corrigé

Université Pierre et Marie Curie
Probabilités et statistiques - LM345
2012-2013
Examen - 1ère Session.
Documents et calculatrices interdits
Dans tous l’examen on travail sur un espace probabilisé (Ω, F , P).
1. Questions de cours :
a) Calculer lim sup An et lim inf An si Ω = R muni de la tribu borélienne et ∀n ∈ N :
An := [−1/n; 2 + (−1)n [.
b) Démontrer l’inégalité de Markov P(|X| ≥ a) ≤ E[|X|]/a (où a > 0 et X : (Ω, F , P) 7→
R est une variable aléatoire réelle).
c) Est ce que l’égalité E(1/X) = 1/E(X) est vraie en général ? Jamais ?
Solution de l’exercice 1.
a) lim sup An = [0, 3[, lim inf An = [0, 1[
b) Comme X ≥ a1{X≥a} on a E(X) ≥ aE[1{X≥a} ] d’où l’égalité demandée.
c) Cette égalité n’est pas vraie en général (prendre le cas P(X = 1) = P(X = 2) = 1/2)
mais est valable si X est une constante non-nulle par exemple.
2. Variables discrètes : Soit X et Y deux variables indépendantes à valeur dans N
de lois respectives Poisson de paramètre λ > 0 et Poisson de paramètre µ > 0.
a) Rappeler l’expression de P(X = k), k = 0, 1, . . .
b) Rappeler l’expression de la fonction génératrice de la loi de Poisson, i.e. gX (s) :=
E(sX ), s ∈ [0, 1].
c) Donner la loi de X + Y. Justifier votre réponse.
d) Soit N une variable de loi géométrique de paramètre p. Rappeler sa distribution et
sa fonction génératrice.
P
e) Donner la fonction génératrice de Z := N
i=1 Xi pù les Xi sont des variables indépendantes et identiquement distribuées de loi de Poisson de paramètre λ > 0.
Solution de l’exercice 2.
k
a) P(X = k) = e−λ λk! .
b) gX (s) = eλ(s−1) .
c) Si X et Y sont indépendantes on sait que gX+Y (s) = gX (s)gY (s) donc gX+Y (s) =
e(λ+µ)(s−1) Il s’agit donc d’une loi de Poisson de paramètre λ + µ.
1
d) On a P(N = k) = (1 − p)pk , k = 0, 1, . . . et gX (s) =
P
1
k
résultat si l’on se souvient de ∞
k=0 x = 1−x )
1−p
.
1−sp
(on retrouve facilement se
e)
E[sZ ] =
X
E(sZ ∩ N = n)
n=0,1,2,...
=
X
E(sZ |N = n)P(N = n)
n=0,1,2,...
=
X
enλ(s−1) P(N = n)
n=0,1,2,...
X
= (1 − p)
(peλ(s−1) )n
n=0,1,2,...
1−p
=
.
1 − peλ(s−1)
3. Une loi faible : Soit (X2 , X3 , . . .) une suite de variables aléatoires indépendantes
telles que
P(Xn = n) = P(Xn = −n) =
1
1
, P(Xn = 0) = 1 −
.
2n log n
n log n
P
On pose Sn = ni=2 Xi et on va montrer que cette suite vérifie une loi faible des grands
nombres mais pas une
Pn loi iforte. n2
– Montrer que i≥2 log i ≤ log n .
– Montrer que Sn /n → 0 en probabilité. On pourra commencer par montrer que la
convergence a lieu dans L2 (i.e que E[(Sn /n)2 ] → 0).
– Montrer que l’évènement {|Xi | ≥ i} se réalise infiniment souvent.
– En déduire que Sn /n ne peut pas converger presque sûrement.
Solution de l’exercice 3.
a) Comme x 7→ x/ ln x est
pour x ≥ e on voit que pour tout 2 ≤ i ≤ n on a
Pncroissante
2
i
i/ ln i ≤ n/ ln n d’où i=2 ln i ≤ (n − 1) lnnn ≤ lnn n .
b) E[(Sn /n)2 ] = n12 E(Sn2 ). CommePE(Xi , Xj ) = 0 quand i 6= j et que E(Xi2 ) =
i
i2 /(i ln i) = i/ ln i on a E(Sn2 ) = ∞
i=2 ln i et donc
E[(Sn /n)2 ] ≤
1
→ 0.
ln n
La convergence L2 implique la convergence en probabilité.
P
1
c) Soit Ai = {|Xi | ≥ i}. On a P(An ) = 2n log
et donc n P(An ) = ∞. Comme les
n
An sont indépendants, on en déduit par Borel-Cantelli que les An se produisent
infiniment souvent.
2
d) On voit donc que Sn /n ne peut converger presque sûrement car comme la convergence p.s. implique la convergence en probabilité et que l’on sait que Sn /n → 0
en probabilité, la seule limite presque sûre possible pour Sn /n est 0, or Sn /n est
infiniment souvent à distance 1 de 0 par la question précédente et ne converge donc
pas presque sûrement vers 0.
4. Couple de variables : Soit (X, Y ) un couple de variables de densité conjointes :
f (x, y) = 2e−(x+y) , si 0 ≤ x ≤ y,
f (x, y) = 0 sinon.
– Montrer que f définit bien une densité de probabilité.
– Déterminer la région minimale ∆ du plan telle que P((X, Y ) ∈ ∆) = 1.
– Déterminer les densités marginales de X et Y .
– Les variables X et Y sont-elles indépendantes ?
– Calculer E(XY ) et Cov(X, Y ).
Solution de l’exercice 4.
a)
Z Z
−(x+y)
dxdy2e
∞
Z
−y
1{0≤x≤y} = 2
Z
dye
Z0 ∞
=2
y
dxe−x
0
dye−y (1 − e−y ) = 2 − 1 = 1
0
c’est donc bien une densité de probabilité.
b) Le support de la mesure de densité f (x, y) est ∆ = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ y} (i.e. la
région du quadrant supérieur droit situé au dessus de la première bissectrice).
R
R∞
R
c) fX (x) = dyf (x, y) = 2e−x x dye−y = 2e−2x . et fY (y) = dxf (x, y) = 2e−y (1 −
e−y ).
d) Non par exemple P (X > 1, Y < 1) = 0 6= P (X > 1)P (Y < 1) > 0.
e)
Z
∞
E(XY ) = 2
−y
Z
dyye
Z0 ∞
=2
y
dxxe−x
0
dyye−y (1 − ye−y − e−y )
0
= 2(1 − 1/4 − 1/4) = 1.
R∞
R∞
(on vérifie facilement que 0 ye−2y dy = 0 y 2 e−2y dy = 1/4 en se rappelant qu’il
s’agit de quantités reliées au premier et second moment de la loi exponentielle de
paramètre 2).
3
5. Théorème de la limite centrale : Un joueur entre dans un casino où on lui
propose le jeux suivant. Il doit jouer à pile ou face avec une pièce équilibrée dix-milles fois
de suite. la mise de départ est de 100 Euros. S’il obtient “face” plus de 5150 fois il gagne
deux milles Euros. Sinon il perd sa mise.
a) Estimer la probabilité que le joueur gagne.
b) Pensez-vous que ce jeux avantage le casino ou le joueur ? Quel devrait être la gain
proposé par le casino pour que le jeux soit équilibré.
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.4
2.8
3
3.4
x
Φ(x) 0.841 0.885 0.919 0.945 0.964 0.977 0.992 0.9974 0.9987 0.9997
Solution de l’exercice 5.
Pn
a) Notons N le nombre de fois où le joueur obtient “face". On a N =
i=1 Xi où
n = 10000 et Xi vaut 1 si le ième tirage est “face” et 0 sinon. Les Xi sont iid de loi
de Bernoulli de paramètre 1/2/
n
X
N − n/2
√
Xi − n × 1/2 > 5150 − 5000) = P
P(N > 5150) = P(
> 150/100 .
n
1
√
D’après le théorème de la limite centrale N −n/2
suit approximativement une loi
n
normale centrée de variance la variance de X1 c’est-à-dire 1/4. Donc
N − n/2
N − n/2
√
> 150/100 = P
P
> 3 ≈ 1 − φ(3) ≈ 0, 13%.
1√
n
n
2
b) L’espérance de gain du joueur est donc de 0, 13% × 2000 − 0, 9987 × 100 = −97, 27
et est négative. Le jeux est très favorable au casino. Le gain G devrait être tel que
0, 13% × G − 0, 9987 × 100 = 0
soit G ≈ 76823.
Barème indicatif :
1) 15 pts
2) 20 pts
3) 15 pts
4) 15 pts
5) 15 pts
4