ICE3 - Circuit mobile dans un champ

Lycée Jean Perrin - Classe de TSI 1 ICE3 - Circuit mobile dans un champ magnétique stationnaire
ICE3 - Circuit mobile dans un champ magnétique stationnaire
Nous allons étudier dans ce chapitre l’autre facette de l’induction, celle de Lorentz où
un circuit est mobile dans un champ magnétique stationnaire, c’est-à-dire constant dans le
temps. Nous en avons déjà vu des exemples lors de l’étude de la force de Lorentz, mais nous
allons en profiter pour utiliser les lois de l’induction et effectuer des bilans énergétiques.
I Conversion de puissance mécanique vers électrique
1) Rails de Laplace
L’étude qui va suivre doit servir de modèle lorsqu’on aborde un système faisant intervenir
à la fois le phénomène d’induction et un déplacement mécanique. On a déjà observé que
l’application d’un courant dans un tel circuit permettait de mettre en mouvement la barre.
On va maintenant présenter le phénomène inverse.
a) Dispositif
On rappelle le dispositif employé, constitué de deux rails conducteurs parallèles, distants
d’une longueur a et reliés par un fil d’un coté, le circuit étant alors fermé électriquement
grâce à une tige mobile conductrice de masse m placée verticalement aux rails et tirée par
une force constante −→ F= F −→ ex.
L’ensemble est plongé dans un champ magnétique permanent −→ B= B −→ ez. On n’oublie pas
enfin d’orienter le circuit, pour fixer le sens du vecteur surface.
b) Principe de fonctionnement
Avant de résoudre des équations, on peut simplement se demander quel phénomène va se
produire. Le déplacement de la tige a pour conséquence l’augmentation de la surface tra-
versée par le champ magnétique, donc du flux magnétique Φ. Il y a donc apparition d’une
force électromotrice induite, en vertu de la loi de Faraday, et donc d’un courant induit.
La barre est alors soumise à une force de Laplace dont on peut prévoir qualitativement le
sens : d’après la loi de Lenz, le courant induit crée une force qui s’oppose au mouvement
qui lui a donné naissance. L’opérateur qui exerce la force −→ Fva donc devoir compenser au
minimum cette force s’il veut maintenir la translation.
c) Equation électrique
Calculons d’abord le flux du champ magnétique. D’après l’orientation de la surface, le vec-
teur surface est orienté selon −→ ezet vaut −→ S= ax(t)−→ ez. Ainsi Φ = −→ B·−→ S= Bax(t). On
peut alors appliquer la loi de Faraday, comme le déplacement de la tige coupe des lignes
de champ durant son déplacement :
e = −dΦ
dt=−Ba dx dt=−Bavx(t)
Le circuit peut être modélisé électriquement en
tenant compte de la résistance des fils et du gé-
nérateur de tension e (attention à l’orientation
de e, qui doit être dans le sens du courant).
On peut alors écrire la loi des mailles :
0 = Ri −e = Ri + Bavx(t)
Remarque : nous avons négligé le phénomène d’auto-induction. En théorie il faudrait ajou-
ter dans le circuit électrique une bobine, et donc ajouter Ldi
dtdans l’équation précédente.
Néanmoins il parait légitime ici de négliger son effet, dans la mesure où l’on a une seule
spire de courant. Cependant ce ne sera pas toujours le cas (confère la deuxième partie).
d) Equation mécanique
L’apparition d’un courant a fait apparaître une force de Laplace, dont nous pouvons
calculer sa norme. En effet, pour une tige rectiligne, la force de Laplace s’exprime
par −→ FL= i(a−→ ey)∧−→ B= iaB−→ ey∧−→ ez= iaB−→ ex. Cette force s’oppose bien au mouvement,
comme le courant est négatif.
Les forces s’exerçant sur la barre sont donc :
•son poids, orienté vers le haut
•la réaction des deux barres parallèles, vers le bas
•la force de Laplace
•la force exercée par l’opérateur.
L’application du principe fondamental de la dynamique conduit alors à
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md−→
v
dt=−→
P+−→ N+−→ F+−→ FLsoit projeté selon l’axe x :
mdvx
dt= iaB + F
On aboutit donc à deux équations couplées, que l’on peut néanmoins très facilement dé-
coupler. En effet i = −Bavx
Ret donc finalement mdvx dt=−B2a2 Rvx+ F que l’on réécrit
sous une forme canonique
dvx
dt+1 τvx=F m
où τ=mR
(Ba)2est un temps caractéristiques.
Plusieurs remarques :
•la force de Laplace est ici équivalente à une force de frottements fluides, s’opposant
ainsi au déplacement de la tige, conformément à notre analyse initiale.
•On aboutit à une équation différentielle du premier ordre, soluble très facilement, où
l’on tend vers une vitesse limite constante caractérisée, comme pour la chute libre,
par l’exacte compensation entre la force de frottements et la force exercée ici par
l’opérateur.
e) Bilan de puissance
Une méthode qui s’applique toujours pour obtenir un bilan de puissance d’un sys-
tème électromécanique consiste à multiplier par i l’équation électrique, et par v
l’équation mécanique
Méthode
Appliquons cette méthode ici, on obtient ei = Ri2=−Bavxiet mdvx
dtvx= Fvx+ iaBvx
où on reconnaît la dérivée de l’énergie cinétique dEc
dt= m dvx dtvxet Ec=1 2mv2
x. On abou-
tit, en éliminant le terme de couplage Bavxi, à dEc
dt= Fv −Ri2soit finalement
Fvx=dEc
dt+ Ri2
Cette équation traduit explicitement les échanges de puissance : la puissance fournie par
la force motrice exercée par l’opérateur permet d’une part de mettre la tige en mouvement
(puissance cinétique) et d’autre part génère un courant qui, si le système n’est pas relié à
un dipôle l’utilisant à bon escient, est simplement dissipé par effet Joule.
En outre, on constate que la puissance de la fém vaut Pfem = ei = −Bavxiet que la
puissance des forces de Laplace vaut l’opposé : PL=−→ FL·−→ v= iaBvx.
Ainsi, et c’est général, pour un circuit mobile dans un champ magnétique
stationnaire, la somme de la puissance de Laplace et de la fém induite est
nulle :
Pfem + PL= 0
2) Freinage par induction
On l’a vu dans l’exemple précédent, la force magnétique qui peut apparaitre à cause du
phénomène d’induction s’oppose au mouvement du conducteur qui a été la cause du phéno-
mène d’induction. Dès qu’il y a conversion de puissance mécanique en puissance électrique,
l’action mécanique de Laplace est une action de freinage, conformément à la loi de Lenz.
Cela a plusieurs applications intéressantes :
•Freinage par induction sur les TGV ou les ca-
mions
•Récupération d’énergie lors de ce freinage, afin
de convertir l’énergie cinétique du véhicule en
énergie électrique (voitures hybrides)
A noter que lorsque le conducteur en mouvement n’est
plus filiforme, la modélisation développée jusqu’à pré-
sent n’est plus valable, mais les phénomènes restent
qualitativement les mêmes. Il y a apparition de cou-
rants induits à l’intérieur du conducteur, répartis dans
tout le volume, et sont appelés courants de Fou-
cault.
Ces derniers provoquent, du fait du champ magnétique, des efforts de Laplace qui vont s’op-
poser au mouvement. On retrouve également les courants de Foucault lorsque le conducteur
est fixe mais le champ magnétique instationnaire, l’exemple le plus simple étant la plaque
à induction, où le courant induit provoque l’échauffement de la casserole.
II Conversion de puissance électrique vers mécanique
Avant de présenter les différents types de moteurs, on va étudier un exemple qui se rap-
proche du rail de Laplace, et qui fait partie du quotidien de tout un chacun : le haut-parleur.
1) Principe
Un haut-parleur est composé d’un aimant permanent et fixe, permettant de créer du fait
de sa géométrie un champ magnétique radial d’intensité constante B. Une membrane de
masse m est reliée mécaniquement à cet aimant par une suspension modélisée par un res-
sort de constante de raideur k. Un cylindre portant un circuit bobiné de longueur lbpeut se
déplacer librement dans l’entrefer de l’aimant. Lorsqu’un courant circule dans la bobine, la
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membrane est mise en mouvement par des forces de Laplace, et crée une onde de pression,
à l’origine du son.
A noter que, comme dans le cas précédent, si une onde de pression vient rencontrer et
mettre en mouvement la membrane, une fém induite pourra être récupérée : c’est le prin-
cipe du microphone ! Bien souvent les systèmes électromécaniques sont réversibles.
2) Mise en équation
a) Equation mécanique
Calculons dans un premier temps la force de Laplace. On négligera l’hélicité de la bobine,
et l’on se place dans un repère cylindrique. B s’exprime par −→ B=−B−→ er(le champ est
dirigé du Sud vers le Nord !), tandis qu’un petit élément d’une spire s’écrit −→ dl = dl−→ eθ.
Par conséquent la force de Laplace élémentaire vaut
−→
dF L= i−→ dl ∧−→ B=−idlB−→ eθ∧−→ er= idlB−→ ez
L’expression est indépendante du courant et du champ, on intègre alors sur tout le fil, de
longueur lb, pour obtenir −→ FL=i lbB−→ ez.
On rend compte du couplage de la membrane avec l’air par des frottements visqueux (sans
frottements, pas d’air déplacé et donc pas de son) de la forme −→ Ff=−γvz−→ ez, tandis que
le ressort exerce une force de rappel de la forme −→ Fr=−kz−→ ezoù la membrane est repérée
par rapport à sa position au repos.
L’application du principe fondamental de la dynamique permet d’aboutir, une fois les forces
projetées selon l’axe z, à
mdvz
dt=−kz −γvz+ ilbB
b) Equation électrique
Si on connaît la résultante des forces de Laplace, ou des moments associés aux
forces de Laplace, il est plus judicieux de calculer directement la fém induite en se
servant du bilan de puissance établi dans la section précédente : Pfem + PL= 0
Méthode
Le calcul du flux du champ magnétique n’est pas aussi évident que dans le système précé-
dent, on va alors se servir de la méthode :
Pfem + PL= 0 = ei + −→ FL·−→ v= ei + ilbBvz
ainsi on obtient directement la fém
e = −lbBvz
Le circuit étant bobiné, il convient de prendre en compte le phénomène d’auto-induction
en introduisant une bobine d’inductance L. La loi des mailles dans le circuit électrique
équivalent permet d’écrire
E = Ri + L di
dt−e
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3) Bilan énergétique
(Entraînez-vous à l’obtenir en écrivant au crayon ou sur une feuille à part)
Interprétation :
III Applications aux systèmes tournants
Le systèmes précédents permettent un calcul aisé ainsi qu’un bilan de puissance quanti-
tatif à partir d’un petit nombre de paramètres. Les principes généraux vont pouvoir être
appliqués sur des objets plus complexes tels que les moteurs, qui bien souvent peuvent
également jouer le rôle de producteur d’électricité (alternateur, dynamo,..).
1) Moteur à courant continu
a) Principe de fonctionne-
ment
On va se baser sur les résultats obtenus au
chapitre ICE1 : un cadre mobile (le rotor)
alimenté par un courant continu, subit un
champ magnétique −→ Buniforme (créé par la
pièce fixe, le stator), et est soumis à des
forces de Laplace sur chacune de ses arêtes,
dont la résultante est nulle, mais le moment
de forces est non nul :
−→
Γ = −→ m∧−→ B
où −→ m= i−→ Sest le moment magnétique as-
socié à la spire de courant orientée.
Ce moment, comme on l’a vu, permet la ro-
tation du cadre mobile autour de son axe de
symétrie, jusqu’à ce que le moment s’aligne
dans le sens du champ magnétique, dont on
rappelle qu’il s’agit d’une position d’équilibre
stable.
Pour cette spire, on peut calculer la fém induite en utilisant le bilan de puissance :
Pfem + PL= ei + Γω= 0 soit e = −SBω. On constate que la fém est proportionnelle
à la vitesse de rotation, à l’instar des rails de Laplace où elle était proportionnelle à la
vitesse.
b) Structure physique - nécessité d’un commutateur
Ci-contre correspond un dessin de moteur
continu usuel. La première constatation est
qu’il n’y a pas qu’une seule spire, mais un
grand nombre, pour permettre de découpler
les efforts sur une multitude de spires. Les
lois précédemment obtenues restent vraies
pour l’enroulement de spires, et l’on abou-
tit à des relations du type :
e = −Kωet Γ = Ki
où K est une constante de proportionnalité, homogène à un flux magnétique.
Un problème subsiste, il faut intervertir le sens du courant tous les demi-tours, sinon la
spire reste à l’équilibre (2e figure ci-dessus). C’est le rôle du commutateur (aussi appelé
collecteur) : le but est qu’à chaque demi-tour, le courant dans la spire soit inversé. Le com-
mutateur frotte sur la surface de la bague tournante, le contact électrique étant assuré par
des "balais". Le souci majeur vient de l’usure de ces pièces mécaniques et donc il nécessite
un entretien régulier, auquel s’ajoutent des frottements.
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c) Equations électro-mécaniques
Pour l’équation électrique, si on ne prend pas en compte les effets inductifs éventuels (on
est en courant continu !), on a simplement un générateur de tension u reliant une résistance
(celle du bobinage) et la fem, soit
u = Ri −e = Ri + Kω
D’un point de vue mécanique, on est en présence d’un système tournant autour d’un axe
fixe (∆), on applique donc le théorème du moment cinétique scalaire, sachant que l’on
peut relier le moteur à une charge mécanique, ce qui induit un couple résistant Γr:
Jdω
dt= Ki −Γr
où J est le moment d’inertie du système par rapport à l’axe.
En régime stationnaire, le couple dé-
veloppé par le moteur doit compen-
ser exactement le couple résistant. Or,
Γ = KI = K U
R−K Rωsoit
Γ = KU
R−K2 Rω
Graphiquement on peut donc obtenir le point
de fonctionnement, lieu d’intersection entre
le couple résistant et le couple développé.
On remarque que, pour un couple résistant
donné, la vitesse de rotation est propor-
tionnelle au courant, comme le couple mo-
teur est proportionnel au courant ! C’est un
résultat utile pour le pilotage des moteurs !
Un moteur est en général conçu pour fonctionner avec une charge bien définie et une
vitesse de rotation bien définie, ce que l’on appelle le point de fonctionnement nomi-
nal, où le rendement de conversion électromécanique est maximal. C’est en général une
caractéristique indiquée sur les moteurs.
d) Bilan de puissance
On peut enfin effectuer un petit bilan de puissance :
A noter qu’on appelle souvent l’ensemble des pertes par effet Joule et des pertes par frotte-
ments les pertes collectives. On définit enfin le rendement comme η=Putile
Pfournie
. A noter
que ce rendement est en général faible : environ 30% dans le meilleur des cas !
e) Applications
On trouve ces moteurs dans de nombreux systèmes du quotidien :
•ils actionnent tous les systèmes tournants de petite taille (dans l’ordinateur, la voi-
ture, dans les robots,..).
•ils sont utilisés dans les appareils électroménagers (robots, mixer), ce sont des mo-
teurs à courant continu "détournés" car alimentés par un courant alternatif à la
fois pour le rotor comme le stator (une bobine crée un champ magnétique), ce qui
remplace l’utilisation d’un collecteur (=moteur universel).
•il ne faut pas oublier que ce type de convertisseur électromécanique est réversible :
si on tourne mécaniquement l’axe du moteur, on crée du courant, c’est une dynamo
(ou génératrice) !
2) Moteur synchrone
a) Principe
Les connaissances acquises dans les chapitres précédents permettent maintenant d’abor-
der le moteur synchrone. L’idée est d’employer un champ magnétique tournant (stator),
que l’on peut réaliser avec 2 ou 3 bobines (ou davantage !), et de placer dans ce champ
magnétique tournant un aimant permanent, de moment magnétique non nul (rotor).
Qualitativement, le moment magnétique cherche à s’aligner avec le champ magnétique,
et va donc tenter de le suivre en tournant à son tour. Cependant, la vitesse de rotation
du moment magnétique est nécessairement la même que celle du champ, d’où son nom
(synchrone).
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