Le niveau de l’eau baisse si la constante de proportionnalité est négative, c’est-à-dire
si la raideur k du ressort est inférieure à la valeur critique n0 Sg
k =. Soit avec un réservoir
cylindrique de 4 cm de rayon, k0 = 50 N.m-1. Cette condition est supposée réalisée par la
suite. L’équation (7) devient :
1
h
S )(
0
n
n
−
∆
=∆
k
k
mn
(8)
Ainsi, le réservoir « P » est l’analogue du système thermodynamique « P », tandis
que le réservoir « N » est l’analogue du système thermodynamique « N ».
– puisque les deux réservoirs peuvent échanger le fluide qu’ils contiennent :
)m( )m( np ∆−=∆ (9)
On ouvre maintenant le robinet, et l’on étudie l’évolution du système. La conservation
de la masse permet de déduire la variation de l’écart d’altitude des plans d’eau en fonction
de la variation du niveau hp de l’eau dans le réservoir « P » :
()
p
h
k
k∆
=∆ 1 - 1 -
Sn
Sp
h - h 0
pn (10)
Le signe de
()
pn h - h
∆ nous renseigne quant à l’évolution de l’écart pn h - h des niveaux d’eau
dans les deux réservoirs : pn h - h >0, si
()
pn h - h
∆ est négatif, le système tend vers l’état
d’équilibre - et si
()
pn h - h
∆ est positif, l’état d’équilibre ne peut pas être atteint. La situation
initiale va déterminer les différents cas possibles.
♦ hp > hn
Le réservoir « P » se vide dans le réservoir « N ». Les deux niveaux hp et hn
descendent ( 0 hp<∆ ). L’équilibre ne peut être atteint que si l’écart des niveaux d’eau se
réduit (
()
0 h - h np <∆ ), c’est-à-dire, si :
<
1 -
Sn
Sp
0
k
k(11)
Si cette condition structurale du dispositif n’est pas réalisée, le réservoir « P » se vide
entièrement dans « N ». L’analogie avec le système thermodynamique présente peu
d’intérêt puisqu’elle correspondrait à un système dont l’échelle de températures serait
démunie de point origine.
♦ hn > hp
Le réservoir « N » se vide dans le réservoir « P ». Les deux niveaux hp et hn montent
(0 hp>∆ ). L’équilibre ne peut être atteint que si l’écart des niveaux d’eau se réduit
(
()
0 h - h pn <∆ ), c’est-à-dire si la relation (11) est satisfaite. Le niveau d’eau monte alors
plus rapidement dans « P » que dans « N » jusqu’à ce que l’équilibre mécanique soit
atteint.
La relation (11) n’est pas satisfaite si, par exemple, le réservoir « P » possède une
trop large dimension. Dans ce cas, le niveau d’eau monte plus lentement dans « P » que
dans « N ». La montée constante du niveau de l’eau du réservoir « N » est le pendant de
BULLETIN DE L’UNION DES PHYSICIENS
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La catastrophe gravothermale illustrée par une expérience... BUP no841 (2) - Cahier enseignement supérieur