Chapitre 4.1 – Le champ magnétique

Chapitre 4.1 – Le champ magnétique
La découverte du magnétisme
On peut accorder au Grec de l’antiquité la découverte du magnétisme
après avoir découvert près de la ville de Magnésie un minéral qui
avait la propriété d’attirer le fer. Ce minéral fut baptisé magnétite et il
est chimiquement composé de fer et d’oxygène (Fe3O4). De nos jours,
nous sommes capable de modifier la structure de certains matériaux
afin qu’ils acquièrent la propriété d’attirer le fer ce qui permet de les
qualifier « d’aimant ».
Magnétite
Les pôles d’un aimant
Un aimant est toujours constitué de deux pôles : pôle nord (N) et pôle sud (S). Puisque des
aimants peuvent s’attirer ou se repousser, l’expérience nous démontre que :
Deux pôles identiques se repoussent
Fm
S
N
N
S
Deux pôles différents s’attirent
Fm
S
S
N
Fm
N
Fm
La boussole
Les Chinois furent les premiers à exploiter le magnétisme en
découvrant le principe de la boussole au 1ier siècle.
Une boussole est constituée d’une aiguille « aimantée » dont le pôle
nord de l’aiguille pointe dans la direction du pôle nord géographique.
Puisque le pôle nord de l’aiguille doit être attiré par le pôle sud d’un
autre aimant (celui de la Terre), la découverte de la boussole nous
permet de réaliser que le pôle nord géographique est en réalité un
pôle sud magnétique.
Boussole
La Terre est un gigantesque aimant pouvant influencer
magnétiquement d’autre aimant comme une boussole. La nature
magnétique de la Terre provient de courants électriques situés au
centre de celle-ci et ce mécanisme n’est pas encore très bien compris.
La Terre est un
gigantesque aimant.
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 1
Boussole et orientation du champ magnétique généré par un
aimant
Si l’on place une boussole à un point P près d’un aimant,
l’aiguille va se déplacer sous l’effet d’une force
magnétique.
•
•
v
Le pôle nord de l’aiguille sera repoussé par le pôle nord devl’aimant (force F ).
Le pôle sud sera attiré par le pôle nord de l’aimant (force F ' ).
Après avoir atteint l’équilibre, l’aiguille de la boussole
sera aligné au point P de la façon suivante.
Si l’on définit le champ magnétique comme étant
l’influence extérieure des pôles magnétiques d’un aimant
et que l’on utilise la boussole pour désigner l’orientation
de ce champ, alors il faut conclure que :
Le champ magnétique « sort » d’un pôle nord.
Le champ magnétique « entre » dans un pôle sud.
v
Voici la représentation du champ magnétique B autour d’une tige aimantée :
Orientation de plusieurs
boussoles près d’un aimant
Orientation du champ
magnétique près d’un
aimant
Représentation du champ
magnétique en ligne de
champ magnétique
r
r
N
B
B
N
N
N
S
S
S
Champ magnétique uniforme
Pour produire un champ magnétique On représente un champ magnétique
uniforme, on peut utiliser un aimant en uniforme à l’aide de lignes de champ
forme de « C » :
magnétique également espacées :
N
N
S
région de
champ magnétique
approximativement
uniforme
r
B
S
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 2
L’étude de la force magnétique par la trajectoire
Afin d’évaluer une expression associée à la force magnétique, étudions la trajectoire d’une
particule se déplaçant dans un champ magnétique constant.
Situation 1 : Particule neutre se déplaçant avec une vitesse quelconque.
Observation :
La particule se déplace à vitesse constante.
Conclusion :
La particule ne subit pas de force, car il n’y
a pas d’accélération. La force magnétique
dépend de la charge de la particule.
v
B
Fm = 0
B
Fm = 0
Situation 2 : Particule chargée avec vitesse nulle.
Observation :
La particule demeure immobile.
Conclusion :
La particule ne subit pas de force, car il n’y
a pas d’accélération. La force magnétique
dépend de la vitesse de la particule.
Situation 3 : Particule chargée avec vitesse parallèle au champ magnétique.
Observation :
La particule se déplace à vitesse constante.
Conclusion :
La particule ne subit pas de force, car il n’y
a pas d’accélération. La force magnétique
dépend de la vitesse perpendiculaire au
champ magnétique.
v
B
Fm = 0
Situation 4 : Particule chargée avec vitesse perpendiculaire au champ magnétique.
Observation :
La particule se déplace à vitesse constante
v sur une trajectoire circulaire.
Conclusion :
La force magnétique est toujours
perpendiculaire au champ magnétique
v
v
B et à la vitesse v de la particule.
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
B
q
v
Page 3
Le produit vectoriel
v
v
En mathématique, on définit le produit vectoriel entre deux vecteurs A et B de la façon
suivante. Il est important de préciser vque vle produit
v v donne
v v vectoriel
v v un résultat vectoriel et
que le produit n’est pas commutatif ( A × B ≠ B × A , A × B = − B × A ) :
v v v v
A × B = A B sin(θ ) nˆ
v
v
v
= ( Ay Bz − Az B y )i − ( Ax Bz − Az Bx ) j + ( Ax B y − Ay Bx )k
où
v
A : Le premier vecteur dans le produit vectoriel
v
B : Le deuxième vecteur dans le produit vectoriel
v
v
A : Le module du vecteur A
v
v
B : Le module du vecteur B
v
v
v
v
( A = Ax i + Ay j + Az k )
v
v
v
v
( B = Bx i + B y j + Bz k )
v
2
2
2
( A = Ax + A y + Az )
v
2
2
2
( B = Bx + B y + Bz )
θ : Angle entre les deux vecteurs
v
v
n̂ : Vecteur unitaire perpendiculaire à A et B
( nˆ = 1 )
v v
Pour déterminer la direction du vecteur A × B sans faire le calcul au long, on peut utiliser la
règle de la main droite. La règle de la main droite permet de définir l’orientation du vecteur
unitaire n̂ :
r
A
n̂
r r
A× B
r
A
θ
r
B
n̂
n̂
θ
r r
A× B
r
B
r
A
θ
r
B
r r
A×B
Voici quelques propriétés du produit vectoriel :
1) Le produit vectoriel de deux vecteurs parallèles est toujours égal à zéro :
v v
v v
v v
i ×i = 0
j× j =0
k ×k = 0
2) Le produit vectoriel donne toujours un vecteur résultat perpendiculaire aux deux
vecteurs initiaux :
v
v
v v v
v v
o i× j =k
o j × i = −k
i
v v
v v v
v
o j ×k = i
o k × j = −i
v
v
v v v
v v
v
j
k
o k ×i = j
o i ×k = −j
(sens horaire)
(sens anti-horaire)
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 4
La force magnétique sur une particule
La force magnétique est l’influence que produit un champ
magnétique sur
force
v une particule chargée en mouvement. La
v
magnétique Fm est toujours perpendiculaire à lav vitesse v de la
particule chargée et au champ magnétique B ce qui a pour
conséquence de produire des trajectoires circulaires chez les particules
libres dont le rayon r dépend du module de la force magnétique.
×
×
r
Fm
×B
q
×
v
Le module de la force magnétique dépend des paramètres suivants :
Fm ∝ q :
La force magnétique est proportionnelle à la charge, car une particule de
charge élevée effectue une trajectoire circulaire avec un petit rayon.
Fm ∝ B :
La force magnétique est proportionnelle au champ magnétique, car une
particule effectue dans un champ magnétique élevé une trajectoire circulaire
avec un petit rayon.
v
La force magnétique est proportionnel à la vitesse perpendiculaire à B , car
deux particules de vitesses différentes dans un champ magnétique tourne dans
le champ au même rythme (même période pour effectuer un tour complet).
Fm ∝ v ⊥ :
v
Voici l’expression vectorielle de la force magnétique Fm appliquée
sur une particule de
v
v
charge q en mouvement à vitesse v dans un champ magnétique B :
v
v v
Fm = q v × B
où
ou
v
Fm = q vB sin θ nˆ
v
Fm : Force magnétique en newton (N)
q : Charge de la particule en coulomb (C)
v
vv : Vitesse de la particule mètre par seconde ( m/s )
B : Champ magnétique en tesla ( T )
v
v
θ : Angle entre la vitesse v et le champ magnétique B
×
×
Fm
q>0
v
q<0
v
Fm
×
B
×
Pour évaluer le module du champ magnétique, on peut utiliser l’expression de la force
magnétique afin d’isoler le champ magnétique :
B=
Fm
q v sin (θ )
Cette expression nous permet d’exprimer l’unité du champ magnétique qui est en tesla en
l’honneur de Nikola Tesla en unité fondamental :
N
kg ⋅ m
kg
1 T =1
=1
=1
C⋅s
m
m
C⋅ 
C ⋅   ⋅ s2
s
s
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 5
Système de coordonnée xyz
Un système de coordonnée (nord, sud, est, ouest) qui porte le nom de « rose des vents »
fait référence à un système de coordonnée à deux dimensions. On peut faire la
correspondance suivante avec un système d’axe xy :
Correspondances :
Nord : + y
Sud : - y
Est : + x
Ouest : - x
Rose des vents :
Plan cartésien xy :
y
nord
ouest
est
x
sud
On peut ajouter la notion de haut et bas à la « rose des vents » pour avoir la correspondance
suivante avec un système d’axe xyz :
Correspondances :
Nord : + y
Sud : - y
Est : + x
Ouest : - x
Haut : +z
Bas : - z
Plan cartésien xyz :
Rose des vents 3d :
haut
z
y
nord
ouest
est
x
sud
bas
Situation 2 : La force magnétique sur un proton. Un proton se déplace à 50 m/s vers le
nord-est dans un champ magnétique de 0,2 T orienté vers le sud. On désire déterminer le
module et l’orientation de la force magnétique qu’il subit.
Évaluons l’orientation de la vitesse et du champ magnétique par rapport à l’axe x et l’angle
v
v
entre v et B :
•
Orientation vitesse :
•
Orientation champ magnétique :
v
v
Angle entre v et B :
•
nord-est
→
θ v = 45° par rapport à l’axe x
sud
→
θ B = −90° par rapport à l’axe x
θ vB = θ v − θ B
⇒
θ vB = 135°
Évaluons le module de la force magnétique :
Fm = q vB sin θ
(
)
⇒
Fm = 1,6 × 10 −19 (50 )(0,2 )sin (135 ° )
⇒
Fm = 1,131 × 10 −18 N
Avec la règle de la main droite, on peut déterminer que l’orientation est vers le bas .
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 6
Situation A : Force magnétique avec le produit vectoriel. Un électron se déplace à
400 km/s vers l’ouest à 30o au-dessus de l’horizontal dans un champ magnétique constant
de 0,07 T orienté vers le nord à 60o vers l’est. On désire évaluer (a) la force magnétique
sous forme vectorielle et (b) le module de la force magnétique
Voici une représentation graphique de la situation dans une « rose des vents 3d » et dans un
plan cartésien xyz :
v
v
haut
nord
ouest
v
v
v
B
60o
30o
z
60o
30o
est
v
B
y
x
sud
bas
Puisque les vecteurs ne sont pas alignés sur les axes, il sera beaucoup plus efficace
d’utiliser la règle du produit vectoriel pour évaluer la force magnétique. Décomposons nos
vecteurs dans le système d’axe xyz :
v
v
v
v
v
v
v = −v cos(30° ) i + v sin (30°) k
⇒
v = − 400 × 10 3 cos(30°) i + 400 × 10 3 sin (30°) k
v
v
v
v = − 3,46 i + 2,00 k × 10 5 m/s
⇒
(
)
(
v
v
v
B = B sin (60°) i + B cos(60°) j
(
)
)
v
v
v
B = (0,07 )sin (60° ) i + (0,07 ) cos(60°) j
v
v
v
B = (6,06 i + 3,5 j + ) × 10 −2 T
⇒
⇒
v v
On peut effectuer le produit vectoriel v × B de deux façons différentes :
Méthode 1 : Utilisation de l’équation du produit vectoriel
v
v
v
v
v
Avec : A × B = ( Ay B z − Az B y ) i − ( Ax B z − Az B x ) j + ( Ax B y − Ay B x ) k
v
v
v
v v
v × B = ( v y B z − v z B y ) i − (v x B z − v z B x ) j + (v x B y − v y B x ) k
v v
v×B =
⇒
[ (0)(0) − (2 × 10 )(0,035) ] iv
v
− [ (− 3,46 × 10 )(0 ) − (2 × 10 )(0,0606 ) ] j
v
+ [ (− 3,46 × 10 )(0,035) − (0 )(0,0606 ) ] k
5
5
5
5
Ce qui donne :
v
v
v
v v
v × B = − 7 i + 12,1 j − 12,1 k × 10 3
(
)
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 7
Méthode 2 : Distribution de l’opérateur produit vectoriel
v
v
v
Rappel :
v = − 3,46 i + 2,00 k × 10 5 m/s
v
v
v
B = (3,5 j + 6,06 i ) × 10 −2 T
(
)
v
v
v
v
v v
v × B = − 3,46 × 10 5 i + 2 × 10 5 k × (0,035 j + 0,0606 i )
v
v
=
− 3,46 × 10 5 i × (0,035 j )
(terme1)
v
v
+ − 3,46 × 10 5 i × (0,0606 i )
(terme 2)
v
v
(terme 3)
+ 2 × 10 5 k × (0,035 j )
v
v
(terme 4)
+ 2 × 10 5 k × (0,0606 i )
(
)
[(
[(
[(
[(
⇒
]
]
)
)
]
v v
v v
v × B = −12,1 × 10 3 (i × j )
v v
− 21,0 × 10 3 (i × i )
v v
+ 7 × 10 3 k × j
v v
+ 12,1 × 10 3 k × i
(
)
(
⇒
]
)
)
)
v
v
v
v v
v × B = − 12,1 × 10 3 k + 21,0 × 10 3 (0 ) + 7 × 10 3 (− i ) + 12,1 × 10 3 ( j )
()
v
v
v
v v
v × B = − 7 i + 12,1 j − 12,1 k × 10 3
(
Ce qui donne :
)
Maintenant, il ne reste plus qu’à calculer la force magnétique :
v
v
v
v
v
v v
Fm = q v × B ⇒
Fm = − 1,6 × 10 −19 − 7 i + 12,1 j − 12,1 k × 10 3
v
v
v
v
Fm = 1,12 i − 1,94 j + 1,94 k × 10 −15 N
⇒
(
(
)( (
)
)
)
(a)
On peut maintenant évaluer le module de la force magnétique:
v
2
2
2
Fm = Fm
⇒
Fm = 10 −15 (1,12 ) + (− 1,94 ) + (1,94 )
⇒
Fm = 2,963 × 10 −15 N
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
(b)
Page 8