Chapitre-2 (1) - Université Kasdi Merbah Ouargla

16/12/2013
Université Kasdi Merbah, Ouargla
Faculté des Sciences Appliquées
Département de Génie Mécanique
Laboratoire. Dynamique, Interaction
et RÉactivité des Systèmes.
Chapitres II:
Les lois fondamentales de la
dynamique des fluides
Présenté par: Dr. Rassim BELAKROUM
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II.1. La deuxième loi de Newton
Le taux de changement de quantité de mouvement d’un système égale la somme
des forces extérieurs appliquées sur le système.
Toute référence ou système de coordonnées pour lesquels cette affirmation est vraie
est appelée inertiel. Un système de coordonnées fixe est inertiel. Un système de
coordonnées qui se déplace en ligne droite à vitesse constante et est donc sans
accélération est également inertiel.
Quand un volume de contrôle coïncide avec un système à un instant de temps, les
forces agissant sur le système et les forces agissant sur le contenu du volume de
contrôle coïncide instantanément , c'est-à-dire,
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A- cas d’un volume de contrôle fixe:
D’après le théorème de Reynolds on a aussi:
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On peut écrire donc:
Exemple d’application 1
Comme le montre la Figure a, un jet horizontal d’eau sort d'une buse avec une vitesse
uniforme de V1=10 ft/ s, frappe une aube, et est tourné d'un angle.
Déterminer la force d'ancrage
nécessaire pour maintenir l’aube
stationnaire si la gravité et la
viscosité sont négligeables.
Remarque :1 ft = 30.48 Centimètres
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Solution:
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1slugs=14.59kg
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Exemple d’application 2
Un système de poussée statique (voir figure), doit être conçu pour l'essai d'un moteur
à réaction. Les conditions suivantes sont connus pour un essai typique: la vitesse de
l’air à l’admission égale 200m/s, la vitesse des gaz d'échappement est 500m/s, la
surface de la section transversale d'admission 1 m2, la pression statique à l’entrée
-22.5kPa, la température à l’entrée 268K et la pression statique à l’échappement est
101 Kpa (abs).
- Estimer la force d'ancrage
nominale.
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Solution:
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B- cas d’un volume de contrôle mobile:
Pour un système inertiel, en mouvement et indéformable l’équation de transport de
quantité de mouvement d’après le théorème de Reynolds s’écrit:
On a donc:
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On peut écrire l’équation précédente sous la forme:
Si la vitesse du volume de contrôle est constante et en plus l’écoulement est
stationnaire à l’intérieur du volume de contrôle . On a:
L’équation de transport de masse s’écrit:
Pour un écoulement stationnaire, on a donc:
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L’équation de quantité de mouvement s’écrit:
Exemple d’application 3
Un obstacle sur des roues en se
déplaçant à une vitesse V0 dévie
un jet d’eau d’une vitesse V1.
La vitesse du jet est 100ft/s et
l’obstacle roulant se déplace à
une vitesse constante de 20ft/s.
Déterminer la magnitude et la direction de la force F exercée par le jet d’eau sur le
corps solide.
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Solution:
Pour la direction des x, on peut écrire:
Donc:
Ou:
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Dans la direction Z, on a:
Pour ce problème la vitesse relative par rapport au volume de contrôle est
constante:
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On aussi:
L’amplitude est :
L’angle de direction:
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II.2. Equation du moment de quantité de mouvement
Dans de nombreux problèmes d'ingénierie, le moment d'une force par rapport à un
axe, à savoir, le couple, est important. La deuxième loi de Newton sur le mouvement
a déjà conduit à une relation utile entre les forces et les flux de quantité de
mouvement.
L'équation de quantité de mouvement peut également être utilisée pour résoudre
des problèmes de couples. Cependant, en formant le moment de la quantité de
mouvement et la force résultante associée à chaque particule de fluide par rapport à
un point dans un système de coordonnées inertiel, nous allons développer une
équation de moment qui concerne les couples et les flux de quantité de mouvement
angulaire pour le contenu d'un volume de contrôle.
Lorsque les couples sont importants, l'équation du moment de quantité de
mouvement
est souvent plus facile à utiliser que l'équation de quantité de
mouvement.
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L’application de la deuxième loi de Newton sur le mouvement pour une particule
fluide conduit à:
Si nous formons le moment de chaque côté de l'équation précédente par rapport à
l'origine d'un système de coordonnées inertiel, on obtient:
On note que:
et
Ainsi, étant donné que:
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L’équation est valide pour toutes les particules d'un système. Donc, on peut écrire:
On note que:
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Pour un volume de contrôle qui coïncident instantanément avec le système, les couples
agissant sur le système et sur le contenu du volume de contrôle sont identiques:
Le théorème de transport de Reynolds conduit à:
L’équation du moment de quantité de mouvement s’écrit:
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Exemple d’application 4
L'eau pénètre dans un arroseur de pelouse rotatif par sa base au taux régulier de
1000 ml/s comme c’est esquissé sur la figure. La zone de sortie de chacune des deux
buses est de 30mm2. Le rayon de rotation de l'axe de chaque buse est de 200 mm
Déterminer le couple résistant
nécessaire pour maintenir à l'arrêt la
tête l’arroseur.
Déterminer le couple résistant si
l’arroseur tourne à une vitesse
constante de 500 tours / min.
Déterminer la vitesse de l'arroseur
si aucun couple résistant n’est
appliqué.
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Solution:
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II.3. L’équation d’énergie
La première loi de la thermodynamique pour un système s’écrit:
Ou bien:
L'énergie totale stockée par unité de masse de chaque particule dans le
système « e », est:
: l'énergie interne par unité de masse.
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Dans de nombreux cas, le travail est transféré à travers la surface de contrôle par un
arbre mobile. C’est le cas des dispositifs rotatifs tels que les turbines, les ventilateurs
et les hélices. Dans ce cas
.
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Pour toutes les particules de fluide sur la surface de contrôle à l'instant considéré, le
transfert de puissance due à la contrainte normale fluide,
La puissance de l’effet des contrainte visqueuses:
Dans le cas ou en peut négliger la contrainte tangentielle du fluide, l’équation
d’énergie s’écrit:
On obtient l’équation d’énergie:
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Exemple d’application 5
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