L2 Mathématiques Structures algébriques et arithmétique Année

L2 Mathématiques
Structures algébriques et arithmétique
Année 2008-2009
CHAPITRE I
Groupes
I
- Ensembles quotients, passage d’une loi au quotient.
Cas de Z/nZ.
II - Groupes, morphismes de groupes. Définitions, exemples,
notations.
III - Sous-groupes, groupe engendré par une partie d’un
groupe, ordre d’un élément.
IV - Groupes produits, groupes quotients, théorème
d’isomorphisme, compléments sur les groupes cycliques.
I - Ensembles quotients. Passage d’une loi au quotient. cas de Z/nZ.
1. Ensembles quotients.
Définition. Soit E un ensemble non vide. On appelle partition de E un ensemble de
parties non vides deux à deux disjointes de E et dont E est la réunion.
Exemple. E = {1, 2, 3, 4}. On peut considérer la partition
{1}, {2, 3}, {4} .
Remarque. Si on indexe
les éléments de la partition à l’aide d’un ensemble E, on obtient
(Ei )i∈I avec E =
Ei et ∀(i, j) ∈ I × I, si i = j alors Ei ∩ Ej = φ).
i∈I
Définition. Soit E un ensemble. On appelle relation d’équivalence sur E une relation
binaire R sur E vérifiant :
1) ∀x ∈ E, xRx (réflexité).
2) ∀(x, y) ∈ E × E, xRy ⇒ yRx (symétrie)
3) ∀(x, y, z) ∈ E × E × E, (xRy et yRz) ⇒ xRz (transitivité).
1
Remarque.
1) Ceci généralise la notion d’égalité.
2) Donner une relation binaire R sur E revient à donner une partie G de E × E et à
poser
∀(x, y) ∈ E ×
(xRy ⇐⇒ (x, y) ∈ G)
on dit que G est le graphe de R.
On pourra à titre d’exercice traduire les propriétés de la définition 2 en propriétés de
l’ensemble G.
Définition. Soit E un ensemble. Soit R une relation d’équivalence sur E.
Pour tout x ∈ E, l’ensemble x = {y ∈ E/xRy} est la classe d’équivalence de x pour
R.
Définition. Avec les notations de la définition précédente l’ensemble des classes d’équivalence
de E pour R est appelé ensemble quotient de E par R et noté E/R. L’application
s : E → E/R définie par :
∀x ∈ E
s(x) = x
est la surjection canonique de E sur E/R.
Théorème 1. Soit E un ensemble non vide.
1) Si R est une relation d’équivalence sur E, alors les différentes classes d’équivalence
forment une partition de E.
2) Toute partition de E peut s’obtenir de façon unique à partir d’une relation
d’équivalence par le procédé précédent.
Démonstration.
1. Soit R une relation d’équivalence donnée sur E
a) Soit x ∈ E. On a x ∈ x (réflexivité)
donc E est réunion des classes d’équivalence aucune classe n’est vide.
b) Montrons que deux classes sont soit disjointes, soit confondues.
Soient x et y dans E et supposons x ∩ y = φ.
Montrons qu’on a x ⊆ y. On aura alors de même y ⊆ x d’où x = y.
Par hypothèse, il existe z0 ∈ E tel que xRz0 et yRz0 .
Soit t ∈ x. On a yRz0 , z0 Rx, xRt d’où yRt et donc t ∈ y.
Remarquons au passage que si x et y sont des éléments de E on a :
xRy ⇐⇒ y ∈ x ⇐⇒ x = y
⇐⇒ x et y sont dans la même classe d’équivalence.
2. Réciproquement. Considérons une partition de E. On a E =
Ei et ∀x ∈ E ∃!ix ∈ I
i∈I
tel que x ∈ Ei .
Soient x et y dans E. On pose
xSy ⇐⇒ ix = iy ⇐⇒ x et y appartiennent au même élément de la partition.
Il est immédiat que S est une relation d’équivalence sur E, qui induit la partition
donnée.
2
Remarque. Donner une partition de E équivaut donc à donner une relation d’équivalence
sur E.
Corollaire du théorème. Soit E un ensemble fini non vide muni d’une relation
d’équivalence. Soient E1 , . . . , Er les différentes classes d’équivalence.
1) Alors on a Card(E) =
r
Card(Er ).
i=1
2) En particulier, dans le cas où toutes les classes d’équivalence ont le même nombre
d’éléments m on a :
Card(E) = m. Card(E/R)
(principe des bergers).
Remarque. Ce corollaire est très utile pour dénombrer des ensembles finis.
Exemples.
1) Soit E l’ensemble des droites du plan de la géométrie élémentaire. Si D1 et D2 sont
des droites, on pose D1 RD2 ⇐⇒ D1 et D2 sont parallèles (disjointes ou confondues).
On obtient une relation d’équivalence (par l’axiome d’Euclide).
La classe d’équivalence d’une droite est l’ensemble des droites parallèles à cette droite.
L’ensemble E/R est l’ensemble des directions de droites.
2) Soit E = R. On pose
∀(x, y) ∈ E × E xRy ⇐⇒ (x − y) ∈ 2πZ
(relation de congruence modulo 2π)
l’ensemble E/R sert pour l’étude des mesures d’angles. On le notera R/2πZ.
3) Soit E = Z et n ∈ N \ {0}.
• On pose
∀(x, y) ∈ E × E
xRy ⇐⇒ (x − y) ∈ nZ
Alors R est une relation d’équivalence sur Z (appelée relation de congruence
modulo n). On notera xRy par x ≡ y mod n ou x ≡ y (n).
• La classe d’équivalence de x est x + nZ.
On a (division euclidienne dans Z)
∀x ∈ Z ∃!r ∈ {0, . . . , n − 1} tel que x − r ∈ nZ
∃!r ∈ {0, . . . , n − 1} tel que x = r
• L’ensemble des classes d’équivalence qu’on notera Z/nZ admet donc exactement
n éléments
Z/nZ = {0, 1, . . . , n − 1}.
Définition. Soit E un ensemble muni d’une relation d’équivalence R. Soit F un ensemble
et f : E → F une application.
On dit que f passe au quotient par R (ou R est compatible avec f ) si on a :
∀(x, y) ∈ E × E
xRy ⇒ f (x) = f (y)
on peut alors définir f : E/R → F en posant
f(x) = f (x)
∀x ∈ E
3
on a donc f ◦ s = f pour s : E → E/R surjection canonique.
f
E −−−−−−−−−→F
f
E/R
Exemple. Les fonctions cos, sin, . . . passent au quotient par la relation de congruence modulo
2π.
cos
R−−−−−−−−−→R
s
cos
R/2πZ
Proposition 2 et définition.
Soient E et F des ensembles et f : E → F une application.
Soit S la relation binaire sur E donnée par :
∀(x, y) ∈ E × E, xSy ⇐⇒ f (x) = f (y).
Alors S est une relation d’équivalence sur E.
C’est la relation d’équivalence associée à f.
Théorème 3. Décomposition canonique d’une application.
Soient E et F des ensembles, et f : E → F une application. Soit S la relation
d’équivalence associée à f. Alors f peut se décomposer de la façon suivante : f = i ◦ f ◦ s
f
s
i
E −→ E/S −→ f −→ F
où
1) s est la surjection canonique : ∀x ∈ E, s(x) = x.
2) i est l’injection canonique : ∀x ∈ f, i(x) = x.
3) f est donné par : ∀x ∈ E, f (x) = f (x).
De plus f est une bijection de E/S sur f .
Démonstration. Seule l’injectivité de f est à démontrer. Soient x et y dans E tels
que f (x) = f (y) on a donc f (x) = f (y) donc x = y.
Corollaire. Soient E et F des ensembles non vides.
Soit f : E → F une application d’équivalence associé S. Alors on a : Card(E/S) =
Card(f ) où Card désigne le cardinal d’un ensemble.
4
2. Passage d’une loi au quotient. Cas de Z/nZ.
Définition. Soit E un ensemble muni d’une relation d’équivalence R et d’une loi de
composition interne notée ∗ :
E×E →E
(x, y) → x ∗ y
On dit que la loi ∗ passe au quotient par R (ou est compatible avec l’équivalence R) si
on a ∀x, x , y, y dans E,
(xRx et yRy ) ⇒ (x ∗ y)R(x ∗ y ).
On peut alors définir une loi interne sur E/R en posant :
x ∗ y := x ∗ y.
Remarque.
1) Il est immédiat que de nombreuses propriétés de la loi initiale ∗ sont conservées par
passage au quotient (commutativité, associativité). On examinera plus loin le cas où E
est muni d’une structure algébrique courante (groupe, anneau).
2) On peut de même définir la compatibilité d’une relation d’équivalence avec une loi externe
(cf. les espaces vectoriels quotients).
Théorème 4. Exemple fondamental Z/nZ.
Soit n ∈ N, n ≥ 1. Les lois + et × de Z passent au quotient modulo n.
Démonstration. Soient x, x , y, y des éléments de Z. On suppose
x ≡ x mod n
y ≡ y mod n
Il existe donc des entiers k et k vérifiant
x − x = kn
y − y = k n
On a (x + y) − (x + y ) = (k + k )n d’où x + y ≡ x + y mod n
xy − x y = xy − x y + x y − x y = (x − x )y + (y − y )x
= kny + k nx ∈ nZ
d’où x.y ≡ x .y modn.
Remarque. On notera encore + et × les lois obtenues par passage au quotient dans
Z/nZ.
Corollaire 1. Soient a et b dans Z, soit p un nombre premier. Alors on a
(a + b)p ≡ ap + bp mod p
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Démonstration. On a (formule du binôme)
p
(a + b) =
p
ckp ak bp−k avec par convention a0 = b0 = 1 et ckp =
k=0
p!
k!(p − k)!
On remarque que pour k ∈ {1, . . . , p − 1}, on a ckp .k!(p − k)! = p!, avec p ne divisant ni
k!, ni ( p − k)!, donc p divise ckp .
On obtient donc (a + b)p ≡ c0p bp + cpp ap = bp + ap .
Conséquences immédiates.
s
s
s
1) Soit s ∈ N \ {0}. Montrer que (a = b)p = ap + bp mod p.
s
s
s
2) Soient a1 , . . . , ar dans Z, r ≥ 2. Montrer que (a1 + . . . + ar )p ≡ ap1 + . . . + apr mod p
(Démonstration laissée en exercice).
Corollaire 2. Soit a ∈ Z, soit p un nombre premier.
Alors on a
ap ≡ a mod p.
Démonstration. Il existe b ∈ {1, . . . , p} tel que a ≡ b mod p. On a :
ap ≡ bp = (1 + . . . + 1)p ≡ 1p + . . . + 1p = b ≡ a mod p.
b fois
b fois
D’où ap ≡ a mod p.
Corollaire 3. (petit théorème de Fermat)
Soit a ∈ Z, soit p un nombre premier.
On suppose a ∈
/ pZ.
Alors on a ap−1 ≡ 1 mod p.
Démonstration. D’après le corollaire 2 on ap ≡ a mod p, soit a(ap−1 − 1) ≡ 0 mod p.
Comme p est premier et ne divise pas a, il divise donc (ap−1 − 1).
Remarque. On en déduit que si a ∈ Z \ pZ, si r et s sont des entiers on a d(p−1)s+r ≡
ar mod p.
Exercice. Trouver le reste de la division euclidienne de a = 912345128 par 7.
II - Groupes ; morphismes de groupes : définitions, exemples, notations.
Définition. Soit G un ensemble muni d’une loi binaire interne :
G×G→G
(x, y) → x ∗ y
On dit que (G, ∗) est groupe si les propriétés suivantes sont vérifiées :
1) la loi ∗ est associative :
∀(x, y, z) ∈ G × G × G,
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x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z,
2) il existe un élément neutre e pour la loi ∗ :
∃e ∈ G
∀x ∈ G
e ∗ x = x ∗ e = x.
[Remarque : cet élément neutre est alors unique car si e en est un autre
on a :
e ∗ e = e = e]
3) Tout élément x de G admet un symétrique pour la loi ∗ :
∀x ∈ G
∃x ∈ G tel que x ∗ x = x ∗ x = e
[Remarque : le symétrique de x est alors unique car x en est un autre on a :
x ∗ (x ∗ x ) = (x ∗ x) ∗ x
x ∗ e = e ∗ x
x = x ]
Exemples.
1) (N, +) n’est pas un groupe (il manque les “symétriques”),
(Z, +) est un groupe, (Z, ×) n’est pas un groupe.
2) R≥0 = {x ∈ R, x ≥ 0} n’est pas un groupe pour la multiplication,
R>0 = {x ∈ R, x > 0} en est un.
Propriété immédiate. Avec les notations de la définition si (x, y) ∈ G × G on a (x ∗ y) =
y x et (x ) = x.
Proposition 5. Soit (G, ∗) un groupe. Soit a ∈ G. Alors les applications ϕa : G → G
et ψa : G → G données par : ∀x ∈ G ϕa (x) = a ∗ x
ψa (x) = x ∗ a
sont bijectives.
Démonstration. Il est facile de vérifier que si x et y sont dans G on a :
a ∗ x = y ⇐⇒ x = a ∗ y
x ∗ a = z ⇐⇒ x = z ∗ a
Remarque.
1) La proposition signifie en particulier que dans un groupe on peut faire des simplification
à gauche ou à droite (ce que par exemple on ne pourrait pas faire dans R≥0 ).
2) D’autre part, quand on écrit la table de multiplication d’un groupe fini chaque élément
doit apparaı̂tre une et une seule fois sur chaque ligne et une et une seule fois sur chaque
colonne (on a un carré latin).
Exemple. S’il existe un groupe de cardinal 2, sa table doit être
x∗y
e
a
e
e
a
a
a
e ←− seule possibilité
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Posons G = {−1, 1} ⊆ R. Alors G muni de la multiplication usuelle est un exemple de tel
groupe. Un autre exemple est celui de Z/2Z. En effet on a :
Proposition 6. Soit n ∈ N \ {0}. Alors l’ensemble quotient Z/nZ muni de la loi obtenue
par passage au quotient de l’addition usuelle est un groupe.
Démonstration immédiate.
Exercice.
1) Ecrire la table du groupe Z/6Z et vérifier la bijectivité de ϕa et ψa définies comme
précédemment.
2) Soit G un ensemble fini muni d’une loi interne associative ∗ possédant un élément neutre
et tel que les applications ϕa et ψa définies comme précédemment soient injectives.
Montrer que (G, ∗) est un groupe.
Définition. Soit (G, ∗) un groupe. On dit que le groupe est abélien, ou commutatif, si la
loi ∗ est commutative :
∀(x, y) ∈ G × G
x ∗ y = y ∗ x.
Exemples.
1) Le groupe (Z, +) est commutatif et donc également le groupe Z/nZ.
2) Si E est un ensemble non vide, l’ensemble S(E) des bijections de E dans E, muni
de la loi de composition des applications est un groupe.
(dans le cas où n ∈ N \ {0} et où E = {1, . . . , n}, ce groupe est le groupe symétrique,
noté Sn ).
Si E a au moins trois éléments alors S(E) n’est pas commutatif. Prouver ce résultat
en donnant un contre-exemple.
3) Soit n ∈ N \ {0}, l’ensemble GL(n, R) des matrices n × n à coefficients dans R est
pour le produit usuel des matrices un groupe. Si n ≥ 2 ce groupe n’est pas commutatif.
Prouver ce résultat en donnant un contre-exemple.
Notations.
1) Si la loi du groupe est notée multiplicativement (par ×, ·, ◦), on notera en général 1G
l’élément neutre et x−1 l’inverse d’un élément x.
Pour x ∈ G on posera x0 = 1G .
x1 = x, et par récurrence,
pour n ∈ N \ {0}
xn = (xn−1 ).x,
pour n ∈ Z \ N
xn = (x−1 )−n .
On peut alors démontrer (exercice) qu’on a :
∀x ∈ G
∀(n, m) ∈ Z × Z,
xn+m = xn .xm
(xn )m = xn.m .
(Par la suite, on utilisera en général cette notation multiplicative).
2) Si la loi du groupe est notée additivement (par +) ce qu’on ne fera que si on sait que la loi
est commutative, alors on notera en général OG l’élément neutre et −x le symétrique
de x (appelé alors opposé de x). On définit de manière similaire
Ox
1x
nx pour n ∈ N, n ∈ Z
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et on a (n + m)x = nx + mx
m(nx) = (mn)x.
Définition.
1) Soient (G, ·) et (G , ∗) des groupes et f : G → G une application. On dit que f est
un morphisme de groupes si on a :
∀(x, y) ∈ G × G
f (x · y) = f (x) ∗ f (y).
2) Si de plus f est bijective on dit que f est un isomorphisme de groupes. Les groupes
(G, ·) et (G , ∗) sont alors dits isomorphes.
3) Un isomorphisme du groupe G sur lui-même s’appelle un automorphisme du groupe
G.
Proposition 6bis. Soit f : (G, ·) → (G , ∗) un morphisme de groupes alors on a :
1) f (1G ) = 1G .
−1
2) ∀x ∈ G
f (x−1 ) = f (x)
.
Démonstration.
1) Soit x ∈ G. On a :
f (x) = f (x · 1G ) = f (x) · f (1G )
= f (x) · 1G
d’où par simplifiabilité f (1G ) = 1G .
2) Soit x ∈ G. On a :
f (x · x−1 ) = f (x) · f (x−1 )
= f (1G ) = 1G
−1
et f (x
· x) = f (x−1 · f (x) = 1G , de même.
Exemples.
1) Soit n0 ∈ Z. L’application f : Z → Z donné par ∀m ∈ Z f (m) = n0 m est un
morphisme de groupes.
2) Soit (G; ·) un groupe, soit a ∈ G. Alors l’application f : (Z, +) → (G, ·) définie par :
∀n ∈ Z f (n) = an est un morphisme de groupes.
3) L’application canonique Z → Z/nZ qui à chaque élément x de Z associe sa classe
modulo x est un morphisme de groupes.
4) On note Sn le groupe des bijections sur l’ensemble {1, . . . , n} (n entier n ≥ 1). Alors
l’application Sn → {1, −1} qui à tout σ ∈ Sn associe ε(σ) = signature de σ est un
morphisme de groupes.
5) On note GL(n, R) le groupe des matricces inversibles n × n à coefficients dans R.
Alors l’application GL(n, R) → (R \ {0}, ×) qui à tout M associe son déterminant est
un morphisme de groupes.
Exercice.
1) Donner un exemple d’isomorphisme transformant l’addition usuelle en multiplication
usuelle.
2) Soit G un groupe. Soit a ∈ G. Soit ϕa : G → G défini par ∀x ∈ G ϕa (x) = axa−1
montrer que ϕa est un automorphisme de G (on dit que c’est un automorphisme
intérieur).
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III - Sous-Groupes, groupes engendrés par une partie d’un groupe,
ordre d’un élément.
1. Sous-groupes, définitions, exemples.
Définition. Soit (G, ·) un groupe. Soit H ⊆ G. On dit que H est un sous-groupe de G
et on notera H < G si on a :
1) H = φ
2) ∀(x, y) ∈ H × H x.y ∈ H
3) ∀x ∈ H, x−1 ∈ H.
Remarque.
a) La condition 1) est indispensable. On peut la remplacer par 1G ∈ H.
b) Les conditions 2) et 3) peuvent être remplacées par :
∀(x, y) ∈ H × H, xy −1 ∈ H
(mais il n’est en général pas très avantageux de condenser les difficultés).
c) Si H ⊆ G et si H vérifie la condition 2) alors les conditions 1) et 3) sont
exactement les CNS pour que H muni de la loi · soit un groupe.
On va voir un premier exemple (fondamental).
Théorème 7. Les sous-groupes de (Z, +) sont les sous-ensembles du type nZ où n ∈ N.
Démonstration.
1) Il est immédiat qu’un sous-ensemble du type précédent est un sous-groupe de Z.
2) Réciproquement, soit H < Z et supposons H = {0}. Alors {h ∈ H/h = 0} = {0} et
donc
{h ∈ H/h > 0} = φ.
Posons n0 = min{h ∈ H, h > 0}.
• On a n0 ∈ H d’où n0 Z ⊆ H
• Soit x ∈ H alors (division euclidienne), il existe m ∈ Z et r ∈ N, 0 ≤ r < n0 tels
que x = n0 m + r.
On a r = x − n0 m ∈ H avec r < n0 d’où, par définition de n0 , on a r = 0 et donc
x ∈ n0 Z d’où H ⊆ n0 Z.
Autres exemples fondamentaux.
De nombreux groupes non commutatifs, en fait tous, peuvent se voir comme sous-groupes
d’un groupe S(E) où E est un ensemble non vide. On s’intéressera particulièrement aux
cas suivants :
a) Si E est muni d’une structure d’espace vectoriel sur un corps K, alors l’ensemble
des bijections linéaires sur E, noté GL(E) est un sous-groupe de S(E).
(Si E est de dimension n, ce groupe GL(E) est isomorphe à GL(n, K)).
b) Si E = R2 , on notera O(R2 ) l’ensemble des éléments u ∈ S(E) tels que
u(0, 0) = (0, 0)
u conserve les distances euclidiennes usuelles
On admettra (cf. cours d’Algèbre) que O(R2 ) est un sous-groupe de GL(R2 )
formé
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- de toutes les rotations de centre (0, 0) dont l’identité
- de toutes les symétries orthogonales par rapport aux droites vectorielles.
On se servira de ce groupe pour construire des groupes finis (voir TD) en particulier
pour tout n ≥ 3 le groupe Dn diédral qui a 2n éléments et formé des éléments
de O(R2 ) laissant l’ensemble
2kπ
2kπ
(cos
, sin
)
n
n
(k ∈ {0, . . . , n − 1)
globablement invariant.
2. Ordre d’un sous-groupe.
Définition. Si G est un groupe fini, on appelle ordre de G le cardinal de G.
On a le théorème suivant reliant l’ordre d’un groupe aux ordres des sous-groupes.
Théorème 8. (Théorème de Lagrange). Soit G un groupe fini et soit H un sous-groupe
de G. Alors l’ordre de H divise l’ordre de G.
Démonstration. Soit RH la relation binaire sur G définie par :
xRH y ⇐⇒ xy −1 ∈ H.
∀(x, y) ∈ G × G
1) Montrons que RH est une relation d’équivalence sur G.
• Pour x ∈ G on a x.x−1 = 1G ∈ H d’où xRH x
• Si (x, y) ∈ G × G et si on a xRH y, alors on a xy −1 ∈ H d’où (xy −1 )−1 ∈ H
c’est-à-dire yx−1 ∈ H et donc yRH x.
• Si (x, y, z) ∈ G3 et si on a xRH y et yRH z alors on a xy −1 ∈ H et yz −1 ∈ H d’où
xy −1 yz −1 = xz −1 ∈ H, d’où xRH z.
2) Soit x0 ∈ G, calculons le cardinal de la classe de x0 pour RH .
Soit y ∈ G on a yRH x0 ⇐⇒ yx−1
0 ∈H
⇐⇒ y ∈ Hx0
La classe de x0 est donc Hx0 .
Mais l’application H → Hx0 , est bijective.
h → hx0 .
Toutes les classes d’équivalence ont pour cardinal Card H et on a donc
Card G = (Card H) × nombre de classes d’équivalence
Notation. On notera dans ce cas
[G : H] = indice de G dans H =
Card G
.
Card H
Remarque. On retrouvera un peu plus loin cette relation RH .
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3. Groupe engendré par une partie d’un groupe.
groupe.
Ordre d’un élément dans un
Proposition 9. Soit (Hi )i∈I une famille de sous-groupes d’un groupe G. Alors
Hi
i∈I
est un sous-groupe de G.
Démonstration évidente. On obtient en particulier :
Proposition 10 et définition. Soit (G, ·) un groupe. Soit A ⊆ G.
Alors parmi les sous-groupes de G qui contiennent A il en existe un qui est contenu dans
tous les autres : c’est le groupe engendré par A. On le notera < A > ou gp(A).
Démonstration. Il suffit de poser < A >= ∩{H/H sous-groupe de G, H ⊇ A}.
Remarque.
1) Pour A = φ on obtient < A >= {1G }.
2) Cette définition est très théorique. Voici l’interprétation pratique dans le cas A = φ.
Proposition 11. Soit (G, ·) un groupe. Soit A une partie non vide alors < A > est
l’ensemble des produits finis d’éléments de A et d’inverses d’éléments de A.
Démonstration. L’ensemble considéré est un sous-groupe de G contenant A, d’autre
part tout sous-groupe de G contenant A contient les produits finis d’éléments de A et de
leurs inverses.
Exemples.
1) G = Z nZ A = {n}
2) A = {a} ⊆ G G groupe noté multiplicativement.
Alors < A >= {an /n ∈ Z}.
3) Soit n ∈ N n ≥ 3. le groupe diédral Dn est engendré par la rotation r d’angle de
2π
mesure
et par la symétrie orthogonale par rapport à vect(1, 0) dans R2 .
n
4) Pour n ∈ N n ≥ 2 le groupe Sn est engendré par l’ensemble des transpositions et pour
n ≥ 3 le groupe An formé des permutations paires de Sn est engendré par l’ensemble
des 3-cycles.
Proposition 12 et définition. Soit (G, ·) un groupe et soit a ∈ G alors
1) Soit ∀n ∈ Z \ {0} on a an = 1G . Alors < a > est infini. On dit que a est d’ordre
infini.
2) Soit ∃n ∈ Z \ {0} tel que an = 1G . Si on désigne par n0 = min{n ∈ N \ {0}/an = 1G }
on a :
∀m ∈ Z
am = 1G ⇐⇒ m ∈ n0 Z.
On dit alors que a est d’ordre fini n0 .
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Remarque. On verra plus loin comment dans le second cas relier n0 à l’ordre de < a >
et à celui de G si celui-ci est fini. Si G =< a > avec a d’ordre fini, on dit que G est
cyclique ; on verra aussi pourquoi.
Démonstration de la proposition.
Soit ϕ : Z →< a > . Alors ϕ est un morphisme (surjectif) de groupes.
n → an .
On pose Ker ϕ = {n ∈ Z/ϕ(n) = 1G }.
1er cas. Ker ϕ = {0}, c’est-à-dire an = 1G ⇒ n = 0 alors < a > Z et < a > est infini.
2ème cas. Ker ϕ = {0}. Ker ϕ est un sous-groupe de Z. Donc si n0 est le plus petit
élément strictement positif de Ker ϕ, on a Ker ϕ = n0 Z.
Exemples - Exercices
1) Dans (Z, +) tout élément non nul est d’ordre infini.
2) Dans le groupe Dn l’élément r est d’ordre n, l’élément s d’ordre 2.
On remarquera que si dans un groupe a est d’ordre n et b d’ordre m, même si n
et m sont premiers entre eux, si ab = ba, il n’y a aucun lien entre l’ordre de ab et les
ordres de a et b.
3) Montrer que si a est d’ordre rs alors ar est d’ordre s, et de façon générale calculer
l’ordre de am pour m ∈ Z sachant que a est d’ordre n. Appliquer ce résultat pour
calculer les ordres de tous les éléments de Z/12Z.
IV - Groupes produits, groupes quotients. Théorème d’isomorphisme.
1. Groupes produits, somme directe.
Proposition 12bis et Définition. Soit (G1 , · et (G2 , ·) des groupes. Alors on peut
munir l’ensemble G1 × G2 d’une structure de groupe en posant :
∀(g1 , g2 ) ∈ G1 × G2
∀(h1 , h2 ) ∈ G1 × G2
(g1 , g2 ) · (h1 , h2 ) = (g1 · h1 , g2 · h2 ).
Démonstration immédiate.
Remarque.
1) La définition précédente peut se généraliser pour définir le produit G1 × . . . × Gr de r
groupes, r ≥ 3.
2) Il est en général possible de définir sur G1 × G2 d’autres structures de groupes liées à
celles de G1 et G2 , en faisant intervenir un morphisme de groupes G2 → Aut G1 .
Définition. Soient G1 et G2 deux sous-groupes d’un même groupe G. On dit que G
est somme directe de ses sous-groupes G1 et G2 et on note G = G1 ⊕ G2 si l’application
G1 × G 2 → G
(g1 , g2 ) → g1 · g2
est un isomorphisme de groupes.
13
Proposition 13. Avec les notations de la définition on a :

 a) G = G1 · G2 où G1 · G2 = {g1 · g2 /g1 ∈ G1 , g2 ∈ G2 }
G = G1 ⊕ G2 =⇒ b) G1 ∩ G2 = {1G }

c) tout élément de G1 est permutable avec tout élément de G2 .
Démonstration. exercice.
On pourra remarquer que si on a G = G1 ⊕ G2 et si G1 est abélien, alors on a G1 ⊆ Z(G)
où Z(G) désigne le centre de G. Z(G) = {g ∈ G/∀h ∈ G gh = hg}.
2. Groupes quotients.
Rappel. Si G est un groupe et si H est un sous-groupe de G, on a vu que la relation
RH sur G donnée par xRH y ↔ xy −1 ∈ H.
Commençons par le cas commutatif (en passant aux notations additives). On a :
Proposition 14 et définition. Soit (G, +) un groupe abélien, soit H un sous-groupe
de G. Alors la loi + est compatible avec l’équivalence RH . L’ensemble G/RH , muni de
la loi obtenue par passage au quotient de la loi + est un groupe, noté G/H et appelé le
groupe quotient de G par H. L’application canonique G → G/H est un morphisme
de groupes.
Démonstration. Soient x, x , y, y dans G tels qu’on ait
xRH x et yRH y .
Alors on a (notations additives)
x − x ∈ H et y − y ∈ H
d’où
(x + y) − (x + y ) = (x − x ) + (y − y ) ∈ H
car la loi + est commutative.
On peut donc poser
x + y := x + y.
Le reste de la proposition est immédiat. L’élément neutre de G/H est O, l’opposé de x
est −x.
Remarque. On a exactement repris la démonstration faite pour Z/nZ, qui a bien entendu
une structure de groupe. On voit que la commutativité de la loi a été effectivement utlisée.
Pour définir des quotients de groupes non commutatifs on va devoir exiger des sous-groupes
H une condition supplémentaire.
Définition. Soit (G, ·) un groupe. Soit H un sous-groupe de G.
On dit que H est normal (ou distingué, ou invariant) dans G si on a :
∀x ∈ G ∀h ∈ H xhx−1 ∈ H.
Notation. H G.
14
Exemples.
1) Bien entendu, si G est abélien tout sous-groupe de G est normal dans G.
2) Pour le groupe Dn =< r, s > (n ≥ 3) vu précédemment, on a :
< r > Dn , mais on n’a pas < s > Dn .
3) Pour tout groupe G, le groupe Z(G) est normal dans G, et en particulier on verra
des exemples de sous-groupes qui sont normaux en tant que “noyaux” de morphismes.
(voir au 6)).
Exercice. Soient H et K des sous-groupes d’un groupe G. Montrer que :
1) Si H G alors HK < G
2) Si H G et K G alors HK G.
G = HK
3) G = H ⊕ K ↔ H ∩ K = {1}
H G et K G.
Le résultat de la proposition 14 peut se généraliser.
Théorème 15. Soit (G, ·) un groupe.
Si H un sous-groupe normal de G. Alors la loi · est compatible avec l’équivalence
RH . L’ensemble G/RH muni de la loi obtenue par passage au quotient de la loi · est
un groupe noté G/H et appelé groupe quotient de G par H. L’application canonique
G → G/H est un morphise de groupes.
Démonstration. Soient x, x , y, y des éléments de G tels que xRH x et yRH y . On a
donc xx−1 ∈ H et yy −1 ∈ H (notations multipicatives) on a :
(xy)(x y )−1 = xyy −1 x−1 .
Comme on a yy −1 ∈ H il existe h ∈ H tel que x.y y −1 x−1 = h d’où xyy −1 x−1 =
hxx−1 ∈ H car xx−1 ∈ H d’où xyRH x y . Donc la relation RH est compatible avec la
loi de G, on peut poser x.y = x.y et on obtient de façon immédiate la structure de groupe.
Remarque.
1) On peut en fait démontrer que si G est un groupe, les seules relations d’équivalence R
qui sont compatibles avec la loi de G sont obtenues
− en prenant un sous-groupe normal H de G (en fait H = classe de 1G )
− en posant xRy ⇐⇒ xy −1 ∈ H
2) Si H est un sous-groupe de G, on peut aussi considérer la relation SH (d’équivalence)
sur G suivante
xSH y ⇐⇒ y −1 x ∈ H.
La classe d’équivalence de y0 est alors y0 H alors qu’elle était Hy0 pour la relation
RH on peut démontrer qu’on a :
H G ⇐⇒ y0 H = Hy0 ⇐⇒ RH = SH
Proposition 16. Soit G un groupe fini. Soit H G.
ordre de G
Alors l’ordre de G/H =
= [G : H].
ordre de H
15
Démonstration. En effet l’ordre de G/H est le nombre de classes d’équivalence pour la
relation RH qu’on avait noté plus haut [G : H] : indice de H dans G.
Exercice. On suppose qu’on a G = H ⊕ K. Montrer qu’alors on a G/H K.
3. Propriétés des morphismes de groupes, premier théorème d’isomorphisme des
groupes
Proposition 17. Propriétés immédiates des morphismes de groupes.
Soient (G, ·) et (G , ·) des groupes et soit f : G → G un morphisme de groupe. Alors
1) Pour tout sous-groupe H de G, l’ensemble f (H) = {f (h)/h ∈ H} est un sous-groupe
de G. Si de plus on H G alors f (H) f (G).
2) Pour tout sous-groupe H de G l’ensemble f −1 (H ) = {x ∈ G/f (x) ∈ H} est un
sous-groupe de G. Si de plus on a H G alors f −1 (H ) G.
Définition. Avec les notations de la proposition
1) f (G) est l’image de f notée f.
2) f −1 ({1G }) est le noyau de f noté Ker f (Kernel=noyau).
Proposition 18. Avec les notations précédentes, on a
1) Ker f G
2) Ker f = {1G } ⇐⇒ f est injective.
Démonstration de 2.
a) Supposons f injective et x ∈ Ker f. On a f (x) = 1G = f (1G ) d’où x = 1G
d’où Ker f = {1G }.
b) Supposons Ker f = {1G } et soient x et y dans G tels que f (x) = f (y).
On a (propriété des morphismes de groupes)
f (xy −1 ) = f (x) · (f (y))−1 = 1G
d’où xy −1 ∈ Ker f = {1G }, d’où xy −1 = 1G et x = y.
Exemples.
1) Soit ε : Sn → {1, −1} l’application qui a tout σ ∈ Sn associe sa signature ε(σ). On
sait que ε est un morphisme de groupes.
Ker ε = An = {σ/ε(σ) = 1} est donc un sous-groupe normal de Sn .
2) Soit Det : GL(n, K) → (K ∗ , ×) l’application qui à toute matrice M ∈ GL(n, K) associe
son déterminant.
Le noyau est formé des matrices M ∈ GL(n, K) telles que Det M = 1. C’est donc un
sous-groupes normal de GL(n, K), noté SL(n, K).
3) Soit s : Z → Z/nZ la surjection canonique alors Ker s = nZ.
4) Dans le cas particulier où K est un sous-groupe normal de G et où f : G → G/K est
HK
la surjection canonique, si H est un sous-groupe de G on a f (H) = f (HK) =
.
K
16
Proposition 19. Soient (G, ·) et (G , ·) des groupes et soit f : G → G un morphisme
de groupes. Soit H un sous-groupe normal de G tel que H ⊆ Ker f.
Alors il existe un unique morphisme de groupes f : G/H → G tel que
f
G−−−−−−−−−→G
s
f ◦s=f
où s est la surjection canonique.
f
G/H
Démonstration. La relation RH est compatible avec f.
En effet soient x et y des éléments de G vérifiant xRH y, c’es-à-dire xy −1 ∈ H ⊆ Ker f.
On a alors f (xy −1 ) = 1G , d’où f (x) = f (y). On peut donc définir une application unique
f telle que f ◦ s = f. Il est alors immédiat que f est un morphisme.
Un cas très important est celui où on prend H = Ker f. On a
Théorème 20. (Premier théorème d’isomorphisme des groupes)
Soient (G, ·) et (G , ·) des groupes, et soit f : G → G un morphisme de groupes. Alors
f se décompose de la façon suivante :
f
G −→ G/ Ker f −→ f −→ G
s
i
où
1) s et i sont les morphisme canoniques.
2) f donnée par : f (x) = f (x).
f est un isomorphisme de groupe.
On a donc l’isomorphisme de groupes :
G/ Ker f f
Remarque. Dans le cas où G est fini on a donc Card G = (Card Ker f ) · (Card f ).
Démonstration du théorème.
1) On remarque que RKer f est la relation d’équivalence associée à l’application f. En
effet si x et y sont dans G, on a :
xRKer f y ⇐⇒ xy −1 ∈ Ker f
⇐⇒ f (xy −1 ) = 1G
⇐⇒ f (x) = f (y).
La décomposition canonique de l’application f fournit alors les morphismes cherchés.
Exemples.
1) Soit n ∈ N, n ≥ 2.
Soit ε : Sn → {1, −1} l’application signature. Elle est surjective et on a Ker ε = An ,
Sn
d’où
{1, −1}.
An
n!
On en déduit en particulier, sachant que Sn est d’ordre n!, que An est d’ordre
.
2
2) Soit n ∈ N, n ≥ 2.
17
Soit Det : GL(n, K) → (K ∗ , ×) l’application déterminant (également surjective).
GL(n, K)
On a
(K ∗ , ×).
SL(n, K)
3) Soit f : R → U = groupe multiplicatif des nombres complexes de module 1 donnée par
∀θ ∈ R f (θ) = eiθ . Alors f est un morphisme surjectif de groupes de noyau 2πZ. On
a donc U R/2πZ.
On va voir deux corollaires du théorème, aux conséquences importantes.
Corollaire 21.
1) Soit (G, ·) un groupe et soit un élément d’ordre fini de G. Alors l’ordre de a est le
cardinal de < {a} > .
2) Si (G, ·) est un groupe fini tout élément de G est d’ordre fini divisant l’ordre de G.
Démonstration. Soit ϕ : Z →< {a} > donné par :
∀n ∈ Z ϕ(n) = an .
Alors ϕ est un morphisme surjectif de groupes.
Z
On a donc
< {a} > .
Ker ϕ
Rappelons la définition de l’ordre de a.
1er cas. ϕ est injective. Dans ce cas Ker ϕ = {0} et < {a} > Z. Ce cas n’est possible
que si G est infini.
2ème cas. ϕ n’est pas injective. Alors Ker ϕ = {n ∈ Z/an = 1} = {0}.
On avait vu dans ce cas que, comme Ker ϕ est un sous-groupe de Z, il existe un plus petit
n0 ∈ N, n0 ≥ 1, n0 ∈ Ker ϕ et qu’on a n0 Z = {n/an = 1}.
Z
On a donc finalement
< {a} > .
n0 Z
Donc < {a} > est un groupe à n0 éléments, et si G est fini, n0 divise l’ordre de G car
n0 est l’ordre d’un sous-groupe de G.
Définition. Soit G un groupe fini d’ordre n0 tel que G soit engendré par un seul
élément a. On a donc G =< {a} > Z/n0 Z, on dit que G est un groupe cyclique.
Remarque. On peut représenter G de la façon suivante :
ar = ar+n
a = an+1
1 = an
an-1
.
on va voir plus loin quelques propriétés des groupes cycliques. On commence par un second
corollaire qu’on retrouvera également plus loin à propos des anneaux.
Corollaire. Si G est un groupe d’ordre premier p, il est cyclique et isomorphe à Z/pZ.
18
Corollaire 22. Théorème chinois des restes.
Soient n1 , . . . , nr des nombres entiers, r ≥ 2, ∀i, ni ≥ 2. On suppose n1 , . . . , nr deux
à deux étrangers.
1) Alors les groupes Z/n1 Z × . . . × Z/nr Z et Z/n1 . . . nr Z sont isomorphes.
2) Pour tout (a1 , . . . , ar ) ∈ Z2 , il existe x ∈ Z tel que ∀i ∈ {1 . . . r}, x ≡ ai , mod ni .
Démonstration. Pour i ∈ {1, . . . , r} soit si : Z → Z/ni Z la surjection canonique, et soit
ϕ : Z → Z/n1 Z × . . . Z/nr Z définie par
∀n ∈ Z ϕ(n) = (s1 (n), . . . , sr (n)).
Alors ϕ un morphisme de groupes, de noyau (n, . . . , nr )Z. On a donc
Z/n1 ...nr Z ϕ.
En considérant les cardinaux, on obtient que ϕ est surjective, d’où le résultat.
4. Compléments sur les groupes cycliques.
Proposition 23. Soit n ∈ N, n ≥ 2 et soit a un élément d’ordre n dans un groupe.
n
Soit k ∈ {1, . . . , n}. Alors ak est d’ordre
en particulier
PGCD(n, k)
n
1) Si k divise n alors ak est d’ordre
.
k
k
2) Si k est premier avec n, alors a est d’ordre n.
Démonstration. Soit δ = P GCD(k, n). On a :
k = δk avec k et n premiers entre eux.
n = δn
Soit ∈ Z on a
(ak ) = 1 ⇐⇒ k ∈ nZ ⇐⇒ k ∈ n Z
⇐⇒ n divise k ⇐⇒ n divise L’ordre de ak est donc n =
n
.
PGCD(k, n)
Définition. Soit n ∈ N, n ≥ 1. On note ϕ(n) le nombre d’entiers k ∈ {1, . . . , n} tels que
k soit premier avec n. La fonction ϕ s’appelle l’indicateur d’Euler.
C’est en fait le nombre d’éléments b de Z/nZ tel que < {b} >= Z/nZ.
Remarque. On a ϕ(1) = 1. Si p est un nombre premier on a :
ϕ(p) = p − 1
ϕ(pr ) = pr−1 (p − 1) si r ∈ N r ≥ 2.
On verra en utilisant les propriétés des anneaux que si r et s sont des nombres premiers
entre eux alors ϕ(rs) = ϕ(r)ϕ(s).
On continue l’étude des groupes cycliques.
19
Proposition 24.
1) Soit G un groupe cyclique.
Alors tout sous-groupe et tout groupe quotient de G est cyclique.
2) Soit G un groupe cyclique d’ordre n0 , n0 ∈ N \ {0}.
Soit d un diviseur de n0 . Alors G admet un et un seul sous-groupe d’ordre d.
Démonstration.
Soit a un générateur de G, on suppose a d’ordre n.
a) Soit f : G → G un morphisme surjectif. Alors
∀x ∈ G , ∃n ∈ Z tel que f (an ) = x
donc (f (a))n = x.
Ceci signifie que f (a) est un générateur de G .
b) Soit H un sous-groupe de G ; H d’ordre d (divisant n0 ) et soit
f : Z → G l’application donnée par ∀n ∈ Z f (n) = an .
Alors f −1 (H) est un sous-groupe de Z contenant n0 Z, il est donc du type
δZ avec δ ∈ {1, . . . , n0 }, δ divise n0 . On a donc
f f −1 H) = {f (x)/f (x) ∈ H} = H ∩ f = H
et d’autre part, on a :
f f −1 (H) = f (δZ) = {aδm /m ∈ Z}
=< {aδ } > . Donc H =< {aδ } >
mais comme on a G Z/n0 Z, de la proposition précédente on déduit que aδ
n0
puisque
dans G même ordre que δ dans Z/n0 Z. Cet ordre est donc
δ
n0
δ divise n0 . On a donc d =
. Finalement le groupe H est engendré par
δ
n0
d
l’élément a .
c) Réciproquement
si d est un diviseur de n0 , alors le groupe H engendré par
n0
a d est d’ordre d.
Exercice.
1) Donner tous les sous-groupes de Z/12Z.
2) Combien pour δ donné divisantn0 , le groupe Z/nZ a-t-il d’éléments d’ordre δ ?
ϕ(δ).
En déduire une expression de
δ/n
1≤δ≤n
(ϕ est l’indicateur d’Euler).
20