L2 Mathématiques Structures algébriques et arithmétique Année

L2 Math´ ematiques
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Structures alg´ ebriques et arithm´ etique
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Ann´ ee 2008-2009
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CHAPITRE I
CHAPITRE I
CHAPITRE I
CHAPITRE I
CHAPITRE I
CHAPITRE I
CHAPITRE I
Groupes
Groupes
Groupes
Groupes
Groupes
Groupes
Groupes
I - Ensembles quotients, passage d’une loi au quotient.
I - Ensembles quotients, passage d’une loi au quotient.
I - Ensembles quotients, passage d’une loi au quotient.
I - Ensembles quotients, passage d’une loi au quotient.
I - Ensembles quotients, passage d’une loi au quotient.
I - Ensembles quotients, passage d’une loi au quotient.
I - Ensembles quotients, passage d’une loi au quotient.
Cas de Z/nZ.
Cas de Z/nZ.
Cas de Z/nZ.
Cas de Z/nZ.
Cas de Z/nZ.
Cas de Z/nZ.
Cas de Z/nZ.
II - Groupes, morphismes de groupes. D´ efinitions, exemples,
II - Groupes, morphismes de groupes. D´ efinitions, exemples,
II - Groupes, morphismes de groupes. D´ efinitions, exemples,
II - Groupes, morphismes de groupes. D´ efinitions, exemples,
II - Groupes, morphismes de groupes. D´ efinitions, exemples,
II - Groupes, morphismes de groupes. D´ efinitions, exemples,
II - Groupes, morphismes de groupes. D´ efinitions, exemples,
notations.
notations.
notations.
notations.
notations.
notations.
notations.
III - Sous-groupes, groupe engendr´ e par une partie d’un
III - Sous-groupes, groupe engendr´ e par une partie d’un
III - Sous-groupes, groupe engendr´ e par une partie d’un
III - Sous-groupes, groupe engendr´ e par une partie d’un
III - Sous-groupes, groupe engendr´ e par une partie d’un
III - Sous-groupes, groupe engendr´ e par une partie d’un
III - Sous-groupes, groupe engendr´ e par une partie d’un
groupe, ordre d’un ´ el´ ement.
groupe, ordre d’un ´ el´ ement.
groupe, ordre d’un ´ el´ ement.
groupe, ordre d’un ´ el´ ement.
groupe, ordre d’un ´ el´ ement.
groupe, ordre d’un ´ el´ ement.
groupe, ordre d’un ´ el´ ement.
IV - Groupes produits, groupes quotients, th´ eor` eme
IV - Groupes produits, groupes quotients, th´ eor` eme
IV - Groupes produits, groupes quotients, th´ eor` eme
IV - Groupes produits, groupes quotients, th´ eor` eme
IV - Groupes produits, groupes quotients, th´ eor` eme
IV - Groupes produits, groupes quotients, th´ eor` eme
IV - Groupes produits, groupes quotients, th´ eor` eme
d’isomorphisme, compl´ ements sur les groupes cycliques.
d’isomorphisme, compl´ ements sur les groupes cycliques.
d’isomorphisme, compl´ ements sur les groupes cycliques.
d’isomorphisme, compl´ ements sur les groupes cycliques.
d’isomorphisme, compl´ ements sur les groupes cycliques.
d’isomorphisme, compl´ ements sur les groupes cycliques.
d’isomorphisme, compl´ ements sur les groupes cycliques.
I - Ensembles quotients. Passage d’une loi au quotient. cas de Z/nZ.
I - Ensembles quotients. Passage d’une loi au quotient. cas de Z/nZ.
I - Ensembles quotients. Passage d’une loi au quotient. cas de Z/nZ.
I - Ensembles quotients. Passage d’une loi au quotient. cas de Z/nZ.
I - Ensembles quotients. Passage d’une loi au quotient. cas de Z/nZ.
I - Ensembles quotients. Passage d’une loi au quotient. cas de Z/nZ.
I - Ensembles quotients. Passage d’une loi au quotient. cas de Z/nZ.
1. Ensembles quotients.
D´efinition. Soit Eun ensemble non vide. On appelle partition de E
E
E
E
E
E
Eun ensemble de
parties non vides deux `a deux disjointes de Eet dont Eest la r´eunion.
Exemple. E={1,2,3,4}.On peut consid´erer la partition {1},{2,3},{4}.
Remarque. Si on indexe les ´el´ements de la partition `a l’aide d’un ensemble E, on obtient
(Ei)i∈Iavec E=
i∈I
Eiet ∀(i, j)∈I×I, si i=jalors Ei∩Ej=φ).
D´efinition. Soit Eun ensemble. On appelle relation d’´equivalence sur E
E
E
E
E
E
Eune relation
binaire Rsur Ev´erifiant :
1) ∀x∈E, xRx(r´eflexit´e).
2) ∀(x, y)∈E×E, xRy⇒yRx(sym´etrie)
3) ∀(x, y, z)∈E×E×E, (xRyet yRz)⇒xRz(transitivit´e).
1

Remarque.
1) Ceci g´en´eralise la notion d’´egalit´e.
2) Donner une relation binaire Rsur Erevient `a donner une partie Gde E×Eet `a
poser
∀(x, y)∈E×(xRy⇐⇒ (x, y)∈G)
on dit que Gest le graphe de R.
On pourra `a titre d’exercice traduire les propri´et´es de la d´efinition 2 en propri´et´es de
l’ensemble G.
D´efinition. Soit Eun ensemble. Soit Rune relation d’´equivalence sur E.
Pour tout x∈E, l’ensemble x={y∈E/xRy}est la classe d’´equivalence de xpour
R.
D´efinition. Avec les notations de la d´efinition pr´ec´edente l’ensemble des classes d’´equivalence
de Epour Rest appel´e ensemble quotient de Epar Ret not´e E/R.L’application
s:E→E/Rd´efinie par :
∀x∈Es(x)=x
est la surjection canonique de Esur E/R.
Th´eor`eme 1. Soit Eun ensemble non vide.
1) Si Rest une relation d’´equivalence sur E, alors les diff´erentes classes d’´equivalence
forment une partition de E.
2) Toute partition de Epeut s’obtenir de fa¸con unique `a partir d’une relation
d’´equivalence par le proc´ed´epr´ec´edent.
D´emonstration.
1. Soit Rune relation d’´equivalence donn´ee sur E
a) Soit x∈E. On a x∈x(r´eflexivit´e)
donc Eest r´eunion des classes d’´equivalence aucune classe n’est vide.
b) Montrons que deux classes sont soit disjointes, soit confondues.
Soient xet ydans Eet supposons x∩y=φ.
Montrons qu’on a x⊆y. On aura alors de mˆeme y⊆xd’o`u x=y.
Par hypoth`ese, il existe z0∈Etel que xRz0et yRz0.
Soit t∈x. On a yRz0,z
0Rx, xRtd’o`u yRtet donc t∈y.
Remarquons au passage que si xet ysont des ´el´ements de Eona:
xRy⇐⇒ y∈x⇐⇒ x=y
⇐⇒ xet ysont dans la mˆeme classe d’´equivalence.
2. R´eciproquement. Consid´erons une partition de E. On a E=
i∈I
Eiet ∀x∈E∃!ix∈I
tel que x∈Ei.
Soient xet ydans E. On pose
xSy⇐⇒ ix=iy⇐⇒ xet yappartiennent au mˆeme ´el´ement de la partition.
Il est imm´ediat que Sest une relation d’´equivalence sur E, qui induit la partition
donn´ee.
2

Remarque. Donner une partition de E´equivaut donc `a donner une relation d’´equivalence
sur E.
Corollaire du th´eor`eme. Soit Eun ensemble fini non vide muni d’une relation
d’´equivalence. Soient E1,...,E
rles diff´erentes classes d’´equivalence.
1) Alors on a Card(E)=
r
i=1
Card(Er).
2) En particulier, dans le cas o`u toutes les classes d’´equivalence ont le mˆeme nombre
d’´el´ements mona:
Card(E)=m. Card(E/R) (principe des bergers).
Remarque. Ce corollaire est tr`es utile pour d´enombrer des ensembles finis.
Exemples.
1) Soit El’ensemble des droites du plan de la g´eom´etrie ´el´ementaire. Si D1et D2sont
des droites, on pose D1RD2⇐⇒ D1et D2sont parall`eles (disjointes ou confondues).
On obtient une relation d’´equivalence (par l’axiome d’Euclide).
La classe d’´equivalence d’une droite est l’ensemble des droites parall`eles `a cette droite.
L’ensemble E/Rest l’ensemble des directions de droites.
2) Soit E=R.On pose
∀(x, y)∈E×ExRy⇐⇒ (x−y)∈2πZ
(relation de congruence modulo 2π)
l’ensemble E/Rsert pour l’´etude des mesures d’angles. On le notera R/2πZ.
3) Soit E=Zet n∈N\{0}.
•On pose
∀(x, y)∈E×ExRy⇐⇒ (x−y)∈nZ
Alors Rest une relation d’´equivalence sur Z(appel´ee relation de congruence
modulo n). On notera xRypar x≡ymod nou x≡y(n).
•La classe d’´equivalence de xest x+nZ.
On a (division euclidienne dans Z)
∀x∈Z∃!r∈{0,...,n−1}tel que x−r∈nZ
∃!r∈{0,...,n−1}tel que x=r
•L’ensemble des classes d’´equivalence qu’on notera Z/nZadmet donc exactement
n´el´ements
Z/nZ={0,1,...,n−1}.
D´efinition. Soit Eun ensemble muni d’une relation d’´equivalence R.Soit Fun ensemble
et f:E→Fune application.
On dit que f
f
f
f
f
f
fpasse au quotient par R
R
R
R
R
R
R(ou Rest compatible avec f)siona:
∀(x, y)∈E×ExRy⇒f(x)=f(y)
on peut alors d´efinir  f:E/R→Fen posant
∀x∈E f(x)=f(x)
3

on a donc  f◦s=fpour s:E→E/Rsurjection canonique.
Ef
−−−−−−−−−→F
f
E/R
Exemple. Les fonctions cos,sin,...passent au quotient par la relation de congruence modulo
2π.
Rcos
−−−−−−−−−→R
scos
R/2πZ
Proposition 2 et d´efinition.
Soient Eet Fdes ensembles et f:E→Fune application.
Soit Sla relation binaire sur Edonn´ee par :
∀(x, y)∈E×E, xSy⇐⇒ f(x)=f(y).
Alors Sest une relation d’´equivalence sur E.
C’est la relation d’´equivalence associ´ee `a f.
f.
f.
f.
f.
f.
f.
Th´eor`eme 3. D´ecomposition canonique d’une application.
Soient Eet Fdes ensembles, et f:E→Fune application. Soit Sla relation
d’´equivalence associ´ee `a f. Alors fpeut se d´ecomposer de la fa¸con suivante : f=i◦f◦s
Es
−→ E/Sf −→  fi −→ F
o`u
1) sest la surjection canonique : ∀x∈E, s(x)=x.
2) iest l’injection canonique : ∀x∈f, i(x)=x.
3) fest donn´e par : ∀x∈E, f(x)=f(x).
De plus fest une bijection de E/S
E/S
E/S
E/S
E/S
E/S
E/Ssur f.
D´emonstration. Seule l’injectivit´ede fest `ad´emontrer. Soient xet ydans Etels
que f(x)=f(y) on a donc f(x)=f(y) donc x=y.
Corollaire. Soient Eet Fdes ensembles non vides.
Soit f:E→Fune application d’´equivalence associ´e S.Alors on a : Card(E/S)=
Card(f)o`u Card d´esigne le cardinal d’un ensemble.
4

2. Passage d’une loi au quotient. Cas de Z/nZ.
D´efinition. Soit Eun ensemble muni d’une relation d’´equivalence Ret d’une loi de
composition interne not´ee ∗:
E×E→E
(x, y)→ x∗y
On dit que la loi ∗passe au quotient par R(ou est compatible avec l’´equivalence R)si
on a ∀x, x,y,y
dans E,
(xRxet yRy)⇒(x∗y)R(x∗y).
On peut alors d´efinir une loi interne sur E/R
E/R
E/R
E/R
E/R
E/R
E/Ren posant :
x∗y:= x∗y.
Remarque.
1) Il est imm´ediat que de nombreuses propri´et´es de la loi initiale ∗sont conserv´ees par
passage au quotient (commutativit´e, associativit´e). On examinera plus loin le cas o`u E
est muni d’une structure alg´ebrique courante (groupe, anneau).
2) On peut de mˆeme d´efinir la compatibilit´e d’une relation d’´equivalence avec une loi externe
(cf. les espaces vectoriels quotients).
Th´eor`eme 4. Exemple fondamental Z/nZ.
Soit n∈N,n≥1.Les lois + et ×de Zpassent au quotient modulo n.
D´emonstration. Soient x, x,y,y
des ´el´ements de Z.On suppose
x≡xmod n
y≡ymod n
Il existe donc des entiers ket kv´erifiant
x−x=kn
y−y=kn
On a (x+y)−(x+y)=(k+k)nd’o`u x+y≡x+ymod n
xy −xy=xy −xy+xy−xy
=(x−x)y+(y−y)x
=kny +knx∈nZ
d’o`u x.y ≡x.ymodn.
Remarque. On notera encore + et ×les lois obtenues par passage au quotient dans
Z/nZ.
Corollaire 1. Soient aet bdans Z,soit pun nombre premier. Alors on a
(a+b)p≡ap+bpmod p
5