mise en évidence de sa double périodicité. ■■ Définition d’une onde progressive sinusoïdale ; mise en évidence de sa double périodicité. ■■ À partir de l’expression de l’onde progressive sinusoïdale, déterminer sa fréquence, sa période, sa pulsation, son vecteur d’onde. ■■ Onde électromagnétique polarisée, intensité lumineuse, loi de Malus. ■■ Erreurs à éviter Il faut bien lire l’énoncé pour partir sur le bon modèle de l’onde : une onde progressive n’est pas forcément sinusoïdale, une onde n’est pas nécessairement périodique… ■■ Attention au sens de propagation (vers les x positifs ou négatifs). ■■ Quelques « trucs » utiles ■■ Pour étudier l’évolution temporelle d’un point au passage de l’onde, il est souvent commode de représenter l’onde à un instant t, puis à un instant ultérieur proche, on voit alors comment évoluent les points. Sens de propagation s Le point P monte entre t1 et t2 Onde à l’instant t2 = t1 + D t Onde à l’instant t1 M x P Le point M descend entre t1 et t2 D’une façon générale, il est commode de représenter les courbes en fonction du temps en utilisant la période T comme unité de représentation et de représenter les courbes en fonction de la position x en utilisant la longueur d’onde l comme unité de représentation, ce qui suppose de les déterminer dès le départ. La double périodicité apparaît alors clairement et permet de représenter aisément les différentes courbes. Il est également recommandé de représenter les signaux sur plus d’une période. ■■ Inutile d’apprendre de nombreuses formules par cœur, on retiendra par contre les 4 relations suivantes : 2p 1 2p k= (définition de la fréquence) ; l = cT (définition de l) ; f = et w = T l T De nombreuses autres relations peuvent être nécessaires dans les calculs, il est inutile de les apprendre par cœur, car elles se retrouvent aisément si l’on a mémorisé les 4 précédentes : c c w 2p f ; w ck ; l 2p … f w ■■ 36 Physique PCSI Propagation d’ondes EXERCICES 3 Conseils L’exercice n° 1 est facile, mais nécessite de connaître ses formules de trigonométrie. Les exercices n° 2, 3 et 5 sont des applications du cours. L’exercice n° 4 illustre les différentes façons de décrire une onde progressive (fonction du temps ou fonction de la position). 1 Spectre d’un produit de fonctions sinusoïdales ➔ corrigé p. 38 p Faire l’analyse spectrale du signal f (t ) = 2 cos(100p t )cos 200p t + 3 2 Onde progressive sinusoïdale ➔ corrigé p. 38 Une onde progressive sinusoïdale se déplace sur l’axe (Ox) selon les x positifs. Son amplitude est de 10 cm, la longueur d’onde est de 0,50 m et la fréquence est de 10 Hz. À t = 0, une particule située en x = 0 est à la position y = – 0,1 m. Déterminer la fonction y(x,t) qui représente l’onde. 3 Représentations d’une onde progressive sinusoïdale On a représenté une onde progressive unidirectionnelle sinusoïdale à deux instants. Entre les deux dates, elle s’est déplacée de 1 m vers la gauche. 1Donner l’expression de s(x,t) et préciser ses caractéristiques. 2Représenter l’évolution temporelle du déplacement des points d’abscisse x = 0, x = 1 m et x = 2 m. ➔ corrigé p. 39 0.08 àt=0 0.06 àt=2s 0.04 0.02 0 -0.02 1 2 x 3 4 x (m) -0.04 -0.06 -0.08 4 Train d’onde ➔ corrigé p. 40 Une onde se propage selon (Ox) positif à la vitesse c = 3 m.s–1 (distances en mètres, temps en secondes). F ( x ) = 2 sin(2p x ) pour 0 ≤ x ≤ 1 À t = 0, elle est décrite par : F ( x ) = 0 pour x > 1 1Représenter F(x). 2Déterminer le signal s(x,t) en x et à la date t. 3Représenter s(x,2) et s(3,t). 5 Modulation par polariseur tournant ➔ corrigé p. 41 Un faisceau de lumière naturelle, non polarisée, d’intensité I0 est dirigé vers deux polariseurs P1 et P2, tous deux orthogonaux à la direction de propagation du faisceau incident (axes des disques colinéaires à la direction de propagation de la lumière). Le premier est fixe, le second tourne à la vitesse angulaire w autour de son axe. Déterminer l’intensité lumineuse IS à la sortie du second polariseur. (On admettra que le temps caractéristique du mouvement du polariseur est très grand devant le temps caractéristique de calcul de la moyenne de l’intensité lumineuse, ce qui permet d’utiliser la loi de Malus). En déduire la fréquence d’extinction de la lumière sortante. Partie 1 – Signaux 37 3 Propagation d’ondes CORRIGÉS N. B. : Sauf indications contraires, dans les expressions numériques des signaux, les distances sont en mètres et les temps en secondes. 1 Spectre d’un produit de fonctions sinusoïdales ➔ énoncé p. 37 Bien comprendre Faire l’analyse spectrale nécessite d’écrire le signal comme une somme de termes sinusoïdaux. Il suffit alors d’identifier pour chaque terme sa fréquence, son amplitude et sa phase. p Il faut écrire f (t ) = 2 cos(100p t )cos 200p t + comme une somme de termes sinusoïdaux. 3 1 ➥ Outils : Un peu de trigonométrie : cos a.cos b = ( cos(a + b) + cos(a − b) ) 2 p p f ( t ) = cos 100p t + + cos 300p t + On rappelle : cos(–x) = cos(x) 3 3 D’où : On voit que f(t) s’écrit comme la somme de deux signaux sinusoïdaux ; le premier est d’amplitude 1, de pulp 100p sation 100p et donc de fréquence f 50 Hz, de phase initiale ; le second est aussi d’amplitude 1 3 2p p , mais de pulsation trois fois plus grande, donc de fréquence trois fois plus grande et de phase initiale 3 (150 Hz). D’où les spectres en amplitude et en phase. Amplitude Phase p 3 1 50 150 Fréquence (Hz) 50 150 Fréquence (Hz) 2 Onde progressive sinusoïdale ➔ énoncé p. 37 L’onde correspond à un déplacement selon l’axe des y qui se propage suivant x. On rappelle la forme générale d’une onde progressive sinusoïdale, puis on reconnaît les différents termes : y( x, t ) = A cos ( wt ± kx + f ) L’onde se déplace vers les x positifs, c’est donc la solution suivante qui convient : y( x, t ) = A cos ( wt − kx + f ) L’énoncé donne l’amplitude A = 10 cm = 0,10 m. La longueur d’onde vaut l = 0,50 m, donc : k= 2p 2p = = 4p rad.m −1 0, 5 l La fréquence est f = 10 Hz, donc : w = 2p f = 20p rad.s -1 ; T = 1/f = 0,1 s ; c = w/k = 5 m.s–1 Finalement : y( x, t ) = 0,10 cos ( 20p t − 4p x + f ) . L’énoncé précise qu’à t = 0 et en x = 0, le déplacement vaut – 0,1 m, donc y(0,0) = – 0,1. 38 Physique PCSI